第四章研究結果

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第四章研究結果

本章依教學行動研究持續循環的精神，報導兩階段三循環的研究成果。在每階段中描述，教師的教學策略和教學前後學生的表現情形，並評估教學成效，以觀察直觀對學生學習的影響和檢視學生在機率概念上的轉變。

第一節第一階段：起始期

第一階段研究重點在於，瞭解教學前學生的原生直觀，並嘗試利用類比與認知衝突策略的教學策略以及介紹直觀法則、引動學生的後設認知，克服學生的原生直觀，觀察教學介入對學生的影響。

一、面對學生的原生直觀

(一) 學生的起點行為

首先依據三班(01、02、03)共 120 名學生的前測資料，與 04 班共 41 名學生的預測結果比較(預測結果請參閱附錄一之 1(3))，發現三班學生在各題的表現情況與04 班預測結果大概一致，經由預測再將題目做修正的過程，應略可提高前測結果的可信度。以下將三班學生前測結果的整理分析依前章所述的直觀迷思類型(即 More A-More B、Same A-Same B、

複合事件等機率迷思、一次投擲、代表性、和因果關係)分別討論。詳細的學生原始答題狀況及統計，請參閱附錄一之1(2)。

1. More A-More B

問卷中共有 4 個屬於此類型的問題，學生的答題表現整理如下表 4-1：

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題號題目各選項之選答百分率(選答人數) ^答對率

(A)機率

相等 *(B)甲袋 (C)乙袋 (D)不知道

1(1)

甲袋中有6 個紅色、2 個黑色的彈珠；乙袋中有3 個紅色、1 個黑色的彈珠，現分別從二袋中各取出1 個彈珠，則從哪個袋子中取到紅色彈珠的機率較大？

0.983 (118)

0.017 (2)

0.00 (0)

0.983 (118)

(A)機率

相等 (B)甲贏 *(C)乙贏 (D)不知道

選(B)但理由錯(忘了排序)

選(B)但理由錯 (其他)

2

甲、乙兩人玩一次同時投擲3 個骰子的遊戲。約定若出現點數和為6 是甲贏；出現點數和為16 則是乙贏。請問誰贏的機率大？

0.117 (14)

0.75 (90)

0.083 (10)

0.05 (6)

0.067 (8)

0.05 (6)

0.633 (76)

(A)機率

相等 (B)A 社團*(C)B 社團

(D)不知道

3

某校有A , B 兩個社團，其中 A 社團有女生 40 人，男生 60 人；B 社團有女生 60 人，

男生80 人，而各社團主席將從會員中抽籤選得。現有一女同學想加入其中一社團，希望使該社團女生當主席的機率增加較多，請問她該加入哪一個社團較好？

0.05 (6)

0.550 (66)

0.342 (41)

0.058 (7)

0.550 (66)

(A)機率

相等 *(B)成功 (C)失敗 (D)不知道

6

新設立的公司想要成功，必須在6 個分別獨立的過程都成功，而每個過程成功的機率皆為0.8。請問公司成功的機率與失敗的機率何者較大？

0.00 (0)

0.392 (47)

0.575 (69)

0.033 (4)

0.575 (69) 表4-1：前測問卷 More A-More B 學生答題情況對照表

附註：表中有陰影的選項為正確答案，前有星號則表示為主要的直觀錯誤或迷思概念選項，本章以下各表皆以相同方式註記。

由表4-1可看出，學生並不是在所有的問題中都有呈現此類型的直觀迷思。由於其中，第1(1)與第2題是改編自國外的研究，因此，可以將本研究學生表現與國外研究比較，如下表4-2。在這兩個問題中，本研究學生錯誤的比例極低，可能是學生熟悉問題的情境，所以，她們即使選擇More A-More B的選項，大都是因為科學知識不完全而產生的迷思，並非只受到問題外型的影響而產生錯誤直觀邏輯推理。

(3)

國外研究本研究結果

題

號研究者學生樣本研究目的研究結果 1

(1) Green (1983) ( 引自 Stavy

&Tirosh , 2000）

3000名 11-16歲的學生。

探討學生的機率概念

有一半的學生錯誤的認為黑球數量愈多，

抽到黑球的機率愈高。這樣的思考方式明顯地是基於直觀法則More A-More B 。

答錯的2人中，只有1 人是有More A-More B 直觀法則的表現，另一人是看錯數字而發生錯誤。

2 Fischbein (1991)

618名 9-14 歲的學生。

(211 名四至五年級的小學生、278名未學過機率以及 130 名已學過機率課程的國中生）

探討影響學生機率判斷的因素

1.多數的受試者選了點數和較大的選項。Fischbein認為，

部分受試者因缺乏建構樣本空間的能力，而直覺地認為出現點數和大的事件其發生的機率就較大。

2.年齡愈低愈有More A-More B 直觀法則的表現，接受過機率教學的學生則答對率(46.5%)較高。

選(A)、(C)選項人中，

有不少是因為，在估計事件樣本數時，列出的結果不完全，或在列出的數對為不同數字時，不知要考慮兩次，

即忘了排序(如 (3,4) 與(4,3)) ，並非受到 More A-More B法則的影響。在Fischbein的研究中亦指出，部分受試者有此現象(此情況將在「複合事件等機率迷思」中討論)

表4-2：前測問卷More A-More B與國外研究比較對照表

在第3、6題中，學生反映此類型之比例頗高，皆超過三成。在第3 題中，許多學生認為「B社團女生比例較高，所以，女生當選機率比較大」，而沒考慮到「增加比例較高」與「原先比例較高」並不相同；而部分選擇 (A)的學生認為「

100 60 101

61 60 40 61

41− = − ，因為，分子分母各增加1，所以，增加的比例應該相同」，這樣的思考方式很明顯地是基於Same A-Same B法則，因為，這樣的數字計算較繁雜，所以，直觀的迷思就很自然地出現了。而在第6題中，許多學生認為「每個過程成功的機率皆較失敗的機率大，當然成功

的機率也就會比較大」，她們忽略了必須連續六個過程皆成功才是所謂的

成功，而產生錯誤。這二個問題的情境是學生較不熟悉的，她們比較容

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易受到題目語意的影響，或只注意到問題中某些特別的資訊(即受到直觀特性的影響)，而將一部分資訊外推到整體而產生錯誤的邏輯推理。這種表現，正如Fischbein研究中所指出的，大多數的學生的直觀似乎相當倚賴資訊的某一部分，而將其一般化並自信地對整個環境做出結論，也就是將它從一部分外推到整體。值得注意的是，這個論點不只著重於外推性本身，而是焦注於，當學生評價整個情境時，只考慮了一部分相關資訊的這種信念。這就是直觀的整體性，也是直觀思考與分析思考最主要的區別。

2. Same A-Same B

*(A)機

率相等 (B)甲袋 (C)乙袋 (D)不知道

選(C)但理由錯(忘了排序)

選(C)但理由錯(其他)

1(2)

甲袋中有6 個紅色、2 個黑色的彈珠；

乙袋中有3 個紅色、1 個黑色的彈珠，(2) 現分別從二袋中各取出2 個彈珠，則從哪個袋子中取到1 紅 1 黑彈珠的機率較大？

0.333 (40)

0.042 (5)

0.608 (73)

0.017 (2)

0.083 (10)

0.058 (7)

0.467 (56)

*(A)機

率相等 (B)張家 (C)王家 (D)不知道

選(B)但理由錯(其他)

4

張太太想要兩個孩子，王太太想要四個孩子，假設他們都能如願，請問：張太太的孩子是一男一女的機率與王太太的孩子是二男二女的機率，何者較大？

0.108 (13)

0.808 (97)

0.067 (8)

0.017 (2)

0.267 (32)

0.05 (6)

0.492 (59)

*(A)機

率相等 (B) P1 (C) P2 (D)不知道

5

甲、乙兩人玩遊戲，以丟硬幣決定勝負。

約定出現正面是甲贏，出現反面是乙贏，每次輸的人要給贏的人1 元。假設 P1 表示：丟完 2 次後，甲、乙無輸贏的機率；P2 表示：丟完 4 次後，甲、乙無輸贏的機率，請問：P1 與 P2 何者較大？

0.117 (14)

0.742 (89)

0.083 (10)

0.05 (6)

0.108 (13)

0.05 (6)

0.583 (70)

(5)

*(A)機

7

假設P1 表丟 1 個公正硬幣 3 次中，至少出現2 個正面的機率 P2 表丟 1 個公正硬幣300 次中，至少出現 200 個正面的機率請問：P1 與 P2 何者較大？

0.450 (54)

0.258 (31)

0.117 (14)

0.175 (21)

0.258 (31) 表 4-3：前測問卷 Same A-Same B 學生答題情況對照表

附註：第5 題有ㄧ人同時選擇(A)及(B)

由表 4-3 可看出，學生 Same A-Same B 的直觀迷思的平均比例比 More A-More B 稍高。Stavy 和 Tirosh（2000）曾以七到十二年級的學生為研究對象，詢問學生第 4 題，結果發現，各個年級的答對率均相當低，沒有一個年級超過 46%。大部分的學生認為，兩個家庭中有男生、女生的比例相等，因此，兩者的機率也是相等的。這樣的表現，很明顯的是受了Same A-Same B 法則的影響；同時也發現，即使年齡較大的學生在解題時也無法免於Same A-Same B 法則的影響。本研究中，學生在這題中有Same A-Same B 表現的比例約佔一成，有 2 位學生混淆了機率與排列組合概念，寫著「P1=C₁²×C₁² =4，P2= 4

2!2!

C 1 C C

C₁²× ₁²× ₁²× ₁²× = 」，其他理由為「因為兩家男孩、女孩比例相等，所以機率相等」和「生男生女的機率皆為

2 1，達到男女平衡的狀態的機率必定是

2

1」，可見學生選擇Same A-Same B 答案，

未必是有Same A-Same B 的反應，而有 Same A-Same B 反應的想法，也未必相同。而學生選擇正確答案的比例雖然很高(約八成)，但是，從學生所寫的理由中發現，許多學生有「複合事件等機率的迷思」(這部份將在後面討論)。這與 Stavy 和 Tirosh 的研究有些差異，可能是因為，這個問題是學生曾經學習過又熟悉的問題，所以，只受題目敘述中比例的影響，

而產生不當的邏輯推理的情形較少，但是，由於學生的科學性知識仍不夠完備，因此，會有複合事件等機率的迷思。

第 5 題與第 4 題數學結構相同而情境不同，但是，學生的直觀迷思

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表現的比例卻相差不多(均為一成上下)。一個有趣的現象是，第 5 題選擇 (B)的比例較第 4 題略低，而第 5 題的答對率卻較第 4 題高。個人推測，

這是因為，第 4 題是學生所熟悉的情境，她們比較容易列出樣本空間或寫出習慣的機率計算式；第 5 題的情境比較複雜，所以，有些學生無法直接寫出計算式，而利用畫樹狀圖來求算，因而降低了複合事件等機率迷思之比例。更特別的是，有ㄧ位學生在第 4 題中，雖然列出完全正確的計算式，卻在第 5 題中，同時選擇(A)及(B)，她的理由是「因為無輸贏，

所以，正面的次數=反面的次數，因此，二者機率相等。P1：正反、反正、正正、反

反∴2

1，P2：正正反反 ∴ ₄ 2 2!2!

4

=8

3 ⇒ P1> P2」。當問她：「妳覺得答案是(A) 或是(B)？」她說：「直覺上是(A)，但是，計算的結果是(B) ，因為，不確定哪一個是對的，所以，把兩個想法都寫下來」。個人再問，那第4 題呢？她表示第 4 題是很熟悉的題目，而上課時都這樣算。由此可見，在不熟悉的情境下，學生會很自然地使用自己的原生直觀去解決數學問題。

第 7 題出自 Fischbein 和 Schnarch(1997)關於機率直觀迷思與年齡發展的相關研究。他們以五、七、九、十一年級的學生與大學生為研究對象，研究中各年級答題狀況如下表：

問題年級

5 7 9 11 CS

1.投擲 3 次硬幣至少會有 2 次出現正面的機率

小於 5% 5% 25% 10% 6%

等於(主要迷思概念) 30% 45% 60% 75% 44%

大於(正確答案) 35% 30% 10% 5% 50%

2.投擲 300 次至少會有 200 次出現正面的機率

其他答案 5% 10% 0% 0% 0%

沒有答案 25% 10% 5% 10% 0%

附註：CS表示大學生。

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從上表中可知，學生認為兩種情況發生的機率相等的錯誤比例很高，而且，除了大學生之外，這樣的迷思有隨著年紀逐漸增加的趨勢。這些學生通常是認為

3 2=

300

200，因此，選擇機率相等。Fischbein認為，學生是因為忽略了樣本空間的大小，又不當地使用比例基模的邏輯推論(認為兩者的比例相等，即

3 2=

300

200），而判斷兩種情況發生的機率相等。由此，也可以看出直觀對學生在解題上的強制力特質。Fischbein猜測，此類迷思的比例隨著年紀而增多可能是，因為教學及智力發展而影響學生直觀的表現；此問題的情境，也是比例概念發展比較成熟的學生所反應的直觀迷思類型，學生容易依據比例概念作答而忽略了樣本的大小也會影響機率，因此產生錯誤的直觀。

本研究中，學生有Same A-Same B表現的比例約為四成五，與 Fischbein研究中大學生的表現相彷；但是，另ㄧ方面，選擇正確答案卻只有二成五左右，遠不及Fischbein研究中大學生的表現。個人發現，有些學生在列出正確的機率式子「P2= ³⁰⁰²⁰⁰ ³⁰⁰²⁰¹₃₀₀ ³⁰⁰³⁰⁰

2

C ....

C

C + + +

」之後，卻因為數字龐大而不知該如何計算，因此，選擇了直觀的答案(A)或不知道。個人猜測，這也是學生在這題中選擇Same A-Same B的錯誤答案比例較第4題高出許多的原因。因為，當科學性的知識無法提供幫助之時，而「成比例」的概念卻相對地凸顯，於是，學生即將不完全正確的資訊過度地一般化，自然地外推到整體。

第4、7這兩題也是史丹佛大學心理學家Kahneman和Tversky(1972)在研究人類於不確定的情況下，選用判斷捷思法則「代表性」的研究中所使用的問題，「代表性」是指，當預測某結果發生的可能性時，根據的是“該結果能否良好代表母群體分佈”的判斷捷思法則(Kahneman &

Tversky, 1972)。在這種特質運作之下，此時題目中的比例相同即成為其

(8)

「代表性」，樣本大小的差異則被排擠而未被列入考慮。一般人並不會深思，在樣本數小的情形下，事件發生的機率會比樣本數大的情形大得多。不僅僅只是機率生手會有此判斷偏誤，研究顯示，即使受過專業訓練的社會科學研究學者亦會不經意地使用它（Tversky & Kahneman, 1972）。

第 1(2)題是將(1)題的情境複雜化，學生有 Same A-Same B 的直觀迷思比例很高(約佔

3

1)。在 Green(1983,引自 Stavy & Tirosh, 2000)的研究中，部分學生會有 More A-More B 的直觀迷思，而本研究中，學生是再次學習機率概念，已有基本的認知，所以，未出現 More A-More B 的反應類型。但是，機率的概念與比例有關，所以學生易受比例相同的影響而有 Same A-Same B 的想法，個人推測，這就是爲何她們會有 Same A-Same B 的直觀迷思比例較 More A-More B 高的原因。這也與 Fischbein 猜測直觀與結構基模有深層的關係，而且，此二者會隨著年齡的增長而有一定演化的想法ㄧ致。但是，個人發現許多選(A)的學生所寫的數學式為「P1= )

4 )(1 4 (3

2

C1 = P2」或「P1= ) 4 )(1 4

(3 = P2」，於是，更深入地探討學生的原始想法。進而發現，學生並不單純只是因二袋中，紅黑球數的比例相同就認為二者機率相同，而是因為，她們忽略了當從袋中取出ㄧ球之後，袋中的球數就會改變，因此，取出下一球的機率就不再是

4 1 或

4 3。學生並非完全只依題目外型作判斷，而是忽略了某些隱藏的資訊。

3. 複合事件等機率迷思

(9)

*(A)機

率相等 (B)甲袋 (C)乙袋 (D)不知道

選(C)但理由錯 (忘了排序)

選(C)但理由錯(其他)

1(2)

甲袋中有6 個紅色、2 個黑色的彈珠；乙袋中有3 個紅色、1 個黑色的彈珠，(2)現分別從二袋中各取出2 個彈珠，則從哪個袋子中取到1 紅 1 黑彈珠的機率較大？ 0.333

(40)

0.042 (5)

0.608 (73)

0.017 (2)

0.083 (10)

0.058 (7)

0.467 (56)

(A)機率

相等 (B)甲贏 *(C)乙贏

(D)不知道

選(B)但理由錯 (忘了排序)

2

甲、乙兩人玩一次同時投擲3 個骰子的遊戲。約定若出現點數和為6 是甲贏；出現點數和為16 則是乙贏。請問誰贏的機率大？

0.117 (14)

0.75 (90)

0.083 (10)

0.05 (6)

0.067 (8)

0.05 (6)

0.633 (76)

*(A)機

4

張太太想要兩個孩子，王太太想要四個孩子，假設他們都能如願，請問：張太太的孩子是一男一女的機率與王太太的孩子是二男二女的機率，何者較大？

0.108 (13)

0.808 (97)

0.067 (8)

0.017 (2)

0.267 (32)

0.05 (6)

0.492 (59)

*(A)機

5

甲、乙兩人玩遊戲，以丟硬幣決定勝負。

約定出現正面是甲贏，出現反面是乙贏，

每次輸的人要給贏的人1 元。假設 P1 表示：丟完2 次後，甲、乙無輸贏的機率；

P2 表示：丟完 4 次後，甲、乙無輸贏的機率，請問：P1 與 P2 何者較大？

0.117 (14)

0.742 (89)

0.083 (10)

0.05 (6)

0.108 (13)

0.05 (6)

0.583 (70)

*(A)機

12

同時投擲兩個公正的骰子一次，P1 表出現一個3 點一個 4 點的機率，P2 表兩個骰子都出現3 點的機率，請問：P1 與 P2 何者較大？

0.50 (60)

0.483 (58)

0.008 (1)

0.483 (58) 表 4-4：前測問卷複合事件等機率迷思學生答題情況對照表

Fischbein(1991)對孩童的機率理解研究中發現，機會(Chance)對學生來說是一個可能妨礙學習機率概念的名詞。對他們來說，機會代表「任何一個都有可能發生」，因此，常常在機率題目中出現等機率的迷思概念，

而在機率的複合事件問題中更容易展現此現象。Fischbein在許多研究中，都曾用與第12題相似的問題，探討學生的機率迷思概念。例如

(10)

Fischbein 和 Schnarch(1997)的研究，多數受試者認為，此二事件出現的機率相等，且與年紀變項無關；而Fischbein(1991)的研究也發現，試驗教學對此迷思概念似乎沒有改善的效果，甚至，受過機率教學的孩童有此迷思概念的比例，比沒有學過機率的孩童還要高。他曾經提到 Lecoutre(1988)研究，發現受試者經多種教學法仍無法改變此一迷思概念。從學生訪談中，他發現(Fischbein, 1991)學過機率的學生可能受「獨立」概念影響而產生此偏誤，因為，有些學生會回答「一個骰子出現6 點的機率為

6

1，出現5點的機率也是

6

1，因為，骰子是獨立的，所以，出現兩個6點的機率是

6 1×

6 1=

36

1 ，同樣的，出現一個5點與一個6點的機率也是36

1 ，所以，呈現兩個事件出現的機率相等。」另外，在訪談中學生也沒有呈現序對的概念，(5,6)與(6,5)對多數學生來說，並沒有什麼不同。

這些情況與本研究的學生反應相當ㄧ致，在第12題中選擇(A)的學生所寫的理由幾乎都為：

兩個骰子是獨立的，且每個數字出現的機率都是。

同樣都是六點裡取一點，且分兩個骰子，不會互相影響機率。

P1= ) 6 )(1 6

(1 = P2

有什麼不相同，骰子間會互相影響嗎？

甚至，還有些學生加上註解表示「跟生男生女、投硬幣的問題ㄧ樣」。個人認為，這也是前面More A-More B與Same A-Same B問題(第1(2)、2、4、

5題)中，許多學生雖然選擇正確答案，但是，所寫的理由卻是錯誤的原因。正如Fischbein(1991)研究指出的，許多學生沒有序對的概念或忘了排序，主要是因為建構樣本空間的能力不足所致。本研究的學生對「排序」

有時記得有時忘記，並沒有ㄧ致性的表現。有些學生第2題忘了排序，但是在第4、5題時卻是正確；有些學生第2題記得排序，但第4或第5題時卻又忘了排序；有些更是第1(2)、2、4、5題皆正確，只有第12題忘了排序。

(11)

這些情況並無類別可循，個人猜測，學生雖已具備基本估計樣本空間大小與題目架構的能力，但是，仍不夠完全。這與Fischbein(1991)的研究結果相似，只是，在他的研究中，發現受試者對複合事件的一般化形式題目(例如，投擲兩枚公正骰子，兩個骰子出現數字相同或數字不同兩個事件中，哪一個事件的機率較大？)表現比特殊化形式題目(例如，投擲兩枚公正骰子出現兩個6點或出現一個6點、一個5點兩個事件中，哪一個事件的機率較大？)好很多。他認為，多數答對一般化形式題目而答錯特殊化形式題目的受試者，雖略具有估計樣本空間大小與題目架構的能力，但是，概念不甚完全，必須在問題為一般化形式時才有辦法引出此種能力；

而在回答非一般化的題目時，會依據最初的直觀錯誤使用機會(Chance) 與獨立事件的概念。在前測中的這些問題皆非一般化形式問題，但是，

答案正確而理由是「忘了排序」的學生中，並非在每ㄧ題都是如此。個人猜測，這是因為，學生對不同的問題可能有不同的處理方式。例如在第4、5兩題中，許多學生因為對第5題的情境較不熟悉，所以，無法如第 4題直接寫出計算式，改用畫樹狀圖來求解，而數狀圖中包含了所有情況，因此，也-就不會發生忘了排序的情況。這也是爲何第5題與第4題的數學結構完全相同，但是，第5題學生忘了排序的比例卻較第4題低，因此，使得第5題選擇正確答案的比例較第4題略低，而答對率卻較第4題高的有趣現象。

在第4題中的忘了排序現象還分成兩種狀況。其ㄧ為，學生將複合事件與獨立事件的概念混淆，即「生兩男兩女機率為

16 1 2 1 2 1 2 1 2

1⋅ ⋅ ⋅ = ，生一男一

女機率為 4

1 2 1 2

1⋅ = ，所以，生一男一女機率較高」。他們以為每個小孩出生是男或女的機率均為1/2，所以，生兩男兩女事件的機率應該是1/2自乘四次，而生一男一女的機率為1/2自乘二次，卻都沒有考慮任何其他序對出現的可能性。在另ㄧ情況中，學生所寫的理由為「家中有四個孩子的情形為

(12)

(bbbb)(bbbg)(bbgg)(bggg)(gggg)，所以，生二男二女的機率為1/5；家中有二個孩子的情形為(bb)(bg)(gg)，所以，生一男一女的機率為1/3，因此，生一男一女機率比較高」，

學生雖然已經列出部分樣本，但沒有列出完備的樣本空間，且每一個樣本都沒有考慮到尚有其他序對出現的可能(即忘了考慮，要使樣本空間每個樣本點發生的機會相等)。有趣的是，學生主要的錯誤大都屬於第一種，這從忘了排序的32人中有25人是此種情況可以佐證；學生因為建構樣本空間的能力不完全，所以，直觀地使用不適當的獨立事件概念。

4. 一次投擲

問卷中只有 1 題屬於此類型，學生的答題表現整理如下表 4-5：

(A)機率相等 *(B)甲 (C)乙 (D)不知道

13

現有兩個遊戲，得勝情形分別如下：(甲) 一次投擲一個均勻的骰子，連續投3 次，出現 3 次 5 點(乙)一次投擲三個均勻的骰子，同時出現3 個 5 點,請問：選擇哪一個遊戲獲勝的機率較大？

0.908 (109)

0.017 (2)

0.033 (4)

0.041 (5)

0.908 (109) 表4-5：前測問卷一次投擲學生答題情況對照表

在Fischbein(1991)的研究中發現，此題的答對率會隨年紀漸增，而且，學過機率課程的國中(約11-14歲)生答對率(約七成)較未受過機率教學的國中生答對率(約六成)高。可是，在答錯的受試者中，各年齡層受試者大都一致地認為「一次投擲一個均勻骰子，連續投擲三次，出現3次5點」之機率比「一次投擲三個均勻骰子，同時出現3個5點」高，約為兩倍。本研究的學生答對率非常高，這可能是因為她們之前已經學過機率概念，

已有些基本的認識。但是在答錯學生的表現情況與Fischbein的研究略有不同，並沒有「ㄧ次次分開投擲較為容易」(選擇甲)之表現，因為，答錯的學生數很少，無法做深入的趨勢探討；不過在答錯學生的理由中發現，

選擇乙的學生中，有3位認為「同時投擲三個」的樣本空間數較「一次次

(13)

投擲」的要少。這和前小節中，學生忘了排序的情況相似。

5. 代表性

*(A)機

選(B)但理由錯(其

4 他)

張太太想要兩個孩子，王太太想要四個孩子，假設他們都能如願，請問：張太太的孩子是一男一女的機率與王太太的孩子

是二男二女的機率，何者較大？ 0.108 (13)

0.808 (97)

0.067 (8)

0.017 (2)

0.267 (32)

0.05 (6)

0.492 (59)

*(A)機

率相等 (B) P1 (C) P2 (D)不

7 知道

假設P1 表丟 1 個公正硬幣 3 次中，至少出現2 個正面的機率 P2 表丟 1 個公正硬幣300 次中，至少出現 200 個正面的機率請問：P1 與 P2 何者較大？

0.450 (54)

0.258 (31)

0.117 (14)

0.175 (21)

0.258 (31)

(A)機率

相等 (B)甲 *(C)乙 (D)丙 (E)不知道

8

台北銀行發行的樂透彩是從42 個數字 1,2,3…,42 中選出 6 個號碼投注，若甲選的號碼是：1,2,3,4,5,6 乙選的號碼是：

1,8,17,23,35,39 丙選的號碼是：

1,2,17,23,41,42 請問：哪一個人中獎的機率較大？

0.933

(112) 0.00 0.05 (6)

0.008 (1)

0.933 (112)

(A)機率

相等 (B)甲 (C)乙 *(D)丙 (E)不知道

9

連續投擲一公正的硬幣10 次，觀察並依次紀錄其正反面出現的情況。則情況(甲) 正正正正正正正正正正情況(乙)正正正正正正正正正反情況(丙)正正正正反反反反反反哪一種情況發生之機率最大？

0.617

(74) 0.00 0.008 (1)

0.333 (40)

0.042 (5)

0.617 (74) 表 4-6：前測問卷代表性學生答題情況對照表

第4、7兩題在Same A-Same B中已討論過，在此不再贅述。在解第8題時，

一般人常有「越分散的號碼越隨機，中獎機率越高」的想法，會傾向只考慮單一因素，忽略了相似性以外的因素(Kahneman & Tversky, 1972)的

(14)

現象；或根據過去經驗，「沒有看過出現連號，因此不選擇連號」，這是由於人們在估計事件可能發生情形時，過度倚賴心智中最易得到、最特別醒目的特例（Kahneman & Tversky, 1973）的現象。這些都是受到代表性或可利用性判斷偏誤的影響。而在Fischbein 和 Schnarch(1997)的研究中，此題的研究結果顯示：年紀越大的學生越能瞭解這是獨立機率，

因此，錯誤的比率也就越小。結構基模會隨年齡成長，可能會增強正確的直觀，而這就是學生以正確直觀判斷的一個例子。個人認為，這也是本研究學生在這題答對率非常高的原因，而答錯的少數學生應該是受到 Kahneman 和 Tversky所提之代表性判斷偏誤的影響。

在解第9題時，人們一般會相信，樣本將反映出母群體之分布，即使只有一個樣本也是如此(Kahneman & Tversky, 1972 ； Shaughnessy, 1977)。學生會認為擲一公正硬幣出現正反面的機率皆為

2

1，所以，投擲 10次的結果越接近5正5反的機率應該最大。第8、9兩題皆為代表性判斷偏誤的問題，學生的基本迷思是「樣本出現的結果應是分散隨機的，但是，結果也要符合母群體實際機率分布的情形」。可是本研究中，學生在這二題的表現差異非常大。個人進一步晤談第9題答錯學生的理由時發現，選擇丙(主要迷思概念)的學生中，只有少部分是如Kahneman和 Tversky的研究所述，具有代表性判斷偏誤，她們認為「出現正反面的機率皆為2

1，所以，正反面出現的比應接近1:1，不會有一面特多或特少的情形」。但是，

有許多學生表示，沒有注意到題目敘述中的「依次記錄出現的情況」。

這情況可由一些學生所寫的理由看出，例如：

題意是指順序有差別嗎？如果無，則丙最大；如果有，則一樣大。

(前測,9,S0114) 利用樹狀圖畫出所有的結果，可知丙最大。現在，突然發現題目有“依次”，

那結果應該是一樣的。 (前測,9,S0319)

(15)

這些學生都以為(甲)是指出現十次正面的情況，(乙)是指出現九次正面一次反面的情況，(丙)是指出現六次正面四次反面的情況，所以，理由多為「P(甲)= ₁₀

10 10

2

C ，P(乙)= ₁₀

10 9

2

C ，P(丙)= ₁₀

10 6

2

C 」或「丙的排列方式最多」。由此可見本研究中的學生，誤用代表性捷思判斷的情況並不如國外學生嚴重。

6. 因果關係

(A)機率

相等 (B)白球 (C)黑球 (D)不知道

10(1)

一袋中有 2 白 2 黑球，現自袋中連續取球兩次，每次 一球且取出後不放回，請問：(1)若已知第一次取出的 球是白球，則第二次取出的球是黑球或白球之機率較大？

0.025

(3) 0.00 0.967 (116)

0.008 (1)

0.967 (116)

*(A)機率

相等 (B)白球 (C)黑球 (D)不知道

10(2)

(2)若沒看見第一次取出球的顏色，只知第二次取出的

是白球，則第一次取出的球是黑球或白球之機率較

大？ 0.542

(65) 0.00 0.333 (40)

0.125 (15)

0.333 (40)

(A)機率

相等 *(B) P1 (C) P2 (D)不知道

11

一袋中有 2 白 2 黑球，現自袋中連續取球 2 次取出不 放回，假設 P1 表第一次取出白球之機率；P2 表第二

次取出白球之機率，請問 P1 與 P2 何者較大？ 0.608 (73)

0.233 (28)

0.051 (6)

0.108 (13)

0.608 (73) 表 4-7：前測問卷因果關係學生答題情況對照表

第10題是條件機率研究中最著名的「The Falk phenomenon」(Falk, 1988)。

相關研究發現，多數學生認為10(2)的答案為機率相等，甚至，有些學生認為10(2)無法作答，他們不認為取出第一球為白球的事件，可在取出第二球為白球的條件下發生，因為，第一球取出的結果不能依賴第二球取

(16)

出的結果而決定。Falk曾經解釋，這題的困難度在於受試者答10(1)時，

不經意地使用了因果論證(Causality Argument)而要用相同的想法推理 10(2)是相當困難的，因為，學生會認為把後驗的事件當成推論中的原因是不可能的。Fischbein和Schnarch(1997)的研究發現除大學生之外，此迷思概念會隨年齡增加而有遞增的趨勢。他們研究中各年級的答題狀況與本研究中學生的比較如下表4-8。據此，可以看出來學生的表現，介於國外的11年級與大學生之間，並無太大差異。

年級(Fischbein & Schnarch) 答案結果

5 7 9 11 CS

本研究學生第一類─正確

((1)(2)小題皆答對) 45% 50% 35% 30 39% 33.3%

第二類─主要迷思概念

(第(1)小題答對，而第(2)小題答錯選擇機率相等)

5% 30% 35% 70% 44% 51.7%

第三類─錯誤

(第(1) (2)小題皆答錯，選擇機率相等)

25% 15 25% 0% 0% 2.5%

其他錯誤 25% 5 5% 0% 17% 12.5%

表4-8：Fischbein & Schnarch與本研究對Falk問題的學生答題情況對照表

根據個人的教學經驗，學生常會將第10、11題的情況混淆。第10題是一個條件機率的問題，而第11題則不是。但是，在第11題中學生會直覺上認為，第二次取出的球會受第一次取出球的影響。若第一次取出白球，那麼，第二次取出白球的機率就會變小，因此，許多學生(約二成多) 認為第一次取出白球的機率比第二次取出白球的大。這就是典型的迷思。她們只考慮第一次取出的球是白球的狀況，而忽略了，第一次取出的球也有可能不是白球，因此，第二次取出白球的機率就會反而變大了。

學生的理由大都是：

(17)

第一次的白球比較多。(前測,11,S0217) 要依第一次取出的球決定。(前測,11,S0105) P1=

2

1 ， P2 ….卡住了。(前測,11,S0333)

P1= 2

1，P2因為不知道第一次取出什麼球，所以求不出來。(前測,11,S0103)

從這些陳述中，我們可以發現，學生大都是用因果關係來推論。她們覺得，第一次有較多的選擇，而第二次會受第一次的影響，因而選擇變少了，所以，機率也變小了；或者是，受了時間因素的影響，因為，前面的結果不確定，所以，後面的情況也就無法確定。

綜合以上六類學生起點行為的討論，發現三班學生在機率概念上的直觀迷思包括：

(1)在不熟悉的情境或科學概念不清楚的情況下，運用直觀法則More A-More B或Same A-Same B。

(2)複合事件等機率迷思是學機率概念的主要迷思，尤其是，建構樣本空間的能力不足。

(3)受時間軸及決定論的影響，而混淆了因果關係的條件機率。

直觀的認知(Intuitive Cognition)是很頑固的、有整體性的特質，學生會因而傾向於將它應用在所有物件上，而忽略了其他重要的的資訊；它還具有強迫性，除了直覺認知之外，其它的答案可能因而被排除在外，

不被學生所接受。這些直觀屬性將深深地影響到學生機率概念的學習。

存在於直觀強韌的表徵和科學概念之間的矛盾，對於個人來說，一直是個困難的教學挑戰，解決的可能策略(Fischbein, 1999a)有：

(1)讓學生知道這種衝突，進而學習去分析這些迷思和衝突的原因。

(2)幫助學生發展科學概念的基模來制衡這些直觀迷思。

(18)

(二) 教師的直觀教學策略

針對直觀的特性及學生以上的反應，個人第一階段主要教學構思包括三部分：先引出錯誤直觀，再利用類比、衝突、和科學性知識來協助學生驗證直觀的迷思，並引起學生面對和暸解正規知識；介紹直觀法則 More A-More B 與 Same A-Same B，讓學生認識直觀迷思可能的來源，

並提升其直觀的敏感度；藉由猜測別人想法，引發學生的後設認知，察覺自己在在解題中可能出現的直觀法則，讓她們知道 “自己在做些什麼”。

1. 察覺和驗證原生直觀

配合前測問卷的內容，讓學生猜測同學們可能的答案，使其察覺自己的原生直觀；透過呈現學生在前測中直觀迷思表現的比例，引導她們再次回顧自己的原生直觀；接著，利用類推比較、衝突介入和科學性概念，再次驗證自己的原生直觀。

(1) 類推比較

由於，學生的複合事件等機率迷思比例非常高，有些學生認為「出現兩個3點」或「出現一個3點、一個4點」沒有差別；有些學生「出現一個3點、一個4點」與「出現一個4點、一個3點」沒有差別；但是，也有學生因為畫出樹狀圖，而改善上述迷思。Tirosh 和 Stavy(1999)指出“類比教學”能有效幫助學生克服直觀法則，為了提醒學生(3,4)與(4,3)是不同的，所以，仿照類比(Analogy)教學的「首先，呈現一個”定錨(Anchoring)”

問題，除去不相干的表面特徵，由此引學生正確的直觀；接著，呈現一系列的”搭橋(Bridging)”問題，以不相干的特徵明顯地引出直觀法則；最後，引進直觀法則的”標的(Target)”問題」設計。據此原則，個人設計了下面三種情況：

(19)

在定錨問題中，問學生：兩銅板出現「二個正面」與「一正一反」

的情況為何？何者出現機率較大？並要求學生利用樹狀圖，畫出所有的情形。學生很清楚，要出現「一正一反」的可能(為“10 元的是正面，5 元的是反面”或“10 元的是反面，5 元的是正面”)當然比出現二個正面的機率大。因為，兩個銅板不同，學生不會有“兩個銅板哪一個是正面或哪一個是反面，沒有什麼差別的感覺”。接著，搭橋問題中，告訴學生將剛剛的5 元換成一做了記號的 10 元(在黑板上將此 10 元塗上黃色)，問學生兩銅板出現「二個正面」與「一正一反」的情況為何？何者出現機率較大？

雖然，這是兩個相同的銅板，但是，由於做了記號比較容易區分二者，

所以，學生也可明顯感受到，兩銅板出現一正一反的機率，是比出現二個正面的機率大。最後，標的問題中，問學生：如果將剛剛做的記號去掉，那麼結果會如何？去掉記號的結果會不會不同？學生雖然看不見二個正面與一正一反的差異，但是，應該可以暸解，兩銅板出現一正一反比二個正面的機率要大。接著，再問學生：若將上述那些情況中的銅板改成骰子，結果會是如何呢？藉此提醒學生，在做此類型題目時要考慮

「排序」。

為降低學生的因果關係迷思，個人採用了 Borvckin 和 Peard (1996) 的教學設計，嘗試讓學生經由類推比較、邏輯推理思考，克服這種迷思。

在定錨問題中，先呈現第一次取球的結果，請學生猜測：第二次取球的結果？在搭橋問題一中，則將第一次取出的球放在左手，再取出第二球

搭橋問題

標的問題定錨問題

10元

(20)

放在右手，將兩顆球皆握在手心，先都不給學生看，問學生：「如果現在打開左手看見是白球，請妳們猜右手所拿的球是否也為白球？」「如果打開右手看見是白球，請妳們猜左手所拿的球是否也為白球？」這兩個問題是否相同？此時，會有ㄧ部分學生已經可以接受，這兩個問題是相同的；可是，也許會仍有一部分學生，堅持有先後的差別。這種現象引起學生的關注與討論。在「搭橋問題二中，個人在桌下取球，不讓學生知道第一次取出的球與第二次取出的球分別放在哪一隻手，然後，將兩顆球皆握在手心舉起，先都不給學生看，再問學生：「如果現在打開左手看見是白球，請妳們猜右手所拿的球是否也為白球？」「如果打開右手看見是白球，請妳們猜左手所拿的球是否也為白球？」這兩個問題是否相同？此時，大部分的學生都已接受這兩個問題是相同的，於是再提問：你們認為，先後會不會影響結果？由教學錄影中可看，到學生有

「奇怪，怎麼會這樣？」及「好神奇喔！」的反應。

最後的標的問題中，再提問：若沒看見第一次取出球的顏色，只知第二次取出的是白球，則第一次取出的球是黑球或白球之機率較大？學生此時已暸解這與定錨問題是相同的。藉此克服學生「後發生的事件不能影響先發生事件」的迷思。

(2) 衝突介入

這是先藉由一問題來引出學生的迷思，再呈現一個與最初的答案衝突的情境，讓學生察覺最初的答案是不充分的（Piaget，1980，引自劉俊庚，2002）。針對因果關係的迷思，個人加了極端化(Tirosh ＆ Stavy, 1999) 的情況，讓學生自己產生認知衝突。先將袋中球數改為 1 黑 1 白，問：

現自袋中連續取球兩次，每次一球且取出後不放回，若沒看見第一次取出球的顏色，只知第二次取出的是白球，則第一次取出的球是黑球或白球之機率較大？此時，學生很清楚答案是黑球，沒有其他的可能。因此，

(21)

她們會與先前「後發生的事件不能影響先發生事件的機率，第一次取出的球可能是黑的也可能是白的，二者機率相等」的迷思，產生認知衝突。

(3) 科學性知識

由於，有些學生會因數字龐大，例如 ³⁰⁰²⁰⁰ ³⁰⁰²⁰¹₃₀₀ ³⁰⁰³⁰⁰ 2

C ....

C

C + + +

，而不知該如何計算，因此，選擇直觀的答案(A)機率相等或選擇(D)不知道，因此，個人除了由大數法則的觀點來解釋這個問題，還以學生曾學過的組合關係式及二項式定理來輔助，如下：

因為P1= ₂³ ³ )³ 2 (1 2) (1 +

C ，這很容易由計算知P1= 2 1，

所以現在想要知道的是 P2= ₃₀₀

300 300 300

201 300 200

2

C ....

C

C + + +

比2

1大或小。

現從另ㄧ觀點來看P1與P2：

丟 1 個公正硬幣 3 次中，所有出現情況的機率和為 ( )

2

1 ₃

3 3 2 3 1 3

3 C0 +C +C +C =1，

又因C₀³ =C₃³、C₁³ =C₂³，所以 P1= ( ) 2

1 ₃

3 3

3 C2 +C = ( )

2

1 ₃

1 3

3 C0 +C =

2 1 丟 1 個公正硬幣 300 次中，所有出現情況的機率和為

) ...

....

...

2 (

1 ₃₀₀

300 300 299 300

201 300 200 300

151 300 150 300

1 300

300 C0 +C + +C +C + +C +C + +C +C =1，

同上 C₀³⁰⁰ =C₃₀₀³⁰⁰、C₁³⁰⁰ =C₂₉₉³⁰⁰ ……..、C₁₅₁³ =C₁₄₉³⁰⁰可知 )

...

2 (

1 ₃₀₀

300 300 299 300

152 300

300 C151 +C + +C +C = ( ... )

2

1 ₃₀₀

149 300

1 300

300 C0 +C + +C <

2 1

(∵少了C₁₅₀³⁰⁰)

所以P2= ( ... )

2

1 ₃₀₀

300 300 299 300

201 300

300 C200 +C + +C +C

< ( .... ... ) 2

1 ₃₀₀

300 300 299 300

201 300 200 300

300 C151 + +C +C + +C +C

<

2 1

(22)

因為，在此課程的前兩堂課，正好談到組合關係式及二項式定理，

所以，學生很容易接受這樣的推導。另外，幫忙錄影的本校數學實習老師表示，這是個非常棒的做法。

2. 運用直觀法則

關於學生 More A-More B 和 Same A-Same B 的迷思，大都是因為，

不熟悉情境或科學性知識不夠清楚而受直觀特性的影響。針對這情況，

個人由 Skemp(1989, 許國輝譯)的主張：“在智性學習中，行為是目標導向的，而達到目的的過程需要第二系統形成相關的基模，以便協助第一系統作出計畫與行動，但要針對新的目標情境修正已有的計畫，判斷最佳的行動方式，需要個體對目標有所理解。＂得到一些啟發，如果，學生能暸解直觀法則在她們思考中所扮演的角色，是不是在遇到有關的問題情境時，在她們的心中就會有一個聲音會時時地提醒：要小心喔！再驗證一下！那麼，她們是否就比較能不受直觀想法的影響呢？於是，決定介紹直觀法則中的 More A-More B 與 Same A-Same B。

首先，呈現利用直觀法則會得到正確答案的例子，再以科學性知識支持；接著，呈現利用直觀法則會導致迷思的例子，讓學生觀察這些迷思的共同結構，並說明這法則的應用是有界限的，非放諸四海皆準的。

這樣可以提醒學生，不要只依據題目外在的相關特徵和特別的直觀法則來思考問題；並強調，直觀看似正確，但是，仍須檢驗，以鼓勵她們應嚴謹的檢驗自己的直觀反應，要對自己所寫的答案有更深一層的“感覺”。經過這樣的教學程序，學生應會變得更小心，也會對 More A-More B 與 Same A-Same B 有了戒心。

3. 引動後設認知

因為直觀的立即性及強制性，容易讓人只看到問題的某ㄧ部分，而

(23)

忽略了某些資訊而做出錯誤的判斷，所以，個人希望學生在回答問題之前能多想一下，試著監控、評鑑、及調適自己的解題歷程，進而能察覺到，自己解題上可能出現的疏漏或不合理之處。在介紹直觀法則之後，

個人則繼續引導學生猜測前測問卷中的一些問題，分析同學可能會有的迷思及原因，找出問題中可能呈現的直觀法則，並加以驗證。希望，經過這樣的引動之後，學生更暸解這些問題背後的共同結構，而能夠避免受直觀的影響，藉此也能加強學生反思的能力。

二、直觀教學對學生的影響

量的資料可用以確定焦點集中的區域；而質的資料則賦予那些焦點區域實質的內涵和意義(吳芝儀和李奉儒譯，1995) 。以下，將從量的比較(問卷填答分析)與質的觀察(晤談分析)這兩個觀點，來報導教學介入對學生學習的影響。

(一) 教學前後學生的表現

後測問卷第二部分是，為檢驗在經教學後學生對 MoreA-MoreB 、 SameA-SameB、與複合事件等機率迷思概念的表現，以及檢視直觀教學的初步成效。學生原始答題狀況及統計，請參閱附錄一之2(2)。

(1) More A-More B

題號題目各選項之選答百分率(選答人數) 答對率

(A)一樣多

(B)選 4 人

*(C)選 7 人

(D)不知

道 ^{選(B)但理由錯}

1

從10 人中選出 4 人的可能情形，與從 10 人中選出 7 人的可能情形哪一種較

多？ 0.01

(1)

0.94 (113)

0.02 (2)

0.03 (4)

0.01 (1)

0.93 (112) 表 4-9：後測測問卷 More A-More B 學生答題情況對照表

由表 4-9 可看出這題的答對率非常高，幾乎沒有再出現此類型的迷

(24)

思。在選(C)的 2 人中，只有 S0227 的理由是「選的人比較多，情況比較複雜」，另ㄧ人是計算選出後、再排列的情形，可能是不清楚排列與組合的區別或公式，但是，看不出這類迷思的傾向。而在前測第 1(1)題中，

也只有 S0227 呈現 More A-More B 的傾向。她告訴我，「從小就不喜歡數學，背數學比背國文還困難，許多問題她不是用背的就是用猜的」，可以想見，

她的判斷非常容易受直觀迷思的影響。

在 Fischbein & Schnarch(1997)機率直觀迷思與年齡發展的研究中，

也曾探討類似的問題，結果各年級的答題狀況，如下表：

問題年級

5 7 9 11 CS

從10 人中選出 2 人成立委員會的可能情形

小於(錯誤) 20% 5% 10% 0% 22%

等於(正確答案) 0% 5% 5% 15% 6%

大於(主要迷思) 10% 20% 65% 85% 72%

從10 人中選出 8 人成立委員會的可能情形

其他答案 15% 30% 15% 0% 0%

沒有答案 55% 40% 5% 0% 0%

這顯示出，年紀愈小的學生愈有 More A-More B 迷思的傾向，但這並非此問題的主要迷思。多數人認為，從 10 人中選出 2 人成立委員會的可能情形較多，且此迷思概念隨年齡增加遞增，原因是，年紀越大越能列出組合數，可是，對大多數人來說，在記憶中選取 2 人之情況比選取 8 人之情況容易，所以，會覺得選出 2 人比選出 8 人的可能性還多。

這與個人設計的問題有些差異，由於這個問題的數學概念是簡單的，而組合數的計算，對大部分的本校學生來說比較容易，但是，國外的研究卻顯示「人數愈少，可選取的情況愈多」的直觀想法很強烈，所以，個人想知道：如果這成為正確答案的選項，那麼在教學之後，學生

(25)

的理由會是什麼？她們會不會在使用直觀判斷後，再用科學知識去檢驗？結果發現，學生選(B)的理由，除了 3 人之外，其餘皆用計算「C¹⁰₄ =210,

10 120

7 =

C 」所得。而這三位學生的理由分別如下：

S0135： (1)C₄¹⁰ =210, C₇¹⁰ =120 (2)所選的人數愈少，被選中的機率就愈小，可見選的人數愈少，情形愈多。

S0239： (1)7 人較多，變化較少 (2)C¹⁰₄ =210, C¹⁰₇ =120。 S0317： 4 人比較少，選取情況比較多。

很明顯可看出，她們的想法與上述國外研究出現的主要迷思相同，

但是，S0135 與 S0239 除了寫出直觀的想法外，還用計算的方法驗證。

後來，再問她們兩人：為什麼寫兩個理由？S0239 回說「一個是直覺，可是想到“直觀不一定正確”，所以，再加上計算檢查」，而 S0135 說「計算的一定對，可是直觀不一定對，但是，我的直覺是這樣，所以，又補上第二個理由」。由此可見，她們會透過計算再次驗證直觀判斷的正確，可見，學生的直觀想法或許不一定正確，但是，如果她們清楚這個問題所用到的科學概念，

在經過教學之後，她們大都知道「要檢驗自己的直觀想法」。

(2) Same A-Same B 與複合事件等機率迷思

題號題目各選項之選答百分率(選答人數) 答對率

*(A) 機率相等

(B) P1 (C)

P2

(D)不

知道

選(B)但理由錯 (混淆)

2

假設；P1 表丟 2 個均勻骰子時，恰好出現1 個偶數點的機率，P2 表丟 4 個均勻骰子時，恰好出現2 個偶數點的機率，請問：P1 與 P2 何者較大？ 0.04

(5) 0.89 (107)

0.06 (7)

0.01 (1)

0.07 (8)

0.05 (6)

0.18 (21)

0.6 (72)

*(A) 機率相等

(B) P1 (C)

P2

(D)不

知道

選(B)但理由錯(沒注意總

數)

選(B)但理由錯 (混淆)

3

某個公司年終賣摸彩票(共 10 張)讓大家抽獎，已知彩票內有一半的票是有獎的，若P1 表買到 2 張，2 張中恰有1 張中獎的機率，P2 表買到 4 張，

4 張中恰有 2 張中獎的機率，請問：

P1 與 P2 何者較大？

0.07 (8)

0.87 (104)

0.05 (6)

0.02 (2)

0.51 (61)

0.07 (8)

0.08 (9)

0.22 (26) 表 4-10：後測問卷 Same A-Same B 與複合事件等機率迷思學生答題情況對照表

(26)

第 2 題與前測第 4 題的內容相似，其答對率(49% → 60%)雖然只增加了約一成，但是，Same A-Same B 的比例卻更低了(11% → 4%)，而且，選 (B)但忘了排序(即複合事件等機率迷思)的比例更是降低了二成(27% → 7%)。至於，選(B)但理由錯(其他)，則增加許多(5% →18%)。個人仔細探究原因發現，有些學生混淆了以「樣本空間個數」與「重複試驗」兩個觀點來計算機率的情況，而列出「P₁=

6 6

2) )(1 2 (1

2 1

⋅

C ，P₂=

6 6 6 6

2) (1 2) (1 ² ²

4 2

⋅

⋅ C

」；另外有些學生，則不清楚這個問題事件的樣本數，而寫出「P1= ¹² ₂

6 3×3

×

C ， P₂= ²⁴ ₄²³ ²³

6 H H

C × × 」(認為選出 2 個偶數的情況有H₂³種)或「P₁= ¹²₂ 6

×3 C ， P₂= ²⁴ ₄

6 3 3×

×

C 」(P₁只考慮一個出現偶數的情形，忘了另一個必須是奇數)；

而有更多學生，是錯列了 4 個骰子出現 2 個偶數點的排序情況。由這些情況可看出，學生顯然已經注意到要「排序」，但是，她們建構樣本空間的能力仍有不足。同樣地，若將此題與前測第 5 題比較，無論從答對率 (58% → 60%)、Same A-Same B 的比例(12% → 4%)或複合事件等機率迷思 (忘了排序)之比例 (11% → 7%)來看，學生答對率升高而直觀迷思的比例卻降低。或許這是剛上完課，記憶猶新，但是，至少可確定，教學對學生似有正面的影響。

由於第 2、3 兩題的題型及敘述非常相似，所以，許多學生直覺上認為這二題是一樣的。許多學生寫的理由是，「同上題」、「和上一題還有生男

生女的問題是一樣的」，這可能也是答對率如此低的原因之ㄧ，因為，學生

不清楚這兩題背後的數學結構是不同的，其中，第 2 題為二項分布，第 3 題為超幾何分布。這兩個問題看似相同，但是，實際上卻有差異；二項分布是，獨立的試驗重複做了 n 次，例如第一次丟出骰子為偶數的機率為2

1，第二次丟出骰子為偶數的機率仍為 2

1；而超幾何分布則表示，

每次的試驗並非獨立的，皆會受前一次結果的影響，例如 100 張的彩票

(27)

中，抽出第一張是中獎的機率為 2

1，若此時再抽出第 2 張是中獎的機率就不再是2

1而是 99

49。這情況與前測第 1(2) 題的情況相似。學生常會忽略，當已從袋中取出ㄧ球後，袋中的球數就改變了，因此，取出下一球的機率就不再是

4 1或

4

3。比較後測3 與前測 1(2)發現，學生忽略這種情況的比例增加許多( 33.3% → 51%)。個人認為，可能是考試時學生受上一題(後測 2)的影響，另外，也可能是個人在檢討前測 1(2)時，將球數依相同比例增加，想讓學生自己發現，當球數增加至無窮時，超幾何分布的極限與二項分佈的結果相同。教學使用的例子如下：

3 個紅 1 黑的彈珠時，取出二球為一紅一黑的機率為 ₄

2 1 1 3 1

C C

C =

2

1。

6 個紅 2 黑的彈珠時，取出二球為一紅一黑的機率為 ₈

2 2 1 6 1

C C

C =

7

3。

9 個紅 3 黑的彈珠時，取出二球為一紅一黑的機率為 ₁₂

2 3 1 9 1

C C

C =

22

9 。

……

3n 個紅 n 黑的彈珠時，取出二球為一紅一黑的機率為：

ⁿ_nⁿ

C C C

4 2 1 3

1 =

2 1

) 1 4 )(

4 (

3

⋅

−

⋅ n n

n

n =

1 4 4 2 3

⋅ −

⋅ n

n n n

當n →∞時，

1 4 4 2 3

⋅ −

⋅ n

n n

n →

4 1 4 2⋅3⋅ =

4 1 4

2 3

1 ⋅

C

教學時我並沒有提到超幾何分布與二項分佈，只是讓學生看到「當總數很大時，少一個是對機率的影響不大」。有些學生表示，「她覺得 100 張彩票很多，拿出一張後應該對機率沒有影響」。就比較機率大小(買 2 張中 1 張與買 4 張中 2 張)的觀點而言，100 張應是足夠大的，雖然根據二項分布機率的情況做計算與使用超幾何分布計算不會影響判斷大小的關係，但是，兩者有不同的機率值。所以，還是說明此兩情況機率的

第四章 研究結果