直觀的影響

學生可能的直觀思考類型中，發現有「直觀折返」的現象。而在這 階段後期的焦點小組晤談教學中，卻發現個案學生已經可以清楚地說 出，直觀法則Same A-Same B、More A-More B 不一定正確。但是，當我 們討論到問卷的第 4 題時，S0137 因不熟悉問題而開始畫樹狀圖。她只 看到，樹狀圖中的那一分支比較多，就認為機率會比較大。雖然，她不

第四章 研究結果

是因題目的外型而做判斷，但是，More A-More B 這樣的直觀迷思，卻

「常常像鬼魅一樣就跑出來」。一起體會一下 S0137 當時的情緒如下：

S0137：剛剛和 S0113 討論過了，樹狀圖不準啦！

T：樹狀圖不準？

S0137：不能只看樹狀圖哪一支比較多。

S0113：她忘了考慮 0.2 和 0.8。

T：所以，不是樹狀圖哪一支(A 或 B)比較多，機率就比較大？

S0137：對呀，真是討厭！

……..

T：不錯，很好。這一題應該都沒問題了。記得已經發生了的事件，再 談發生的可能性就不太有意義了，所以，前面的事件是不是已經發生 了，要分清楚。還有，畫樹狀圖要注意量的大小，如果只注意哪一種 情況比較多，那不是又像是MoreA─ MoreB 了嗎？

S0137：對呀，直觀真討厭！ (晤討,183-194) S0137 自己的整理中，還特別寫著「就算畫出乙贏的樹枝比甲贏的樹枝 多，但是，相乘出來不一定乙贏的機率比較大，要小心啊！」。其他的個案學生 也說，現在比較清楚地知道排序、知道直觀法則，但是，在很急的時候，

可能最原始的直觀又會出現。Chi(1992)的研究也提到，當專家缺少時間 做反省性思考之時，也會出現直覺的、常識的、或是素樸的思考方式。

既然直觀的迷思是如此難以改變，更要提醒學生不要急著做反應，要多 想想再做判斷。培養學生的後設監控認知，也許是個有效的策略？在討 論的最後，S0108 在描述印象最深刻的剎那時，寫道：

現在寫題目時，常會告訴自己：A 對 B 不一定對，∴一定要檢查，而且，

能避免自己一直重複錯誤的直覺。這點很重要。∵通常在什麼都忘記時，

直覺就跑出來了，但現在某些直觀法則的提醒已壓過直覺，反而會讓我 去想：“直覺真的對嗎？” (概念反應,2, S0108)

她的敘述令人感動，雖然，個人的兩階段試探性行動教學，無法使 每位學生完全避免直觀的迷思，但是，這樣的教學努力，仍有部分學生

第四章 研究結果

能感受得到。

三、螺旋期的教學成效

為取得較穩定的學習表現，因此，本階段教學後的六週才實施評量，

藉此評估和反思螺旋前、後期的教學成效，並比較學生直觀思考類型可 能的變化。以下為 01 班學生共 37 人的評量問卷表現(其中，有 3 人請 假) ，學生的原始詳細答題狀況及統計，請參閱附錄一之 6(2)。

除了研究問卷外，並輔以學生的一般學校成就測驗的表現，以及收 集學生對教學的意見回饋。

(一) 評量問卷中學生的表現

(4) More A-More B

題號 題目 各選項之選答百分率(選答人數) ^答對率

(A)機率相等 _{(B) P1 *(C) P2} 空白

1 (1)

將一公正骰子其中一面著上白色，其 他五面著上黑色。

連續投擲這枚骰子2 次，P1 表恰出現 1 次白色的機 率，P2 恰出現 1 次黑色的機率，請問：P1 與 P2 何 者較大？

1.00 (37)

0.00 (0)

0.00 (0)

0.00 (0)

1.00 (37) 表 4-19：評量問卷 More A-More B 01 班學生答題情況對照表

雖然學生的答對率是 100%， S0105 列出完全正確的計算式，也選 擇了正確的答案，卻在理由的最下方寫著「ps.我怎麼會直覺 P2 比較大

啊？！？！？！/」。這是否透露出，原生直觀與科學性知識的天平，仍

然在她心中一直擺盪著？

(5) Same A-Same B (等機率迷思)

(1)二項分佈

第四章 研究結果

第四章 研究結果 中，有三位學生 S0114、S0115、S0121 所寫的理由是「副主席為女生的機 率： 19

第四章 研究結果

交集事件的問題來處理，此結果與Falk(in press ) 和 Pollatsek(et al. 1987) 針對機率生手的學生所進行之研究調查結果相一致。即使是學過條件機 率的高三學生，亦經常將條件機率誤解為交集事件的機率。

個人猜測，學生不明白“條件機率”的意義應是此問題的主要原因。

在焦點小組晤談討論中，曾因而留下“鸚鵡題＂當作業，所以，小組的 六人中，皆無此問題出現。她們也表示，“鸚鵡題”的例子很好。因此，

若有機會，在下一次高三社會組的教學中，我會考慮在教學中引入條件 機率的相關概念，以中和學生的原生機率直觀。

由以上分析看來，螺旋前期的全班討論和後期的焦點小組晤談，應 對學生似有正面的影響。不過，在不熟悉問題中，學生是否仍有如此好 的表現？則有待進一步的觀察。

(二) 學生直觀思考的分類

利用評量問卷，與前測、後測、延後測做比較，分類加入上階段未 考慮的因果關係、二項分布與超幾何分布的差異。經過螺旋前、後期，

個別學生可能的直觀思考分類變化如下表 4-23：

表 4-23： 01 班學生直觀思考表現分類情形 附註：1(I)---教學對其有正面影響者

2(II )---教學後想法在直觀迷思與正確答案間擺盪者

2.1(II -1)--cc+n---經教學後部分答案改變成為正確(cc)，部分未改變仍堅持原 來錯誤的答案(n)

2.2(II -2)--cc+cu---經教學後部分答案改變成為正確(cc)，部分答案卻由正確 改變成為錯誤(cu)

座號

*1 2

第一次教學後分類

2.3 1 2.3 1 2.2 1 1.1 2.2 2.1 2.2 1 2.3 2.2 2.3 2.3 2.2 2.2 1.1 2.1 2.3

第二次教學後分類

1 1 1 1 1 1 1 1 2.1 1 1 1 1 1 1 1 1 2.3 2.3

座號 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36^*3738 39 40 41 42

第一次教學後分類

1 2.1 1.1 1 3.1 1 1 1 2.2 3.1 1.1 1 2.3 2.2 2.1 2.3 2.3 1 3.2 1.1

第二次教學後分類

2.3 1 1 2.2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2.1 2.2 2.1 2.1 1

第四章 研究結果

2.3(II -3)--cc+uu---經教學後部分答案改變成為正確(cc)，部分答案改變卻是 由錯誤變成另一錯誤的情況(uu)

3(III )---教學對其無正面影響者

3.1(III -1)--n---教學前後答案一致，部分堅持原來錯誤的答案，部分原來答 案即是正確的

3.2(III -2)--＊---教學前後答案一致，原來答案即是正確的

從上表 4-23 中，有三位學生從 I 轉為 II，看似折返，實際上，她們的問 題是，發生在第一次分類未考慮的部份。S0140 是將超幾何分布情況(如 彩票問題)，當成二項分佈(每次皆為獨立的情況)來處理，且在評量測驗 中仍維持不變；S0123 在後測、延後測中情況與 S0140 情況類似，在評 量測驗中改正此錯誤，卻忘了排序；而 S0126 則是，在因果關係的 Falk 問題(第 4(2)題)中，選擇“機率相等”，她的理由是：「因為，抽出的籤沒有

公佈，結果未知，所以，機率相等」。而在前測及延後測與此相類似的問題

中，她都是答對的。事後再詢問，她表示「是題目沒看清楚，以為是和第(3) 小題是一樣的問題」。

在第二次分類中，屬於 I 的高達 28 人(約 76%)，螺旋期兩循環的教 學似有部分的成效，可見討論、溝通對克服原生的直觀迷思是有成效。

但是，個人覺得真正屬於 I 的學生可能沒有這麼多，或許是，題型相似 而學生已經做了許多次之故，因為熟悉，所以，學生才有如此好的表現。

這也顯示，下一階段的教學行動研究中，個人應使用學生較不熟悉的問 題來評量，以減輕此狀況。

(三) 學生在一般學校成就測驗的表現

為瞭解學生在一般考試中機率概念的理解狀況，收集複習考(高三每 個星期固定的考試)及期末考中與機率有關題目學生的表現，並與 04 班 作比較。所收集到這兩份考卷中的問題，皆是學生練習過許多次的問題。

第四章 研究結果

SameA-SameB 0 0.07(3)

(i2)因果關係 0.15(6) 0.10(4)

第四章 研究結果

亦即，經過兩階段的教學後01 班的學生已不再出現 SameA-SameB 的情 況，而且，她們的表現似乎並未受到個人研究的干擾。

第2 題是計算題，比較可能看出學生的想法。(1)(2)兩小題都是學生 非常熟悉的問題，所以，兩班學生表現差異並不大。但是，(3)小題與時 間軸的順序有關，04 班有較多學生認為，應視前面兩次取球的情況，才 能決定第三次取得紅球的機率，覺得答案是不一定或不知該如何算，也 有不少人算的是“前兩次取出白球第三次取出紅球”的機率，而這些情況 在01 班皆未發生。

由訪談三中，可看出八位學生皆已釐清自己原先的迷思。其中直觀 思考表現屬於III 的 S0132，在訪談確認概念的過程中，又出現原生直觀，

不過，當個人再重複她的話語，她便立即察覺此迷思。可見她仍然非常 容易受原生直觀的影響，經過個人兩階段的教學後，她也清楚直觀迷思 之所在，只是，她表示仍有可能出現如此的迷思。由下面這段對話，即 可看出直觀的強制性對她的影響；即使自己知道錯了，仍無法完全避免

「它」：

T:下一次看到同樣的題目，你還是有可能這樣寫嗎？( ) 2 )(1 2 (1

2

C

T:你還是會這樣寫？

S0132:對呀(笑)！

T:那就是說，上課對你來說沒有感覺，沒有差？

S0132:有差啊！

T:差在哪裡？

S0132:就是知道，但是，看到題目就忍不住覺得…。 (訪談三，223-230) 有些學生現在已認為，2(3)這題是「非常的直觀」，她們會寫出計算 式「只是想驗證直觀是否正確？」，例如有兩位學生這樣說：

T:第(3)題你是用算，那你能不能看出這和抽籤問題是一樣的？

第四章 研究結果

S0114:一開始我就是認為這樣，但懷疑這個想法是不是對的？所以我用 算的來驗證它是不是對的，後來算出來，我就想它應該是對的。就好 像老師你上課說第98 個是老人的機率，跟把它當作第 1 個是一樣的。

所以，代表大家抽出的結果還沒公佈之前，大家都可以當第1 個。

(訪談三，5-6) S0109:原本是想，不管哪一次抽出紅球的機率都是

10

3 ，可是怕直觀會 錯，所以用算的。

T:所以，你是在驗證你的直觀是正確的？

S0109:對。 (訪談三，301-303)

這個問題，在前測的第 11 題中，S0109 曾經認為「不知道第一次取出 的球為何，所以，第二次取出白球的機率不確定，所以，兩者不能比大小」，明顯 地是受到時間軸順序的直觀想法影響，但是，現在她卻認為，「正確的答 案是非常的直觀」。這似乎暗示了，可以經由適當的教學設計來轉化學生 的原生機率直觀，而 S0109 由原始一階直觀轉為二階直觀，就是一個很 好的例子。

晤談小組中的六位個案，在複習考中的表現，只有 S0137 在第(2)小 題忘了排序，其餘的人皆全對。S0137 在複習考中，改正了原來在評量 問卷測驗的迷思，但是，卻又忘了排序。她還在考卷的訂正上寫著「老

師，我對不起你」，她表示寫考卷的當下，覺得很直接，可是考完之後，就

知道自己的問題了。在期末考中，只有 S0116 仍有機率直觀的迷思，事 後問她原因，她卻很清楚自己迷思之處，因為，在 P₃中沒想到球數有限，

所以，認為 P1、P2、P3的機率皆相等，她把P3的狀況當成獨立的重複試

所以，認為 P1、P2、P3的機率皆相等，她把P3的狀況當成獨立的重複試