教學的實施

本階段的教學，不再讓學生憑空想像，而是實際看到同學的不同想 法，而去比較並驗證這些不同想法所寫出的數學式；再加上，與同學討 論和辯證及不同想法所造成的衝擊，以便引起學生注意並瞭解所寫數學 式的真正意義為何？

首先，由學生自己先判斷全班討論問卷中，各種想法的正確性，再 和其他同學分享自己的看法；再則，個人則穿梭其間，有時介入討論(當 有些組出現錯誤的想法時)，扮演思考引導者的角色；接著提供深層思考 的數學問題，使他們發現衝突，促進數學反思的活動。從全班討論的過 程中，可以感受到有些學生從自信到混淆再澄清的歷程。她們在討論中，

經由對話、辯證、和澄清自己的思考，持續不斷地調適，從與他人的意 見分享之中，再次檢視自己的原始想法，進而察覺自己的直觀偏見；獲 得由其他角度來看問題的能力，以主動建構數學概念，進而重新建構自

第四章 研究結果

己的原生觀點。她們之間的討論熱烈，原是分組討論，但是，最後成了 小組間的對談，個人看不太出來組與組間的分別。

現在以第2題(希望學生澄清的是Same A-Same B、複合事件等機率迷 思以及二項分佈、超幾何分布二者的差異)，詳細說明當時的教學情形：

S0105 則認為(D)(G)是對的，S0115 的答案為(E)(F)，她們都是同一組；

而 S0134 屬於另ㄧ組。以下是她們與我的部份對話(大約 20 分鐘)：

S0115：(C)是錯的，它沒排次序。

S0119：怎麼沒排？第一張彩卷中的機率乘第二張沒中的機率，就有順序 了呀？

第四章 研究結果

S0115：不是這樣，有可能第一次中獎，第二次不中獎；也有可能反過來 呀！

(S0119 陷入沉思)

S0115：(F)也是一樣呀！選出來之後要再排序，不然你為什麼選(F)？

S0119：不是，這是 C(指 C¹⁰⁰₂ )。因為沒有確定順序，所以，要選中獎還 是沒中獎。

S0108：不對。(F)一定是錯的，我剛剛把每個答案都算出來，結果發現(F) 的機率大於1，所以，它一定不對。

(S0119 與 S0115 感覺到很疑惑，便立刻驗證 S0108 的結果，兩人皆發現 自己是錯的。但是，卻陷入混淆，不知問題是什麼？)

(S0108 轉向 S0105 提出問題)

S0108：(D)和(G)的答案不一樣，怎麼可能兩個都對？

S0105：真的嗎？(低頭驗算)…….可是，我每次都是這樣算(指(G))，都是 對的呀！因為，樣本空間的個數是 100 張裏選 2 張C¹⁰⁰2 ，然後，中獎 的選一張C₁⁵⁰，沒中獎的選一張C₁⁵⁰。

S0108：好像有道理，那(D)為什麼不對？

S0115：因為，第一張抽走了，第二張的機率就不會再是

2 1 100

50 = 了。

(S0108 有些疑惑)

S0119：因為，抽出第一張後，其餘 99 張中獎、不中獎的機率已經不再 是2

1。

S0112：我又不知道第一張是中還是沒中？第一張抽出中獎的機率不是和 抽出第二張中獎的機率一樣嘛？

(S0115、S0119 又用相似的話語解釋，S0108 好像懂了，S0112 還在疑惑。

此時我介入，向學生借了2 個 10 元 2 個 5 元，放在桌上。)

T：你看，我從這些硬幣中，拿出第一個硬幣是 10 元的機率是多少？

S0112：

2

1 。

T：(我拿出一個 10 元放在桌子另ㄧ邊)我現在從這些硬幣中，再拿出一 個10 元的機率，會不會還是

2

1？

S0112：會。

第四章 研究結果

T：現在這堆只剩下 3 個硬幣喔！

S0112：啊，不會，是

3

1。

T：對。因為，這時候我是在，第一次已經拿出 10 元的情形下，再拿出 10 元。好，你現在閉上眼睛，不可以偷看喔！我現在從這 4 個硬幣中 拿出第一個硬幣，再拿出一個硬幣，現在，這兩個硬幣一個放在右手，

一個放在左手，你不可以偷看喔。你可不可以告訴我，我哪一隻手拿 出 10 元的機率會比較大？(這些話引起其他同學的好奇，覺得有趣笑 了起來)

S0112：(想了一下)不知道，我分不出有什麼差別，應該一樣大吧！

T：可是我拿的時候，有先後的差別喔！

S0112：可是，我看不出差別呀！

T：對。所以，當你不知道第一個人拿的是什麼的時候，那是不是就像你 不知道哪一隻手先拿的情況一樣，先拿後拿是一樣的？這個情況和剛 剛你看到，我第一次拿出 10 元的結果，再拿第二次的情況，有什麼 不同？

S0112：所以，如果知道第一次的結果，下一次的結果就會隨著前一次結 果改變；如果不知道前面的結果，先後就沒差？

S0134：可是，老師剛剛拿的時候明明就有先後的差別，只是 S0112 不知 道，如果她知道哪隻手先拿，哪隻手後拿應該有差吧？

T：好。假裝硬幣放在袋子中，我兩隻手都伸進袋子同時取硬幣，哪一隻 手取到10 元的機率大？

S0134：一樣大。

T：好。那現在，我兩隻手都伸進袋子取硬幣，可是，我有先有後，只是 兩手都拿了硬幣，再拿出來握在手上，哪一隻手取到10 元的機率大？

S0134：....(有些疑惑、猶豫的樣子)

T：這個情況和剛剛同時拿的情況有什麼差別？

S0134：….好像沒有差，可是好奇怪，而且我不知哪個先哪個後呀！

T：好。那現在，我兩隻手都伸進袋子取硬幣，可是我有先有後，只是兩 手都拿了硬幣，再拿出來握在手上(我邊說邊做動作，兩隻手握拳頭狀 舉起)，現在你看我的兩隻手，我告訴你右手先拿、左手再拿；和我告 訴你左手先拿、右手再拿，這兩種情況有沒有差別？

S0134：好像沒有？！

T：為什麼？

S0134：(猶豫一會兒)因為，兩隻手的情況都不知道。

T：對，這就是重點，因為，你不知道第一次拿的結果，所以，它什麼可

第四章 研究結果

第四章 研究結果

T：對。不過想想(E)和(G)的差別是什麼？不清楚的話把(G)的算式寫開 和(E)比較一下差別在哪裡？那(F)為什麼錯？還有剛剛的C₁²代表的意 義是什麼？

在上面這段對話中，S0108 的概念雖不很清楚，但是，她卻扮演著 很重要的角色，可以讓其他同學察覺，原本很有自信的地方可能是錯誤 的。所以，不管學生程度是高是低，學生間的互動，都可刺激彼此對問 題的思考，提升反思的品質。由於 S0112 將 Falk 問題與抽籤問題混淆，

也未了解其他同學的解釋，於是個人決定介入，利用實物模擬操作，引 導她去想像，而發現問題的關鍵，並連結數學式的意義。

2.教學的發現

從學生的討論問卷紀錄中，發現全班討論教學有以下的幾點成效。

(1) 引導同學與他人分享原始想法，可以再次檢視自己的思考並引動較 深層的反思

Fisher和Lipson(1985)指出，教學若想要學生放棄先前擁有的概念，

那麼，就需要營造一種氣氛，讓學生能自由地表達她們的想法。當與別 人討論時，她們就必須思考自己所堅持的概念、同儕的想法、以及如何 有效地為自己的想法辯護？這些過程提供學生更多刺激想像力的機會 (Bayer, 1990)。在全班討論教學裡，在傾聽或向他人解說的過程中，個人 發現，學生有以下三種收穫：

(i) 經由討論察覺並修正自己的錯誤

原本考試時，我是寫的式子是(E)，沒有想到(G)，所以看到(E)就打“○”，

看到(F)就被誤導，還好 S0108 的提醒，so 整個過程是

(全班討論,2,S0115) E: ○ → × → ○

F: ﹖→ ○ → × G: → × → ○

第四章 研究結果

常常因為，一開始沒有把題目完全看懂、釐清題目原意，就依著舊模式 執行，看到大家不同的想法，反而去思索題目的原意，有如倒吃甘蔗。

(全班討論,5,S0115) 直觀想法沒有用！(C)P1=

100 50 ．

99

50 是錯的，∵

100

50 的那張可能是中獎的那

張，也可能是沒中獎的那張，so 要乘C1²

。 (F) P¹= ₁₀₀

2 50 1 50 1 2 1

C C C C ⋅ ⋅

是錯的，

∵樣本空間沒排序，∴上面選擇中不中獎也不需排序。

(全班討論,2,S0119) 本來自己覺得理所當然的做法，跟同學討論之後就覺得自己錯了。

(全班討論,5,S0119) 跟同學討論之後，就發現自己思慮不周及盲點。 (全班討論,5,S0127)

(ii) 經由溝通釐清自己的想法

因為，找出別人的錯誤，再加強自己原先想法的合理性，所以，“印象深 刻”。 (全班討論,5,S0113) 討論時重述自己的想法，有助統整成有系統的東西，並發現其中錯誤的 地方。 (全班討論,5,S0126)

(iii) 經由交換重新建構新的想法

跟同學討論之後，現在知道可從不同角度解題。 (全班討論,5,S0107) 就題目討論時，常會漏掉某幾種情形或限制，後來，幾題合在一起比較 後，才發現...，還知道機率有 2 種算法。 (全班討論,5,S0105) 看到別人的想法，會突然被嚇得不知所措，但從不同數學式子解讀意義，

一個問題可以從頻率機率處理、可以從古典機率處理、甚至是其他的方 法。我想，一切改變的原因是，因為跟同學互相衝擊而更加地印象深刻。

(全班討論,5,S0130)

(2) 教室溝通及模擬想像，可以使學生發現概念間的矛盾，呈顯科學性 概念的價值

要改變學生原來不正確的概念，需要經歷一個複雜的過程，Posner 等人(1982)曾提出一個概念改變的模式(Conceptual Change Model)。它包

第四章 研究結果

含了四個條件(Conditions)：第一是，當學習者在學習過程中，對原有的 概 念 感 到 不 滿 意(Dissatisfied) ； 第 二 ， 新 概 念 應 是 可 以 理 解 的 (Intelligible)；第三，新概念應是合理的(Plausible)，而且可被學習者接受；

最後，新概念要能有效的(Fruitful)運用在相關之情境中。若能符合這些 條件，新概念相對的位階(Status)會提高，而學習者接受新概念的意願也 就自然升高，這才有機會放棄原有的錯誤概念。例如在全班討論中，學 生 S0108 和 S0112 在與他人的互動過程中，發現自己的答案不正確，因 而，懷疑自己的想法，但卻不知問題之所在。此時，教師的介入引導，

經過不斷地溝通及模擬一些動作，請同學一起來想像，而使大家能了解 她的想法的關鍵所在。教師則再連結數學式，說明正確的概念。這樣的 教學討論過程，使學生印象深刻，以下舉出數列說明。

改正自己長久以來的錯誤想法，一直一視同仁地對待每一個題目，忘了 仔細想，每個題目自己的假設。最重要的是：先抽和後抽(在不公布的情 況)機率一樣，這件事實在太令人震撼了！做到這種題目時，都會自然而 然想到老師的手。第二張中獎的機率是

2 1 99 50 100

50 99 49 100

50 ⋅ + ⋅ = ，即在不知道

每個人是否中獎時，每個人中獎的機率，然而

99 49 100

50 ⋅ 中的

99

49是第二張中 獎的機率，但此時已是第一張中獎的情況，所以，第一張不知道是否得 獎的假設便不成立！ (全班討論,5,S0112) 有改變。主要是對於抽獎的那種題目。聽老師講解過，印象非常深刻，

也知道自己錯在哪裡，以後再遇到類似的題目，會比較注意。

(全班討論,5,S0134) 我以為我寫的是對的，其實，我錯了！彩票和骰子不一樣，抽了一張後，

後面的會被影響。聽老師講解過後印象深刻，以後，再遇到類似的題目，

會比較注意。 (全班討論,5 ,S0123)

(3) 概念澄清活動，可使學生了解數學式的深層結構

經由溝通、討論，可以重新組織學生個人的觀點，使其對概念與數 學式間的連結，有更深一層的認識，例如：

之前只是很直接的用 Cmn，忽略了真正的意義，其實，對於每個算式背

第四章 研究結果

後的意義都應該去了解，就像買彩卷的那題一樣。

後的意義都應該去了解，就像買彩卷的那題一樣。