量的資料可用以確定焦點集中的區域；而質的資料則賦予那些焦點 區域實質的內涵和意義(吳芝儀和李奉儒譯，1995) 。以下，將從量的比 較(問卷填答分析)與質的觀察(晤談分析)這兩個觀點，來報導教學介入對 學生學習的影響。
(一) 教學前後學生的表現
後測問卷第二部分是，為檢驗在經教學後學生對 MoreA-MoreB 、 SameA-SameB、與複合事件等機率迷思概念的表現，以及檢視直觀教學 的初步成效。學生原始答題狀況及統計，請參閱附錄一之2(2)。
(1) More A-More B
題號 題目 各選項之選答百分率(選答人數) 答對率
(A)一樣 多
(B)選 4 人
*(C)選 7 人
(D)不知
道 選(B)但理由錯
1
從10 人中選出 4 人的可能情形，與從 10 人中選出 7 人的可能情形哪一種較
多？ 0.01
(1)
0.94 (113)
0.02 (2)
0.03 (4)
0.01 (1)
0.93 (112) 表 4-9：後測測問卷 More A-More B 學生答題情況對照表
由表 4-9 可看出這題的答對率非常高，幾乎沒有再出現此類型的迷
第四章 研究結果
思。在選(C)的 2 人中，只有 S0227 的理由是「選的人比較多，情況比較 複雜」，另ㄧ人是計算選出後、再排列的情形，可能是不清楚排列與組 合的區別或公式，但是，看不出這類迷思的傾向。而在前測第 1(1)題中，
也只有 S0227 呈現 More A-More B 的傾向。她告訴我，「從小就不喜歡數 學，背數學比背國文還困難，許多問題她不是用背的就是用猜的」，可以想見，
她的判斷非常容易受直觀迷思的影響。
在 Fischbein & Schnarch(1997)機率直觀迷思與年齡發展的研究中，
也曾探討類似的問題，結果各年級的答題狀況，如下表：
問題 年級
5 7 9 11 CS
從10 人中選出 2 人成立委員會的可 能情形
小於(錯誤)
20% 5% 10% 0% 22%
等於
(
正確答案) 0% 5% 5% 15% 6%
大於(主要迷思)
10% 20% 65% 85% 72%
從10 人中選出 8 人成立委員會的可 能情形
其他答案 15% 30% 15% 0% 0%
沒有答案 55% 40% 5% 0% 0%
這顯示出，年紀愈小的學生愈有 More A-More B 迷思的傾向，但這並非 此問題的主要迷思。多數人認為，從 10 人中選出 2 人成立委員會的可能 情形較多，且此迷思概念隨年齡增加遞增，原因是，年紀越大越能列出 組合數，可是，對大多數人來說，在記憶中選取 2 人之情況比選取 8 人 之情況容易，所以，會覺得選出 2 人比選出 8 人的可能性還多。
這與個人設計的問題有些差異，由於這個問題的數學概念是簡單 的，而組合數的計算，對大部分的本校學生來說比較容易，但是，國外 的研究卻顯示「人數愈少，可選取的情況愈多」的直觀想法很強烈，所 以，個人想知道：如果這成為正確答案的選項，那麼在教學之後，學生
第四章 研究結果
第四章 研究結果
第四章 研究結果
第四章 研究結果
第四章 研究結果
出現More A-More B，例如：
S0116 連贏兩場才有獎，且贏強者機率較低。
S0137 贏弱者比較容易，我知道我錯了，可是錯在哪？
S0326 要多和弱者打，贏的機會較大。
還有些學生，似乎同時出現這兩種直觀的想法，如 S0239 的理由是「好 怪….，好像一樣，但(C)遇見弱者較多，比較合理」；而S0114 的理由是「因為，
在賽程一連贏兩場的話，其中必定要面臨一位贏的勝算較低的強者⇒得獎機率低。
但是，現在又覺得既然要連贏兩場，一樣都要碰到強弱、弱強，所以，機率相等」。
由學生的上述表現可以看出，在不熟悉的情境下，她們傾向使用直 觀解決問題。其實，許多選擇錯誤的學生也有列出機率的計算式或畫樹 狀圖，只是，都是因為考慮不完備(尤其選(C)者有許多是畫出不完備的樹 狀圖)或因直觀誤導(例如 Same A-Same B 者，只考慮贏前兩場或後兩場 的情形，P(賽程一)= 2(0.8)(0.1) = P(賽程二)；而 More A-More B 者的計 算式為P(賽程一)= (0.1)(0.8)(0.1)<P(賽程二)=(0.8)(0.1)(0.8))。在經過這個 階段的教學後，學生雖然知道應該要檢驗自己的直觀，但是，可能仍受 制於科學性知識的不足，例如 S0137 在教學回饋意見問卷第 1 題中寫著
「死性難改吧！考試時的氣氛容易讓人以直觀為重，我也知道該用科學方法去檢驗 直觀，但有點辦不到」。
(二) 介紹直觀法則對學生的影響
後測問卷中，猜測別人的想法部分，學生答題狀況的統計表，如下 表 4-12(學生原始答題狀況及統計請參閱附錄一之 2(3))。由表 4-12 的兩 題表現可以看出，四分之三以上的學生均已暸解直觀法則，而且，有幾 位學生表示「不會有人再選擇直觀錯誤的答案了」。例如，在2 題選項(A) 機率相等旁邊，學生S0221 寫著「在上過課後，大家應該不會再選這個答案了
第四章 研究結果
吧！」，而 S0309 則表示「老師教過直觀法則了，應該不會有人選」。另外，從 前節有關後測第二部分結果的討論中，亦可看出，學生在知道直觀法則 之後，已經知道要用計算或其他方式，再次檢驗自己的答案，以防直觀 法則的影響。
題目 答案
直觀法則 正確 直觀錯誤 非直觀錯誤 總計 失敗 成功 機率相等
說出直觀法則
0.58(69) 0.26(31) 0 0.83(100)
無法看出直觀法則
0.14(16) 0.03(3) 0.01(1) 0.17(20)
後測 0.71(85) 0.28(34) 0.01(1)1.新設立的公司想要成功，
必須在6 個分別獨立的過程 都成功，而每個過程成功的 機率皆為0.8。請問公司成功 的機率與失敗的機率何者較
大？ 答題情
形比較 前測 0.58(69) 0.39(47) 0.03(4) P1 機率相等 P2
說出直觀法則
0.44(53) 0.15(18) 0.16(19) 0.75(90)
無法看出直觀法則
0.09(11) 0.08(9) 0.08(10) 0.25(30)
後測 0.53(64) 0.23(27) 0.24(29)2. 假設 P1 表丟 1 個公正硬 幣3 次中，至少出現 2 個正 面的機率P2 表丟 1 個公正硬 幣300 次中，至少出現 200 個正面的機率請問：P1 與 P2 何者較大？
答題情
形比較 前測 0.26(31) 0.45(54) 0.29(35) 表 4-12：後測問卷第一部分學生答題情況對照表
在前後測答題情形的比較方面，可以看到即使未經檢討，學生直觀 錯誤迷思的比例已降低許多，而第 1 題的答對率也有所提昇(58% → 71%)。從學生的理由中發現，原來錯誤的學生都已暸解且改正，發現自 己原來的疏忽，明白“成功”必須是在每個階段皆成功。不過要特別說明 的是，第 2 題的答對率看似提昇許多(29% → 53%)，這其中其實有不少 學的理由是不正確的，甚至，有些人的理由是「丟的次數多，出現正面 的機會多」。這又是More A-More B，可見，當學生的科學知識不完全時，
她們雖然知道“不要受直觀法則的影響”，但是，卻又不小心掉入另一個 直觀的陷阱之中。
第四章 研究結果
由前面的討論可以看出，大部分學生確實知道並察覺自己可能使用 的直觀法則。以下摘錄一則些訪談中的對話，說明介紹直觀法則的影響，
完整訪談逐字稿請參閱附錄二之(1)：
T:那 17 為什麼妳原來選機率相等？為什麼現在會改變答案？
S0117:因為，老師上次有教到一題(張太太想要兩個孩子，王太太想要四 個孩子，假設他們都能如願，請問：張太太的孩子是一男一女的機率 與王太太的孩子是二男二女的機率，何者較大？)，因為，老師上課說
“比例相同就機率相同” 這件事不一定是對，數量變多機率就改變了，
所以，我想機率應該會改變。
T:是因為我上課說“比例相同就機率相同” 這件事不一定是對的，所以，
妳現在覺得比例相同機率不一定相同？
S0117:對。而且，因為算出 P1= 2
1，而 P2感覺比 2
1小，因為，300 次中 要有200 次正面的感覺很難。
T:所以，妳會改變答案是因為上課的影響？
S0117:對。 (訪談一，31-36)
T:所以，妳覺得這跟我上課有關？
S0128:有(肯定的回答)。因為，老師有提到一題，我記得後面的答案是 8 3，
是那種一開始都會覺得兩個答案都是 2
1的題目，老師上課講完，結果
後面的答案是 8
3。所以，這題就用同樣的方式去想，所以，不會相等。
(訪談一，41-42)
T:那妳現在改變答案的原因是什麼？
S0126:可能因為，老師上課談到直觀法則吧！我不記得了，我覺得(A) 不可能呀！ (訪談一，96-97)
T:看妳考卷(後測)上寫的，你原先的想法是用類推的，所以會變小？
S0133:對。老師你上課也是有讓我們看數量一直變化的情況，也有用類 推的方式。就是3 次中至少出現 2 個，然後變成 6 次中至少出現 4 個，
結果就變小，所以，感覺上它會變小，就是，取一個類似的情況來比
第四章 研究結果
較….。
T: 妳記不記得原來寫什麼？
S0133:原來寫機率相等吧！ (不確定的聲音) T:為什麼覺得原來妳寫機率相等？
S0133:感覺上那個比例是一樣的。
T:那你現在為什麼改變答案？
S0133:因為，上課講過。
T:講過什麼？
S0133:就是類推的那個，類推的方法。
T:為什麼修正比例關係？
S0133: 因為，老師強調過了…..(指直觀法則)。 (訪談一，110-121)
由以上的對話可看出學生能夠回想起類推的方法，雖然，她們知道 Same A-Same B 的直觀迷思，可是，由於科學性概念尚不完全，甚至開 玩笑地說是，猜測老師的心理作答(訪談一，124-131)。所以，讓學生有 察覺與反思的能力，並嘗試提昇其科學性概念認知的能力，是個人應該 再努力的方向。
(三) 引導學生察覺反思的效果
除了運用直觀法則，讓學生透過猜測同學的想法而提升察覺反思的 知能，也呈現出部分的效果，例如，個人與 S0128 的對話片段：
T:你們猜別人的想法，對自己做題目時的理解有沒有幫助？(停頓一會兒) 猜別人的想法是一件很困難的事(28 回答對)，但是，對你們來說，之 後有沒有幫助？
S0128:應該有吧！比如說，我比較支持 C，可是別人為何會支持 A 或 B？
就會努力想找出A 或 B 的錯，然後，如果找到 A 或 B 的錯，就會比 較確定自己的答案。
S0129:可是找不出錯呢？怎麼辦？
S0128:那我不知道，假設原本是對的，就可以更確定自己的答案；或者 想一想沒有錯，那會不會是一開始自己選的那個是錯的？
第四章 研究結果
T:所以就可以再一次反省自己是對的還是錯的？
S0128:就可以再一次檢查，一開始直覺的那個答案是不是錯的
(訪談一，147-152)
但是，有些學生會覺得更混淆，例如S0129：
S0129:我覺得，它會讓我混淆。 (訪談一，162) S0129:想著想著，就會覺得ㄟ，這個答案好像也對？想一想會覺得每一
個都好像很有道理，就會覺得，那我開始是不是選錯了呀！
(訪談一，187)
有些學生覺得，它的幫助與混淆兼有之，例如S0126、S0117、和 S0133：
S0126:本來自己是對的就有幫助；但是，本來若是錯的，還要去想其他 人的想法，就會更混淆。 (訪談一，166) S0117:就因為要寫出，有沒有人選 A 就會從兩方面來想，每個答案重新
看一次，幫助、混淆都有耶！ (訪談一，154) S0133:我覺得，思考的過程是幫助比較多，但是，一段時間之後就會混
淆。因為，各種說法都會很深刻，就會不知道到底那一種說法是正確 的。我覺得最好的方法是，在思考之後，老師馬上澄清，告訴我們那 一個是正確的。因為，思考過程中會很深刻，但是，很久之後可能會
淆。因為，各種說法都會很深刻，就會不知道到底那一種說法是正確 的。我覺得最好的方法是，在思考之後，老師馬上澄清，告訴我們那 一個是正確的。因為，思考過程中會很深刻，但是，很久之後可能會