會從不同觀點看問題並修正自己的原生直觀

通常直觀對我來說，是對很多問題下手的第一步，當然，有的時候也不 免被錯誤領導，但如果嘗試以不同觀點看問題而發生矛盾，同樣也會促 使我修正直觀，而慢慢地試著把對它的修正，也變為一種直覺反應。

(教學回饋,1, S0130) 看到大部分學生的正面肯定，是一種支持也是一種期許。經過這兩 階段研究的努力，個人更深刻地感受到，大部分 01 班學生應該處於如 S0102「現在邏輯比較清楚，且知道直觀法則之後比較不會受直觀影響」的狀態。

在去年(93)學測中，曾有ㄧ题與機率無關，但卻很容易受題目外型影響而 出現直觀迷思的問題，如下：

台灣證劵交易市場規定，股票成交價格只能在前一個交易日的收盤價(即 最後一筆的成交價)的漲、跌 7%範圍內變動。例如：某支股票前一個交 易日的收盤價是每股100 元，則今天該支股票每股的買賣價格必須在 93 元至107 元之間。假設，有某支股票的價格起伏很大，某一天的收盤價 是每股 40 元，次日起連續五個交易日以跌停板收盤(也就是每天跌 7%)，緊接著，卻連續五個交易日以漲停板收盤(也就是每天漲 7%)。請 問：經過這十個交易日後，該支股票每股的收盤價最接近下列哪一個選 項中的價格？(1)39 元 (2) 39.5 元 (3) 40 元 (4) 40.5 元 (5) 41 元。

第四章 研究結果

很多學生一眼就看出這是 Same A-Same B 的問題，她們興奮的表 示，現在已不會只看到“漲 7 次、跌 7 次”就認為一定是“不賺不賠” 。 個人猜想，這也是因為她們知道了、體會到了直觀法則的意義，使得心 中總有個聲音時時在提醒著她們吧！

在這些肯定直觀法則教學的學生中，最令人感動的是 S0130 的回 應 ， 她 所 指 出 的 「 修 正 直 觀 」， 正 是 Fischbein 所 說 的 二 階 直 觀 。 Fischbein(1971)認為，如果能將一詮釋從一個學習過的概念轉換成一種信 仰，則此信仰就是二階直觀。Resnick(1999)也認為，直觀是可以學習的，

直觀是可以從最初的直觀，經由形式的教育而進化到二次的直觀；

Hahn(1956，引自 Fischbein，1987)也主張，直觀可以被改變，經由適當 的教學，可以形成更高階的直覺（即二階直觀）。培養學生的數學感，

使其一階直觀能躍升至二階直觀 是個人一直努力的數學教學目標，而 S0130「慢慢地試著，把對它的修正也變為一種直覺反應」，即說出了個人對學 生和自己教學的期望。

(六) 直觀對學生學習的影響

從量化上的結果來看，學生從前測到第二階段教學後的評量測驗，

直觀的迷思錯誤比例顯然降低了許多；學生在知道直觀法則後，也知道 不要憑直覺草率作答，需要進一步判斷和驗證自己的直覺；在經過與同 學討論、比較別人和自己的想法之後，許多學生肯定這樣猜測、判斷、

和討論過程的價值。但是，經過這些努力，我仍不時發現，直觀仍然時 時地影響著學生的數學概念學習。例如，在評量測驗中，S0105 的反應，

說明了原始直觀與科學概念間的不一致，而她仍是在掙扎之中；在焦點 小組晤談中，S0137 雖已知道 More A-More B 的迷思，卻又因科學知識 的不足而出現此類直觀迷思，它就像鬼魅如影隨形地跟著你，正如她所

第四章 研究結果

說「死性難改吧！考試時的氣氛容易讓人以直觀為重，我也知道該用科學方法去檢

驗直觀，但是，有點辦不到」，這就是直觀的立即性對學生學習機率概念的

影響；在訪談三中，S0132 雖然知道直觀的迷思，但就是「忍不住覺得…」， 這就是直觀的強制性。另外，雖然也有不少學生肯定全班及小組討論的 價值，卻承認，仍然無法完全改變，例如她們表示：

有再次檢查自己思考的作用，也比較能認識到自己有哪些地方的觀念是 比較不清楚的，但時間一長，還是有可能忘掉。 (教學回饋,2, S0128) 會努力動腦思考，印象較深刻，比較不容易忘記；不過，有時候錯的東 西會一直跟著我。 (教學回饋,2, S0119)

這些都說明了，學生的機率直觀概念改變過程是相當不穩定的，而 且，很可能是依情境而定的。她們會在直觀迷思與科學概念之間搖擺，

在某一個情境之下理解科學概念，但是，她們可能在另一個情境之下，

又會回復到原生直觀。這就是直觀的頑固性(Perseverance)。學校數學教 學提供學生概念性和程序性的知識，但是，對學生原生直觀的影響都相 當有限，而且經常是，直觀與概念在生活中並存；而直觀的強制性 (Coerciveness)，使學生的原生直觀不但不容易被改變，更進而影響到她 們的數學概念學習。直觀的強制性本質若造成不當的內在表徵，個體會 不情願接受已被證明的有效表徵，難怪，它讓學生感覺到「錯的東西會 一直跟著我」！

四、螺旋期教學的省思

在這個階段的研究過程中，個人發現，引發學生直觀衝突之後，一 定要立即給予正確的回饋，否則，只會造成她們更多的混淆。另外，有 部分學生認為，現在寫的正確答案是非常直觀，已經不記得自己以前所 寫的錯誤答案(直觀迷思)。這讓個人慢慢體會出，由一階的直觀提升到二 階直觀的感覺；在直觀脫漏空白處，或不適當的原始(一階)直觀，必須由

第四章 研究結果

二階直觀取代(Fischbein, Ileana Barbat, & Minzat, 1971)。更令人感動的 是，不只是個人能體會到這些學理構念的意義，我的學生也能感受得到，

例如 S0129 對著其他同學說：

我覺得排列組合和機率就該建立在“直觀”的基礎上，再經由很多的試 驗，去補足直觀造成我們的錯覺和平常思考容易漏掉的地方。

(全班討論,5, S0129) Fischbein 等人(1971)也提到，二階直觀不能只是淪於一公認的或機 械化的準則或公式，它必須轉換成信念，甚至是不証自明的觀點。因此，

個人時時提醒自己：要去發現學生已有的直觀想法，設計相應的教學活 動，來豐富學生的原生知識，不要讓學生的學習淪為慣性(雖然，精熟練 習也是必須的)。這些做法和想法，不只是為了建立一適當的直觀基礎(二 階直觀)，而且是為了能夠確保連接學生之前已經存在的一階直觀(原生直 觀)與伴隨的計算技能；而二階直觀不能只是被縮減成為“洞察(Insight)”，

它仍需要經過長時間的訓練，以建立心靈習慣(Mental Habits)(Fischbeinet al., 1971)。所以，更要讓學生學著能反思，去再次檢驗，進行自我思考，

如此，她們才能產生有意義的數學學習。這次的研究經驗顯示，學生的 潛力無窮，教師若能培養和引動有效的後設認知能力，她們的表現會更 令人感動。