透過模擬想像，連接一階直觀，有助學生暸解數學式子的深層結構

Furio, Azcona, Guisasola, 和 Ratcliffe(2000)認為，當我們考慮學生的 概念改變時，教學通常只針對學生的描述性知識(知道什麼)，而忽略了程 序性知識(知道如何和為什麼)。而程序性知識的一個主要特徵，即是難以 改變，猶如人生的壞習慣是很難改變的，並且，由於經驗與重覆地使用，

先前概念變成了自動化的結果，並且，到達無法察覺的層次。所以，許 多研究者認為，學生的迷思概念難以改變，即是因為教師忽視程序性知 識的關係(Hashweh，1986)。個人在晤談討論中，模擬問題的情境做出動 作，並請學生加以想像。這樣的直觀操作過程，應該比較能夠使學生知 其然，再藉助動作連結學生的原生直觀，讓學生實際暸解數學式的意義，

使學生知其所以然。為了強化此一想法，個人在晤談中不斷做出動作，

而學生對此的反應也非常肯定。例如：

機率的題目大同小異，在做的同時加上動作的想像，也會比較有幫助。

(概念反應,2, S0101) 我喜歡老師用實物來作例子，因為，那樣最淺顯易懂而且有個影像在腦 海中，就比較不容易忘。下次再碰到同樣的題目時，就很容易能夠照例 推演，寫題目時也比較有信心。 (概念反應,2, S0108)

寫機率就當作自己實際的動作，大概模擬一下，這樣就比較不會出錯了。

(概念反應,2, S0116) 要看知不知道資訊，才能判斷機率大小，可以用現場表演一下，馬上就 知道這種題目的意思。 (概念反應,1, S0137)

2. 觀察數學結構，更進一步暸解問題的意義，有助於澄清學生的概念 迷思

學生在面對數學問題時，常會求助於公式，如此，將使概念缺乏真 正的瞭解。因此，為了讓學生能夠真正瞭解科學性的概念，教師應增加 學生對於質性的瞭解(劉俊庚，2002)。在晤談討論中，我們先討論前幾次

第四章 研究結果

所做的問卷，並比較同一結構問題的答案；請學生就每個問題，說出他 們的看法，確認經幾天前在課堂上討論的結果；再引導學生，看見數學 中更深一層的結構。在討論中，發現學生很容易受問題情境的影響，個 人則引導她們觀察，除了情境以外的部份，例如，以下晤談討論的對話：

T:來你看喔，你第一次忘了，第二次記得改回來，第三次又忘了。然後 S0108 你呢？

S0108: 我也是忘了，沒有排序。

S0137：他講這樣比較容易忘記。

S0116：這個題目(延後測第 5 題)給人的感覺，就好想這樣直接下去。

T: 可是，上次那個題目奇數、偶數，不是也讓人感覺直接就下去了嗎？

S0106:因為，那個感覺比較熟悉，比較常遇到那種問題。

T:喔，因為，那個比較常看到，這比較不熟悉，因為，我換了東西？(學 生一起笑了起來)

S0137: 對呀，就感覺他比較難。

(學生七嘴八舌描述自己的感覺)

T:想想看，這和之前的問題是不是只有“東西”不同，其他是一樣的？

(晤討,9-18) 經過這樣的引導之後，在學生的概念反應問卷中，看到他們依暸解 所整理出來的討論內容都是非常有結構的，S0106 與 S0113 就將問題分 成三大類，而S0106 更將三大類再各自區分成兩小項如下：

上次討論過後，我覺得大致可分：

第一類可以再分成兩種情況

(i)不影響後面機率的情況：如擲骰子，每一次投擲為獨立事件，不會影 響下一次投擲情況。

(ii)會影響後面機率的情況：如抽獎，前一人抽了第一張後，後一人中獎 的機率會受張數的影響。

第二類可以再分成兩種情況

(i)需要排列順序的情況：如取 a 個中有 b 個不良品，要把所有情況排列 出來。

(ii)不排列順序的情況：題目已明確指出要我們算的情況，如依序為女男

第四章 研究結果

女。

第三類可以再分成兩種情況

(i)已知某一條件的機率：如一個箱子放 10 顆球，紅 3 顆、白 7 顆，已知 取出不放回且第三次取出的是白球，則可推測之前或之後取紅球和白球 機率之大小。

(ii)未知、什麼情況一概不知：如抽紅球、白球，在未知第一人抽到什麼 球時，大家抽到紅球、白球之機率是相同的。

(概念反應,1, S0106)

以上第一類即是，區分二項分布與超幾何分布；第二類即是，區別複合 事件與單一事件，是在等機率迷思中常強調的問題；第三類即是，再細 分因果關係。這與晤談討論的內容完全一致。但是，S0106 的整理方式 是描述性的(知道什麼)，而非程序性的(知道如何和為什麼)，也看不出她 是否完全理解或者只是記憶這些事實？但是，S0113 的整理，就比較偏 向程序性知識，例如，她談到“排序”問題：

要排順序或不排順序應該還是要視題目作判斷，看是否“同樣的動作做了 很多遍”，如果，可以把一次的情況變成很多種不同順序的情況，而且皆 符合問題的要求，那肯定是要排列了。 (概念反應,1, S0113)

而 S0101、S0116 與 S0137 則是利用問卷中的題型分類，亦與 S0106 和 S0113 所談的三大類問題相同，但是，S0101 與 S0116 的整理傾向描 述性知識，而 S0137 有部份的程序性描述，例如：

(○○××)要先寫

2!2!

4! (排列的可能)再算機率，我都會畫個圖提醒自己，要把 可能的排列方式算進來，這個方法很好用。 (概念反應,1, S0137)

S0108 則用一個問題的條件改變，來分辨不同狀況下的差異，著重 在獨立、不獨立與條件機率的概念，只涵蓋 S0106 分類中的兩類，不包 含等機率迷思。在她們的整理中，似乎非常強調解決機率問題最基本的 樹狀圖，例如：

第四章 研究結果

我們常會忽略排序的動作，面對問題時，樹狀圖是很好的方法。

(概念反應,1, S0101) 畫樹狀圖可以幫助了解。 (概念反應,2, S0116) 會畫樹狀圖真不賴。 (概念反應,1, S0137)

由以上描述看來，在晤談討論中的教師引導下，學生大致可將問題 分類並暸解問題所在。雖然，還無法真正確定，學生概念理解改變的狀 況，但是，從學生討論及心得中，也可看出她們對自己提出的概念和想 法有更多信心了。例如：

經過討論有比較了解，接下來的那幾次機率考試，對於自己寫的答案也

感到比較有把握，一旦對題目的形式熟悉了，寫起來也可以更順手。

(概念反應,1, S0101) 現在還算清楚了，至少比以前硬記好，現在看見題目就會先分類、想清

楚，不過我覺得，有時會因看不清題意而對題目的了解有所誤差。

(概念反應,1, S0106) 經過討論後再看到題目，就可以很快地分辨出，那是屬於哪一類的問題，

做答變的很快又很有信心。 (概念反應,1, S0108) 清楚多了，至少知道寫出來的符號都要有意義，在寫前後算式的時候，

也要考慮有沒有矛盾的地方，要讓寫出來的東西是合理的。

(概念反應,1, S0116) 我覺得一種題目往往要仔細地想很多，自己以為對的(直覺)卻是錯的，

所以，我覺得用畫圖的方式，先把題目弄清楚很重要！不可以一直愚昧 的用C 啊、H 啊，可是卻不懂它代表的意思。

(概念反應,2, S0137)

3.

D.Brown (1989)主張，小組之間的成員會提供每位學習者支持與衝 突，而小組之間的支持與衝突，被認為是概念改變學習的重要因素之一。

當學生瞭解到她們自己的結果，與其他同學的結果有不相同之處，她們 就會討論其他人的結果，於是，引起內在的概念衝突、不確定或是不平 衡。在學生感到不確定的時候，如此將會使得她們去尋找更多的訊息、

新的經驗、更恰當的認知觀點與推理過程，而去解決這個不確定性。學

第四章 研究結果

生藉著瞭解認知的觀點與推理的過程，她們即會得到一個更為合適的認 知觀點，讓先前不明確的想法能夠更為明確，並且，能夠一再地反思與 檢驗。個案學生也都相當肯定這種小組互動的體驗，例如：

終於為那些試卷上混淆我的式子提出了解釋，這有助於釐清觀念。像 S0137 寫錯的那題，在解釋給她聽的時候，也讓自己的想法更清晰，重 新了解一遍，就是一種突然豁然開朗的感覺。 (概念反應,2, S0113) 透過討論可以知道自己的盲點，也可以藉由幫助不懂的同學，來更加釐 清觀念或讓別人找到自己說法有缺陷之處。 (概念反應,2, S0137)

從學生反應中，個人再次體驗到“數學概念是無法直接傳遞＂

(Skemp, 1989)的意義，它需要不斷地溝通。在第一階段教學時，為澄清 因果關係中的 Falk 問題，個人曾運用極端化的策略，將袋中的球改為只 有 2 個，一黑一白；若已知，第二次取出的是白球，則第一次取出的球 必是黑球，希望，藉此，讓學生與其原來的想法產生衝突。雖然，在延 後測的表現，不如個人所預期，但是，在焦點小組晤談教學之後，S0113 卻表示：

我覺得改變最多的是，“後來的條件會影響判斷”的部份。上一次的討論，

很久以前老師也有解釋過(註：她指的是第一階段的教學)，當時應該沒 有弄得很清楚，結果這次就又很鐵齒的寫錯了。經過這次的討論，應該 清楚了不少。再說一次，….只有兩個球的那個例子，十分容易了解。

(概念反應,1, S0113) 正如 Tao 和 Gunstone(1999)所說，概念衝突並不總是產生概念改 變。衝突要能產生改變，是需要進行更深層的反思，並且，重新建構自 己的原生概念，因此，充分溝通的過程是非常重要的。

對於學生分不清楚，二項分布與超幾何分布的情形，以及因果關係 的混淆，個人覺得這是因為條件機率之故，所以，在晤談的最後，留了 一個有關條件機率問題的作業，如下：

一位小姐有二隻鸚鵡，一天家裡來了一位客人。

第四章 研究結果

客人問：“有一隻鸚鵡是公的嗎？”

小姐答：“對，有一隻鸚鵡是公的”

客人說：“這二隻鸚鵡都是公的機率應該是 3 1” 客人又問：“綠色的那隻鸚鵡是公的嗎？”

小姐答：“對”

客人說：“現在這二隻鸚鵡都是公的機率提高為 2 1”

---你覺得客人說的對嗎？為什麼一提到綠鸚鵡是不是公的就改變了機 率呢？ (以下簡稱為鸚鵡題)

發現有了這個例子，使學生對之前的討論有更深的體會，她們雖然 不知道，什麼是條件機率，但是，由這個例子中，她們可以暸解條件機 率的意義。我們會因資訊的不同、多寡，而對一事件發生的可能性有不 同的判斷。個案學生的反應是：

我覺得老師出的那個“鸚鵡是紅綠、男女”的題目，可以讓我的概念變得

我覺得老師出的那個“鸚鵡是紅綠、男女”的題目，可以讓我的概念變得