3 美國死亡率的共同因子分析
3.3.5 共同因子個數的決定
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以下；直到最近的期間，在 G1 與 G2 的情形下，其相關係數才高達 0.97。不過 有趣的是，第 3 個因子在不同期間內的相關性特徵，似乎類似於 Yang et al. (2010) 第 2 個因子的年齡轉換特性。在 1933-1957 期間內，第 3 個因子在 G2 與 G3 群 組間的相關性最高；在 1958-1982 期間內，在 G1 與 G3 間的相關性最高；到了 1983-2007 期間，則轉換至 G1 與 G2 間的相關性最高。不過，明顯地，第 3 個因 子可能為組間因子，而非共同因子，其影響範圍只在兩個年齡群組。第 4 與第 5 因子的重要性已明顯降低非常多。第 4 個因子惟有在 1983-2007 期間內，G1 與 G2 的情形下相關性較高，約為 0.7；而第 5 個因子的相關係數則皆不高。
基於上述的典型相關性分析，我們初步認為所有年齡變數的死亡率應存在 1 個或 2 個共同因子。
表 3-3 因子的相關性
1933-1957 1958-1982 1983-2007
G1-G2 G2-G3 G1-G3 G1-G2 G2-G3 G1-G3 G1-G2 G2-G3 G1-G3
典型相關係數
1st 因子 0.999 0.998 0.993 0.997 0.998 0.999 0.997 1.000 0.998 2nd 因子 0.919 0.850 0.799 0.986 0.809 0.914 0.991 0.956 0.966 3rd 因子 0.583 0.757 0.566 0.664 0.457 0.702 0.969 0.666 0.567 4th 因子 0.463 0.474 0.252 0.313 0.239 0.490 0.694 0.415 0.488 5th 因子 0.399 0.014 0.112 0.074 0.078 0.034 0.071 0.204 0.081
P ˆ
的特徵值 [2.989, 2.602, 2.108, 1.85, 1.58, 1.178, 0.933, 0.769][2.995, 2.664, 2.274, 1.689, 1.292, 1.104, 0.967, 0.757]
[2.995, 2.92, 2.37, 2.126, 1.233, 1.218, 0.814, 0.564]
3.3.5 共同因子個數的決定
我們接著從
P ˆ
的特徵值以較嚴謹的方式來判斷共同因子個數。依據 2.2 節的 MGFA 執行步驟，在假設各年齡群組皆有 5 個因子(K
1=K
2 =K
3 =5)之下，我們‧ 國
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利用每一群組的前 5 個特徵向量(JˆKgg)計算出該群組的特徵投影(Pˆ )，並進一步g 求得總和特徵投影(
P ˆ
)。由於P ˆ
的特徵值等於 3(在母體下)就代表共同因子的存 在，因此我們可從P ˆ
的特徵值是否接近 3 來判斷共同因子的個數(K )。
c我們將所估得的 Pˆ 的特徵值結果置於表 3-3 的最後一列。由表中可看出，在 1933-1957 與 1958-1982 的期間內，明顯存在 1 個共同因子，而在 1983-2007 期 間則存在 2 個共同因子。不過，若將特徵值的限制放寬至大於 2.5 的話，1933-1957 與 1958-1982 期間則同樣存在 2 個共同因子。
3.4 結論
由於目前各種死亡率模型所考慮的因子個數並未一致，引發我們以較嚴謹的 統計方法找出最適的死亡率共同因子個數。不同於以往的因素分析，本文運用多 群組因素分析可以有效地辯識出真正的共同因子，不會誤認組內獨特因子為共同 因子，這彌補了以往因素分析的缺失。研究結果顯示，美國總人口的死亡率應存 在 2 個共同因子；其中，第 2 個共同因子的重要性隨著時間愈來愈明顯。
在未來的研究裡，我們將會對 MGFA 所找到的 2 個共同因子與常見的死亡 率模型因子進行比較，以瞭解 MGFA 共同因子是否有捕捉到死亡率模型的因子 特性。另外，我們亦會深入探討這兩個共同因子的經濟意義，分析他們與一些總 體經濟因素的相關性，如 GDP、失業率、醫療水準等等。
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