多群組因素分析的執行步驟

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為不同的產業或部門等等。如此一來，有可能的是，某些因子的影響範圍只侷限 在次體系，是次體系特有的因子，但並不會影響整個經濟體系。因此，考量組內 獨特因子的存在應是更貼近實務的作法。

MGFA 主要是以 APCA 為基礎並進一步考慮資料變數的分群結構，因此可 以說是 APCA 的一般化。另外，由於在估計過程中也可引進 HFA，因此 MGFA 也可說是 HFA 的一般化。

MGFA 假設上節的(3.1)式與

E

(ε =) 0、

E

(FF′)=I_K、

E

(Fε′)=0三項假設仍 成立。另外，假設整個體系可以被劃分為有限的

G

個群組，每一群組都包含

( )

g

g

N G

N = +

γ 個變數，其中 0

1 =

∑

= G

g γg ，且每一群組的資料變數個數須大於樣 本觀察點，

N

_g > 。

T

由於(3.1)式模型中的 K 個因子可能還包含組內獨特因子在內，因此我們假設 影響第

g

群組的因子個數為

K ，且

_g

K

_g ≤ ，而假設

K K 為影響所有變數的共同因

_c 子個數。MGFA 假設每一群組的資料產生過程(data generating process, DGP)為

K g g g

g μ LF g ε

X − = + (3.2)

其中，X 是第^g

g

群組

( N

_g

× T )

的資料變數矩陣，其期望值為μ ；^g

^F

^Kg是

( K

_g

× T )

的影響第

g

群組的因子，當中包含影響所有變數的共同因子以及第

g

群組變數的 組內獨特因子；L 是^g

( N

_g

× K

_g

)

的因子負荷量矩陣(matrix of factor loadings)；

_ε

_g是 第

g

群組的

( N

_g

× T )

獨特因子矩陣，由每一個變數的獨特因子所組成。另外，模 型假包括

E

(ε^gε′ )^g =V^g、 _→∞

( )

^{g <∞}

Nlimmax

eigen V

、 _→∞

(

^{g ′g}

)

^=∞

Nlimmin

eigen

L L 。

3.2.3 多群組因素分析的執行步驟

在多群組因素分析的模型說明之後，本節詳細說明其執行步驟如下：首先，

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針對每一群組，執行 Connor and Korajczyk (1988)的 APCA 或是 Jones (2001)的 HFA。從每一群組的

( T × T )

cross product 矩陣Ω ，抽取出前_g

K 個特徵值與特徵

g

向 量 (eigenvectors) Jˆ^K_g^g ， 並 利 用Jˆ^K_g^g 計 算 該 群 組 的 特 徵 投 影 (eigenprojection)

g

g K

g K g

g J J

Pˆ = ˆ ˆ′ 。

其次，計算所有群組的總和特徵投影 =

∑

^G= g 1 g

ˆ

ˆ P

P 。

P ˆ

的前 K 個特徵值與特 徵向量是代表同時包含共同因子與組內獨特因子的部分，而前

K 個特徵值與特

_c 徵向量則代表共同因子的部分。

在上述的執行步過程中，因子個數的決定是另一項重點。 K 與

K 的決定，

_g 可利用 Bai and Ng (2002)的準則來判定。另外，根據 Goyal et al.(2008)的作法，

可將

K 設定為

_c

P ˆ

之特徵值數值等於

G

的個數。譬如，若

G = 3

，那麼

K 即為

_c

P ˆ

的 特徵值等於 3 的個數。

3.3 實證結果

3.3.1 資料說明與分析

本文所使用的實證資料為美國總人口的中央死亡率(central death rate)，來源 為美國柏克萊大學的人類死亡統計資料庫(Human Mortality Database, HMD)，資 料期間為 1933 年至 2007 年，年齡層涵蓋 0 歲至 110 歲以上(

N = 111

)，並採用 以 1 歲為一組的年齡組別表示方式。

我們分析以 10 為底的死亡率對數型態。圖 3-1 顯示的是 1933 年、1947 年、

1962 年、1977 年、1992 年、2007 年美國總人口不同年齡別的死亡率。從圖可知，

不同年齡別的死亡率特性不盡相同。65 歲以上老年人口的死亡率明顯高於 65 歲 以下人口的死亡率，但是 0 歲的死亡率則較接近於 65 歲左右的死亡率。自 0 歲

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開始，死亡率曲線為遞減，但約莫於 10 歲左右達到低點。15 至 19 歲的死亡率 急劇地增加，死亡率因而呈現駝峰(hump)的形狀。自 35 歲左右，死亡率曲線開 始以近似線性的方式遞增。

另外，從圖 3-1 亦可看出半世紀以來各年齡別的死亡率皆有改善，不過改善 程度並不一致。0 至 12 歲的嬰幼年人口死亡率明顯下降很多，35 歲以上的人口 死亡率下降幅度則較為一致，但是 85 歲以上的死亡率下降幅度則呈現逐漸收斂 的情形。

-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80 84 88 92 96 100 104 108

死亡率(以10為底的對數值)

age

y1933 y1947 y1962 y1977 y1992 y2007

圖 3-1 美國總人口死亡率

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77 -4.5

-4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0

1933 1936 1939 1942 1945 1948 1951 1954 1957 1960 1963 1966 1969 1972 1975 1978 1981 1984 1987 1990 1993 1996 1999 2002 2005

死亡率(以10為底的對數值)

year

age0 age10 age20 age35 age50 age65 age70 age85 age99

圖 3-2 美國總人口死亡率時間趨勢圖

圖 3-2 呈現的是死亡率的時間趨勢線。當中，我們只畫出某些年齡的時間趨 勢線，以免圖形不易辨識。由圖中可看出，幾乎所有年齡的死亡率皆呈現緩慢下 降的趨勢。不過，0 歲死亡率的下降速度明顯較快，而 99 歲死亡率則相對平穩。

為了先確認死亡率間是否存在共同因子，我們先進行簡單的相關性分析。我 們計算所有 111 個年齡別死亡率變數的相關係數，並取絕對值。表 3-1 呈現的是 這 6105 個相關係數的十分位數統計量。由表中可知，最小的相關係數為 0.0001，

第一個十分位的相關係數為 0.267。但是自第三個十分位起，相關係數皆在 0.84 以上，且第五個十分位的相關係數為 0.93，代表一半以上的相關係數皆超過 0.9，

顯示美國總人口在不同年齡別下的死亡率間具有相當高的相關性，極有可能存在 著共同因子，因此值得更進一步的探討。

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表 3-1 年齡別死亡率之相關係數百分位統計量

十分位數 數值

0% (min) 0.0001

10% 0.2660

20% 0.5216

30% 0.8403

40% 0.8846

50% 0.9340

60% 0.9561

70% 0.9704

80% 0.9810

90% 0.9911

100% (max) 0.9986

在文檔中 有關金融市場的三篇實證研究 - 政大學術集成 (頁 83-87)