共整合檢定

普遍而言，許多總體經濟變數，甚至財務方面的資料，均具有非定態的性質，雖 然我們可藉由對變數進行差分以消除變數的隨機趨勢(stochastic trend)，使其成為穩定 狀態。但Nelson and Plosser (1982)卻指出，將變數差分的過程可能會喪失許多資料本 身的長期重要資訊，故Engle and Granger (1987)提出共整合觀念，以解決變數的資料 經差分後喪失長期重要資訊的問題。換句話說，當非定態變數具有共整合關係時，隱 含變數具有長期往均衡方向調整的特性，亦即變數在短期可能有失衡現象，但Granger (1987)表示有所謂的誤差修正機制(error correction mechanism)，使得短期偏離長期均 衡的現象會逐漸縮小。

根據Engle and Granger (1987)對共整合(cointegration)的定義，若一組非定態時間 序列變數的線性組合為定態的時間序列，我們就稱這些變數有「共整合」現象。具體 表示，就是當X_t與Y_t兩變數都是m 階非定態變數(兩變數必須是同一整合級次，才 會有共整合關係)，且 m>0，若它們的線性組合關係為 I(0)，則稱 X_t與Y_t兩變數為m 階m 次共整合(cointegrated of order m,m) ，以 CI(m,m)表示。如果把 m 階整合變數的 線性組合降d 階，d>0，即線性組合變成 m-d 階整合變數，稱之為 m 階 d 次共整合，

以CI(m,d)表示。因此，假設有一組具有 K 個變數的時間序列，X_t= (X_1t, X_2t, … , X_kt)，所有變數均為一階整合變數時，X_t~I(1)，若存在某一線性參數β ，β = (β , ₁

β2, ... β_n,)，使得線性組合的變數 Z (Z=β' X_t)成為 I(0)時，則稱 X_t變數存在一階一 次的共整合關係，X_t~CI(1,1)，而β則為 X_t的共整合向量(cointegration vector)。

主要有兩種檢定方法檢驗變數是否存在共整合關係，分別為 Engle and Granger (1987) 的兩階段共整合檢定法(two stage cointegration testing)，以及 Johansen (1988) 的最大概似估計(Maximum Likelihood Estimator；MLE)共整合檢定法。此兩種方法分 別說明如下：

一、兩階段共整合檢定法

Engle and Granger 於 1987 年提出兩階段共整合檢定法，步驟如下：

1. 以 ADF 分別檢定 X_t與Y_t兩變數的整合階次是否相同。

Y_t＝α +β

X

_t +

e

_t，再以估計的αˆ 與βˆ 算出殘差估計值

eˆ ＝Y

_{t t}－αˆ －βˆ X_t。 3. 以 ADF 檢定

eˆ 是否為定態變數，若可拒絕虛無假設，表示 X

_{t t}和Y_t存有共整合現

象。

兩階段共整合檢定法固然簡單易懂，但操作上卻有些缺失，例如只能估計雙變 數，且只估計出一個共整合關係，當多變量情況，或變數間有多個共整合關係時，兩 階段共整合檢定法便不適用；又如兩階段共整合檢定法預先設定變數的因果關係，若 模型設定錯誤，可能影響統計推論；最後，兩階段共整合檢定法在有限樣本時的偏誤 相當明顯，且兩階段共整合檢定法的統計量沒有良好的極限分配。

二、Johansen 最大概似估計共整合檢定法

Johansen 以向量自我迴歸模型出發，利用最大概似法找出共整合向量，並利用概 似比檢定(likelihood ratio test)來決定最大共整合向量的數目，其檢定步驟如下：

假設X_t為(

P

×1)的一階整合向量 I (1)，而 VAR (K)的表現式為：

X_t= Π₁

X

_t−1 +Π₂

X

_t−2 +...+Π_k

X

_t−k +ε_t (4-9) 其中，ε_t為誤差項，且ε_t ^iid~ (0, Ω )、u 為常數項、K 為落後期、Π (i=1,2,…,k)為(_i

P

× )

P

係數矩陣。

接著，將(4-9)等式左右兩邊各進行一階差分，改寫成誤差修正模式以探討長期關 係：

U

X

_t =Γ₁∆

X

_t−1+Γ₂∆

X

_t−2 +...+Γ_k∆

X

_t−k−1 +Π

X

_t−k +ε_t (4-10) 其中，Γ_i =−

I

+Π₁+...+Π_k，且i= 1 , 2 , ... , k-1 。Π=−

I

+Π₁+Π₂ +...+Π_k。 I 為 單位矩陣。Π

X

_t−k為誤差修正項，目的在引導因一階差分而失去的長期關係重回系統。

Π 為 (

P

× ) 的長期衝擊矩陣(long-term impact matrix)，顯示所有長期的資訊。

P

Π 矩陣的秩(rank)決定了

X 的共整合向量數目，rank (

_t Π )有三種情況：

1. rank(Π )= 0，即 Π 為零秩(null rank)，

X 向量內所有變數沒有共整合關係，表示變

_t 數間沒有長期均衡關係。

2. rank(Π )= P，即 Π 為全秩(full rank)，向量中所有變數均為定態，表示

X 為定態的

_t 序列。

3. 0<rank(Π )=r<P，表示

X 中有 r 個共整合向量，根據 Granger 表現定理(Granger

representation theorem)，可將Π 分解為 Π =αβ '，α 和β同時為(

p

× )矩陣，其中α

r

為調整速度係數矩陣(matrix of adjustment speed cofficient)，用來衡量誤差修正項回 饋調整速度，係數愈大，表示變數在失衡下，回到均衡水準的調整速度愈快，β則 為共整合向量矩陣(matrix of cointegration vector)。Johansen (1988)表示，雖然不能 直接求出β，但可求得β所衍生的空間，而此空間與Π 的列向量所衍生的空間相 同，因此，確定Π 的秩大小，就可確定共整合向量的數目。而檢定向量的秩，即 檢定該向量有多少非零的特徵根(eigenvalue roots)。故 Johansen (1988)提出軌跡檢 定(trace test)及最大特徵根檢定(maximum eigenvalue test)兩種概似比統計量，來檢 定r 的個數，以判斷變數間的共整合關係。

0 得對X 的預測結果更精確，有助於降低預測均方誤差(Mean Square Error；MSE)，則 稱Y 影響 X (Y causes X)，Y 是 X 的因；反之，則稱 X 影響 Y (X causes Y)，X 是 Y

1. 獨立關係(Independency)

若^σ2

( ^X

^t

^X ) ⁼

^σ2

( ^X

^t

^{X , Y} ) ⁼

^σ2

( ^X

^t

^{X , Y} )

且^σ2

( ) ^Y

^t

^{Y =}

^σ2

( ^Y

^t

^{Y , X} ) ⁼

^σ2

( ^Y

^t

^{Y , X} )

則稱X 與 Y 獨立，兩者並無因果關係存在。即預測

X 時，加入 Y 的資訊集合，無法

_t 降低

X 的預測均方誤差，且預測 Y 時，加入 X 的資訊集合，亦無法降低 Y 的預測均

在文檔中 ETF與標的股票指數之價量關係研究－以台灣、美國市場為例 (頁 48-51)