實證流程圖

圖4-1 為實證流程圖，說明本研究的實證過程。

Granger因果關係檢定 Johansen共整合檢定

VAR模型

進行差分

ECM

Granger因果關係檢定

VAR模型

衝擊反應分析 與變異數分解

NO YES

NO YES

單根檢定

同時性檢定

第四節 單根檢定

一、 定態與非定態序列

一般的時間序列可依其為定態(stationary)或非定態(nonstationary)來加以區分，一 個時間序列變數y_t如果是定態變數(stationary variable)，則需滿足下列三個條件：

1. E (y_t) = E (y_t−s) = µ_y 2. var (y_t) = var (y_t−s) = σ_Y²

3. cov (y_t,y_t−s) = cov (y_t−j,y_t−s−j) = γ_S , for all t , t-s, and t-s-j 其中，µ_y、σ_Y²和γ_S都是有限(finite)的常數項。

因此，定態變數的平均數、變異數都不會隨時間經過而改變。當定態的時間序列 面臨外來衝擊時，只有短暫的影響，隨著衝擊的消失，時間序列會再回到長期均衡；

而非定態的時間序列則相反，即使衝擊消失，對時間序列仍有持續性影響，表示時間 序列具有長久的記憶性。

二、 單根檢定方法

傳統的迴歸模型如普通最小平方法(Ordinary Least Square；以下簡稱 OLS)和一般 化最小平方法(Generalized Least Square；以下簡稱 GLS)，都是在假設所使用的資料序 列為定態，且殘差項為白噪音(white noise)下，估計變數之間的因果關係。Granger and Newbold (1974)發現若時間序列不是定態時，採用傳統的迴歸方法來估計實證模型，

可能出現假性迴歸(spurious regression)的情形，即原來毫無「因果關係」的自變數與 因變數之間，卻產生「假」的因果關係，導致R²很高，使得檢定上無法顯著拒絕虛 無假設，但此結果卻是無任何經濟意義。Granger and Newbold (1974)曾提出評估迴歸 結果是否為假性迴歸的準則，當R²>Drubin-Watson d value 時，表示迴歸結果為假性 的。因此，對時間序列變數進行實證研究時，都必須先確定變數是定態還是非定態，

其中最常見的方法就是單根檢定(unit root test)。

(一) Dickey-Fuller 檢定(DF test)

單根檢定首先由Dickey and Fuller (1979,1981)提出，完整的 DF 檢定有三種模型，

分別為：

1. 不含截距項與時間趨勢

(二) 修正後的 Dickey-Fuller 檢定(Augmented Dickey-Fuller；ADF)

原始的DF 檢定只針對一階自我迴歸 AR (1)的模式檢定，且殘差項為白噪音，然 而實證上殘差項可能出現高度的自我相關，無法符合白噪音要求。為了解決此問題，

Said and Dickey (1984)提出 AR (P)模式進行單根檢定，即在原始 DF 檢定中加入 P 期 的落後(lagged)項，以修正白噪音問題，稱為修正後的 Dickey-Fuller 檢定，簡稱 ADF。

ADF 同樣有三種模式，分別如下：

其中，α₀為截距項，

∑

= P

i i 2

β Uy_t−i+1為被解釋變數的落後項，P 為適當落後期數，確保 e_t為白噪音。ADF 的假設檢定為

H ：

₀ γ =0，

H

₁：γ

≠

0，當檢定結果無法拒絕虛無 假設時，表示時間序列為非定態，必須對序列做一階差分，再進行單根檢定，直到拒 絕虛無假設為止。倘若檢定結果能拒絕虛無假設，則此時間序列為定態，可用 OLS 加以估計。

此外，在進行ADF 檢定時，要選取一個最適落後期數，假如所選用的落後期數 太長，會造成參數過度化(overparameterization)問題，降低估計效率；若選用期數太 短，又會造成參數精簡(prsimonious parameterization)，使檢定結果發生誤差。因此，

最適落後期數選取，將可提高估計效率，降低檢定誤差。實務上最適落後期數選取指 標有Akaike (1974)的 AIC (Akaike information criterion)準則及 Schwartz (1978)的 SBC (Schwartz Bayesian information criterion)準則兩種指標，分別表示如下：

AIC=ln (σˆ²)+

T

2

k

(4-7) SBC= ln (σˆ²)+

T k lnT (4-8)

其中，σˆ²表示殘差平方和、T 為樣本數、k 為變數的落後期。然後以 AIC 或 SBC 最 小數值之落後期數當作最適落後期。當面對大樣本時，SBC 有較佳判斷能力，所以 本研究採用SBC 準則來決定最適落後期數。

(三) Phillips and Perron (PP)檢定

由於DF 檢定必須假設殘差項為白噪音，因此 Phillips and Perron (1988)延伸了 DF 模型，容許殘差項有序列相關和異質變異數的發生。其方法是利用 DF 檢定求出 DF 的統計量，再利用無母數方式來修正e_t的序列相關。PP test 與 ADF test 最大的不同 在於處理序列相關的方式，PP test 是以無母數方式來修正 e_t的序列相關，而ADF test 是以有母數方式來修正e_t的序列相關。

綜觀上述三種檢定方法，運用DF 檢定時，應注意殘差項是否有自我相關的問題，

而ADF 與 PP test 已考慮到殘差項的自我相關問題，故本研究將採 ADF 檢定和 PP test 對本文探討的ETF 與標的指數之價格與成交量進行單根檢定。

第五節 共整合檢定

普遍而言，許多總體經濟變數，甚至財務方面的資料，均具有非定態的性質，雖 然我們可藉由對變數進行差分以消除變數的隨機趨勢(stochastic trend)，使其成為穩定 狀態。但Nelson and Plosser (1982)卻指出，將變數差分的過程可能會喪失許多資料本 身的長期重要資訊，故Engle and Granger (1987)提出共整合觀念，以解決變數的資料 經差分後喪失長期重要資訊的問題。換句話說，當非定態變數具有共整合關係時，隱 含變數具有長期往均衡方向調整的特性，亦即變數在短期可能有失衡現象，但Granger (1987)表示有所謂的誤差修正機制(error correction mechanism)，使得短期偏離長期均 衡的現象會逐漸縮小。

根據Engle and Granger (1987)對共整合(cointegration)的定義，若一組非定態時間 序列變數的線性組合為定態的時間序列，我們就稱這些變數有「共整合」現象。具體 表示，就是當X_t與Y_t兩變數都是m 階非定態變數(兩變數必須是同一整合級次，才 會有共整合關係)，且 m>0，若它們的線性組合關係為 I(0)，則稱 X_t與Y_t兩變數為m 階m 次共整合(cointegrated of order m,m) ，以 CI(m,m)表示。如果把 m 階整合變數的 線性組合降d 階，d>0，即線性組合變成 m-d 階整合變數，稱之為 m 階 d 次共整合，

以CI(m,d)表示。因此，假設有一組具有 K 個變數的時間序列，X_t= (X_1t, X_2t, … , X_kt)，所有變數均為一階整合變數時，X_t~I(1)，若存在某一線性參數β ，β = (β , ₁

β2, ... β_n,)，使得線性組合的變數 Z (Z=β' X_t)成為 I(0)時，則稱 X_t變數存在一階一 次的共整合關係，X_t~CI(1,1)，而β則為 X_t的共整合向量(cointegration vector)。

主要有兩種檢定方法檢驗變數是否存在共整合關係，分別為 Engle and Granger (1987) 的兩階段共整合檢定法(two stage cointegration testing)，以及 Johansen (1988) 的最大概似估計(Maximum Likelihood Estimator；MLE)共整合檢定法。此兩種方法分 別說明如下：

一、兩階段共整合檢定法

Engle and Granger 於 1987 年提出兩階段共整合檢定法，步驟如下：

1. 以 ADF 分別檢定 X_t與Y_t兩變數的整合階次是否相同。

Y_t＝α +β

X

_t +

e

_t，再以估計的αˆ 與βˆ 算出殘差估計值

eˆ ＝Y

_{t t}－αˆ －βˆ X_t。 3. 以 ADF 檢定

eˆ 是否為定態變數，若可拒絕虛無假設，表示 X

_{t t}和Y_t存有共整合現

象。

兩階段共整合檢定法固然簡單易懂，但操作上卻有些缺失，例如只能估計雙變 數，且只估計出一個共整合關係，當多變量情況，或變數間有多個共整合關係時，兩 階段共整合檢定法便不適用；又如兩階段共整合檢定法預先設定變數的因果關係，若 模型設定錯誤，可能影響統計推論；最後，兩階段共整合檢定法在有限樣本時的偏誤 相當明顯，且兩階段共整合檢定法的統計量沒有良好的極限分配。

二、Johansen 最大概似估計共整合檢定法

Johansen 以向量自我迴歸模型出發，利用最大概似法找出共整合向量，並利用概 似比檢定(likelihood ratio test)來決定最大共整合向量的數目，其檢定步驟如下：

假設X_t為(

P

×1)的一階整合向量 I (1)，而 VAR (K)的表現式為：

X_t= Π₁

X

_t−1 +Π₂

X

_t−2 +...+Π_k

X

_t−k +ε_t (4-9) 其中，ε_t為誤差項，且ε_t ^iid~ (0, Ω )、u 為常數項、K 為落後期、Π (i=1,2,…,k)為(_i

P

× )

P

係數矩陣。

接著，將(4-9)等式左右兩邊各進行一階差分，改寫成誤差修正模式以探討長期關 係：

U

X

_t =Γ₁∆

X

_t−1+Γ₂∆

X

_t−2 +...+Γ_k∆

X

_t−k−1 +Π

X

_t−k +ε_t (4-10) 其中，Γ_i =−

I

+Π₁+...+Π_k，且i= 1 , 2 , ... , k-1 。Π=−

I

+Π₁+Π₂ +...+Π_k。 I 為 單位矩陣。Π

X

_t−k為誤差修正項，目的在引導因一階差分而失去的長期關係重回系統。

Π 為 (

P

× ) 的長期衝擊矩陣(long-term impact matrix)，顯示所有長期的資訊。

P

Π 矩陣的秩(rank)決定了

X 的共整合向量數目，rank (

_t Π )有三種情況：

1. rank(Π )= 0，即 Π 為零秩(null rank)，

X 向量內所有變數沒有共整合關係，表示變

_t 數間沒有長期均衡關係。

2. rank(Π )= P，即 Π 為全秩(full rank)，向量中所有變數均為定態，表示

X 為定態的

_t 序列。

3. 0<rank(Π )=r<P，表示

X 中有 r 個共整合向量，根據 Granger 表現定理(Granger

representation theorem)，可將Π 分解為 Π =αβ '，α 和β同時為(

p

× )矩陣，其中α

r

為調整速度係數矩陣(matrix of adjustment speed cofficient)，用來衡量誤差修正項回 饋調整速度，係數愈大，表示變數在失衡下，回到均衡水準的調整速度愈快，β則 為共整合向量矩陣(matrix of cointegration vector)。Johansen (1988)表示，雖然不能 直接求出β，但可求得β所衍生的空間，而此空間與Π 的列向量所衍生的空間相 同，因此，確定Π 的秩大小，就可確定共整合向量的數目。而檢定向量的秩，即 檢定該向量有多少非零的特徵根(eigenvalue roots)。故 Johansen (1988)提出軌跡檢 定(trace test)及最大特徵根檢定(maximum eigenvalue test)兩種概似比統計量，來檢 定r 的個數，以判斷變數間的共整合關係。

0 得對X 的預測結果更精確，有助於降低預測均方誤差(Mean Square Error；MSE)，則 稱Y 影響 X (Y causes X)，Y 是 X 的因；反之，則稱 X 影響 Y (X causes Y)，X 是 Y

1. 獨立關係(Independency)

若^σ2

( ^X

^t

^X ) ⁼

^σ2

( ^X

^t

^{X , Y} ) ⁼

^σ2

( ^X

^t

^{X , Y} )

且^σ2

( ) ^Y

^t

^{Y =}

^σ2

( ^Y

^t

^{Y , X} ) ⁼

^σ2

( ^Y

^t

^{Y , X} )

則稱X 與 Y 獨立，兩者並無因果關係存在。即預測

X 時，加入 Y 的資訊集合，無法

_t 降低

X 的預測均方誤差，且預測 Y 時，加入 X 的資訊集合，亦無法降低 Y 的預測均

方誤差。

2. 單向因果關係(Unidirectional) 若σ²

( ^X

t

^X )

=σ²

( ^X

t

^X

,

^Y )

4. 同期因果關係(Contemporaneous)

若σ²

( ^X

t

^X )

=σ²

( ^X

t

^X

,

^Y )

，^σ2

( ^X

^t

^{X , Y} ) ^>

^σ2

( ^X

^t

^{X , Y} )

且σ²

( ) ^Y

t

^Y

=σ²

( ^Y

t

^Y

,

^X )

，^σ2

( ^Y

^t

^{Y , X} ) ^>

^σ2

( ^Y

^t

^{Y , X} )

則稱X 與 Y 為同期因果關係。即預測變數時，除了利用變數本身與另一變數的過去 數值外，加入另一變數的當期數值，將有助於降低變數的預測均方誤差。

二、 Granger 因果關係檢定

Granger (1969)表示，當變數通過單根檢定為定態的時間序列時，可直接用 Granger 因果關係來檢定變數間的關係。Granger 提出的原始模型如下：

我們利用F 統計量分別檢定(4-13)式和(4-14)式的虛無假設：

依據Granger (1987)提出的「Granger 表現定理」指出，當變數間具有共整合關係 I (1)時，必有一誤差修正項存在。誤差修正模型是指當前期均衡誤差(equilibrium error) 偏離長期共整合均衡而處於失衡狀態時，可以透過誤差修正項所包含的長期訊息，使

其中，u₁和u₂為常數項，λ₁和λ₂為調整因子，用來衡量上一期偏離均衡的部分可以 在本期反應於自變數變化的能力，

Z

_t−1為誤差修正項，n , m 為最適落後期數。

誤差修正模型的涵義為：

X 序列的變動，可由上期誤差修正項，及前期

_t

X 與

_t

Y

_t 的變化來解釋；反之，

Y 序列亦相同。(4-15)與(4-16)式的虛無假設分別為：

_t

1.

H ：

₀ β_1,p =0 2.

H ：

₀ α_2,p =0

利用F 統計量來檢定β_1,p與α_2,p是否為0，若拒絕β_1,p =0及α_2,p =0時，表示X 與 Y 互為影響，具有回饋關係；若僅拒絕β_1,p =0，表示Y 影響 X，Y 是 X 的因；若僅拒

絕α_2,p =0，表示X 影響 Y，X 是 Y 的因；若均無法顯著拒絕β_1,p =0及α_2,p =0，表 示X 與 Y 無因果關係，彼此獨立無關。此外，有一點需注意，Enders (2004)表示，

當共整合向量只有一組時，可改用t 統計量來進行檢定。

而在誤差修正項的檢定方面，(4-15)與(4-16)式的虛無假設分別為：

3.

H ：

₀ λ₁

= 0

4.

H ：

₀ λ₂

= 0

若 t 檢定無法拒絕λ₁

= 0

及λ₂

= 0

，表示不存在誤差修正項，變數不會往長期均 衡移動；若均顯著拒絕λ₁

= 0

及λ₂

= 0

，則存在誤差修正項，變數會往長期均衡移動。

當λ₁ >λ₂ ，表示λ₁調整幅度較大且顯著，則∆ 相對

X

_t ∆ 有落後現象。

Y

_t

此外，當變數有兩個以上的研究變數，且共整合檢定結果顯示存有共整合向量 時，則需以向量自我迴歸模式建立向量誤差修正模型(vector error correction model；

VECM)，即用向量的方式來表達誤差修正模型，以分析變數的長期均衡關係和短期 的動態調整。

因此，若本研究所探討的變數具有單根，且存在共整合關係時，則以誤差修正模 型來檢定變數間的關係。

第八節 向量自我迴歸

二、衝擊反應分析

衝擊反應分析是以 VAR 模型為基礎，研究某一變數受到外生衝擊(exogenous shock)時，其他變數對此衝擊的動態反應(dynamic response)。Sims (1980)以一般化的 VAR 模型進行衝擊反應模式推導，其過程如下：

衝擊反應分析是以 VAR 模型為基礎，研究某一變數受到外生衝擊(exogenous shock)時，其他變數對此衝擊的動態反應(dynamic response)。Sims (1980)以一般化的 VAR 模型進行衝擊反應模式推導，其過程如下：

在文檔中 ETF與標的股票指數之價量關係研究－以台灣、美國市場為例 (頁 44-0)