函數的凹凸性

為了更深刻了解函數的特性，除了分析函數的遞增遞減 外，還可進一步分析凹凸性。

比方說 _{y= x}³，它處處皆是遞增，但在 _{x> 0}處與 _{x< 0} 處長得就是不太一樣。若是作幾條切線來觀察，雖然切線 斜率總是正的，但在左半邊的切線斜率越來越小；右半邊 的切線斜率越來越大。關於右半邊的圖形特徵，我們可以用 y= x²來進行類比，右半邊就像 _{y= x}²一樣是往上凹的；至 於左半邊，它就像 _{y= −x}² 一樣往下凹。因此，我們可以由

切線斜率的遞增遞減來定義凹凸性。 Figure 3.3: 函數的凹凸性 定義 3.4.1 凹凸性

若可微函數 _{f (x)}滿足 _f^′_(x)在區間_{(a, b)}上遞增，則 _{f (x)}在_{(a, b)}為凸 (convex)，或 稱為凹向上 (concave up)；若滿足 f^′(x)在區間_{(a, b)}上遞減，則 _{f (x)}在_{(a, b)} 為凹 (concave)，或稱為凹向下 (concave down)。

我們已學過利用導數的正負號來看遞增遞減，所以定義又可寫成：

定義 3.4.2 凹凸性

若二次可微函數 _{f (x)}在區間_{(a, b)}上恆有 _f^′′_{(x)≥ 0}，則 _{f (x)}在_{(a, b)}為凸，或稱為 凹向上；若在區間(a, b)上恆有 f^′′(x)≤ 0，則 f (x)在(a, b)為凹，或稱為凹向下。

研究這些，就是為了幫助我們了解函數圖形的特性，讓我們對於函數有比較深刻的 了解。我們又想知道函數的凹凸性在何處發生改變，於是有了反曲點的概念。

定義 3.4.3 反曲點

若函數 _{f (x)}在 _{x= a}處連續，且在_{x= a} 的兩側凹凸性不同，則稱_{(a, f (a))} 為反曲 點，又稱為拐點。

以上面 _{y= x}³的例子來說，_{x= 0} 左右兩側的凹向性不同，所以_{(0, 0)} 就是 _{y= x}³的 反曲點。

研究曲線_{y= e}^−x2 的凹凸性。

解

y^′= − 2xe^−x2

y^′′= − 2e^−x2− 2xe^−x2· 2x

=4e^−x2( x²−1

2 )

=4e^−x2( x+

p2 2

)(x− p2

2 )

當₋

p2 2 < x <

p2

2 ，_y^′′_{< 0}，曲線為凹；當 _{x< −}

p2

2 或_x>

p2

2 ，_y^′′_{> 0}，曲線凸；反曲 例題 3.4.7

點為⁽_±

p2 2 , e^{− 12})

。

除了分析二階導函數 _f^′′_(x)的正負區間外，大家也常先找二階導數為₀處，這的確 好用，但是這裡要糾正一下常見誤解。

性質 3.4.1

若(a, f (a))為函數 f (x)圖形的反曲點，則必有 f^′′(a)= 0或 f^′′(a)不存在。

(a, f (a)) 為函數 _{f (x)} 圖形的反曲點，那麼在 _{x= a} 的左右兩側的二階導數異號。

若 _f^′′_(x)在_{x= a}處連續，則必有_f^′′_{(a)= 0}。但_f^′′_(x)並不見得連續，所以也有可能_f^′′_(a) 不存在。我們來看看一個簡單的具體例子：

f (x)=

{ x² , x≥ 0

−x² , x< 0 則

f^′(x)=

{ 2x , x≥ 0

−2x , x < 0 f^′′(x)=







2 , x≥ 0

−2 , x < 0

 , x= 0

二階導函數 _f^′′_(x)在_{x= 0}處是跳躍間斷點，其左右兩側的二階導數分別正與負，然而在 x= 0處本身卻不存在二階導數。另外還有個更簡單的例子：_{y= x}¹³，這個留給你自己檢 驗！(left as an exercise)

note

高中教材往往是說：反曲點處的二階導數必為₀。這樣說也不能算錯，因為高中談 的是多項式函數的微積分，而多項式函數必可求導無限多次，因此不必講二階導數 不存在的情況。但是大一微積分已不限於多項式函數，所以有必要注意這一點。

note

反曲點與二階導數為₀，兩者是既不充分，也不必要。換句話說，反曲點並不必然 二階導數為₀，這點如前所示；二階導數為₀之處，亦不見得是反曲點，這可以舉 y= x⁴為例，明顯_y^′′_{(0)= 0}，但左右兩側都是凸，_{(0, 0)}並不是反曲點！

最後稍微聊些有關數學定義的事，一般讀者可跳過不讀。首先針對反曲點的定義，

為什麼不說左右兩側凹凸性改變就好，還要加上連續性呢？這件事若認真考察一下各個 微積分教科書，還會發現不同作者使用的定義不甚相同。有些作者是除了兩側凹凸性改 變外，還要求該點有切線。這兩種定義是不等價的，例如下圖，函數圖形在_{x= 0}兩側凹 凸性不同，在原點連續但沒有切線。

y

x

Figure 3.4: 連續，但無切線，凹凸性改變

其實很多數學定義是人為的，是我們有一些具體需要，選擇這樣子定，或是在許多 不同的定法中，去作討論、抉擇，選一個比較有好處、比較能和其它定義與性質相容的。

例如_0!為什麼定為₁？因為我可以滿足_{1!= 1 × 0!}，又可以滿足_C⁵

0=_0!5!^5! = 1，還能相容排 列數：0個相異物排列一共0!= 1種方法，實在是舒服！

另外一例如₀⁰，此例在國內外的網路討論區都有熱烈的討論，許多人傾向讓它維持 無定義，因為由指數律₀⁰₌⁰¹

0¹ 是無定義的。又有不少人認為定義₀⁰_{= 1}好，例如 Donald Knuth：1992‘Two Notes on Notation’Mathematical Association of AmericaVolume5, pp 403 - 422. ¹ 列舉了他認為₀⁰ 應該是₁的理由。順帶一提，此文作者 Donald Knuth 是計算機 界的大神級人物，本文寫作所用的 L^ATEX 排版語言即是 Donald Knuth 於 1977 年設計的。

由於不同的定法各有其優缺點，所以0⁰目前沒有一個公認的定義。

還有一例是負數的有理次方。高中數學教材會說有理次方的底數須為正數，所以像 是 ₍₋₈₎¹³ 是沒有定義的。但是如果我們找一些計算機來嘗試，有些會顯示結果為₋₂²， 有些為顯示為₁₊^p_3i ³，為什麼會這樣呢？其實這也同樣是依據每個人自己需求，認為 如何定法對他來說比較方便，就選擇那樣定。畢竟每個定法皆有其優缺點，於是數學家 沒有去統一定義。你會看到某些書在開頭先言明：本書規定 (−8)¹³ = −2。這部分欲深入 閱讀，可參考 Dina Tirosh and Ruhama Even:1997 ‘To Define or Not to Define: The Case of (−8)¹³’,Educational Studies in MathematicsVolume 33, pp 321 - 330. ⁴

又有一例是統計中的四分位數。可參考建中繆友勇老師所寫的＜淺談百分位數＞，

文中探討了四分位數兩種定義的不同之處。在最後一頁中老師提到「統計教學是很輕鬆 愉快的，不要太斤斤計較細微數值的差距，或花費時間停留在追求絕對標準答案中。」

所以，關於反曲點，或許我們可以這樣理解：我們主要目的是想要分析函數的行為，

如果函數圖形雖在_{x= a} 左右改變凹凸性，但是在_{x= a} 處是斷開的，比方說_{y= sec(x)}， 那我特地說它是反曲點做什麼呢？並沒有增進我對函數的理解啊！如果增加連續性或是 須有切線的條件，會讓反曲點「有意思」一點！

接著我們討論凹凸性的定義。許多同學會有疑問，如果二階導數在開區間_{(a, b)}為 正，豈不是代表一階導函數 _f^′_(x)在閉區間_{[a, b]}上遞增，應該回答在_{[a, b]}是凹向上嗎？

為什麼解答常常只寫在(a, b)呢？其實大多的大一微積分教科書在這邊都是簡單講講，沒 有作深入探討的，就連我在前面所介紹的也同樣是模糊帶過。事實上這裡也通常也沒必

1https://arxiv.org/abs/math/9205211

2例如在 Google 輸入(−8)^∧(1/3)。

3例如在 Wolfram alpha 輸入(−8)^∧(1/3)，網址為 https://www.wolframalpha.com 。

4https://link.springer.com/article/10.1023/A:1002916606955

要太過講究，數學是實用性的東西，並不是一個純粹抽象思維遊戲，沒有必要繞在一些

上面這些定義之間並不完全等價，其中定義 1 與定義 2 等價；定義 3 與定義 4 及定 義 5 等價；定義 6 與定義 7 等價。定義 1 的條件較弱，f (x)是可以不在 _I 上連續的，但 是若滿足定義 3 則 ^{f (x)}必須在I 上連續，因此定義 3 到定義 5 的條件是較強的。當 ^{f (x)} 是連續的時，定義 1 到定義 5 通通等價。而定義 6 與定義 7 條件更強，要求了 f (x)在 _I 上一次可導。當 _{f (x)}可導時，定義 1 到定義 7 通通等價。定義 8 的條件又更強，要求了

f (x)在_I 上二次可導。當_{f (x)}二次可導時，定義 1 到定義 8 通通等價。

y

x Figure 3.5: 不連續的凸函數

y

x Figure 3.6: 不可導的凸函數 上述八個定義之間的等價關係示意如下：

(1)⇔ (2) ⇐ (3) ⇔ (4) ⇔ (5) ⇐ (6) ⇔ (7) ⇐ (8)

因此，定義 1 與定義 2 的適用性較廣，符合的函數較多；而定義 6 到定義 8 條件太 強，其實不太好，但是操作簡便，因此也在大多微積分課程中出現；定義 3 是最好的，

最常在書上⁵使用，因為它除了條件不會太強外，不連續的凸函數⁶也是較少見的。其實，

凹凸性的重要性，近代多是在經濟學上體現，實用上是不太會碰到只滿足定義 1 而不滿 足定義 3 的函數。

總結以上討論，原來的凹凸性的區間問題，說穿了不過就是採用了不等價的定義去 看問題所致罷了。

5不限於大一微積分的書。

6換句話說，只能符合定義 1 或定義 2 的函數。

Exercise

1.

2. 基本題

1. 求出下列函數的導函數

(1) (2) (3)

(4) (5) (6)

2. 設 f (x)= x³+ 3x + 1，求 _f⁻¹₍₁₅₎。 3.