微分的應用
4.1 積分的定義
積分學源自於求面積的問題，我們已經學過許多求面積的問題。長方形、平行四邊 形、梯形、三角形以及其它多邊形等等，這些都是由直線段所圍成的，算是比較容易計 算。但是如果由曲線所圍，就沒這麼簡單了。
現在有一個在區間[a, b]上的函數，我們要討論它在[a, b]區 間上的曲線下面積。為了簡化討論，我們先假定此函數在 [a, b]
上非負，接著再討論更複雜的情況。現在我們不知道怎麼算，但 還是一樣，試圖藉由已知來突破未知。首先將它切成四個子區 間，然後每個子區間中都畫個長方形，每個子區間中都取函數最 大值為長方形的高。這樣算出來的東西，我們稱之為上和，符號 記為Un，n 是切出的子區間數。上和會比欲求的曲線下面積多
a b
Figure 4.1:
出一點。如果在剛剛的過程中，改取函數最小值為長方形的高。這樣算出來的東西，我 們稱之為 下和，符號記為Ln。下和會比欲求的曲線下面積少一點。
a b
(a) 上和U4
a b
(b) 下和L4
Figure 4.2: 上下和 n= 4
如果計算上下和時，切成更多子區間，比方說現在切成七個子區間，那麼上下和與 實際面積之間的誤差就會更小。
a b
(a) 上和U7
a b
(b) 下和L7
Figure 4.3: 上下和 n= 7
更進一步，切成十六個子區間，那麼上下和與實際面積之間的誤差就會更小。隨著 這流程這樣越切越細，上下和與實際面積就越來越接近。
a b (a) 上和U16
a b
(b) 下和L16
Figure 4.4: 上下和 n= 16
如果 f (x)在[a, b]上有正有負，還是可以套用一樣流程，只是在 f (x)< 0的範圍，算
出來的「矩形面積」會是負的，這因為我們拿f (x)函數值當高。
a b
(a) 上和U16
a b
(b) 下和L16
Figure 4.5: 上下和
所以，我們須將曲線下面積定為有號面積 ( signed area )。
定義 4.1.1 有號面積
若函數 f (x)在區間I1上為正、在區間I2上為負，則 f (x)在I1上的曲線下面積為
正、在I2上的曲線下面積為負。
a b
+ +
−
定義 4.1.2
若 f (x)在閉區間[a, b]上有定義，f (x)在[a, b]的曲線下面積為A，在[a, b]取出分 割點：a= x0< x1< ··· < xn−1< xn= b，將[a, b]分割成等寬的n 個子區間，每個子 區間寬度為∆xi = xi− xi−1=b− a
n 。若 f (x)在第i 個子區間中的最大值發生在xi⋆、
最小值發生在xi⋆，則上和Un 與下和Ln 定義為
Un=∑n
i=1
f (xi⋆)∆x =∑n
i=1
f (xi⋆)(b − a n
)
Ln=∑n
i=1
f (xi⋆)∆x =∑n
i=1
f (xi⋆)(b − a n
)
我們學過夾擠定理，現在既然Ln≤ A ≤ Un 必然成立，那麼只要上下和有相同極限，
就可以推出曲線下面積。在十七世紀微積分尚在發展的階段，數學家們將曲線想得太美 好，以為上下和一定會有相同極限，後來才發現其實有許多函數，它們的上下和並不會 有相同極限，才意識到函數可積性 ( integrability ) 的問題。所幸在大一微積分課程對此著 墨不太多，我們不必耗費太多功夫研讀可積性問題。
定義 4.1.3
若上和Un 與下和Ln 有相同的極限L，則根據夾擠定理，曲線下面積 A 也會等於 L。此時稱函數 f (x)在[a, b]上可積 ( integrable )，並將此曲線下面積表為
A=
∫ b
a
f (x) dx
萊布尼茲將拉丁文中的長 s （和的拉丁文 Summa 第一個字母），作為積分的符號∫。 而隨著n→ ∞，子區間寬度∆x → 0，便將其寫成 dx。
n→∞lim
∑n i=1
f (xi⋆) ∆xi
⇓
∫ b
a
f (x) dx
所謂的積分，其實就是連續的加。離散的加法是 ∑；連續的加法是∫。微積分的創造，
是一種離散到連續的飛躍。自此，若離散情況欲類推至連續情況，就經常與微積分有關。
比方說幾個質點求質心，使用∑；整個物體求質心，使用∫。定力或是一次函數變力作 功，求長方形或梯形面積；更複雜的變力作功，使用∫ 求曲線下面積。在一個均勻向量 場 (重力場、磁場等等) 中移動，直接作向量內積 (重力或磁力與位移內積)；若是向量場 並不均勻，譬如說磁場中各處的磁力不盡相同，那就用到更困難的向量積分。
離散 連續 數列 函數
xk x
∆xk dx
Σ ∫
∆F (xk)
∆xk
dF (x) dx
求曲線y= x2與x= 0、x= 1及x軸所圍區域面積。
範圍是 x= 0到 x= 1，全長1− 0 = 1，每個子區間寬度為 ∆x =1− 0
n = 1
n。由於函數
f (x)= x2在區間[0, 1]上遞增，求上和時每個子區間都是取最右端的點、求下和時每
例題 4.1.1
個子區間都是取最右端的點。於是
其中
稱為黎曼和 (Riemann sum)。
高中所學的是特殊的一種黎曼和，現在這是一般形式的黎曼和。
定義 4.1.5 分割的範數
若P 為區間[a, b]上的一個分割，則P 的範數定義為
∥P∥ = max
1≤i≤n∆xi
即子區間的最大寬度。
定義 4.1.6 定積分
若函數 f 在閉區間[a, b]上有定義，且黎曼和的極限
∥P∥→0lim
∑n i=1
f (xi⋆)∆xi
存在，則稱 f 在[a, b]上可積，且
∫ b
a
f (x) dx= lim
∥P∥→0
∑n i=1
f (xi⋆)∆xi
稱為定積分。a 為積分下限 (lower limit)、b 為積分上限 (upper limit)，f (x)為被積分 函數 (integrand)。
現在在取極限的部分不說n→ ∞了，改說∥P∥ → 0，這是怎麼回 事呢？∥P∥是子區間最大寬度，所謂∥P∥ → 0，即是「越切越細」。若 要越切越細，必然有n→ ∞，你總不可能切有限刀就想切得無限薄。
反過來說，由於分割方式可以任意，n→ ∞並不能保證越切越細。
例如右圖，我幾乎都在右半邊一直切切切，左半邊都沒去動到，這樣 的n→ ∞就沒有使∥P∥ → 0！
a b
Figure 4.6:
現在這個積分定義的版本，雖使得切割或取樣方式更為自由，但似乎也使我們判定 可積性更加困難。因為現在的說法是：無論是如何作分割，只要分割的範數趨近於0， 所有的黎曼和都要趨近同一個值，這樣比原來只限定等差分割複雜多了！以下便介紹關 於可積性的充分條件。
定理 4.1.1 單調函數必可積
若函數 f 在閉區間[a, b]上單調，則 f 在[a, b]上可積。
定理 4.1.2 連續函數必可積
若函數 f 在閉區間[a, b]上連續，則 f 在[a, b]上可積。
我在前面所示範的∫
π2
0 sin(x) dx及∫ b
a xmdx，雖然只寫出下和看似有些偷懶，但其實 被積分函數都是連續函數，必然可積！所以只做下和就是積分值了。
note
1. 閉區間是重要的，改為開區間便無法保證可積。
2. 上述只是充分非必要條件，函數在[a, b]可積不見得在[a, b]單調，也不見得 在[a, b]連續。
數學就是那麼巧妙，我們使用lim來定義定積分，有時候卻又可以利用定積分來解
= lim
Exercise
1.
2. 基本題
1. 求出下列函數的導函數
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
2. 設 f (x)= x3+ 3x + 1，求 f−1(15)。 3.