極限與連續
1.1 微積分的起源
高中自然組同學在高三下會接觸到一點點微積分，而到了大學以後，大多數的生醫 理工科系、商管類科系的同學都必須修習大一微積分。微積分這一科已經近乎是大學生 的共同必修，且又是大多數同學的夢魘。究竟，微積分有什麼用，以致於這麼多人必須 面對它，以及它是如何產生的呢？
微積分學的發展與應用，影響了非常多的領域。舉凡金融精算、經濟學、商業管理、
醫藥、生物、機械、水利、土木、建築、航空及航海，特別是物理學，它的發展必須大 量使用到微積分。在這門學問中，我們更多地認識了實數，促進我們對於函數更多認識，
我們學會如何求變化率、怎麼求極大極小值、怎麼求曲線的弧長及其所圍的面積、怎麼 求曲面的表面積及其所圍的體積、怎麼作近似計算等等。正如微積分的英文 calculus1， 它可以說是高等數學中的基本運算法則。微積分是一種革命性的數學思想，靠它可以解 決以往未解決的許多難題，也可以更輕易地對付已解決但不好處理的問題。除了微積分 本身可以直接應用在許多領域外，許多數學學科諸如統計學、微分方程、機率論、微分 幾何等等，皆奠基於微積分而發展，而它們也都被應用在許多其它領域。可以毫不誇張 地這麼說，沒有微積分，就沒有現代科學文明。
隨便舉些例子來說，電機系會學「訊號與系統」，而在這門課就大量地處理許多困難 的積分問題。對於物理系來說，計算作功、轉動慣量、磁通量等等，皆大量使用了微積 分，流體力學用到向量微積分與微分方程、相對論用到微分幾何。國企系、財金系、經 濟系等等，也會用到微積分的概念來研究金融與經濟，甚至在經濟系的高年級或研究所 的同學，還學到高等微積分2 以上來進一步研讀經濟理論。
Figure 1.1: 台大地理系「地殼變形原理與觀測」課程大綱
那麼，微積分又是如何被發展起來的呢？眾所周知，微積分是在十七世紀末，由牛 頓和萊布尼茲所發明的。其實這樣講，並不是說他們獨自從頭建立起整個微積分學說。
事實上，微積分的概念，早在古希臘時代便已萌芽。到了十七世紀時，數學逐漸開始高 度發展，有許多數學家致力於微分學與積分學的工作。後來由牛頓與萊布尼茲，集其大 成、進一步突破，而形成微積分學說。
微積分的思想源流，最早可推溯到公元前五世紀的希臘數學家
Eudox s
（Εὔδοξος），他發展了窮盡法，將圓視為圓內接多邊形的極限、將無理數視為有理數的極限。到後來 公元前三世紀的阿基米德（
Archimedes
Ἀρχιµήδης），也使用窮盡法來處理許多體積與面積 的問題，將窮盡法發揚光大。到了大約十六、十七世紀的時候，人們開始想對於物理問題，做一些定量的研究。
在此之前，流行的是亞里斯多德的物理學，對於物理問題是以定性的探討為主。而且當 中有很多描述，與我們現在物理學上的認知是有出入的。譬如說，物體的重量越大，其 趨向天然位置的傾向也越大，所以其下落的速度也越大；天體是由特殊質料構成的，具
1這一詞來自拉丁文，其原意為計算用的小石子，羅馬人用 calculus 來進行計算與賭博。
2高等微積分是數學系大二的必修，將許多大一微積分所未談，或是講得很隨便的地方，作嚴格的探 討。如果大一微積分的難度是八千，那麼高等微積分起碼是十萬。
有特殊性質。天體是神靈們的處所，所以天體的運動是沿著最完美的曲線，也就是圓周，
且是以最完美的速度，也就是等速運動來作運動。以上這些我們今日聽來荒謬，都是當 時被奉為圭臬的概念。大約十六世紀中期開始，興起了一股反對亞里斯多德學說的思潮，
他們對於阿基米德的方法大為崇拜。譬如說十六世紀末物理學家伽利略，他就希望能有 別於這種定性的、原因方面的探討，作些定量上3 的、現象方面的描述。於是在比薩斜 塔做了落體實驗，發現重球與輕球看起來是同時落地的。這個時期，就是文藝復興時期 的科學革命。在此期間，科學研究開始快速發展。
在當時的物理與數學中，啟發微積分快速發展的，有四大問題：
1. 研究物理中的非等速運動 2. 作出曲線的切線與法線 3. 找出函數的極大值、極小值
4. 求曲線所圍出的面積，及曲線的弧長
我們先來看第四個問題。多邊形的面積我們都會計算，可是一但一個幾何形狀不是 由直線段圍成的，而是由曲線圍成的，那該怎麼辦呢？曲線所圍面積之中，最常見最基 本的例子就是圓的面積。如前所述，早在西元前六世紀的
Eudox s
和前三世紀的阿基米德，就用窮盡法來求圓周率及圓面積。後來西元三世紀，三國時代的劉徽也做了類似的 事。他用割圓術4逼近圓的面積，其內涵是透過內接正多邊形的方式來逼近圓。
正十六邊形
Figure 1.2: 圓內接多邊形
我們在圖 1.2 可見，圓內接正16邊形看起來就已經跟圓相當接近了。而實際上劉徽 用到正96邊形，到了南北朝的祖沖之，更是內接了正24576邊形5。我們用數學式子把 這件事寫下來：
性質 1.1.1
設 A 為我們要計算的圓面積，A3 為圓內接正三角形面積，A4為圓內接正方形面 積。以此類推，An為圓內接正n邊形面積。於是當n越來越大、無止盡地大下去。
換句話說，當n 趨近於無窮大的時候，圓內接正n 邊形趨近到圓，An 便會趨近於 圓面積 A。這件事若用數學式子表示，便是：
n→∞lim An= A (1.1.1) 式子 (1.1.1) 是極限的數學寫法，將英文字 limit 去掉末兩個字母，然後掛在 An 的左 邊，用以表示An的極限。下面標示n→ ∞6，用意是告訴讀者，足碼（index number ）是
3達文西：「人們的探討不能稱為是科學的，除非通過數學上的說明和論證。」
4劉徽：「割之彌細，所失彌少。割之又割，以至於不可割，則與圓周合體而無所失矣。」
5祖沖之所估計的圓周率已經精確到小數點後七位，相當於千萬分之一的誤差，這已是相當難得的。
6羅馬人常用一千這數字來代表「多」。而在羅馬數字中，1000的其中一個寫法是C|Ɔ。後來十七世紀，
微積分先鋒之一的英國數學家John Wallis，他在其著作《無窮的算術》中，將C|Ɔ略作變形，寫成∞以表
誰。在這裡我們的足碼是 n，接著表達這個極限是n 趨近無窮大，An 會隨之趨近到何 值。
積分學就是源自求曲線下所圍面積的問題，其所用的就是這種類似割圓術的辦法。
我們這裡只是先作很粗略的介紹，先讓你看看積分學是在探討什麼問題，暫時不正式地 去討論積分。
接著我們來看第二個問題：求曲線的切線 斜率。如果在曲線中取兩個點，將兩點之間拉 出一條割線，那麼這條割線的斜率我們都會做，
就是寫下 ∆y
∆x。但如果是給定一個點當作切點，
並作過此 切點 的切 線，應該如 何求此切 線的 斜率呢？我們先看一下右圖，若以圖中的 A 點 為切點，過 A 有一條切線。若將 A 點依序與 B、C、D、E 分別都拉出割線，我們可發現這 些割線越來越靠近切線。
A
E D B C
Figure 1.3: 割線逼近切線
這就是微分學的想法了，微分就是在做曲線上的切線斜率。其想法是，利用我們 會算的割線斜率，去趨近到切線斜率。如果切點的座標是 (x1, y1)，然後先找附近一個 點(x2, y2)，拉出割線斜率 ∆y
∆x。接著我們將切點(x1, y1)固定不動，讓 (x2, y2)趨近到切點 (x1, y1)。於是割線斜率就會越來越趨近到切線斜率了。我把這個想法整理如下：
性質 1.1.2
若P 點是 y= f (x)上的一點，L 是以P 當切點所作的切線，而P2是 y= f (x)上的 一動點。如果
Plim2→p
∆y
∆x (1.1.2)
這個極限是存在的，其值等於m，那麼m就是切線L 的斜率。
這裡也只是先很粗略介紹什麼是微分，你看懂看不懂都無所謂，我們現在暫不實際 去求切線斜率。
總結以上，微分學來自求切線問題，而積分學則來自求面積問題。兩者看似截然不 同，但這當中卻隱含著重要的關係：
它們事實上是反問題！
當十七世紀數學家們不斷在微分學與積分學上有些突破時，慢慢開始有些人看出二 者間的關係，譬如說牛頓的老師
Issac Bar ow
。最後是由牛頓與萊布尼茲，他們都明確指 出微分與積分的互逆性，將微積分集大成。所以，大家公認是由他們倆發明微積分。在以上的介紹當中，微分與積分都牽涉到極限。極限的概念是微積分的基礎，所以 市面上各家大一微積分教科書，幾乎都是從極限開始作介紹7。讓讀者先明白何謂極限，
並且能自己動手計算極限，接著才繼續介紹微分以及積分。
7有一本書叫作 Calculus Without Limits : Almost，然而它還是用到極限了。