2.4 ⾼階導數
2.11 微分 ( differential )
現在來介紹一個在高中沒有學過的概念，其英文叫做 differential ，中文則叫微分。
如果我們將 f (x)= x2 作出它的導函數 f′(x)= 2x，這個動作我們口語上常說是「微 分」，將 x2微分後得到2x。在此，「微分」是一個動詞，英文是 differentiate，其中文的 另一個稱呼叫「求導」。中文不區分詞性的特性，使得我們需要靠上下文來判斷。其實要 依靠上下文去判斷，問題還不大，會出問題的是初學者還沒清楚認識各種概念，加上高 中時學過導數、導函數、求導等等，全都口語稱呼為微分。等到上大學，遇到現在要介 紹的微分，就開始搞不懂了。其實這個概念不是多麼艱澀難懂，同學們在這裡發生問題，
多是中文稱呼引起的。
我們先回想一下，動詞的微分 ( differentiate )，也就是求導，是想要做出導函數（切 線斜率函數）。其想法是先寫出割線斜率 ∆y
∆x，接著讓∆x → 0，這樣出來的極限若是存在，
便是導函數。∆x 代表著x的「差」，差的英文是 difference ，其第一個字母 d 對應到希臘 文是δ。而δ的大寫是∆，所以放在x的前面，∆x 代表x的差。萊布尼茲說，當我們做
「讓∆x → 0」這個動作時，∆x與∆y 都是趨近到零的，此時它們是個無窮小增量。接著將
無窮小增量∆x 與∆y 各自改寫成dx 與 dy，所以 ∆y
∆x 讓∆x → 0的極限，就寫成 dy
dx 了！
至於微分 differential，則是研究無窮小增量 dy 與無窮小增量 dx 之間的關係，他們 通常不會直接相等，而是要乘上一個「放大率」。舉例來說，y= x2，那麼dy= 2x dx。這 條式子告訴我們，y 方向的無窮小增量與x方向的無窮小增量，它們之間的關係是，要 在 dx前面乘上一個「放大率」2x，才會大約等於d y。而y= x2是怎麼得到dy= 2x dx的 呢？其實那就是 dy = f′(x) dx。你可以不嚴謹地想像：我們先寫 dy
dx = f′(x)，接著將 dx 乘到等號右邊。
a a+ ∆x
∆x
f′(a)∆x
∆y (a, f (a))
(a + ∆x, f (a + ∆x)) 若是不用這麼粗略的講法，我們來看著圖細
究一下。在x= a處的函數值是f (a)，經過變化量
∆x 後，在x= a + ∆x 處的函數值是 f (a+ ∆x)。這 兩點函數值的真實差距為
∆y = f (a + ∆x) − f (a)
以(a, f (a)) 為切點作切線，切線斜率為 f′(a)，經 過變化量∆x後，在切線上的y的變化量是
f′(a)∆x
兩點函數值的差距∆y 與切線上的y 的變化量 f′(a)∆x，在∆x 很小的時候，兩者是非常
m = ∆y∆x ⇒
∆y = m∆x
接近的（圖是為了方便辨認所以把∆x畫很大）。既然兩者非常接近，那我就可以說：
∆y+ f′(a)∆x (2.11.1)
因為切線是直線，所以無論∆x 多麼小，其對應的 y 的變化量都是再乘上 f′(a)。即使是 無窮小量 dx，對應的 dy 也是 f′(a) dx。
總結以上討論，所謂的微分 differential ，就是局部地以切線代替曲線。於是它的一 個應用就是利用切線代替曲線的想法來估值。這又有另一個名稱，叫做線性逼近 ( linear approximation )。我們在高中學過內插法，那其實是以割線代替曲線！都是直線代替曲線 的一種，區別只是用割線或切線。
舉一具體例子，譬如說在 y= x2上先標出(2, 4)，我們想知道若y座標取4.3時，x座 標會是多少，換句話說就是求 p4.3。然而這個我們不太會算，於是就想到用切線代替曲
線。以(2, 4) 為切點作切線，我們看看在切線上，當y= 4.3 時，會對到的x 是多少。而
因為4.3離4還不算太遠，所以 y= 4.3在切線上對到的x 值，與其在曲線上所對到的x 值，便非常接近。在切點(2, 4)的附近，我們有
∆y+f′(2)∆x (2.11.2)
其中∆y = 4.3 − 4 = 0.3，而 f′(2)= 2x¯¯¯
x=2= 4，代入得 0.3+4· ∆x ⇒ ∆x+0.075 所以我們的估計就是
p4.3+2+ 0.075 = 2.075
然而用計算機求的精確值是
p4.3= 2.073644135···
果然，估計值與精確值相距並不遠。
以線性逼近來估計 p99.8。 解
與前面類似地，我們可以設 f (x)= x2，取切點(10, 100)。f′(x)= 2x，f′(10)= 20。 於是
−0.2+20· ∆x 移項得到
∆x+−0.01
所以我們的估計值是10+ (−0.01) = 9.99，而精確值是9.98999499···。 也可以換個方向寫，設 f (x)=px，f′(x)= 1
2p
x，f′(100)= 1
20。於是
∆y+ 1
20· (−0.2) = −0.01 所以估計值是10+ (−0.01) = 9.99。
例題 2.11.1
以線性逼近來估計tan(44◦)。 解
44◦就是 π
4−180π 。設 f (x)= tan(x)，f′(x)= sec2(x)，f′(π
4
)= 2。於是
∆y+2· (− π
180)= −π 90 所以估計值是1+ (−π
90)。 例題 2.11.2
在萊布尼茲一開始探索微分的世界時，其實他就是用 differential 的寫法。譬如說，我 們知道y= x2，d y
d x = 2x。而當年萊布尼茲是怎麼寫的呢？他是寫 dy= d(x2)= (x + dx)2− x2= 2x dx + dx2
然後他說，dx2那是比無窮小還要遠遠地小，所以可以略去不看。於是就變成 dy= 2x dx
而後來才有除過去
dy dx = 2x
微分的積法則，在某些書裡面稱呼為萊布尼茲法則。這樣稱呼正是因為當年是他導 出來的：
d(x y)= (x + dx)(y + dy) − x y = x dy + y dx + dx dy 接著忽略掉 dx dy，便有
d(x y)= x dy + y dx 這便是最原始版的微分積法則。
Exercise
1.
2. 基本題
1. 求出下列函數的導函數
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
2. 設 f (x)= x3+ 3x + 1，求 f−1(15)。 3.