O cos θ sin θ
1.5 連續函數的性質
函數連續是高等數學中非常重要的概念，在微積分的學習中，也必須熟知函數連續 的定義，及其相關性質與定理。
定義 1.5.1 連續的定義
函數y= f (x)在x= a處連續，若且唯若
xlim→af (x)= f (a)
而如果函數y= f (x)在區間I 上的每個點都連續，則稱 f (x)在區間I 上連續。如果 函數y= f (x)在整個實數 上連續，則稱 f (x)處處連續（continuous everywhere）。
在這個定義中，隱含了三個條件要成立：
1. 函數值 f (a)有定義 2. 極限 lim
x→af (x)存在 3. 上述兩者相等
只要其中一個不成立，便是不連續了。
為了方便，我們對於不連續點進行分類。如果極限值 lim
x→af (x)存在，則無論函數值
f (a) 是不存在，或是雖存在但與極限值不相等，我們皆稱之為可去間斷點 （removable
discontinuity）。如此命名，乃是因為我們可以透過重新定義 f (a)的值，來使得函數 f (x) 在x= a處連續。
如果極限值 lim
x→af (x)不存在，這種不連續點我們稱之為不可去間斷點 （irremovable
discontinuity）。無論我們如何定義 f (a)的值，都無法使函數 f (x)在x= a處連續。
而因為極限值不存在有多種情況，所以又可以對於不可去間斷點繼續細分。如果左 右極限皆存在，但兩者不相等，便稱為跳躍間斷點 （jump discontinuity）。如果某個單側 極限是無限大，則稱為無窮間斷點 （infinite discontinuity）。如果某個單側極限不存在，也 不是無限大，則稱為振盪間斷點 （oscilllating discontinuity）。
分析下列函數的連續性：
(1) f (x)=
{x2− 4
x− 2 , x,2 k , x= 2
(2) f (x)=
{ 1
(x+ 1)2 , x,−1 k , x= −1
(3) f (x)=
{sin(1 x
) , x,0
k , x= 0 解
例題 1.5.1
(1) 在x,2處，f (x)顯然是連續的，因為是連續的多項式除以多項式，結果也連續。
分析函數 f (x)=
1
1+ ex−11 , x,1 k , x= 1
在x= 1處的連續性。
解
這麼多層，簡直要看昏頭了！做題目時最忌諱被外表嚇到，可能它其實並不難。
我們從最內部慢慢來，針對最內層的 1
x− 1，考察左右極限
x→1lim+ 1
x− 1= ∞ lim
x→1−
1
x− 1= −∞
因此有
xlim→1+ex−11 = ∞ lim
x→1−ex−11 = 0 於是
x→1lim+
1
1+ ex−11 = 0 lim
x→1− 1
1+ ex−11 = 1
1+ lim
x→1−ex−11
= 1
左右極限皆存在，但不相等，故無論k為何值，x= 1處皆為跳躍間斷點。
例題 1.5.4
其實我對於性質的敘述，條件有點太強了，條件寬鬆點的版本如下。
性質 1.5.2
合成函數 y = f(g (x))，實數 a 在 g (x)定義域內、實數 b 在 f (x)定義域內，滿足
x→alimg (x)= b，若 (外層的) 函數 f (x)在x= b處連續，就可以把lim丟到 f 內部，即
x→alimf (g (x))= f(
xlim→ag (x))
= f (b)
定理 1.5.1
Bolzano
中間值定理如果函數 y= f (x) 在閉區間[a, b]上連續，在閉區間兩端點的取值分別為 f (a) 與
f (b)。則對於任意介於 f (a)與 f (b)之間的實數K，必存在介於a 與b 之間的實數
c，使得 f (c)= K。
中間值定理又可稱為介值定理。中間值定理的一個特殊情況，就是高一所學的勘根 定理（將上述之K 取為0罷了）。
定理 1.5.2 勘根定理
如果函數 y= f (x) 在閉區間[a, b]上連續，在閉區間兩端點的取值分別為 f (a) 與
f (b)，且 f (a)與 f (b)異號。則必存在介於a 與b 之間的實數c，使得 f (c)= 0。
證明 px2+ 5 = 4 − x有實根。
解
移項得
√
x2+ 5 + x = 4
設 f (x)= px2+ 5 − x 為處處連續函數，f (0)= p5< 4, f (2) = p
9+ 2 > 4，由中間值定 理，必存在c∈ (0,2)使得 f (c)= 4，即x= c 為 px2+ 5 = 4 − x之實根。
例題 1.5.5
函數的連續性看似平凡，大自然許多現象似乎都是連續的。比方說你開車，x(t )是 你的位置函數，這總不會是不連續的吧！然而直到十八世紀後，數學工具的發明促使對 於物理學的研究日益深入，物理學遇到的問題又啟發數學理論的拓展，我們開始看到許 多重要的不連續函數。函數的連續與否，是許多性質與定理成立與否的重要關鍵，礙於 目前介紹的數學還很少，大部分相關定理須待後面主題再作介紹。以下再列舉與函數連 續性有關的定理，它們對於微積分後面的主題是重要的。
定理 1.5.3
Weierst ass
最值存在定理如果函數 y= f (x)在閉區間[a, b]上連續，則函數 f (x)在此區間上存在最大值與最
小值。
定理 1.5.4 連續函數的反函數也連續
如果函數 y= f (x)在閉區間[a, b]上嚴格遞增且連續，則其反函數 f−1(x)在此區間
上亦嚴格遞增且連續。
Exercise
1.
2. 基本題
1. 對於下列隱函數求出 dy
dx
(1)ln( x− y)
= x y + y3 (2)x5+ y5= 5x y (3)
(4) (5) (6)
2. 曲線eyln(1+ y) + 1 = cos(x y)，求 dy
dx
¯¯¯
(1,0)。
微分
Contents
2.1. 微分的定義 . . . 68 2.2. 導數的性質與常見函數的導函數 . . . 74 2.3. 自然指數與自然對數. . . 84 2.4. 高階導數 . . . 94 2.5. 單側導數 . . . 98 2.6. 連鎖規則 . . . 105 2.7. 隱函數的求導 . . . 110 2.8. 反函數的求導 . . . 115 2.9. 取對數求導法 . . . 120 2.10. 參數式求導 . . . 124 2.11. 微分 ( differential ) . . . 130
伏爾泰
微積分是精確的計算和度量某種無從想 象其存在的東西的藝術。