O cos θ sin θ
2.1 微分的定義
在一條曲線 y= f (x)上取 A、B 兩點，並且拉出線段AB，這條線便叫割線。如果想 求割線的斜率，這是很容易的。只須拉出水平變化 ∆x 和鉛直變化 ∆y，再相除後得到 m=∆y∆x
A
B
A
B
∆y
∆x
如果是切線呢？有沒有辦法求出它的斜率？如下圖是以 A 點為切點的切線：
A
像這種問題，是有其具體意義的，並非只是數學家單純想要在幾何問題上求知。在 牛頓發展微分學的時候，他主要是想解決運動學上的問題。如果你把以上的圖想成是 s− t 圖，也就是說，圖中的函數代表著位置函數。橫軸改看成t 軸，代表時間t（time）；
縱軸改看成s 軸，代表物體的位置。那麼，A 點代表在某個時間，物體在某一個位置；B 點代表另一個時間，物體在另一個位置。當我們拉出割線，並求出斜率m=∆s
∆t。用位置
變化（位移）除以時間變化，求出來的東西就是平均速度。
舉個比喻，你從嘉義開車到台南1 ，速度時快時慢。而如果你直接把開車的起點和 終點拉出距離，再除以開車時間，求出來的就是平均速度。平均速度只不過是平均而言，
並不代表每個當下都是這個速度。當你開車時一邊注意儀表板，就會看到每個當下的瞬 時速度。
那如果沒有儀表板怎麼辦呢？如何從 s− t 圖中看出瞬時速度呢？就是求切線斜率！
s− t 圖中的割線斜率代表平均速度；切線斜率代表瞬時速度。
如果再講得更一般一點，這是變化率的問題！平均斜率m=∆y
∆x，這是y 方向的變化 除以x 方向的變化。這就是一種變化率，y 對x 的變化率。平均而言，x每增加1單位，
y會增加m單位。至於切線斜率，就是在那一瞬間的y 對x變化率。而就運動學上來說，
所謂速度其實就是位置對時間的變化率，位置變化除以時間變化。你也可以套在人口成 長的模型上，假設人口函數P (t )，那麼你在圖上拉割線斜率，就是人口對時間的變化率，
也就是人口增長率。
介紹完求切線斜率的動機，我們來看看切線斜率究竟要如何求出。如果我們在 A和 B 之間，多標幾個點，並且也都與 A 拉割線。可以看出，越靠近 A 的點，拉出來的割線 越接近切線。
1我們假設一路上都是直線開的，以避免探討速度的方向性問題。
A
求y= px在x= 2處的導數。
在上一題中，我們將不同處的導數都一一寫出。可以發現，計算過程的重複性實在
號是 f′(x)，在右上加一撇。這一撇也可以加在y 的右上，記為 y′。至於萊布尼茲，他是 將無窮小的∆x記為d x、無窮小的∆y 記為d y。這是取拉丁文中的「差」differentia 第一 個字母 d 。而 d 對應到希臘文，是δ，δ的大寫是∆。∆x和 dx都是表達x的差，其間區 別是後者是無窮小的差。而切線斜率，就是先寫出割線斜率 ∆y
∆x，再讓∆x趨近到 0，從 而∆y 也會同時趨近到0。於是就寫成 dy
dx！我們可以這樣想：
∆x→0lim
∆y
∆x= dy dx
你看這樣的符號，是否能幫助提醒你切線斜率是拿割線斜率取極限呢？往後我們還會繼 續看到萊布尼茲符號的好處！
定義 2.1.3 導函數的定義
函數y= f (x)的導函數 f′(x)，也可記為y′或 dy
dx。其定義為 f′(x)= lim
h→0
f (x+ h) − f (x) h
求y= x3+ x2，求y′。 解
hlim→0
[(x+ h)3+ (x + h)2]
−[
x3+ x2] h
= lim
h→0
3x2h+ 3xh2+ h3+ 2xh + h2 h
= lim
h→03x2+ 3xh + h2+ 2x + h
=3x2+ 2x y= x3+ x2的導函數y′= 3x2+ 2x。 例題 2.1.4
Exercise
1.
2. 基本題
1. 求出下列函數的導函數
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
2.
3.