極限與連續
1.3 連續函數與函數的極限
函數的連續性在數學上是很重要的課題，它會影響到許多性質、定理的成立，因此 也是非常有必要討論的。然而函數怎麼樣叫做連續呢？且讓我們先做點直觀上的討論。
圖 (a) 看起來就連續不斷。至於圖 (b) 出現一個斷點，它在x= 2時是無定義的。所以 在x= 2時不連續，在其它地方連續。圖 (c) 中在x= 0及x= 2處是有定義的，但很明顯 發生斷裂，也是不連續。至於圖 (d) 在靠近x= 0時不斷來回震盪，所以也是不連續。
(a)
2
(b)
2
(c)
2
(d)
Figure 1.4: 連續與否的幾種情況
看起來，連續與否似乎是能夠很直觀地去判斷的。但是學習數學，直觀雖說重要，
卻不可過度依賴。數學上常常會有與直觀相悖的事實出現，或者是直觀無法完全說明的 事。例如上圖(d) 或許也有人覺得看起來很連續呀，但是我覺得並不連續，那你覺得誰才 是對的？或是像
y=
{1 , x∈ 0 , x∈\
有人說它處處都有斷開，所以處處不連續。也有人說因為有理數是稠密的，所以畫出圖 來後，那些 y= 1應該是看起來很連續的。無理數也是稠密的，所以那些y= 0應該也都 很連續呀！如果你知道他說錯了，你要怎麼反駁他呢？甚至，這些還是考慮函數圖形的 情況，沒給你圖，你能幫我判斷 f (x)= ∑∞
n=00.78ncos(3nπx)是否連續嗎？
事實上，在微積分剛發展時，由於大多時候處理的都是連續函數，所以數學家們似 是不曾想過，也沒必要去在意這個問題。直到十八世紀時，開始在物理問題上出現一些 不連續函數，迫使數學家們在微積分的應用上必須面對函數可能不連續的問題。為了不 訴諸直觀、造成爭議的發生，數學家們逐漸在數學中使用形式化的定義取代口語的定義。
雖然形式化的定義會讓同學覺得好像很難讀，但其好處是可以幫助我們精確地下判斷。
從對於圖組 1.4 幾種情況的觀察中，我們對於連續下這樣的結論：如果函數 y= f (x) 在x= a處連續，那麼首先必須函數值 f (a)是有定義的，再來是在x= a的附近，函數值 的趨勢必須是越來越靠近(a, f (a))這個點。以上若不成立，就是不連續。如果以這個當 作判斷法則，就可以正確地區分出連續與否。然而，這就牽涉到了函數極限的概念。
定義 1.3.1 函數的極限
如果函數y= f (x)在x= a附近有定義，並且隨著x越來越靠近、無限地靠近a時，
函數值 f (x)隨之越來越靠近、無限地靠近某個值 L，則稱L 為函數在 x趨近到 a
時的極限。符號上可以記作：當x→ a，f (x)→ L。或者是使用lim符號：
xlim→af (x)= L
有了極限的概念以後，現在可以正式對連續下定義。
定義 1.3.2 連續的定義
函數y= f (x)在x= a處連續，若且唯若
xlim→af (x)= f (a)
而如果函數y= f (x)在區間I 上的每個點都連續，則稱 f (x)在區間I 上連續。如果 函數y= f (x)在整個實數 上連續，則稱 f (x)處處連續（continuous everywhere）。
別小看這一條式子，表面看似一條，其實是三個條件要成立：
1. 函數值 f (a)有定義 2. 極限 lim
x→af (x)存在 3. 上述兩者相等
當然嘛，你要說 A= B，先決條件 A 和B 要先存在，才談得上相等與否。而既然連續的 條件是三者成立，那麼只要其中一個不成立，便是不連續了。例如圖(b) 中的x= 2處是 函數值不存在；圖(c) 中的x= 0處函數值存在但極限不存在；圖(c) 的x= 2處則是函數值 與極限都存在，但兩者不相等；至於圖(d) 的x= 0處，那也是極限不存在。
為了方便，我們對於不連續點進行分類。如果極限值 lim
x→af (x)存在，則無論函數
值 f (a)不存在，或是雖存在但與極限值不相等，我們皆稱之為 可去間斷點（removable
discontinuity ）。如此命名，乃是因為我們可以透過重新定義函數值，或者在函數無定義處 補上函數值定義，來使其成為連續點。例如圖(b) 中的x= 2處，我們只要補上 f (2)，它 就變得連續了。以及圖(c) 的x= 2 處，我們改變 f (2)的值，使其與 lim
x→af (x)相等，就變 得連續。至於圖(c) 中的x= 0處與圖(d) 的x= 0處，無論我們怎麼定義 f (2)，都仍會是不 連續，這種不連續點我們稱之為 不可去間斷點（irremovable discontinuity ）。
目前對於連續的定義，算是大概有點概念了，但是現在要先花時間探討函數的極限。
待我們對於求函數極限更為熟習之後，才有辦法進行關於函數連續以及其它課題的探討。
求極限 lim x→21
解 常數函數y= 1是處處連續的，所以
x→2lim1= 1
2
例題 1.3.1
求極限 lim x→2x2
解 畫出拋物線 y= x2，因為拋物線處處連續，在 x= 2處也連續，所以
limx→2x2= 4
2 (2,4)
例題 1.3.2
目前你可能還不服氣：「你跟我說連續函數要用極限來定義，現在求極限又說因為 連續所以知道極限值！」以下介紹如何更解析地（analytically ）求極限值。不過在此之前，
還須再介紹多點關於連續函數。
一旦認識連續的定義 lim
x→af (x)= f (a)，那麼做極限時只要判定函數是連續的，就可以
直接代入，非常方便！哪些函數是連續的呢？基本常見的函數差不多都是連續的：
1. 冪函數xa a 可以是任意實數 2. 三角函數sin(x)和cos(x)
3. 指數函數ax 4. 對數函數logax
再配合以下這些基本性質：
性質 1.3.1 連續函數的基本性質
若 f (x)與g (x)皆在x= a處連續，c 為一常數，則以下函數也在x= a處連續：
1. f (x)± g(x) 2. c· f (x) 3. f (x)· g(x)
4. f (x)
g (x) 條件是g (a),0 5. f (g (x))
有了以上這些基本性質，我們就認識了更多連續函數！
求極限 lim
x→1x4− 5x3+ 3x2+ 2 解
因為 y= x4, y= x3, y= x2與 y= 2皆是處處連續的，所以將他們作線性組合後所 得之y= x4− 5x3+ 3x2+ 2也是處處連續的。因此
limx→1x4− 5x3+ 3x2+ 2 = 1 − 5 + 3 + 2 = 1 例題 1.3.3
求極限 lim x→3x2· 3x 解
y= x2與y= 3x 皆是處處連續的，相乘後所得之 y= x2· 3x 也處處連續。因此
x→3limx2· 3x= 32· 33= 243 例題 1.3.4
求極限 lim
x→π3tan(x) 解
y= sin(x)與y= cos(x)皆是處處連續的，相除後所得之y= tan(x) = sin(x)
cos(x) 在分母 例題 1.3.5
cos(x)不為0處（x,2k2+1π）都是連續的。因此
note
定義 1.3.3 單側極限
如果函數 y= f (x)在x= a的右側附近有定義，並且隨著x 由a的右側無限地靠近
a 時，函數值f (x)隨之無限地靠近某個值L，則稱L為函數在x趨近到a時的右極 限。符號上可以記作：當x→ a+，f (x)→ L。或者是使用lim符號：
xlim→a+f (x)= L 類似地可定義左極限，符號上記作
xlim→a−f (x)= L
認識了單側極限，便可以介紹下面這個有用的性質。
性質 1.3.2
若x= a為函數 f (x)定義域中的內點，換句話說，函數 f (x)在x= a的兩側附近有
定義。則
xlim→af (x)= L 若且唯若 lim
x→a−f (x)= lim
x→a+f (x)= L
若 f (x)=
{ x , x≤ 1
−(x − 2)2+ 2 , x > 1 ，求極限 lim
x→1f (x)。 解
這個分段定義函數如右圖，當 x由1的左邊趨 近2時，函數值是趨向 1；當 x由1的右邊趨 近2時，函數值也是趨向 1。用剛剛介紹的性 質來寫就是：因為
xlim→1−f (x)= lim
x→1−x= 1
x→1lim+f (x)= lim
x→1+
[− (x − 2)2+ 2]
= 1 左右極限皆存在，並且兩者相等，所以 lim
x→1f (x)= 1。 例題 1.3.11
若 f (x)={ −x
, x≤ 0 sin
(1 x
)
, x> 0 ，求極限 lim
x→0f (x)。 解
這個分段定義函數如右圖，因為當 x 由 0 的右邊趨近 0時，函數值是不斷來回振盪，
並不趨向一個定值的。所以右極限 lim x→0+f (x) 不存在，從而極限 lim
x→0f (x)不存在。
例題 1.3.12
求極限 lim
定理 1.3.1 夾擠定理
所以由夾擠定理，我們知道