2.4 ⾼階導數
2.6 連鎖規則
長得比較複雜一點的函數，譬如說sin(x2)，該怎麼求它的導函數呢？這種函數是合 成函數，我們這裡就要專門討論處理它的方式。
定理 2.6.1
如果y= f (u)是可導函數且u= g(x)也是可導函數。那麼合成函數y= f (g (x))也可 導，並且
d dx
[ f(
g (x))]
= f′(g (x))· g′(x)
這便是連鎖規則 ( chain rule ) 了，提供合成函數的求導方式。其中 f′(g (x))的意思是，
將外層的 f 求導完之後，裡面要代g (x)，而非x。
d
dxsin(x2) 錯解 1
△
!外層cos求導後變成sin，內層x2求導後是2x，所以答案是cos(x)·(2x)。 錯解 2
△
!求導外層，內層照代 x2，得到cos(x2)。 解
求導外層，內層照代 x2，內層x2求導後是2x，所以答案是cos(x2)·(2x)。 例題 2.6.1
連鎖規則可以看成是：f 先對u 求導，接著u再對x求導。這樣看就很明顯 f′裡面 該代u，也就是g (x)。
以萊布尼茲的記號，我們可以簡單地將連鎖規則視為 dy
dx = dy du· du
dx
想像等號右邊是兩個分數相乘，將 du 約分掉後得到等號左邊。這樣子想，連鎖規則就 會變得很好記了。當然這不是什麼嚴謹手法，但數學家已經幫我們做好嚴謹論證，早已 確定結果正確，所以我們大可放心地採用此種理解方式。
至於如果有三層函數合成在一起，像是 f(g (h(x)))，又怎麼辦呢？做數學的時候，常 常都是化繁為簡、用已知解未知。我們先看g (h(x))作是單單一個函數，先忘記它也是合 成函數，於是套連鎖規則
d
dxf ( g (h(x)) )= f′( g (h(x)) )· d
dxg (h(x))
接著再就g (h(x))本身去套連鎖規則
d
dxg (h(x))= g′(h(x))h′(x) 再代回去，就成了
f′(g (h(x))· g′(h(x))· h(x)
若以萊布尼茲的符號，就是
dy dx = dy
dv· dv du· du
dx
連鎖規則並沒有什麼難的，同學會發生的問題主要就是沒做熟。經常外層求導完了 忘了內層也要求導，或是忘了裡面要代u= g(x)，代成x。
d
dxsin2(x) 錯解
△
!求導外層得到2 sin(x)。 解
求導外層，乘上內層的導函數，得到2 sin(x) cos(x)。 例題 2.6.2
d dx
(x3− 7x2− 3x + 8)4
錯解
△
!求導外層得到4(x3− 7x2− 3x + 8)3。 解
求導外層，乘上內層的導函數，得到4(
x3− 7x2− 3x + 8)3
· (3x2− 14x − 3)。 例題 2.6.3
d dxln(
x2+ 1) 錯解 1
△
!對ln求導就是把它內部的東西丟到分母，所以是 1
x2+ 1。 錯解 2
△
!求導外層，乘上內層的導函數，得到 1
x·( 2x)
。 解
對ln求導就是把它內部的東西丟到分母，乘上內層的導函數，得到 1
x2+ 1·( 2x)
。 例題 2.6.4
d
dxesin(ln(x)) 錯解 1
△
!e 求導後不變，所以是esin(ln(x))。 錯解 2
△
!例題 2.6.5
認清楚眼前是三層的合成函數，外層是ex、中間是sin(x)、內層是ln(x)。求導 外層，乘上中間及內層的導函數，得到ex· cos(x) ·1
x。 解
求導外層，乘上中間及內層的導函數，並記得裡面要照代原來內部的東西，得 到esin(ln(x))· cos(ln(x))·1
x。
y= ln(ln(ln(x)))，求y′。 解
每一層都是ln(x)，共有三層。最外層求導後的 1
x，應該要代裡面的 ln(ln(x))， 所以寫成 1
ln(ln(x))。第二層求導後的 1
x，應該要代裡面的ln(x)，所以寫成 1
ln(x)。第三 層已經是最內層了，所以就寫 1
x。 總結以上，得到答案：
y′= 1
ln(ln(x))· 1 ln(x))·1
x = 1
x ln(x) ln(ln(x)) 例題 2.6.6
y= √
1+ tan(x2)，求y′ 解
y= 1
2√
1+ tan(x2)· sec2(x2)· (2x)
如果熟練點，也可以不必慢慢寫成一個一個乘，可以直接把後面的丟在分子 y= sec2(x2)· (2x)
2√
1+ tan(x2) 例題 2.6.7
d
dxetan(1x) 解
etan(1x)· sec2(1 x)·(−1
x2 ) 例題 2.6.8
y= x2sin2( 2x2)
，求y′。 解
例題 2.6.9
y′= 2x sin2( 2x2)
+ x2( 2 sin(
2x2)
· cos( 2x2)
·( 4x))
y= ln(
ex+p
1+ e2x)
，求y′。 解
y′= 1
ex+p 1+ e2x
(
ex+ e2x p1+ e2x
) 例題 2.6.10
y= ln( 1 x3
)，求 y′。
解
y′= 1 1 x3
(− 3 x4
)= −3 x
別走火入魔了，這樣並不好，應當先注意到y= ln( 1 x3
)= −3ln(x)。 例題 2.6.11
Exercise
1. 求出下列函數的導函數
(1) px2 (2)(x2+ x + 1)100
(3)sin(cos(x)) (4) y=p
1+ x3 (5)y=(x3
3 +x2 2 + x
)−1
(6)y= [(6x + x5)−1+ x]2 2. test
3.