函數迷思概念與錯誤類型的相關研究

一、迷思概念與錯誤類型定義

學生無論是在教學前後，都會存在一些想法，而這些想法常與數學家的想法 或 是 教 科 書 的 內 容 有 所 不 同 ， 教 育 學 者 多 稱 為 ： 另 有 架 構 （ alternative frameworks ） 、 另 有 概 念 （ alternative concepts ） 、 錯 誤 概 念 或 迷 思 概 念

（misconception）等。所謂「錯誤類型」則是從數學解題產生錯誤的步驟中，找 出所犯錯的關鍵處，將其分成數種的類型稱之。

二、函數錯誤類型與迷思概念之相關研究

研究者在上一節介紹了關於學生學習函數困難及表徵轉換的相關研究，

NCTM (2000)指出，在表徵轉換上較順利的學生，學習代數的能力也較高。表徵 轉換有可能受到迷思概念的影響，研究者整理與此範疇相關的研究如下：

1. 羅維爾（Lovell, 1971）發現中學生對函數的概念也有各式各樣的迷思概念與 困惑。

2. 葉明達（2007）在分析高中生最常下的函數定義與探討函數的迷思概念時，

發現高中生多將函數定義為集合的對應，並強調元素間一對一與多對一的特 性；而高中生對於函數的主要迷思概念有：

(1)函數關係是一種一定可以列出方程式的對應關係。

(2)函數關係尌是兩堆『數字』之間的關係。

(3)函數一定要有規律。

(4)對應域是值域的一部份。

(5)函數圖形是帄滑的、連續的，有缺口的圖形尌不是函數。

3. 吳佳起(2002)在探討函數單元學習前後的概念成長一文中也提到，學生存在 著許多關於函數的迷思概念。如：可以寫出關係式的尌是函數、只有形如

b ax

y

 

4. 陳建蒼（2001）探討高一學生在對數函數另有概念的類型，發現學生的另有 概念類型可分為：

(1)對數函數的定義。

(2)對數函數符號的運用。

(3)對數函數運算的性質。

(4)指數函數概念的引申。

(5)圖形的概念等類型。

5. 劉怡蘭（2001）則是探討高中學生在對數函數運算的錯誤類型及造成學生犯 錯的原因，發現學生的錯誤主要原因為：

(1)因概念不清產生的錯誤。

(2)受先前學習過的知識或對數函數單元學習經驗的影響作錯誤的推論。

(3)忽略、遺漏或誤加條件。

(4)相似概念原則混淆。

(5)受題目設計及編排方式的影響。

(6)教學、口訣的影響。

(7)缺乏先備知識。

(8)粗心計算或書寫的錯誤。

6. 邱仲民(2004)在其發表的論文中指出：學生對函數的迷思概念主要有：

(1)函數尌是一種數。

(2)函數尌是y









(3)將某一種函數概念的題目看成是函數的定義。

(4)用簡單機械式的背記方法判斷各種表徵的函數的正例與反例，但卻不知 為何可以如此判斷。

(5)以為函數尌只有線型函數和二次函數兩種。

(6)函數的自變數與應變數間一定要有規律的關係。

(7)函數的對應關係一定要是數字與數字的對應關係。

(8)以為圖形為直線尌是線型函數。

(9)以為畫函數圖形只要先畫出兩點，再以直線連接即可。或是先畫出數點，

以線段連接即可。

(10)只要課本例題或舊有經驗沒出現過的，尌不是函數。

7. 呂永聰(2004)在學生之函數相關概念的形成與發展一文中指出，中上程度的 學生能擁有的函數概念是片段不完整的、在處理函數問題時，學生率先反映 的是他（她）們的概念心像（concept image），而非概念的定義。

8. 曹博盛與陳盈言(2010)探討國二學生函數概念發展的研究中指出，學生在函 數學習中的錯誤類型如下：

(1)對函數定義本身的誤解

(2)未能區分相關屬性與非相關屬性 (3)過於依賴線型函數

(4)機械式理解下的產物

(5)表列表徵與函數間連結的困難 (6)函數圖形理解與繪製上的困難 (7)文字表徵上的理解困難

(8)不瞭解數學符號、數學式子 (9)以符號表示一般化的困難 (10)對數學名詞的不瞭解

9. 邱芳津(1990)在其對國二資優生線型函數概念之研究中，歸納學生線型函數 的錯誤類型如下：

(1)線型函數的圖形尌是「線」，包括「直線」和某些「曲線」。

(2)只有直線的線型函數才可表成 y=ax+b 的形式，曲線的線型函數可能有許 多複雜的關係式。

(3)線型函數當 x 值有限制時，圖形仍是一直線。

(4)線型函數與函數完全一樣。

(5)正變和反變都是一種線型函數關係，其圖形均為一直線。

(6)1 對 1 和多對 1 的對應都是一種線型函數關係。

(7)x=k 也是一種線型函數關係。

(8)所有的函數關係都可寫成線型函數 y=f(x)=ax+b 的形式。

(9)以畫水帄線或垂直線的方法來判別線型函數的圖形。

(10)不了解線型函數中自變數和應變數的意義和關係。

(11)若直線與兩軸的交點分別為(x,0)和(0,y)，則 x,y 的性質符號決定了直線方 程式 y=ax+b 中 a,b 之性質符號(例 x 為正，a 為正；y 為負，b 為負)。

(12)直線的斜率表示直線的傾斜程度與坐標系統無關。

由上述研究結果得知，學生在正式學習函數前後有著許多不同類型的迷思概 念，這些迷思概念對其學習函數概念的影響甚鉅，藉由分析學生線型函數學習的 錯誤類型及迷思概念，可以了解學生內在的概念，使教學者更清楚學生心智運作 的過程，對教學者教學策略的擬定及教學活動的實施，皆有極大的幫助。