斜率與線型函數教學的相關研究

研究者想探討：若把斜率概念提早至國中階段教授，對函數的學習是否有幫 助。各國課程綱要的比較研究將於下一節探討，本節則探討斜率與教學的相關研 究。

一、斜率

在本研究中，所謂斜率的定義為：在坐標帄面上，直線上的某點水帄往右一 單位時，再上下移動某位移量而回到直線上，此位移量我們稱為斜率。直線的斜 率和傾斜角一樣，也是反映直線相對於 x 軸正方向傾斜程度的幾何概念，它是研 究直線方程和兩條直線位置關係的重要依據，也是解題的重點觀點。

NCTM(2000)對於學生應該學習的數學內容及程序做了詳盡的說明，其中在

「代數」的主題上，認為 6-8 年級學生應做到探索符號表示和直線圖形的關係，

特別是截距與斜率的意義，NCTM(2000)認為透過樣式規律的學習活動，學生能 表示和分析數學情境，發展數學模式，並在問題情境下分析變數的特質。

二、斜率與線型函數教學的相關研究

雖然目前本國國中數學函數教學尚未引進斜率概念，主要是由表列和代數式 兩部份來進行教學，但實際上有不少的教學者已在上課中融入斜率概念，促使學 生在圖形與表列、圖形與代數式等表徵轉換上更為流暢，研究者將相關研究整理 如下：

1. 洪健寶(2005)在其研究中指出，小學四、五年級的「資優生」，是可以教其二 元一次方程式的概念及斜率概念。在其教學研究中，先教導學生有關斜率的 相關問題，進而發展到：若某直線的斜率為 k，可知直線上的某點往右一單位，

得再上升或往下降 k 單位，才能回到直線上；若往右二單位，則需上下移動 2 k 單位。這樣的對應模式，我們可用函數 f(x)



k



x表示之。

2. 蘇恭弘(2007)認為國中在介紹直線方程式時應加入「斜率」的概念。讓學生能 為高中課程直線方程式的學習作準備，同學會比較容易接受「兩點式」、「點 斜式」、「斜截式」、「截距式」等直線的求法與觀念。

3. 蘇恭弘(2007)在介紹函數圖形自編的教材中也可窺見其帶入斜率的概念。教材 內容分為「常數函數」、「一次函數」、「二次函數」部份，由於「二次函 數部份」是在國中九年級下學期才教到，故這部份便不引用在本研究內。如 下圖 2-2、圖 2-3：

圖 2-2

函數圖形自編教材 1

圖 2-3

函數圖形自編教材 2

該研究者並在自編教材中歸納出一些特性：

(1) 都是直線的型態，所以也稱之為「線型函數」。

(2) 通過原點的直線(如y



3x , y

 

4x,y



0.5x)，都沒有常數項。

(3) 往右高的圖形 (如y



2x



5)， x 的係數是「正數」，而往左高的圖形(如 1

3







x

y )， x 的係數是「負數」。

第 (3) 點中提到的 x 係數的方向性，在數學上稱之為「斜率」，意思 是 x 每增加 1 單位，y 會上昇多少個單位。此外，規定圖形往右上的斜率為 正，圖形往左上的斜率為負，如圖 2-4

圖 2-4

函數自編教材 3

4. 尤四維(2008)在其研究中指出，學生在線型函數解題中所遇到的困難，有一部 份是「具體操作」與「抽象概念」間的未能順利轉化，他提出有效連結並順 利轉化「具體操作」與「抽象概念」間的解題歷程如下：

(1) 透過各種直線圖形的描繪操作與討論活動，協助學生藉由動態操作活動 設計，發展出「直線方程式與圖形」、「截距」、「斜率」與「線型函 數圖形」等二元一次方程式圖形整體概念結構(垂直 y 軸、垂直 x 軸、通 過原點的斜直線、不通過原點的斜直線)。

(2) 統整「歸納」與「演繹」認知學習策略，學生將所習得的概念予以「歸 納」，將「直線方程式」、「截距」、「斜率」與「函數圖形」等整體 概念結構形成概念圖，進一步表徵所習得的整體概念結構。然而，僅單

靠「歸納」認知思維無法保證學生能有效轉化「具體操作」與「抽象概 念」兩者。相形之下，「演繹」是進一步檢驗概念結構個別性的認知思 維，例如：「截距」與「斜率」是由操作活動所發展出來的「抽象概念」，

透過「演繹」可以發展出整體直線圖形概念結構。

(3) 在「we are family—直線家族」操作與討論活動中，係協助學生透過動態 操活動設計，發展「直線圖形」、「直線方程式」、「截距」、「斜率」

與「函數圖形」等二元一次方程式圖形整體概念結構。節錄的訪談如下：

師:各位同學，直線y x 4

 1 與y4x及y6x三個圖形具有哪些不同特徵?

生一：都是直線（哄堂大笑）………

師：嗯！很好，圖形還有哪些不同特徵?

生二：看起來越來越斜………

師：各小組有沒有其他的想法？要幫這位同學補充。老師提示一下，這三條 直線「傾斜」的程度是有所不同，你觀察到了嗎?如果你看出來了，請你 再仔細想一想，有沒有辦法能從直線方程式的外觀看出來。

生三：嗯，有點難耶!好像是 x 前面的數字不太一樣，數字越小的越「不斜」。

師：很好，這位同學看出這三條直線的不同圖形特徵，我們用「斜率」這個 名詞表示直線傾斜的程度，而且 x 前面的數字越大代表直線越「斜」。

所以，以「斜率」這個參數作為描述直線圖形的特徵之一。大家同意？

同意（全班回答）。嗯！還有沒有其它參數用來描繪直線圖形特徵（教 室觀察，95/04/14）。

得到的結論為利用動態操作方式，可以建立學生另一個直線方程式圖形 表徵的「截距」概念，如何有效將「具體操作」活動轉化為數學「抽象概念」，

是一個值得深思的問題。

5. 黃齡慧 (2009)在其「數量樣式教學對國中生函數概念影響」研究中，設計了 一份教材，目標在使學生比較一次方項係數 a（斜率）在圖案樣式、表格形式 與（函數）圖形中之關連；與常數項 b（縱軸交點的位置、截距）在圖案樣式、

表格形式與（函數）圖形中之關連，如下圖 2-5、圖 2-6 所示。

圖 2-5

函數圖形自編教材 4

資料來源：黃齡慧 (2009)。數量樣式教學對國中生學習函數概念之影響（未出 版）(頁 35)。國立臺灣師範大學，臺北市。

圖 2-6

斜率在公式、圖案樣式、表格形式與文字中之關連

資料來源：黃齡慧 (2009)。數量樣式教學對國中生學習函數概念之影響（未出 版）(頁 36)。國立臺灣師範大學，臺北市。

主要教學目標在於對直線的斜率 a 能有初步的理解：當直線上的點每往右邊 一單位，再向上 a 單位時，尌可以再回到原直線上，此時 a 尌代表該直線的斜率。

除此之外，亦期望學生能了解函數的各種表徵方式，以及彼此間的關係，且能在 不同表徵間進行轉換。因此，教學者可強調並提醒學生注意這些關係中，與「比 例」有關的概念，藉以強化學習者的印象，舉例如下：

例如：以 f(n)



2n



1的圖形來說明：

若橫坐標 n 從 0 開始逐漸增大時，每增加 1 單位時，縱坐標 f(n)尌隨著增 加 2 單位。所以從(0,1)開始，到這條直線上任一點(n,f(n))，可發現：

3 2 6 2 4 1

2    

 ...

橫坐標改變的量 縱坐標改變的量

我們稱直線上的任意兩點間縱坐標改變的量與橫坐標改變的量之比值為此 直線的「斜率」，也尌是說：

直線的「斜率」＝

橫坐標改變的量 縱坐標改變的量

故那條直線的斜率與其關係式 f(n)



2n



1中 n 的係數都是「2」。

6. 黃齡慧(2009)指出，學生藉由函數的多種表徵方式：表列、圖形、代數式、

文字敘述等，能更深入理解函數的概念，並利用最適合的方式解決情境問題。

表列可以清楚、直接地表示出自變數與應變數之間的數值對應關係。函數的 圖形可以直觀地表示出函數地變化過程和趨勢。而函數的代數式可以比較全 面、簡潔地表示出變量之間的關係。

7. NCTM(2000)的課程標準中也指出，在中學階段學生應能探索符號表示與直線 圖形的關係，特別是截距與斜率的意義。如下表 2-4：

表 2-4

NCTM 的 K-12 年級數學代數方面課程標準 從帅稚園至 12 年級

學生能學到的數學知識

在 6-8 年級學生應能做到以下事項

瞭解樣式、關係與函數

※用表列、圖形、文字或一些符號規則，來呈現、

分析並一般化各種不同的樣式。

※比較不同形式表徵之間的關係

※從表列、圖形或方程式中找出線型或非線型函 數的不同性質，並能加以辨識。

用代數符號來描述與分析 數學的情境與架構

※對不同變數的用途，有初步的理解

※探索符號表示和直線圖形的關係，特別是截距 與斜率的意義

※使用代數符號來呈現情境與解題，特別是包含 線性關係的問題

※理解並形成簡易的等式形式之代數表示式，並 能解二元一次方程式。

從帅稚園至 12 年級 學生能學到的數學知識

在 6-8 年級學生應能做到以下事項

用數學模型來表示、了解數 量上的關係，並分析在不同 脈絡下數學內容的轉變

※能使用一些圖表和方程式等不同的表示方法，

來模式化與解決脈絡的問題。

※使用圖形來分析一些具有線性關係的量的變化

另外，研究者歸納目前國中的一次方程式教材作的編排流程如下圖 2-7 所 示：

圖 2-7

目前國中一次方程式教材編排流程圖

從上圖可發現，目前二元一次方程式是由代數式表徵開始，亦即先讓學生學 習代數式表示，進而找出滿足方程式的多組解，以便決定其表列表徵，再將那多 組解描點於坐標帄面上，藉此對圖形表徵產生連結（洪健寶，2005）。研究者認 為，如此的二元一次方程式圖形的教學，只是讓學生知道如何能描繪出方程式，

並沒有使他們獲得許多二元一次方程式圖形在坐標帄面上的相關概念，例如學生 可能不曉得方程式 ax+by+c=0 中的係數a ,,b c是與坐標帄面上直線方程式圖形的 斜率與 y 截距相關的，並且也可能不瞭解直線 x=h 或直線 y=k 在圖形上的意義 與特性。因此，如何讓國中學生在二元一次方程式單元中，連結到較多與圖形相 關的概念，乃研究者所關心的重點之一。

在線型函數教學中引進斜率概念，雖然在本國課程綱要中尚未加入，但實際 上部份教學者已在其自編教材中納入，甚至提出建議，認為應將斜率概念提早至

在線型函數教學中引進斜率概念，雖然在本國課程綱要中尚未加入，但實際 上部份教學者已在其自編教材中納入，甚至提出建議，認為應將斜率概念提早至

在文檔中 斜率概念對國中學生線型函數概念層次及表徵轉換影響之研究 (頁 38-46)