斜率概念對國中學生線型函數概念層次及表徵轉換影響之研究

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(1)國立臺灣師範大學數學系教學碩士班碩士論文. 指導教授：張幼賢博士. 斜率概念對國中學生線型函數概念層次及表徵轉換影響之研究. 研究生：黃士哲. 中華民國一百年八月.

(2) 摘要本文研究的目的為探討：一、探討引進斜率概念融入線型函數教學後，學生概念層次發展的情形。二、探討引進斜率概念融入線型函數教學後，學生表徵轉換改變的情形。三、探討引進斜率概念教學後，學生的錯誤類型。四、探討引進斜率概念在現行國中數學課程是否可行。本研究採用隨機分派的方式，選擇國中七年級學生做為研究對象，將受試班分為實驗組及對照組。在教學實驗開始前，兩組均接受「線型函數單元學習前測驗」，實驗組在接受現行版本線型函數教材的教學後，進行斜率補充教學，對照組則僅接受現行版本線型函數教材的教學。實驗組在接受翰林版本教學後，進行三節課的斜率教學；對照組則接受翰林版本教學後，進行三節的線型函數課程練習。在教學實驗結束後，兩組均接受「線型函數概念學習後測驗」，接著研究者在不同程度的學生中，隨機抽樣產生訪談的對象進行訪談，在後測經過約一個月後，兩組再接受「線型函數概念延後測驗」。並將蒐集的資料進行獨立樣本 t 考驗、卡方考驗及相關係數等統計分析。茲將研究結果主要發現摘述如下：一、接受斜率概念融入線型函數教學之實驗組學生，其概念發展三個層次的表現較對照組稍好，並已達統計上之顯著差異。二、斜率概念融入線型函數教學，對學生的概念提升至物化層次是較有幫助的。三、接受斜率概念教學，對於原本在壓縮層次的學生，其概念保留情形是較佳的。四、接受斜率概念融入線型函數教學的實驗組學生，在函數的各種表徵轉換的整體表現較對照組佳。. 關鍵字：斜率教學、線型函數、概念層次、表徵轉換、錯誤類型 I.

(3) 誌謝經過八年的掙扎與努力，終於到了這一刻，拿到了畢業證書，有一種如釋重負的感覺，但我相信，這也是另一份責任的開始。在這段求學的路上，經歷了與同窗切磋討論的美好時光，也曾經在決定論文題目及方向時挫折迷惘，更曾經在無法兼顧工作與論文的情況下心生退怯，一路上心情的起落，實非筆墨所能言喻。陳之藩說：「要感謝的人太多了，就感謝天吧！」我感謝老天爺，安排了許多在背後默默支持我的親人、老師及朋友，在我迷失方向時指引我；在我沮喪想放棄時鼓勵我；在我畢業時和我一起分享喜悅。這本論文的意義，除了代表這段求學期間努力的成果外，更是人生中不可抹滅的回憶。最要感謝的是我的指導教授－張幼賢教授，老師是我生命中的貴人，在我論文有效期限即將過期時，老師主動伸出手扶持與鼓勵我，讓我重新燃起信心，相信自己是有能力完成論文的。老師給了我充份的空間與機會，指引我方向，給予我中肯的建議與協助，耐心地找出論文中任何可能存在的矛盾與不足，並引導我思考和解決問題，老師的耐心與包容，以及做人處事的態度，更是我學習的榜樣，這段時間，我從老師身上獲益良多，謝謝您，老師！同時，也要感謝擔任學生口試委員的楊瑞智教授和曹博盛教授，特別挪出時間為學生口試，並且給予學生的論文許多精闢的見解，讓學生學習到做學問的嚴謹態度，也使學生的論文能夠更完整，在此特別感謝。另外要感謝左台益教授，在研究所求學期間，及論文寫作初期，左老師都給予學生諸多指導，也不厭其煩的和學生討論及修正論文的方向，和老師相處的那段時間，學生學習到紮實的基本功，在此特別致上由衷的謝意。感謝前輩李信仲老師，時時鼓勵及督促我，協助我找出論文中的問題，並且在我對統計束手無策時，信仲老師、秉鋒老師和師大的研究生楊忠璇小姐就像小 II.

(4) 叮噹一樣伸出援手幫助我，而景文科技大學的教授：建宏和衛華，則是犧牲自已的休息時間，伴我埋首於統計數字中，讓我順利完成論文的統計分析，感謝你們！還有春錦校長在每次聚會時的分析與激勵，以及一群夥伴們：明芳、友勇、宏清、繼輝的打氣，都是我繼續前進的動力。最後，要感謝我的家人，以及我的同事們，因為有你們的期望與協助，才讓我有力量完成論文，希望此份論文，能讓您們感到欣慰。「問渠哪得清如許？為有源頭活水來」，人生就是不斷的充實，使自己精進，期望能以此論文時時惕厲自己，讓自己未來的人生路途，能活得更精彩。也祝福所有愛護及照顧我的師長及親朋好友們，都能平安喜樂！. 黃士哲謹誌於國立臺灣師範大學數學教育研究所中華民國一百年八月. III.

(5) 目. 次. 摘要 ..................................................................................................................... …I 誌謝 ....................................................................................................................... II 目次 ...................................................................................................................... IV 表次 ...................................................................................................................... VI 圖次 ................................................................................................................... VIII 第一章緒論........................................................................................................... 1 第一節研究動機與研究目的 ............................................................................ 1 第二節研究理論依據 ........................................................................................ 6 第三節名詞釋義 ............................................................................................. 13 第二章文獻探討 ................................................................................................. 15 第一節第二節第三節第四節. 函數與表徵轉換的相關研究............................................................... 15 函數迷思概念與錯誤類型的相關研究 ............................................... 25 斜率與線型函數教學的相關研究 ....................................................... 29 現行各國中學數學課程綱要之比較研究 ........................................... 37. 第三章研究方法 ................................................................................................. 50 第一節研究設計 ............................................................................................. 50 第二節研究教材設計 ...................................................................................... 52 第三節研究對象與研究工具 .......................................................................... 60 第四節研究步驟與研究限制 .......................................................................... 70 第四章研究結果之分析與討論 .......................................................................... 74 第一節前測、後測、延後測試題難易度及鑑別度分析 ................................ 74 第二節前、後測線型函數概念層次分析 ....................................................... 80 第三節前、後測結果之分析討論 .................................................................. 95 第四節線型函數概念保留情形分析............................................................. 132 第五章結論與建議 ........................................................................................... 145 第一節結論 ................................................................................................... 145 第二節建議 ................................................................................................... 150. IV.

(6) 參考文獻 ............................................................................................................ 153 中文部份 ........................................................................................................ 153 西文部份 ........................................................................................................ 158 附錄 .................................................................................................................... 160 附錄一：線型函數概念成長前試題 .............................................................. 160 附錄二：斜率概念融入線型函數教學實驗教材 ........................................... 164 附錄三：線型函數概念成長後試題 .............................................................. 180 附錄四：線型函數概念保留試題 .................................................................. 184. V.

(7) 表. 次. 表 1-1：概念發展三階段 ....................................................................................... 8 表 1-2：Sfard 概念理論三步驟 .............................................................................. 8 表 2-1：「函數表徵與其子概念」的對應表 ........................................................ 15 表 2-2：線型函數概念三個主要表徵發展層次 .................................................. 18 表 2-3：Janvier 的轉換模式過程表 ..................................................................... 22 表 2-4：NCTM 的 K-12 年級數學代數方面課程標準 ........................................ 35 表 2-5：台灣數學課程正式綱要「代數」主題教學目標(第三階段 6、7 年級).38 表 2-6：台灣數學課程正式綱要階段與年級能力指標及其細目 (七年級) ........ 39 表 2-7：美國 NCTM2000 數學課程標準之「代數」教學目標（6－8 年級） . 41 表 2-8：台灣數學科綱要與加州公立學校數學內容綱要中能力指標之比較 .... 43 表 2-9：台灣與新加坡函數課程部份綱要比較 .................................................. 45 表 2-10：台灣與韓國課程綱要比較表 ................................................................ 47 表 2-11：1985 香港中學數學課程綱要 ............................................................... 48 表 2-12：2001 香港中學數學課程綱要 ............................................................... 49 表 3-1：翰林版七下第四章線型函數教材簡介 .................................................. 52 表 3-2：自編教材探討內容對照表 ...................................................................... 54 表 3-3：前測與 Sfard 概念理論對應表 ............................................................... 61 表 3-4：後測、延後測與 Sfard 概念理論對應表 ................................................ 61 表 3-5：前後測題目與層次對照表 ...................................................................... 62 表 3-6：前測之雙向細目表 ................................................................................. 63 表 3-7：前測各題目的測驗目標與層次對照表 .................................................. 64 表 3-8：後測之雙向細目表 ................................................................................. 65 表 3-9：後測各題目的測驗目標與層次對照表 .................................................. 66 表 3-10：延後測雙向細目表 ............................................................................... 67 表 3-11：延後測各題目的測驗目標與層次對照表 ............................................. 68 表 4-1：難度的評鑑標準 ..................................................................................... 75 表 4-2：鑑別度的評鑑標準表 ............................................................................. 76 表 4-3：前測試題分析表 ..................................................................................... 77 表 4-4：後測試題分析表 ..................................................................................... 78 表 4-5：延後測試題分析表 ................................................................................. 79 VI.

(8) 表 4-6：通過該層次的答對題數對應表（採用 CSMS 的標準） ....................... 80 表 4-7：據此設定標準而通過測驗的層次人數統計表(實驗組) ......................... 81 表 4-8：據此設定標準而通過測驗的層次人數統計表(對照組) ......................... 81 表 4-9：實驗組測驗通過層次之人數統計表(刪除錯誤樣本之後) ..................... 82 表 4-10：對照組測驗通過層次之人數統計表(刪除錯誤樣本之後) ................... 83 表 4-11：實驗組測驗層次安置統計表（刪除錯誤樣本之後） .......................... 84 表 4-12：對照組測驗層次安置統計表（刪除錯誤樣本之後） ......................... 85 表 4-13：實驗組前、後測層次變化表 ................................................................ 86 表 4-14：對照組前、後測層次變化表 ................................................................ 88 表 4-15：實驗組後測、延後測層次變化表 ........................................................ 91 表 4-16：對照組後測、延後測層次變化表 ........................................................ 93 表 4-17：實驗組與對照組線型函數概念前測之獨立樣本 t 檢定摘要表 ........... 95 表 4-18：實驗組與對照組線型函數概念後測之獨立樣本 t 檢定摘要表 ........... 96 表 4-19：相關係數標準 ....................................................................................... 96 表 4-20：前測與前測間相關係數表(底色部份為欲分析試題) ........................... 97 表 4-21：後測與後測間相關係數表(底色部份為欲分析試題) ........................... 97 表 4-22：前測與後測間相關係數表(底色部份為欲分析試題) ........................... 98 表 4-23：後測與延後測間相關係數表(底色部份為欲分析試題) ....................... 98 表 4-24：前測 4-1、後測 1 答對率分析表 ........................................................ 100 表 4-25：前測 10、後測 11 答對率分析表 ....................................................... 107 表 4-26：前測 5、後測 3、後測 4 答對率分析表............................................. 115 表 4-27：前測 7、前測 8、前測 9 答對率分析表............................................. 118 表 4-28：後測 1、後測 5、後測 10 答對率分析表 ........................................... 124 表 4-29：後測 1、後測 8 答對率分析表 ........................................................... 127 表 4-30：後測 9、後測 13 答對率分析表 ......................................................... 131 表 4-31：實驗組與對照組線型函數概念延後測之獨立樣本 t 檢定摘要表 ..... 132 表 4-32：後測 1、延後測三 1(2)答對率分析表 ................................................ 134 表 4-33：後測 8、延後測一 9 答對率分析表 ................................................... 136 表 4-34：後測 9、後測 13 延後測三 4(1)答對率分析表 .................................. 139 表 4-35：後測 3、後測 4 及延後測二 7 答對率分析表 .................................... 140 表 4-36：前測 10、後測 11、後測 12、延後測一 12 答對率分析表 ............... 144. VII.

(9) 圖. 次. 圖 1-1：概念形成的一般模式 ............................................................................... 7 圖 1-2：APOS 理論的運作模型 .......................................................................... 12 圖 2-1：函數表徵間可能的轉換.......................................................................... 23 圖 2-2：函數圖形自編教材 1 .............................................................................. 30 圖 2-3：函數圖形自編教材 2 .............................................................................. 30 圖 2-4：函數圖形自編教材 3 .............................................................................. 31 圖 2-5：函數圖形自編教材 4 .............................................................................. 33 圖 2-6：斜率在公式、圖案樣式、表格形式與文字中之關連 ........................... 33 圖 2-7：目前國中一次方程式教材編排流程圖 .................................................. 36 圖 3-1：本研究期望學生習得的知識結構圖 ...................................................... 55 圖 3-2：研究步驟的流程圖 ................................................................................. 72 圖 4-1：實驗組測驗層次安置統計長條圖(刪除錯誤樣本後)............................. 84 圖 4-2：對照組測驗層次安置統計長條圖(刪除錯誤樣本後)............................. 85. VIII.

(10) 第一章. 緒論. 第一節研究動機與研究目的. 一、研究動機教育是百年的大計，而數學又和日常生活息息相關，研究者從事數學教學工作二十餘年，見到許多學生在學習數學上游刃有餘，同樣地，也見到許多在數學上遭遇挫折的學生，他們大多在某個概念上出現問題，或許是直角坐標系象限的概念，也或者是從題目的文字敘述表徵，無法轉換成其他表徵，導致在函數的對應關係上，無法藉由題意畫出正確的函數圖形，同時也有部份學生，是受自己腦海中事先存在的迷思概念或是經由非正式教育得到的概念所影響。若能預先了解學生在表徵轉換時，會產生哪些困難，以及運用更適合的方式與概念來教學，可能對學生學習有所幫助。從過去國立編譯館的教材，到九年一貫的暫綱與正綱，直線方程式的單元一直都存在著。雖然在民國 89 年所頒布之國民中小學九年一貫國民課程暫行綱要中，沒有線型函數的單元，但是它的概念依舊融入在直線方程式與數學樣式的單元中。在國小的課本中，已經有了直角坐標中第一象限的概念，到了國中，則延續直角坐標系，探討直線方程式的圖形，將來高中將會更進一步的探索函數的概念，並做為大學學習函數的重要基礎。過去國立編譯館的教材，函數圖形有線型函數與二次函數，到了九年一貫的暫綱教材，則刪除了二次函數並將線型函數融入直線方程式的教材中，取消『函數』這個名詞，到了九年一貫的正綱教材，又恢復了線型函數與二次函數。不論課程大綱如何改變，在國中階段，學習直線方程式與圖形間的轉換，總是扮演著一個很重要的轉折點，更是將來高中學習函數的重要基礎。國民中學數學教師手冊第三冊（國立編譯館，2002b）中，曾經提到：「函數概念在今日數學中，扮演一個中心及整合的角色」；謝豐瑞與陳材河（1997）也認為「函數這 -1-.

(11) 個概念，在我國是學生從國中到大學都必頇學習的」。在現在的國中教材中，不管函數的名稱是否出現，函數概念都會融入教材中。陳盈言(2001)研究中指出，對函數的認識，在中年級時，學生應該著重在理解線性關係上；在中學時，他們應該擴大對函數的瞭解，並學習各類型函數的特徵。從上述不難發現，函數在課程上的重要性，不論國內國外，皆是不容置疑。對許多學生而言，函數在學習數學的過程中，是令他們非常頭痛的問題。若國中時沒有建構正確的概念，或是存有迷思概念沒有釐清，將會影響其後續的學習成果及表現。近年來學生語文能力低落，許多學生對於以數字呈現的計算題，能夠迎刃而解，但當數字轉換成文字，以應用問題的方式呈現時，學生卻無法正確的作答。對於讀題與解題時，在從讀題到圖像的過程中有著許多的困難，例如無法將文字描述轉換成圖形。已故的以色列數學教育家 Shimshon Abranham Amitsur 亦曾說過「光靠圖形的幫助是絕對不足以發現所有數學事實(或定理，或知識)，必頇能以數學的方式證明這些事實，而學生必頇也要能下結論（Sfard ,1997）。在 Anna Sfard (1991)的概念發展理論中提到，概念發展分成「內化」 (interiorization)、「壓縮」(condensation)和「物化」(reification)三個階段……知道了表徵轉換的過程為何，亦知道若在其中有一個階段遇到困難，便會對學生的學習會有很大的影響。而表徵的轉換是建構在概念心像上（Vinner,1983）。就知識表徵的觀點而言，數學理解就是獲得有力的表徵系統，並具有運用多重表徵的彈性，有效的進行數學思考（游自達，1995）。Lesh（1979）認為表徵具有多樣化的型式，表徵轉換能力是一個影響數學學習與解題能力的重要因子，而且強化或矯正這些能力有助於基本數學觀念的獲得。學生在表徵轉換中，除了從文字敘述轉換成圖形有困難外，從文字敘述轉換到代數式，或是代數式轉換成圖形，都有可能遇到困難。因此，學生如果能在不同表徵間順利的轉換，或是用不同的表徵型式，來表達同一個數學概念，那就代表學生對於欲表達的數學概念，已經完全的理解了（黃月帄，2004）。 Jerome S. Bruner (1973)從個體的認知發展論來看，認為在人類智慧的發展期間，分別有動作(enactive)、形象(iconic)、符號(symbolic)三種表徵系統在起作用，這三種表徵系統的相互作用，是認知生長或智慧生長的核心。近年來，國內外針對學生在學習時，表徵轉換所遇到的困難，也有許多學者做過多方面的研究，舉例如下： -2-.

(12) (一) Markovits, Eylon & Bruckheimer（1986）針對九年級（14－15 歲）且已修過函數相關課程的學生做研究，發現學生所舉的函數例子都侷限在代數式和圖形表徵，尤其是代數式表徵，而學生從圖形到代數式表徵之轉換比代數式到圖形表徵之轉換要來的困難。 (二) Markovits et al.（1986）發現在代數式和圖形表徵中，學生所能舉出的函數種類是有限的，以及他們（1988）發現對學生而言，因為圖形表徵是較視覺化的，或說定義域、值域和對應的規則是一起的，所以處理圖形表徵比代數式表徵容易（P. 57），認為學生必頇學習「表徵間的轉換」。 (三) 謝孟珊（2000）以 145 位國二學生為研究對象，探討學生解方程式時表現的差異，結果發現不同表徵下，解題表現差異的原因為：對文字符號的認知差異、代數式的認知差異、等號的認知差異、解題策略的認知差異、解題程序的認知差異、以及思考方式的差異；而造成這些原因最主要的可能因素是「教材的影響」。 (四) 陳盈言（2001）對台北市三所學校六個班級 163 位學生施行函數概念測驗，研究結果發現，學生在以下三個部份的表徵轉換及連結上產生困難： 1.表列表徵與函數概念間連結的困難 2.函數圖形理解與繪製上的困難 3.文字表徵上的理解困難另外，國際知名數學教育學者 Edward Dubinsky（1992）基於 Piaget 理論提出 APOS (Action-Process-Object-Schema)理論來描述數學的抽象概念如何形成。透過 APOS 所提的步驟，學生可以建立起抽象的數學概念。APOS 理論啟發我們，函數概念的教學應當注重以下幾個方面：第一，注重函數概念的現實背景和數學活動的開展。第二，重視函數概念的形成過程。第三，重視函數概念的物件化。第四，重視函數概念圖式的建構。故根據 APOS 理論，我們也可以探討現行國中數學課程綱要的改革方向。陳盈言（2001）研究中也提出，函數概念的教學，要關注學生函數概念的形成過程，幫助學生避免機械式的學習方式，讓學生體會函數能夠反應實際事物的變化規律，因此在教學過程中，應讓學生積極參與探索事物的數量關係，及變化規律的過程。學生在數理上的學習困難經常是缺乏某些概念而起，如同林碧珍 -3-.

(13) （1985）所說：「形成連續抽象化的結果，假若在一個特殊層次的概念無法完全瞭解，那麼接下來所發生的概念將會繼續造成一知半解，這種情況以數學方面比其他學科方面所發生的為多。」這不禁讓人聯想到，學生是否因缺乏某些概念而導致函數學習上的困難呢？例如：在判斷一次函數 y＝f (x)＝2x－3 的圖形時，學生可能利用該圖形與兩軸的交點坐標進行判斷，也可能是利用該圖形上的任意兩點進行判斷。但是，當一次函數含有未知係數時，如判斷 a＞0 時，一次函數 y＝f (x)＝ax－3 的可能圖形，學生就可能因為不知如何求得該圖形與兩軸的交點坐標，或找不出該圖形上的任意兩點，導致學習發生困難。因此，研究者在參考美國加州及韓國、香港等課程綱要後，發現這些國家在國中階段已引進斜率概念來教線型函數單元，但台灣目前斜率概念，是在高中直線方程的單元才提及，線型函數是國中生第一個接觸的函數概念，若能提早在國中教線型函數單元時，就引進斜率概念，也許可以加強學生表徵轉換的能力，尋找出線型函數的規律，減少學習上的困難度。因此，研究者以“線型函數”為主題，以 Sfard（1991）的「概念發展理論」、 Dubinsky（1992）的「APOS (Action-Process-Object-Schema)理論」及 Bruner（1973）的「表徵理論」為理論架構，以“七年級學生”為研究對象，透過不同國家中學數學課程綱要的比較，探討將目前台灣高中數學才教的斜率概念，提早到國中階段的線型函數單元引入，對學生在學習函數概念時，是否有所幫助與其可行性，以及是否能減少學生在學習函數時本身所擁有的錯誤類型，進而了解學生在學習線型函數圖形時，所產生的表徵轉換情形。期望能藉由這些了解，使教師們在教學時，能夠善用各種表徵轉換，使用更有幫助的教學法，使教學更有效果，學生們亦減少錯誤，獲得最大的收穫。. -4-.

(14) 二、研究目的本研究的目的有下列四項： (一) 探討引進斜率概念融入線型函數教學後，學生概念層次發展的情形。 (二) 探討引進斜率概念融入線型函數教學後，學生表徵轉換改變的情形。 (三) 探討引進斜率概念教學後，學生的錯誤類型。 (四) 探討引進斜率概念在現行國中數學課程是否可行。. 三、研究問題根據本研究目的，主要在了解下列問題：. （一）引進斜率概念融入線型函數教學，對學生線型函數概念的建構是否有影響？. （二）引進斜率概念融入線型函數教學，對學生表徵轉換是否有影響？影響方式如何？. （三）引進斜率概念融入線型函數教學，學生有哪些錯誤類型？（四）引進斜率概念融入線型函數教學，在國中階段是否可行？. -5-.

(15) 第二節研究理論依據本研究主要以 Sfard 的「概念發展理論」、Dubinsky 的「APOS 理論」及 Bruner 的「表徵理論」為理論依據，並且透過不同國家中學數學課程綱要的比較來進行研究。. 一、Sfard 的概念發展理論 Sfard（1991）認為過程（process）和物件（object）是一個數學概念的二元本質，她認為操作性（operational）概念和結構性（structural）概念之間是有一個很深的邏輯上的間隙。Kieran(1992）也曾說過：「教學上需在幫助學生建立函數的程序性（procedural）概念和結構性（structural）概念間的間隙的橋樑上多點努力」。Sfard 認為大部分的人是以操作性概念作為獲得新的數學概念的第一步，藉由一連串的活動來獲得新概念的存在性，然後概念會被視為一個靜態的結構，在處理數學概念時即是將其視為整體。操作性概念（operational conception）與結構性概念（structural conception）兩者比較起來，結構性概念在概念發展的階段上是較高階的，所以 Sfard 推論在概念發展的過程中，操作性概念先於結構性概念。Sfard（1991）將概念分成：（一）內化（interiorization）: 內化是指學習者透過一些對低階的數學物件操作逐漸熟悉，最後產生新的概念。學生在開始學函數的時候，他只知道老師要他做代入求值的動作，在經過一段時間的練習與經驗之後，他會去體悟到「代入一個 x 值會產生一個 y 值，而且只能有一個 y 值，這樣的對應關係就是函數」。因此，就線型函數而言，學習者能藉由操作過程瞭解：當給定一變數的值時，另一變數的值也跟著「有規則」的確定，我們即稱學習者已經達到「內化」的階段。（二）壓縮（condensation）可以將長串的處理流程縮短，看成一個較易處理的單位。這個濃縮處理的東西好比是一個電腦程式，轉入一個獨立的子程式處理問題。此時可做不同表徵. -6-.

(16) 之間的轉換。因此，就線型函數而言，學習者能將兩變數間的對應或變化過程濃縮成一個整體，我們即稱學習者已經達到「壓縮」的階段。（三）物化（reification）：可將一個抽象的數學概念看成一個物件，進而去操作這個物件。物化的最大特徵是能將一個抽象的東西當成一個物件（entity）來操作。函數的概念若達物化，則不需要再做代值的動作，而直接可以將這個抽象的函數概念當成具體的物件來操作。因此，就線型函數而言，當學習者能夠研究線型函數的一般性質、與其表徵之間的各種不同關係；並能夠處理其相關之問題時，我們即稱學習者已經達到「物化」的階段。此三個組織視為三個層次（hierarchy），即在前面的層次未達成前，無法進行到下一個層次。她認為概念形成起先是由於在具體物件上的運算，經由內化→壓縮→物化的過程，才逐漸形成物件 A，並一般化為概念 A；再透過運作於 A 的演算法，再經內化→壓縮→物化而形成物件 B，且一般化為概念 B；如此反覆運作（內化→壓縮→物化）遂形成較高層次的概念。. 圖 1-1 概念形成的一般模式. 資料來源：吳佳起 (2002)。函數單元學習前後的概念成長探討（未出版）(頁 8)。國立臺灣師範大學，臺北市。 -7-.

(17) 而 Sfard 的概念發展三階段綱要如下表 1-1：表 1-1 概念發展三階段階段. 階段內容特點. 第一階段：內化. 第二階段：壓縮. 第三階段：物化. ․學習者藉由過程慢慢 ․學習者運用更多的思 ․當有能力去理解、構熟悉，最後提升為新考能力將過程視為一想，將概念視為一完的概念。例如：代數個整體處理，而不是全成熟的物件時，即處理轉變為函數，是考慮細節，將過程看是物化。能立刻以全對於低階數學物件的成是一個輸入和輸出面性新觀點來看熟悉操作過程。漸漸地學的關係。的事物。習者藉由操作過程而 ․在此階段，概念才算 ․是靜態的，呈現一個更加熟練。正式產生。因為壓縮靜態的架構，學習者 ․當過程能被學習者考結合了本身過程與其可以研究此範疇之一量、分析及比較，不他過程，使得比較和般特質和與表徵之間再被拿出來操作則表一般化更為流暢。處的各種關係，並可依示達到內化了。理不同概念表徵的過照此範疇的例子解決程會更加流暢。問題。 ․物化的階段就是較高階層概念的內化。. 資料來源：修改自吳依芳 (2003)。建模教學活動對國二學生學習線型函數概念之影響（未出版）(頁 8)。國立臺灣師範大學，臺北市。. 研究者根據此理論，歸納出 Sfard 概念理論三步驟對應到線型函數的特徵如下：. 表 1-2 Sfard 概念理論三步驟步驟. 線型函數特點. 第一步驟：內化 ․當給定一變數的值時，學習者有. 第二步驟：壓縮第三步驟：物化 ․在表列上已能找到 x ․在代數式、圖形及文字敘述數列和 y 數列的規律。. 能力根據關係 ․能利用描點法在坐標. 三種表徵上，能區分出線型函數的正例與非例。. 式，找到另一變. 帄面上畫出線型函數 ․ 能夠了解線型函數中. 數的值，即為達. 的圖形。. y  ax  b 中，係數 a、b. 到內化的階段。 ․線型函數的代數式、圖形及文字敘述三種表徵的轉換。. 的性質與線型函數的關聯性。 ․能將線型函數當成是一個物件來操作。. 資料來源：修改自鄭維誠 (2002)。線型函數的學習對國二學生變數概念發展的影響（未出版）(頁 7)。國立臺灣師範大學，臺北市。 -8-.

(18) 由於 Sfard 的理論兼顧了現象的描述及概念發展的歷程，而本研究是探討七年級學生經過二至三星期函數學習後概念成長的歷程。另外，此理論和表徵的轉換亦有相關，故本研究便以此概念發展理論為理論架構。. 二、Bruner 的表徴理論 Bruner 是美國認知心理學家，大學時修習法律課程，後來轉念心理學課程， 1952 年任教於哈佛大學，Bruner 深受發展心理學家 Weiner 及 Piaget 的影響。 Bruner 的認知表徵理論有二個重點： 1. 將人類對環境中周遭的事物，經知覺而將外在或事件轉換為內在心理事件的過程，稱為認知表徵或知識表徵。 2. 特別強調學生的主動探索，認為從事物現象的變化中發現其原理原則，才是構成學習的主要條件。針對學童的認知發展，Bruner（1973）提出表徵理論，他把認知發展分成三個學習階段：動作表徵期 (Enactive Representation) 、形象表徵期 (Iconic Representation)、符號表徵期(Symbolic Representation)。他認為教學者必頇了解學生的認知結構，才能引導學生去主動的發現教材所包含的結構。在符號表徵時期的學童已進步到能使用符號來代表他們所認知的外在世界，並開始運用語言、邏輯及數學，而不再侷限於知覺心像。學童能以符號來代表知識和經驗，顯示學童的認知能力已發展到最高層次，並將步入青少年期，身心發展將有更大的突破。Bruner 認為學習是學習者依照現有及過去知識為基礎而建構概念或新知的主動過程，學習者係藉由認知結構，如基模或心智模式而選擇、改變知識，及建構其假設、形成決策，以對經驗提供意義和組織，並允許個人超越知識所給予的。 Bruner 以認知論為基礎，提倡啟發式教學法，重視語言教學，認為語言是認知發展的基礎，並且強調學習知識和身心成熟，對認知發展同等重要，而發現學習可以提早讓符號表徵期來臨。 Bruner（1973）主張人類智力的發展始終是沿著這三個表徵系統順序來前進，而且這三個表徵系統是不能相互取代的。他所主張的這三種人類處理信息、認識世界的方式，其實與人類發明創造的歷史演進過程極為相似（人類的演進先 -9-.

(19) 是擴展動作的能力，之後是擴展感覺的能力，最後是擴展推理的能力）（施良方， 1996）。從人類演進的過程的角度來看，的確能夠讓人接受這是一個很合理的概念發展順序，只是研究者認為這三個表徵系統也許會有重疊之處，因為以人來說，動作、感覺、推理這些能力擴展的順序應該是有可能會重疊的。由於本研究旨在研究學生學習線型函數時表徵轉換的能力，而線型函數有代數式、表列、圖形、文字敘述等多重表徵，符合 Bruner 的表徵理論，故本研究選用 Bruner 的表徵理論做為理論架構。. 三、Dubinsky 的「APOS 理論」 Dubinsky 是國際知名數學教育學者。他的主要貢獻在應用建構主義於高等數學教育的改進研究，對於函數教學上也有一定的貢獻。他基於 Piaget 理論提出 APOS (Action-Process-Object-Schema)理論來描述數學的抽象概念如何形成。透過 APOS 所提的步驟，學生可以建立起抽象的數學概念。Dubinsky 認為數學知識的本質是人的一種性向或傾向（tendency），種種傾向反應在一個人能確實瞭解數學問題的描述、以及該如何解答這問題的過程。也就是說，思考如何將數學問題與社會的脈絡（social context）結合，然後建構或重建構出解決問題的 action、 process 和 object，然後將整個過程組織為一個解題的基模（schema），最後再使用基模（schema）來解決問題。 Dubinsky(1992)認為學生在不同的時間和不同的地點，會以不同的方法來面對問題，即學生面對不同的問題情境時，會喚起不同的心智結構。而此心智結構並不是靜態的，且唯有透過心智架構的擴張，學習才會發生。一個人是不可能直接學習到數學概念的，更確切的說，人們是透過心智結構（mental structure）來使所學習的數學概念產生意義。假如一個人對於給予的數學概念擁有適當的心智結構，那他幾乎是自然就學到了這個概念。相反的，如果一個人無法建立起適當的心智結構，那學習數學概念幾乎是不可能的。因此，教學的目的就在於如何幫助學生建立適當的心智結構。為了達到這目的，Dubinsky 發展了 APOS 理論。. - 10 -.

(20) 他指出，學生在問題脈絡中，心靈上或肉體上反覆不斷地操弄(manipulate) 具體的物件(object)，漸漸地當這個操弄的行為(action)完整且深深地烙印在學生的腦海裡，或者已經不需要再透過步驟一步一步了解並且可以自由想像時，整個操弄的活動便內化(interiorization)成心智過程(process)。當心智過程(process)可以成為進一步操弄的對象而任意轉換時，這心智過程 (process) 就被膠囊化 (encapsulation)形成一個抽離脈絡且較形式化的物件(object)，這物件便成為進一步被操弄的對象。操弄具體物件的過程，形成了一個活動，這活動內化成心智過程，心智過程再膠囊化成為較為抽象的物件。整個過程會將學習者帶入較為抽象的層次，因而這整個將具體物件轉換以獲得較為抽象新物件的過程，便形成了一個基模(schema)。透過這樣子的循環過程，學生的基模(schema)將會不斷地擴張，所操弄的物件也將會愈來愈抽象，而所學的知識也會愈來愈形式。經歷了如此的學習過程，學生在處理類似情境問題的時候，已經不需要再另外建立一個新的基模。這個原來的基模便足以讓學生處理另外一個類似的情境問題，也就是說學生已經把這個基模一般化了。 APOS 理論啟發教學者，在進行函數概念的教學時，教師應注意概念產生的現實背景，精心組織學生開展數學活動，讓學生透過活動來獲得對概念的初步認識，也應當注重學生的探究，幫助學生充分地體驗概念的形成過程(王為民， 2010)。在此過程中，教師應合理地提出問題來引導學生對“活動”進行反思，加速“活動”朝著分化出概念本質屬性的方向進行；接著，讓學生經歷思維的抽象概括，初步形成概念得到定義。這樣學生獲得的不僅僅是函數的概念，更重要的是發展了抽象概括的思維能力。APOS 理論強調，只有當個體能夠把概念形成的過程視作一個新的對象，並進行研究或靈活運用時，一個完整的理解才算真正成型。在函數概念的教學中，教師不僅要幫助學生抽象得到定義，還應認真考慮如何使函數概念成為學生思維中的具體。除此之外，APOS 理論也指出，概念的建構還要上昇到“圖式階段”，即需要在知識的整體結構中深化對概念的認識和理解。“圖式階段”是一個漸進的建構過程，首先建立起的是函數概念的結構——包括函數概念的抽象過程、函數完整的定義、函數的具體實例、函數的形式化表示、一系列的子概念(定義域、值域、對應法則等)等；在此基礎上，隨著學習的深入和知識的積累，不斷地加強函數概念與不等式、方程式，數列、曲線、圖像等概念的區別和聯繫，建構起概念網 - 11 -.

(21) 路。教師應加強引導學生在知識體系的整體中深化對函數概念的理解（王為民， 2010）。下圖 1-2 為 APOS 的理論運作模型. 圖 1-2 APOS 理論的運作模型 Action. Interiorization. PROCESSES Coordination. OBJECTS. Inversion Encapsulation De-encapsulation. 資料來源： Dubinsky, E. (1992). Reflective Abstraction in Advanced Mathematical Thinking. In D.Tall(Ed.) Advanced Mathematical Thinking,Kluwer: Dordrecht,pp.95-126.. APOS 理論和 Sfard 的概念發展理論，同樣提到內化的過程，而最後也同樣是從較低階層的物件，經由壓縮或膠囊化的過程，達到一個整體的抽象新物件，兩個理論有異曲同工之妙，故本研究也採用 APOS 理論為理論架構。. - 12 -.

(22) 第三節名詞釋義為使意義明確，避免混淆，茲將本研究之重要名詞定義如下： 1. 函數（function）：有兩變數 x 與 y，對於任意給定的一個 x 值，都恰有一個 y 值與它對應，這時我們說 y 是 x 的函數（國立編譯館主編，1999）。 2. 線型函數（liner function）：根據國編本數學第三冊（1998）第四章第二節的內容，凡形如 f ( x)  ax  b 的函數，我們把它叫做線型函數。本研究的數學內容以翰林版數學第二冊（2010）第四章第二節的教材為主，包括線型函數的代數表徵及圖形表徵的意義。 3. 函數的不同表徵 (1) 代數式（formula）：定義域和值域裡的元素僅是些數或能給定適當計算法則的數學物元，如 y＝7x＋2。 (2) 表列（table）：可將函數的對應法則記錄在表格裡，定義域中的元素被填在表中的上列，而將它在值域裡的對應元素列於下方。如：定義域 0 值域. 2. 1. 2. 3. 4. 5. 9. 16. 23. 30. 37. (3)圖形（graph）：藉由帄面坐標系，使帄面上的點 P 皆是由每一對應的數對 ( x, y) 所繪成，而全部的點 P 就叫做此函數的圖形，按照定義域的特性和函數的方程式，可得到一序列的點、曲線某部份或連通的函數曲線。 (4)文字敘述（verbal description）：給定義域和值域一個恰當的描述，並訂出對應規則，據此規則，任何定義域中的元素均可找到值域中與之對應的唯一元素，此時只要用日常用語而不需數學符號就可以定義函數 4.. 錯誤類型：Kathlen(1987)指出所謂「錯誤類型」是從數學解題產生錯誤的步驟中，找出所犯錯的關鍵處，將之分成數種的類型稱之。本研究所討論的錯誤類型，是經過本研究的「線型函數概念成長前試題」、「線型函數概念成長後試題」，以及與學生訪談所發現錯誤種類之歸類而言。. 5.. 斜率：在坐標帄面上，直線上的某點水帄往右一單位時，再上下移動某位移量而回到直線上，此位移量我們稱為斜率。本研究所討論的斜率概念，僅侷 - 13 -.

(23) 限於直線在 y 軸上的點，水帄往右一單位時，再上下移動某位移量而回到直線上的位移量，並不涉及「斜率」這個名詞，也不歸納直線的「斜率」＝縱坐標改變的量。橫坐標改變的量. - 14 -.

(24) 第二章. 文獻探討. 本章分為四節，第一節是探討函數與表徵轉換的相關研究，第二節是關於函數迷思概念與錯誤類型的相關研究，第三節是斜率與函數教學的相關研究，第四節則是對於台灣、美國、新加坡、韓國、香港現行中學數學課程綱要之比較研究。. 第一節函數與表徵轉換的相關研究所謂「概念的理解」是有意義的去解釋數學知識的基礎，但怎麼樣才算是理解呢？Gardner（1991）認為：「展現理解的重要徵兆，是能夠以各種不同的方式來表徵同一個問題，然後從不同的觀點來尋找解決方案。單一、固定的表徵是絕對不夠的（陳瓊森與汪益譯，1996， P. 21）。」研究者認為，研究一個數學概念，除了研究此數學概念之本身，還要研究其子概念及其表徵。表 2-1 是 Markovits 等人（1986）所做的「函數表徵與其子概念」的對應表，此表在說明『文字』、『文氏圖』、『代數式』、和『圖形』這四種表徵中，如何去呈現「定義域」、「值域」、和「對應的規則」這三種函數的子概念，由此顯示函數的各種表徵是以其各自的特性，來呈現函數概念：. 表 2-1 「函數表徵與其子概念」的對應表表徵文字. 文氏圖. 代數式. 圖形. 子概念 x 軸或 x 軸的一部份 y 軸或 y 軸的值域一部份坐標系上點的對應的規則文字箭號公式集合資料來源：“Functions Today and Yesterday”by Markovits, Z., Eylon, B., ＆定義域. 文字或數學記號文字或數學記號. Bruckheimer, M, 1986,. 包含定義域中的元素包含值域中的元素. 文字或數學記號文字或數學記號. For the Learning of Mathematics, 6(2), 18-28. - 15 -.

(25) 歸納表 2-1，我們可以發現，這四個表徵都有其特徵，「圖形」表徵以視覺化的方式呈現，可以帶給學生整體的感覺。而「代數式」的表徵則比「文字」的表徵簡潔，但相對的也讓學生感到更抽象，至於「文氏圖」，由於在國中階段不會教到此種表徵，故不深入討論。其實，學習者若能在不同的表徵中處理同一個數學概念，而忽略不同表徵中所特有的非相關特徵，便可以藉由抓住此一概念的共同性質，而將概念抽象出來(丁斌悅，2002)。而簡單的說，不同的表徵可以提供不同的面相，使學習者獲得更深入、更完整、也更完善的概念理解（Even,1990）。以下尌「表徵」、「函數學習上的困難」及「表徵轉換」三方面探討。. 一、表徵的相關研究 Bruner 的表徵系統論，主張心智能力的發展必頇經過三種表徵方式：動作表徵期、形象表徵期、符號表徵期。學習活動皆是由具體到抽象，先有動作表徵方式的學習，而後轉為形象與符號表徵。Bruner 的表徵系統代表了學習是有階段性的特徵，是循序漸進的事件，他認為學習是學習者依照現有及過去知識為基礎而建構概念或新知的主動過程，學習者係藉由認知結構，如基模或心智模式而選擇、改變知識，及建構其假設、形成決策，以對經驗提供意義和組織，並允許個人超越知識所給予的。在 National Council of Teachers of Mathematics [NCTM]（2000）的學習準則 (Principles and Standards for school mathematics)尌指出了表徵的重要性：「數學中的想法如何被表徵」，關係到學生如何理解和使用這些想法。學習準則中強調：教導「有彈性的表徵」和「適當的運用」是數學學習的重要目標。對學生來說，「獲得表徵所要傳達的意義」將可以擴展其數學思考的能力。也因為在學習中所佔有的重要性，表徵被列為各學習階段強調的重要目標之一。準則中亦認為：教師在幫助學生發展重要表徵形式的意義時，扮演著重要的角色。國內外學者對於表徵的研究非常豐富。陳李綢（1986）利用他自編的表徵能力測驗，分別測量國小學生的動作表徵、形象表徵與符號表徵等三種認知表徵能力，藉以驗證 Bruner 認知發展理論的正確性、及其在台灣實際運用的可能性，結果發現：. - 16 -.

(26) 1.. 國小男女生的三種認知表徵能力沒有差異。. 2.. 各年級學生皆為動作表徵能力最高、形象表徵能力次之、符號表徵能力最低。. 3.. 年級愈高，三種表徵能力也愈高。 Janvier（1987a）認為線型函數的表徵有：文字敘述（verbal description）、. 表列式（table）、數學式（formula）、圖形（graph）四種；Markovits, Eylon,. ＆. Bruckheimer（1988）則認為在微積分之前的數學課程裡的函數表徵是：圖形（graph）、代數式（algebra）、表列式（table）、文氏圖（arrow diagram）四種。而 Even（1990）表示，函數一般的表徵有式子和圖形，其他的表徵有文氏圖、表列、序對集合（sets of ordered pairs）和來自日常生活與其他學科的情境。有一些學者嘗詴著對「表徵」和「心智」間的關係作詮釋，這些學者對表徵的看法，可分為「內在表徵」與「外在表徵」（Hiebert & Carpenter，1992）兩大類： 1.. 內在表徵：將表徵視為人類心智系統中的一特定知識結構，部分類似所謂的概念。此類偏個體內部的建構。如：von Glasersfeld（1987）、diSessa（1987）等(丁斌悅，2002)。. 2.. 外在表徵：指模式化各種心智過程時所使用的符號系統，如圖表、文字、……。此類偏建構此概念的外在具體形式。如：Lesh, Post,＆Behr（1987）等。總而言之，以目前來說，除了一些學者以內在表徵和外在表徵來對表徵做分. 類外，大多數學者（Markovits 等人，1986，1988；Janvuer，1987a；Dyke & Craine， 1999）提到表徵的種類時，所指的都是外在表徵的種類，且都有或多或少的重疊。在許多的研究結果裡發現，函數概念具複雜性的主要原因有： 1.. 函數本身非單一個概念，而是有許多子概念與其結合（如：定義域、值域、變數等）。. 2.. 函數概念經常與不同領域連結（如：代數與幾何）。. 3.. 同一個函數可以不同的表徵出現（如：表列、文氏圖、圖形、代數式或文字敘述）（Dreyfus & Eisenberg, 1982）。學生在學習函數時，產生了許多有趣的結果。例如：Markovits 等人（1986）. 發現在代數式和圖形表徵中，學生所能舉出的函數種類是有限的，他們發現對學 - 17 -.

(27) 生而言，因為圖形表徵是較視覺化的，或說定義域、值領域和對應的規則是一起的，所以處理圖形表徵比代數式表徵容易。尌台灣而言，以翰林版（2010）的國民中學數學教科書第二冊來說，它正是一次函數的『直線圖形』表徵引入「線型函數圖形」的概念。中外學者對於線型函數的表徵分類方式很多，研究者將之加以統整，並參考現階段國民中學翰林版數學教科書第二冊第四章、南一版高級中學數學教科書第一冊（林福來等，2001）全冊的內容，歸納出以下七種表徵（按照表徵出現之先後順序排列）： 1.. 表列. 2.. 代數式. 3.. 函數機器（Function machines） 4.. 5.. 數對. 6.. 圖形. 7.. 文氏圖(高中才出現). 文字敘述. 下表 2-2 為研究者整理丁斌悅(2002)利用 Sfard(1991)的理論來探討線型函數概念之三個主要表徵發展層次：. 表 2-2 線型函數概念三個主要表徵發展層次層次. 表徵. 表列. 內化. 代數式. 線型函數概念在表徵的相關發展 1.學生經由小學階段的數數兒，對個別變數變化有規則的一串數列，逐漸熟悉獲得經驗。.在內化階段之時，學生僅能著重於單一變數變化的規則性（等差數列），例如：1、3、5、7、9、11、…；尚無法同時看出兩個變數之間變化的規則性，例如： x. 1. 3. 5. 7. 9. ……. y. 3. 1. 1. 3. 5. ……. 1.代入一個 x 值而得到一個對應的 y 值，同樣的，代入一個 y 值也會得到一個對應的 x 值，這種永遠是一一對應的經驗逐漸得到，尌是線型函數的概念。這其中包括：(1)代入求值(2)代數式的形式由二元一次方程式 ax  by  c 轉化成 y  ax  b ，並進一步成為線型函數. y  f ( x)  ax  b 1.由二元一次方程式的畫圖，轉化成線型函數的畫圖。 2.學生知道線型函數方程式上的點，透過表列，可以將其一個一個畫在坐標帄面上；並且能藉由逐漸熟悉線型函數圖形的操作過程，知道只要找圖形. 到線型函數方程式上之兩點，加以連接成一直線即為其圖形，我們稱之為『線型函數』。 3.此時線型函數的定義已經出現，因為線型函數這個名詞與二次函數不同，線型函數是以圖形表徵為主體所下的定義，而二次函數則是以代數式表徵為主體所下的定義。 - 18 -.

(28) 1.學習者能在線型函數之表列上，同時看出兩個變數之間變化的規則性，表列. 此時學習者不僅能專注於單一變數的規則性，並且能從數數兒的經驗中，隨著題目的變化作適度的修正（皮亞傑稱之為：適應），正確地完成及擴充此表列。 2.此時學習者已能找出 x 數列與 y 數列的常數關係（規律性），即：. y  ax  b ⇒ y  ax  b （常數，此常數僅可以是正整數） 1.學習者能透過圖形上的表徵轉換，重複此一動作，得到凡是形式為. 壓縮. 代. y  f ( x)  ax  b 者，都是『線型函數』，也尌是說：只要看其代數式. 數式. 的形式符合 y  f ( x)  ax  b 者，尌是線型函數，否則便不是線型函數（逆命題亦成立）。 2.此時學習者已能確認線型函數是二元一次方程式的特殊形式（類型）。 1.學習者透過一連串的描點畫圖動作，得到凡是形如：者，便直接知道這是線型函數。也尌是說：線型函數的圖形都是直線；包括如下圖的斜直線與水帄線，但不包括鉛直線（逆命題亦成立）。. 圖形. 表列. 2.此時學習者已能歸納出線型函數圖形的樣子，上述三大類每一大類都代表一個直線族。學習者的線型函數概念若發展至「壓縮層次」，已有能力區分線型函數與二元一次方程式兩者之間的差別，能知道線型函數是二元一次方程式的一個子集合。 1.學習者能從線型函數之表列上，正確地掌握兩個變數之間的關係式。此時不論兩變數之間變化的規則多麼不容易看出來，學習者都有能力去加以完成及擴充此表列。 2.此時學習者已能確認 y 數列值減去對應 x 數列值的常數倍為一定值，此常數已不限於只是正整數，更複雜的分數亦能找出，即：. y  ax  b ⇒ y  ax  b（常數，此常數已能擴展至更複雜的分數）。物. 代. 學習者可以將 y  f ( x)  ax  b 當成一個物件來操作。例如：可以瞭解 a. 化. 數式. 與 b，在圖形上所代表的意義。此時學習者的表徵之間轉換已達成熟階. 圖形. 段，各種表徵之間的轉換並不會造成困擾或障礙。學習者可以將線型函數的圖形，如：當成一個物件來操作。例如：可以瞭解兩圖形之間的旋轉斜率、帄移…等直線族的關係。並且如上所述，此時學習者的表徵之間轉換已達成熟階段，各種表徵之間的轉換並不會造成困擾或障礙。. 資料來源：修改自丁斌悅（2002）。國二學生學習線型函數時的概念表徵發展研究（未出版）(頁 11-12)。國立臺灣師範大學，臺北市。. 由於函數的表徵如此複雜，故美國 NCTM(2000)建議，當學生經歷了函數的多重表徵（包括數值、圖形和符號）後，他們對函數概念的理解將隨之更為廣泛。 - 19 -.

(29) 二、函數學習的相關研究並非所有學生在表徵轉換上都很順利，也因此造成他們在函數學習上遇到不少困難。Markovits, Eylon & Bruckheimer（1986）對九年級（14－15 歲）且已修過函數相關課程的學生做研究，他們發現學生遭遇到以下的困難： 1.. 在不考慮問題的特殊本質下，三種函數：常數函數、分段函數（piecewise function）和以離散點表徵的函數對學生來說是困難的。. 2.. 學生常忽略定義域與值域。. 3.. 不論式子或圖形表徵，學生對「原像」和「像」的概念僅有部分的理解。. 4.. 學生所舉的函數例子都侷限在代數式和圖形表徵，尤其是代數式表徵。. 5.. 從圖形到代數式表徵之轉換比代數式到圖形表徵之轉換要來的困難。. 6.. 所舉的函數例子有傾向線性關係的現象。另一方面，Lovell（1971）也對中學二到五年級各 256 位學生與六年級 128. 位學生有關函數概念的研究結果顯示，學生的困難有： 1.. 許多二年級的學生並未抓住函數的基本概念，且在簡單的例子中無法分辨是否為函數的例子，有些學生將函數視為一種有規律的關係，如比例關係。. 2.. 當函數被定義成一對一和多對一的關係時，學生經常對函數關係是多對一還是一對多，感到困惑。. 3.. 許多二、三年級的學生無法解釋函數圖形的相關問題。. 4.. 學生困擾於具體、熟悉之生活情境中的問題。. 5.. 有關合成函數的問題，僅有少數高年級的學生可以處理。 Mayer(1985)將學生的錯誤分成三類：. 1.. 遺漏的錯誤(Omission error)：乃是因對命題不能完整回憶的結果。. 2.. 細節的錯誤(specification error)：是指在陳述句中，一個變數轉換到另外一個變數的能力不足所致，如公升改成公合。. 3.. 轉換的錯誤(transformation error)：無法將關係句形式轉換成為陳述句的形式。 Mayer 也指出，此三類錯誤中，以轉換的錯誤最為嚴重，其原因是由於很. 多學生對關係的回憶，缺乏表徵的語言所致。. - 20 -.

(30) 邱芳津（2000）對國二的資優學生進行線型函數的概念研究中提到，受詴者錯誤的函數概念有： 1.. 函數關係是一種一定可以列出方程式的對應關係。. 2.. 函數關係一定能寫出式子，但式子中的 x 不能在分母、根號和絕對值內。. 3.. 函數關係一定要成比例。. 4.. 函數尌是兩堆「數」之間的關係。. 5.. 函數有一定的規則尌是要能夠列出數學式，不能列出的尌不是函數。. 6.. 函數是一種很特別的數，它一定可以用來畫圖。. 7.. 函數要能寫成二元一次方程式。. 8.. 函數的圖形為一直線。. 9.. 函數尌是線型函數。. 10.. 函數尌是一種「數」。. 11.. 函數是線型函數的一種。. 12.. 兩個未知數可以寫成關係式的，它們尌有函數關係。. 13.. 函數尌像機器，給它一個數尌一定得到一個數，得不到數的尌不是函數。. 14.. 凡是在坐標上可以畫出圖形的，尌一定是函數。. 15.. 函數尌是一個數對應一個數，或是很多個數來對應一個數。 Dreyfus & Eisenberg (1982)指出：學生通常不瞭解變數的概念和函數符號. f (x) 的關係，例如：學生不瞭解 f (a) 與 f ( x)  a 的差別。而顏啟麟與羅昭強（1993）提出造成函數學習困難的原因之一，是函數概念把幾何和代數兩個似乎不相關的數學概念聯結在一起。因此，若能將視覺化的圖形表徵與代數符號表徵作緊密聯結，將可以使學生對函數的概念有較深入的瞭解。他們同時指出：函數概念不是單一的概念，而是含有許多相關的子概念，如變數、定義域、值域等等，而相同的函數卻有著不同的表徵方式，如列表、圖形、有序對、代數式與文字敘述等（邱芳津，2000）。既然表徵轉換對學生學習函數有如此大的影響，關係著學生迷思概念的澄清及函數學習的順利，學生在函數學習的表徵轉換能力尌更值得教學者重視。. - 21 -.

(31) 三、表徵轉換 NCTM (2000)在表徵上建議：學生可以創造且使用表徵去組織、記錄與溝通數學想法，並且可以有意義、靈活、適當的使用一套數學表徵，進而使用表徵去建模與解釋物理的、社會的、數學的現象。Greeno (1987) 認為在教學上，不同表徵系統之間的連結，對數學概念的外在表徵與個人內在認知表徵之間的關係是非常密切。也尌是教學表徵是經由特定的教學內容來呈現，使得表徵間能進行轉譯，而讓學生能在表徵與表徵間的轉換過程中，瞭解數學概念的特性並幫助理解。中外學者對於表徵轉換也有豐富的相關研究及文獻，研究者整理如下： 1. 顏啟麟與羅昭強（1993）提出造成函數學習困難的原因之一是函數概念把幾何和代數兩個似乎不相關的數學概念聯結。因此若能將視覺化的圖形表徵與代數符號表徵作緊密聯結，將可使學生對函數的概念有較深入的瞭解。 2. Janvier（1987）認為從教育學的觀點，現今許多教科書廣泛地使用表列與圖形以增進理解，每個人也同意在數學思維中使用符號是普遍的。Janvier 也說：如果能夠了解基本的表徵轉換過程，則關於一般化、抽象化、證明、符號化…… 的研究將會更有意義。而從一種表徵到另一種表徵，例如方程式到圖形，這中間的心理過程尌稱之為轉換，其轉換過程模式如下(葉明達，2007)：. 表 2-3 Janvier 之轉換模式過程表到從. 情境、口語描述（Situations,Verbal Description）. 表列（Tables）. 情境、口語描述. 測量. 表列. 閱讀. 圖形. 說明. 式子. 參數辨別（Parameter Recognition）. 圖形（Graphs）. 式子（Formulae）. 作草圖建立模型（Sketching）（Modelling）標點繪圖（Plotting）. 讀圖（Reading off）. 適用（Fitting）配合弧形（Curve fitting）. 計算作草圖（Computing）（Sketching）. 資料來源：葉明達 (2007)。「高中生函數迷思概念及表徵轉換能力之分析」。數學天地，25，8。 - 22 -.

(32) 3.. Markovits et al.（1988）指出初期的學習中，學生在函數圖形表徵的表現比代數表徵好。圖形是一種視覺化的表徵，可說是將函數概念圖形化，在圖形與函數間形成視覺化聯結，故從函數圖形入門學習函數概念是較適當的。. 4.. Leinhardt et al.（1990）認為函數的代數與圖形表徵是兩種非常不同的符號系統，並提出表徵轉換的意義如下： (1)確認相同函數的不同表徵。 (2)識別函數從一種表徵到對應表徵的特定轉換過程。 (3)指定其他的表徵，建構一種函數表徵。. 5.. Dyke 與 Craine（1999）則是認為教師在教學時應該使學生明白不同表徵間的連結。顯示提到函數的表徵時尌不能不注意到函數的各種不同表徵間的轉換。Dyke 與 Craine 兩人所提出的下列四種表徵彼此之間可能產生的 12 種轉換方式中，我們除了看到函數的數種表徵間可能的轉換方式，也得到「兩種表徵間的轉換是雙向的，而非單向」這個概念（吳淑琳，2001）。. 圖 2-1 函數表徵間可能的轉換真實情境的文字敘述. 圖形. 值表. 等式. 資料來源：吳淑琳（2001）。國中生線型函數概念發展之個案研究（未出版） (頁22)。國立臺灣師範大學，臺北市。. - 23 -.

(33) 6. 曹博盛與陳盈言(2010)探討國二學生函數概念發展的研究中，結論也提到，學生在函數學習主要錯誤類型中，有關表徵轉換困難部份如下： (1)表列表徵與函數概念間連結的困難 (2)函數圖形理解與繪製上的困難 (3)文字表徵上的理解困難 (4)不瞭解數學符號與式子 (5)以符號表示一般化的困難 (6)對數學名詞的不瞭解。由以上文獻得知，學生在函數學習上常遇到的困難，有許多是和表徵轉換能力相關，而在國中階段函數教學，會運用到的表徵為：文字表徵、圖形表徵、表列表徵及代數式表徵，故本研究接下來將會以這四個表徵為主，研究引進斜率概念，對學生在學習線型函數時，此四種表徵轉換能力的影響。. - 24 -.

(34) 第二節. 函數迷思概念與錯誤類型的相關研究. 一、迷思概念與錯誤類型定義學生無論是在教學前後，都會存在一些想法，而這些想法常與數學家的想法或是教科書的內容有所不同，教育學者多稱為：另有架構（ alternative frameworks ）、另有概念（ alternative concepts ）、錯誤概念或迷思概念（misconception）等。所謂「錯誤類型」則是從數學解題產生錯誤的步驟中，找出所犯錯的關鍵處，將其分成數種的類型稱之。. 二、函數錯誤類型與迷思概念之相關研究研究者在上一節介紹了關於學生學習函數困難及表徵轉換的相關研究， NCTM (2000)指出，在表徵轉換上較順利的學生，學習代數的能力也較高。表徵轉換有可能受到迷思概念的影響，研究者整理與此範疇相關的研究如下： 1. 羅維爾（Lovell, 1971）發現中學生對函數的概念也有各式各樣的迷思概念與困惑。 2. 葉明達（2007）在分析高中生最常下的函數定義與探討函數的迷思概念時，發現高中生多將函數定義為集合的對應，並強調元素間一對一與多對一的特性；而高中生對於函數的主要迷思概念有： (1)函數關係是一種一定可以列出方程式的對應關係。 (2)函數關係尌是兩堆『數字』之間的關係。 (3)函數一定要有規律。 (4)對應域是值域的一部份。 (5)函數圖形是帄滑的、連續的，有缺口的圖形尌不是函數。 3.. 吳佳起(2002)在探討函數單元學習前後的概念成長一文中也提到，學生存在著許多關於函數的迷思概念。如：可以寫出關係式的尌是函數、只有形如. y  ax  b 者才是函數、數值要有規律的增加，才是函數關係等。. - 25 -.

(35) 4.. 陳建蒼（2001）探討高一學生在對數函數另有概念的類型，發現學生的另有概念類型可分為： (1)對數函數的定義。 (2)對數函數符號的運用。 (3)對數函數運算的性質。 (4)指數函數概念的引申。 (5)圖形的概念等類型。. 5.. 劉怡蘭（2001）則是探討高中學生在對數函數運算的錯誤類型及造成學生犯錯的原因，發現學生的錯誤主要原因為： (1)因概念不清產生的錯誤。 (2)受先前學習過的知識或對數函數單元學習經驗的影響作錯誤的推論。 (3)忽略、遺漏或誤加條件。 (4)相似概念原則混淆。 (5)受題目設計及編排方式的影響。 (6)教學、口訣的影響。 (7)缺乏先備知識。 (8)粗心計算或書寫的錯誤。. 6.. 邱仲民(2004)在其發表的論文中指出：學生對函數的迷思概念主要有： (1)函數尌是一種數。 (2)函數尌是 y  ax  b 的式子，可以寫成 y  ax  b 的尌是函數。 (3)將某一種函數概念的題目看成是函數的定義。 (4)用簡單機械式的背記方法判斷各種表徵的函數的正例與反例，但卻不知為何可以如此判斷。 (5)以為函數尌只有線型函數和二次函數兩種。 (6)函數的自變數與應變數間一定要有規律的關係。 (7)函數的對應關係一定要是數字與數字的對應關係。 (8)以為圖形為直線尌是線型函數。 (9)以為畫函數圖形只要先畫出兩點，再以直線連接即可。或是先畫出數點，以線段連接即可。 (10)只要課本例題或舊有經驗沒出現過的，尌不是函數。 - 26 -.

(36) 7.. 呂永聰(2004)在學生之函數相關概念的形成與發展一文中指出，中上程度的學生能擁有的函數概念是片段不完整的、在處理函數問題時，學生率先反映的是他（她）們的概念心像（concept image），而非概念的定義。. 8.. 曹博盛與陳盈言(2010)探討國二學生函數概念發展的研究中指出，學生在函數學習中的錯誤類型如下： (1)對函數定義本身的誤解 (2)未能區分相關屬性與非相關屬性 (3)過於依賴線型函數 (4)機械式理解下的產物 (5)表列表徵與函數間連結的困難 (6)函數圖形理解與繪製上的困難 (7)文字表徵上的理解困難 (8)不瞭解數學符號、數學式子 (9)以符號表示一般化的困難 (10)對數學名詞的不瞭解. 9.. 邱芳津(1990)在其對國二資優生線型函數概念之研究中，歸納學生線型函數的錯誤類型如下： (1)線型函數的圖形尌是「線」，包括「直線」和某些「曲線」。 (2)只有直線的線型函數才可表成 y=ax+b 的形式，曲線的線型函數可能有許多複雜的關係式。 (3)線型函數當 x 值有限制時，圖形仍是一直線。 (4)線型函數與函數完全一樣。 (5)正變和反變都是一種線型函數關係，其圖形均為一直線。 (6)1 對 1 和多對 1 的對應都是一種線型函數關係。 (7)x=k 也是一種線型函數關係。 (8)所有的函數關係都可寫成線型函數 y=f(x)=ax+b 的形式。 (9)以畫水帄線或垂直線的方法來判別線型函數的圖形。 (10)不了解線型函數中自變數和應變數的意義和關係。 (11)若直線與兩軸的交點分別為(x,0)和(0,y)，則 x,y 的性質符號決定了直線方程式 y=ax+b 中 a,b 之性質符號(例 x 為正，a 為正；y 為負，b 為負)。 - 27 -.

(37) (12)直線的斜率表示直線的傾斜程度與坐標系統無關。由上述研究結果得知，學生在正式學習函數前後有著許多不同類型的迷思概念，這些迷思概念對其學習函數概念的影響甚鉅，藉由分析學生線型函數學習的錯誤類型及迷思概念，可以了解學生內在的概念，使教學者更清楚學生心智運作的過程，對教學者教學策略的擬定及教學活動的實施，皆有極大的幫助。. - 28 -.

(38) 第三節斜率與線型函數教學的相關研究研究者想探討：若把斜率概念提早至國中階段教授，對函數的學習是否有幫助。各國課程綱要的比較研究將於下一節探討，本節則探討斜率與教學的相關研究。. 一、斜率在本研究中，所謂斜率的定義為：在坐標帄面上，直線上的某點水帄往右一單位時，再上下移動某位移量而回到直線上，此位移量我們稱為斜率。直線的斜率和傾斜角一樣，也是反映直線相對於 x 軸正方向傾斜程度的幾何概念，它是研究直線方程和兩條直線位置關係的重要依據，也是解題的重點觀點。 NCTM(2000)對於學生應該學習的數學內容及程序做了詳盡的說明，其中在「代數」的主題上，認為 6-8 年級學生應做到探索符號表示和直線圖形的關係，特別是截距與斜率的意義，NCTM(2000)認為透過樣式規律的學習活動，學生能表示和分析數學情境，發展數學模式，並在問題情境下分析變數的特質。. 二、斜率與線型函數教學的相關研究雖然目前本國國中數學函數教學尚未引進斜率概念，主要是由表列和代數式兩部份來進行教學，但實際上有不少的教學者已在上課中融入斜率概念，促使學生在圖形與表列、圖形與代數式等表徵轉換上更為流暢，研究者將相關研究整理如下： 1. 洪健寶(2005)在其研究中指出，小學四、五年級的「資優生」，是可以教其二元一次方程式的概念及斜率概念。在其教學研究中，先教導學生有關斜率的相關問題，進而發展到：若某直線的斜率為 k，可知直線上的某點往右一單位，得再上升或往下降 k 單位，才能回到直線上；若往右二單位，則需上下移動 2 k 單位。這樣的對應模式，我們可用函數 f ( x)  k  x 表示之。 - 29 -.

(39) 2. 蘇恭弘(2007)認為國中在介紹直線方程式時應加入「斜率」的概念。讓學生能為高中課程直線方程式的學習作準備，同學會比較容易接受「兩點式」、「點斜式」、「斜截式」、「截距式」等直線的求法與觀念。 3. 蘇恭弘(2007)在介紹函數圖形自編的教材中也可窺見其帶入斜率的概念。教材內容分為「常數函數」、「一次函數」、「二次函數」部份，由於「二次函數部份」是在國中九年級下學期才教到，故這部份便不引用在本研究內。如下圖 2-2、圖 2-3：. 圖 2-2 函數圖形自編教材 1. 圖 2-3 函數圖形自編教材 2. - 30 -.

(40) 該研究者並在自編教材中歸納出一些特性： (1) 都是直線的型態，所以也稱之為「線型函數」。 (2) 通過原點的直線(如 y  3x , y  4 x , y  0.5x )，都沒有常數項。 (3) 往右高的圖形 (如 y  2 x  5 )， x 的係數是「正數」，而往左高的圖形(如. y  3x  1 )， x 的係數是「負數」。第 (3) 點中提到的 x 係數的方向性，在數學上稱之為「斜率」，意思是 x 每增加 1 單位，y 會上昇多少個單位。此外，規定圖形往右上的斜率為正，圖形往左上的斜率為負，如圖 2-4. 圖 2-4 函數自編教材 3. 4. 尤四維(2008)在其研究中指出，學生在線型函數解題中所遇到的困難，有一部份是「具體操作」與「抽象概念」間的未能順利轉化，他提出有效連結並順利轉化「具體操作」與「抽象概念」間的解題歷程如下： (1) 透過各種直線圖形的描繪操作與討論活動，協助學生藉由動態操作活動設計，發展出「直線方程式與圖形」、「截距」、「斜率」與「線型函數圖形」等二元一次方程式圖形整體概念結構(垂直 y 軸、垂直 x 軸、通過原點的斜直線、不通過原點的斜直線)。 (2) 統整「歸納」與「演繹」認知學習策略，學生將所習得的概念予以「歸納」，將「直線方程式」、「截距」、「斜率」與「函數圖形」等整體概念結構形成概念圖，進一步表徵所習得的整體概念結構。然而，僅單 - 31 -.