研究動機與研究目的

第一節 研究動機與研究目的

一、研究動機

教育是百年的大計，而數學又和日常生活息息相關，研究者從事數學教學工 作二十餘年，見到許多學生在學習數學上游刃有餘，同樣地，也見到許多在數學 上遭遇挫折的學生，他們大多在某個概念上出現問題，或許是直角坐標系象限的 概念，也或者是從題目的文字敘述表徵，無法轉換成其他表徵，導致在函數的對 應關係上，無法藉由題意畫出正確的函數圖形，同時也有部份學生，是受自己腦 海中事先存在的迷思概念或是經由非正式教育得到的概念所影響。若能預先了解 學生在表徵轉換時，會產生哪些困難，以及運用更適合的方式與概念來教學，可 能對學生學習有所幫助。

從過去國立編譯館的教材，到九年一貫的暫綱與正綱，直線方程式的單元一 直都存在著。雖然在民國 89 年所頒布之國民中小學九年一貫國民課程暫行綱要 中，沒有線型函數的單元，但是它的概念依舊融入在直線方程式與數學樣式的單 元中。在國小的課本中，已經有了直角坐標中第一象限的概念，到了國中，則延 續直角坐標系，探討直線方程式的圖形，將來高中將會更進一步的探索函數的概 念，並做為大學學習函數的重要基礎。過去國立編譯館的教材，函數圖形有線型 函數與二次函數，到了九年一貫的暫綱教材，則刪除了二次函數並將線型函數融 入直線方程式的教材中，取消『函數』這個名詞，到了九年一貫的正綱教材，又 恢復了線型函數與二次函數。

不論課程大綱如何改變，在國中階段，學習直線方程式與圖形間的轉換，總 是扮演著一個很重要的轉折點，更是將來高中學習函數的重要基礎。國民中學數 學教師手冊第三冊（國立編譯館，2002b）中，曾經提到：「函數概念在今日數 學中，扮演一個中心及整合的角色」；謝豐瑞與陳材河（1997）也認為「函數這

個概念，在我國是學生從國中到大學都必頇學習的」。在現在的國中教材中，不 管函數的名稱是否出現，函數概念都會融入教材中。陳盈言(2001)研究中指出，

對函數的認識，在中年級時，學生應該著重在理解線性關係上；在中學時，他們 應該擴大對函數的瞭解，並學習各類型函數的特徵。從上述不難發現，函數在課 程上的重要性，不論國內國外，皆是不容置疑。對許多學生而言，函數在學習數 學的過程中，是令他們非常頭痛的問題。若國中時沒有建構正確的概念，或是存 有迷思概念沒有釐清，將會影響其後續的學習成果及表現。

近年來學生語文能力低落，許多學生對於以數字呈現的計算題，能夠迎刃而 解，但當數字轉換成文字，以應用問題的方式呈現時，學生卻無法正確的作答。

對於讀題與解題時，在從讀題到圖像的過程中有著許多的困難，例如無法將文字 描述轉換成圖形。已故的以色列數學教育家 Shimshon Abranham Amitsur 亦曾說 過「光靠圖形的幫助是絕對不足以發現所有數學事實(或定理，或知識)，必頇能 以數學的方式證明這些事實，而學生必頇也要能下結論（Sfard ,1997）。

在 Anna Sfard (1991)的概念發展理論中提到，概念發展分成「內化」

(interiorization)、「壓縮」(condensation)和「物化」(reification)三個階段……知道 了表徵轉換的過程為何，亦知道若在其中有一個階段遇到困難，便會對學生的 學習會有很大的影響。而表徵的轉換是建構在概念心像上（Vinner,1983）。就知 識表徵的觀點而言，數學理解就是獲得有力的表徵系統，並具有運用多重表徵的 彈性，有效的進行數學思考（游自達，1995）。Lesh（1979）認為表徵具有多樣 化的型式，表徵轉換能力是一個影響數學學習與解題能力的重要因子，而且強化 或矯正這些能力有助於基本數學觀念的獲得。學生在表徵轉換中，除了從文字敘 述轉換成圖形有困難外，從文字敘述轉換到代數式，或是代數式轉換成圖形，都 有可能遇到困難。因此，學生如果能在不同表徵間順利的轉換，或是用不同的表 徵型式，來表達同一個數學概念，那就代表學生對於欲表達的數學概念，已經完 全的理解了（黃月帄，2004）。

Jerome S. Bruner (1973)從個體的認知發展論來看，認為在人類智慧的發展期 間，分別有動作(enactive)、形象(iconic)、符號(symbolic)三種表徵系統在起作用，

這三種表徵系統的相互作用，是認知生長或智慧生長的核心。

近年來，國內外針對學生在學習時，表徵轉換所遇到的困難，也有許多學者 做過多方面的研究，舉例如下：

(一) Markovits, Eylon & Bruckheimer（1986）針對九年級（14－15 歲）且已修過 函數相關課程的學生做研究，發現學生所舉的函數例子都侷限在代數式和圖 形表徵，尤其是代數式表徵，而學生從圖形到代數式表徵之轉換比代數式到 圖形表徵之轉換要來的困難。

(二) Markovits et al.（1986）發現在代數式和圖形表徵中，學生所能舉出的函數 種類是有限的，以及他們（1988）發現對學生而言，因為圖形表徵是較視覺 化的，或說定義域、值域和對應的規則是一起的，所以處理圖形表徵比代數 式表徵容易（P. 57），認為學生必頇學習「表徵間的轉換」。

(三) 謝孟珊（2000）以 145 位國二學生為研究對象，探討學生解方程式時表現 的差異，結果發現不同表徵下，解題表現差異的原因為：對文字符號的認知 差異、代數式的認知差異、等號的認知差異、解題策略的認知差異、解題程 序的認知差異、以及思考方式的差異；而造成這些原因最主要的可能因素是

「教材的影響」。

(四) 陳盈言（2001）對台北市三所學校六個班級 163 位學生施行函數概念測驗，

研究結果發現，學生在以下三個部份的表徵轉換及連結上產生困難：

1.表列表徵與函數概念間連結的困難 2.函數圖形理解與繪製上的困難 3.文字表徵上的理解困難

另外，國際知名數學教育學者 Edward Dubinsky（1992）基於 Piaget 理論提 出 APOS (Action-Process-Object-Schema)理論來描述數學的抽象概念如何形成。

透過 APOS 所提的步驟，學生可以建立起抽象的數學概念。APOS 理論啟發我們，

函數概念的教學應當注重以下幾個方面：第一，注重函數概念的現實背景和數學 活動的開展。第二，重視函數概念的形成過程。第三，重視函數概念的物件化。

第四，重視函數概念圖式的建構。故根據 APOS 理論，我們也可以探討現行國中 數學課程綱要的改革方向。

陳盈言（2001）研究中也提出，函數概念的教學，要關注學生函數概念的形 成過程，幫助學生避免機械式的學習方式，讓學生體會函數能夠反應實際事物的 變化規律，因此在教學過程中，應讓學生積極參與探索事物的數量關係，及變化 規律的過程。學生在數理上的學習困難經常是缺乏某些概念而起，如同林碧珍

（1985）所說：「形成連續抽象化的結果，假若在一個特殊層次的概念無法完全 瞭解，那麼接下來所發生的概念將會繼續造成一知半解，這種情況以數學方面比 其他學科方面所發生的為多。」這不禁讓人聯想到，學生是否因缺乏某些概念而 導致函數學習上的困難呢？例如：在判斷一次函數 y＝f (x)＝2x－3 的圖形時，

學生可能利用該圖形與兩軸的交點坐標進行判斷，也可能是利用該圖形上的任意 兩點進行判斷。但是，當一次函數含有未知係數時，如判斷 a＞0 時，一次函數 y＝f (x)＝ax－3 的可能圖形，學生就可能因為不知如何求得該圖形與兩軸的交點 坐標，或找不出該圖形上的任意兩點，導致學習發生困難。因此，研究者在參考 美國加州及韓國、香港等課程綱要後，發現這些國家在國中階段已引進斜率概念 來教線型函數單元，但台灣目前斜率概念，是在高中直線方程的單元才提及，線 型函數是國中生第一個接觸的函數概念，若能提早在國中教線型函數單元時，就 引進斜率概念，也許可以加強學生表徵轉換的能力，尋找出線型函數的規律，減 少學習上的困難度。

因此，研究者以“線型函數”為主題，以 Sfard（1991）的「概念發展理論」、

Dubinsky（1992）的「APOS (Action-Process-Object-Schema)理論」及 Bruner（1973）

的「表徵理論」為理論架構，以“七年級學生”為研究對象，透過不同國家中學數 學課程綱要的比較，探討將目前台灣高中數學才教的斜率概念，提早到國中階段 的線型函數單元引入，對學生在學習函數概念時，是否有所幫助與其可行性，以 及是否能減少學生在學習函數時本身所擁有的錯誤類型，進而了解學生在學習線 型函數圖形時，所產生的表徵轉換情形。期望能藉由這些了解，使教師們在教學 時，能夠善用各種表徵轉換，使用更有幫助的教學法，使教學更有效果，學生們 亦減少錯誤，獲得最大的收穫。

二、研究目的

本研究的目的有下列四項：

(一) 探討引進斜率概念融入線型函數教學後，學生概念層次發展的情形。

(二) 探討引進斜率概念融入線型函數教學後，學生表徵轉換改變的情形。

(三) 探討引進斜率概念教學後，學生的錯誤類型。

(四) 探討引進斜率概念在現行國中數學課程是否可行。

三、研究問題

根據本研究目的，主要在了解下列問題：

（一）引進斜率概念融入線型函數教學，對學生線型函數概念的建構是否有影 響？

（二）引進斜率概念融入線型函數教學，對學生表徵轉換是否有影響？影響方 式如何？

（三）引進斜率概念融入線型函數教學，學生有哪些錯誤類型？

（四）引進斜率概念融入線型函數教學，在國中階段是否可行？