研究理論依據

本研究主要以 Sfard 的「概念發展理論」、Dubinsky 的「APOS 理論」及 Bruner 的「表徵理論」為理論依據，並且透過不同國家中學數學課程綱要的比較來進行 研究。

一、Sfard 的概念發展理論

Sfard（1991）認為過程（process）和物件（object）是一個數學概念的二元 本質，她認為操作性（operational）概念和結構性（structural）概念之間是有一 個很深的邏輯上的間隙。Kieran(1992）也曾說過：「教學上需在幫助學生建立函 數的程序性（procedural）概念和結構性（structural）概念間的間隙的橋樑上多點 努力」。Sfard 認為大部分的人是以操作性概念作為獲得新的數學概念的第一步，

藉由一連串的活動來獲得新概念的存在性，然後概念會被視為一個靜態的結構，

在處理數學概念時即是將其視為整體。操作性概念（operational conception）與 結構性概念（structural conception）兩者比較起來，結構性概念在概念發展的階 段上是較高階的，所以 Sfard 推論在概念發展的過程中，操作性概念先於結構性 概念。Sfard（1991）將概念分成：

（一）內化（interiorization）:

內化是指學習者透過一些對低階的數學物件操作逐漸熟悉，最後產生新的概 念。學生在開始學函數的時候，他只知道老師要他做代入求值的動作，在經過一 段時間的練習與經驗之後，他會去體悟到「代入一個 x 值會產生一個 y 值，而 且只能有一個 y 值，這樣的對應關係就是函數」。因此，就線型函數而言，學 習者能藉由操作過程瞭解：當給定一變數的值時，另一變數的值也跟著「有規則」

的確定，我們即稱學習者已經達到「內化」的階段。

（二）壓縮（condensation）

可以將長串的處理流程縮短，看成一個較易處理的單位。這個濃縮處理的 東西好比是一個電腦程式，轉入一個獨立的子程式處理問題。此時可做不同表徵

之間的轉換。因此，就線型函數而言，學習者能將兩變數間的對應或變化過程濃 縮成一個整體，我們即稱學習者已經達到「壓縮」的階段。

（三）物化（reification）：

可將一個抽象的數學概念看成一個物件，進而去操作這個物件。物化的最大 特徵是能將一個抽象的東西當成一個物件（entity）來操作。函數的概念若達物 化，則不需要再做代值的動作，而直接可以將這個抽象的函數概念當成具體的物 件來操作。因此，就線型函數而言，當學習者能夠研究線型函數的一般性質、與 其表徵之間的各種不同關係；並能夠處理其相關之問題時，我們即稱學習者已經 達到「物化」的階段。此三個組織視為三個層次（hierarchy），即在前面的層次 未達成前，無法進行到下一個層次。她認為概念形成起先是由於在具體物件上的 運算，經由內化→壓縮→物化的過程，才逐漸形成物件 A，並一般化為概念 A；

再透過運作於 A 的演算法，再經內化→壓縮→物化而形成物件 B，且一般化為 概念 B；如此反覆運作（內化→壓縮→物化）遂形成較高層次的概念。

圖 1-1

概念形成的一般模式

資料來源：吳佳起 (2002)。函數單元學習前後的概念成長探討（未出版）(頁 8)。

國立臺灣師範大學，臺北市。

而 Sfard 的概念發展三階段綱要如下表 1-1：

由於 Sfard 的理論兼顧了現象的描述及概念發展的歷程，而本研究是探討七 年級學生經過二至三星期函數學習後概念成長的歷程。另外，此理論和表徵的轉 換亦有相關，故本研究便以此概念發展理論為理論架構。

二、Bruner 的表徴理論

Bruner 是美國認知心理學家，大學時修習法律課程，後來轉念心理學課程，

1952 年任教於哈佛大學，Bruner 深受發展心理學家 Weiner 及 Piaget 的影響。

Bruner 的認知表徵理論有二個重點：

1. 將人類對環境中周遭的事物，經知覺而將外在或事件轉換為內在心理事件 的過程，稱為認知表徵或知識表徵。

2. 特別強調學生的主動探索，認為從事物現象的變化中發現其原理原則，才 是構成學習的主要條件。

針對學童的認知發展，Bruner（1973）提出表徵理論，他把認知發展分成三 個 學 習 階 段 ： 動 作 表 徵 期 (Enactive Representation) 、 形 象 表 徵 期 (Iconic Representation)、符號表徵期(Symbolic Representation)。他認為教學者必頇了解學 生的認知結構，才能引導學生去主動的發現教材所包含的結構。

在符號表徵時期的學童已進步到能使用符號來代表他們所認知的外在世 界，並開始運用語言、邏輯及數學，而不再侷限於知覺心像。學童能以符號來代 表知識和經驗，顯示學童的認知能力已發展到最高層次，並將步入青少年期，身 心發展將有更大的突破。Bruner 認為學習是學習者依照現有及過去知識為基礎而 建構概念或新知的主動過程，學習者係藉由認知結構，如基模或心智模式而選 擇、改變知識，及建構其假設、形成決策，以對經驗提供意義和組織，並允許個 人超越知識所給予的。

Bruner 以認知論為基礎，提倡啟發式教學法，重視語言教學，認為語言是認 知發展的基礎，並且強調學習知識和身心成熟，對認知發展同等重要，而發現學 習可以提早讓符號表徵期來臨。

Bruner（1973）主張人類智力的發展始終是沿著這三個表徵系統順序來前 進，而且這三個表徵系統是不能相互取代的。他所主張的這三種人類處理信息、

認識世界的方式，其實與人類發明創造的歷史演進過程極為相似（人類的演進先

是擴展動作的能力，之後是擴展感覺的能力，最後是擴展推理的能力）（施良方，

1996）。從人類演進的過程的角度來看，的確能夠讓人接受這是一個很合理的概 念發展順序，只是研究者認為這三個表徵系統也許會有重疊之處，因為以人來 說，動作、感覺、推理這些能力擴展的順序應該是有可能會重疊的。

由於本研究旨在研究學生學習線型函數時表徵轉換的能力，而線型函數有代 數式、表列、圖形、文字敘述等多重表徵，符合 Bruner 的表徵理論，故本研究 選用 Bruner 的表徵理論做為理論架構。

三、Dubinsky 的「APOS 理論」

Dubinsky 是國際知名數學教育學者。他的主要貢獻在應用建構主義於高等 數學教育的改進研究，對於函數教學上也有一定的貢獻。他基於 Piaget 理論提出 APOS (Action-Process-Object-Schema)理論來描述數學的抽象概念如何形成。透過 APOS 所提的步驟，學生可以建立起抽象的數學概念。Dubinsky 認為數學知識的 本質是人的一種性向或傾向（tendency），種種傾向反應在一個人能確實瞭解數 學問題的描述、以及該如何解答這問題的過程。也就是說，思考如何將數學問題 與社會的脈絡（social context）結合，然後建構或重建構出解決問題的 action、

process 和 object，然後將整個過程組織為一個解題的基模（schema），最後再使 用基模（schema）來解決問題。

Dubinsky(1992)認為學生在不同的時間和不同的地點，會以不同的方法來面 對問題，即學生面對不同的問題情境時，會喚起不同的心智結構。而此心智結構 並不是靜態的，且唯有透過心智架構的擴張，學習才會發生。一個人是不可能直 接學習到數學概念的，更確切的說，人們是透過心智結構（mental structure）來 使所學習的數學概念產生意義。假如一個人對於給予的數學概念擁有適當的心智 結構，那他幾乎是自然就學到了這個概念。相反的，如果一個人無法建立起適當 的心智結構，那學習數學概念幾乎是不可能的。因此，教學的目的就在於如何幫 助學生建立適當的心智結構。為了達到這目的，Dubinsky 發展了 APOS 理論。

他指出，學生在問題脈絡中，心靈上或肉體上反覆不斷地操弄(manipulate) 具體的物件(object)，漸漸地當這個操弄的行為(action)完整且深深地烙印在學生 的腦海裡，或者已經不需要再透過步驟一步一步了解並且可以自由想像時，整個 操弄的活動便內化(interiorization)成心智過程(process)。當心智過程(process)可以 成 為 進 一 步 操 弄 的 對 象 而 任 意 轉 換 時 ， 這 心 智 過 程 (process) 就 被 膠 囊 化 (encapsulation)形成一個抽離脈絡且較形式化的物件(object)，這物件便成為進一 步被操弄的對象。操弄具體物件的過程，形成了一個活動，這活動內化成心智過 程，心智過程再膠囊化成為較為抽象的物件。整個過程會將學習者帶入較為抽象 的層次，因而這整個將具體物件轉換以獲得較為抽象新物件的過程，便形成了一 個基模(schema)。透過這樣子的循環過程，學生的基模(schema)將會不斷地擴張，

所操弄的物件也將會愈來愈抽象，而所學的知識也會愈來愈形式。經歷了如此的 學習過程，學生在處理類似情境問題的時候，已經不需要再另外建立一個新的基 模。這個原來的基模便足以讓學生處理另外一個類似的情境問題，也就是說學生 已經把這個基模一般化了。

APOS 理論啟發教學者，在進行函數概念的教學時，教師應注意概念產生的 現實背景，精心組織學生開展數學活動，讓學生透過活動來獲得對概念的初步認 識，也應當注重學生的探究，幫助學生充分地體驗概念的形成過程(王為民，

2010)。在此過程中，教師應合理地提出問題來引導學生對“活動”進行反思，加 速“活動”朝著分化出概念本質屬性的方向進行；接著，讓學生經歷思維的抽象概 括，初步形成概念得到定義。這樣學生獲得的不僅僅是函數的概念，更重要的是 發展了抽象概括的思維能力。APOS 理論強調，只有當個體能夠把概念形成的過 程視作一個新的對象，並進行研究或靈活運用時，一個完整的理解才算真正成 型。在函數概念的教學中，教師不僅要幫助學生抽象得到定義，還應認真考慮如 何使函數概念成為學生思維中的具體。

除此之外，APOS 理論也指出，概念的建構還要上昇到“圖式階段”，即需要 在知識的整體結構中深化對概念的認識和理解。“圖式階段”是一個漸進的建構過 程，首先建立起的是函數概念的結構——包括函數概念的抽象過程、函數完整的

除此之外，APOS 理論也指出，概念的建構還要上昇到“圖式階段”，即需要 在知識的整體結構中深化對概念的認識和理解。“圖式階段”是一個漸進的建構過 程，首先建立起的是函數概念的結構——包括函數概念的抽象過程、函數完整的