研究教材設計

本研究配合當時學校教學情況，研究者設計了一份教材進行教學實驗，礙 於教學時數的壓力，教材實施的節數為三節課，本次教學實驗的國中使用的教 材為七年級「翰林」版。實驗教材實施前，實驗組與對照組均以第二冊第四章第 二節「線型函數的圖形」為教學內容，進行線型函數教學，待授課結束後，實驗 組再進行三節課的斜率教學；對照組則進行三節的線型函數課程練習。實驗教 材的設計，研究者是以 Dubinsky 的 APOS（Action-Process-Object-Schema）理論 為依據，設計出研究者所使用教材。本節研究者首先針對翰林版的教材及單元 目標做介紹，再就所設計的教材和 APOS 理論連結的部份做說明。

一、翰林版教材的設計

99 年下學期翰林版第二冊的教材中，關於「線型函數」單元課程內容的簡 介如下表 3-1：

表 3-1

翰林版七下第四章線型函數教材簡介

版本 單元名稱 單元目標

翰林

第 4 章 線型函數 4-1 變數與函數 4-2 線型函數與

函數圖形

了解變數與常數的意義。

了解函數值的意義。

認識一次函數與常數函數的意義。

能了解函數圖形的意義，並畫出一次函數的圖形。

能畫出常數函數的圖形，並了解線型函數的意義。

資料來源：翰林出版事業股份有限公司 (2010)。國民中學數學第二冊。台北 市：翰林。

研究者分析翰林版教材的教學歷程為：在學習此單元前，學生分別在第二 章第二節學過了「二元一次方程式的圖形」，及第三章第三節學到了「正比與反 比」的概念，在讓學生有這些先備知識的背景下，進行線型函數教學。在第四章 第一節進入函數概念的學習前，先從已了解的實例開始，讓學生學習兩變數所 隱含的對應關係，有些可用數學式子表示，如：影印的張數和費用間的關係，

有些則無法用數學式子表示，如：班上座號和成績的關係。進一步了解變數與 函數的意義，然後引入符號 f(x)的使用，來了解函數值的意義。接著在第四章 第二節先認識一次函數與常數函數，然後了解函數圖形的意義，再進行一次函 數與常數函數的教學，以及認識線型函數的意義。另外也進行非連續型函數圖 形的畫圖教學，和介紹非線型函數的圖形，以免學生看到函數就以為是直線圖 形，最後再進行函數圖形應用的教學。

二、翰林版教材與研究者教材之連結

由於本研究旨在了解引進斜率概念，對於學生學習線型函數的效益為何？

故「斜率」概念便為研究者此份教材設計的重要理念。我國九年一貫課程網要 中，並未將「斜率」概念帶入教材，故研究者的教材，是在教授翰林版教材到第 四章第二節「認識線型函數的意義」後，即開始進行研究者所設計的斜率補充教 學，藉以發現線型函數圖形的傾斜特性，然後再介紹非線型函數的圖形，以免 學生看到函數就以為是直線圖形，以及如何利用斜率的概念，解決一次函數圖 形的應用問題。最後，又回歸翰林版課本，進行非連續型函數圖形的畫圖和函 數圖形的應用，當教材中出現一次函數圖形的應用時，除介紹傳統的方法外，

也融入利用斜率的概念進行解題。

因此，研究者所設計的實驗教材，是預設學習者已學會代數式到圖形表徵 之轉換，然後再從圖形的變化趨勢中察覺「直線圖形的斜率與 y 截距(即 x 項係 數以及常數項)」和 y＝ax＋b 之間的變化關係。

研究者實驗教材共分六個主題， 探討內容如下表 3-2 所示：

本研究希望實驗組學生習得的知識結構如下圖 3-1：

圖 3-1

本研究期望實驗組學生習得的知識結構圖

三、研究教材與 APOS 理論之連結

Dubinsky 認為，學生學習數學概念是要進行心理建構的，這一建構過程要 經歷以下 4 個階段（以函數概念為例）：

1. 第一階段—操作（Action）階段：理解函數需要進行活動或操作，例如在有 現實背景的問題中建立函數關係：y



x²，需要用具體的數字來構造對應關 係： 24；39；416；525……通過操作，理解函數的意義。

2. 第二階段—過程（Process）階段〃把上述操作活動綜合成函數過程，一般地：

如x



x²；其它各種函數也可以概括為一般的對應過程，如x



f(x)。 3. 第三階段—物件（Object）階段〃然後可以把函數過程上升為一個獨立的物

件來處理〃比如，函數的加減乘除、複合運算等〃在表示式 f(x)



g(x)中，

函數 f(x)和g(x)均作為整體物件出現〃

4. 第四階段—圖式（Schema）階段〃此時的函數概念，以一種綜合的心智結構 存在於腦海中，在數學知識體系中佔有特定的地位〃這一心智結構含有具體 的函數實例、抽象的過程、完整的定義，乃至和其它概念的區別和聯繫（方 程、曲線、圖像等）。

察覺 y＝ax＋b 和斜率概念與 y 截距的關係 線

型 函 數

式子

表列

圖形 已知自變數求函數值

表徵方式

用表格呈現 兩變數的關係

用圖形呈現 兩變數的關係

y = f (x) =2

y = f (x) =  x

3. 物 件 階段 （ Object ） — 透 過練 習與活 動 ，使學生把 y



f(x)



ax視為整體

y＝f (x)

在文檔中 斜率概念對國中學生線型函數概念層次及表徵轉換影響之研究 (頁 61-69)