第二章 第二章
第二章 文獻探討 文獻探討 文獻探討 文獻探討
本研究藉由編製分數概念試題，透過試題關聯結構分析，探討國小四 年級學童分數概念的結構發展。本章文獻探討共分為四節：第一節分數概 念的分析，第二節分數概念的相關研究，第三節國小四年級分數概念教材 分析，第四節試題關聯結構分析。
第一節 第一節 第一節
第一節 分數概念的分析 分數概念的分析 分數概念的分析 分數概念的分析
本節主要探討分數概念，可從兩方面分析，一為分數的意義，另一個
為分數概念的發展，就其相關研究說明如下。
壹 壹 壹
壹、、、、分數的意義分數的意義分數的意義分數的意義
數概念是以整數為基礎，但當遇到整數無法解決的情境，就必須引進 分數（呂玉琴，1991b）。而「分數」這一詞，具有小部分、片段、破碎 的意思，來自拉丁文“fangere”，通常是指將全部分解成部分（張平東，
1995）。周筱亭、黃敏晃（2001），指出以「1」為計數單位時，當人們 生活中遇到不足「1」的計數、測量、比較時，自然而然會發展出比「1」
小的計數單位，例如：
2 1、
4 1、
8
1等。甯自強(1993a)認為，分數的起源來 自等分割一物件的活動紀錄和結果，藉由將原單位量分割，我們能獲得單 位分量的重複，並從中得到與被測量量等價的量；使用分割份數和重複單 位分量的次數並置，作為被測量的指標。就數學上而言，分數能以 p 和 q 為整數，其中 p 不為 0，將分數化為
p
q 的形式（有理數定義形式），p 表 示分母，q 表示分子，而在使用上，因情境的不同，其分數解釋會有所不 同(Corwin, Russel＆Tierney,1990；教育部，2003)。
分數在國小階段的數學佔有重要的角色，對國小學童而言，也有學習 分數的困難所在，探究原因之一分數有許多重意義，在運用上會因情境的 不同，有不同的解釋，也因此國內外研究者，提出許多見解，提出許多對 分數意義的解釋，整理如表 2-1：說明國內數學課程中，對分數概念提出 的分數意義內容；表 2-2：整理國內相關研究，提出分數的各種意義內涵；
表 2-3：整理國外相關研究，提出分數的各種意義內涵。分別整理如下：
表 2-1 國內課程分數意義整理表
版本 分數的意義
民國八十二年國小數 學課程標準
1. 表示操作：重視具體操作物與分數符號的連 結，進行分的活動。
2. 「部分/全部」：包含連續量和離散量。
3. 數線上的數值：分別表示線段長及表徵為數線 上的一點。
4. 整數相除的的結果 5. 比例、比值
6. 表示量的大小：如 5
1，加上名數「公升」，則
為5
1公升。
民國九十二年九年一 貫國小數學課程綱要
有理數的教學，必須釐清有理數的四個意涵 1. 平分的意涵：從平分學習分數。
2. 測量的意涵：測量是調和「部分/整體」的意涵 與帶分數認知衝突的重要工具。
3. 比例的意涵：比的原理。
4. 「部分/整體」的意涵
表 2-2 國內學者的分數意義整理表
研究者 年代 分數的意涵 楊壬孝 1988
1.一個整數之相等的部份 2.數線上的一個數值 3.一個集合等分組後的幾組 4.兩數相除的結果
林碧珍 1990
1.子集合-集合模式 2.部分-全體模式 3.數線模式 4.商模式 5.比值模式
彭海燕 1998
1.子集/集合的意義 2.部分/全體的意義 3.數線上的一點 4.兩數相除的結果 5.比值
楊瑞智 2000
1.部分/全部 2.子集合/集 3.乘法運算元
4. 整 數 乘 除 的 結 果 5. 平 均 ( 含 速 率 、 密 度 ) 6.當量 7.機率 8.分數是一個數、數線上的一點 9.比例中的比、比例尺、比值、比較量÷基準量
10.等值分數
湯錦雲 2002
1.部分-全部 2.數線上的一個數值 3.比例、比值 4.整數相除的結果 5.分數是一個數
林榮煌 2006
1. 部分/全體的關係 2.兩個整數相除的除法 3.比：兩個數的比較值 4.運算 5.測量
表 2-3 國外學者的分數意義整理表 研究者 年代 分數的意涵
1976
提出有理數的七種詮釋：分數(fractions) 、小數 (decimals) 、比(ratio) 、有序對(orderedpairs) 、 商(quotient)、測量(measures)、運算元(operator)。
1980
將其簡化為五種詮釋：部份－整體（part-whole）、
比(ratio)、商(quotient)、測量(measures)、運算元 (operator)
Kieren
1988 再簡化為：比(ratio)、商(quotient)、測量(measures) 、 多重運算子(multiplicative operators)
Larry＆
Joseph
1978
引自李端明，1997。
提出分數意義：
1.圖形中全部的一部份 2.比例中的比
3.除法中的商
4.自然數中的有序對
主張分數中要掌握的概念要素：
1.確定單位量 2.認知等分大小 3.找出等分割數
4.所聚份數與等分割數之比較 Behr,
Lesh＆
Silver
1983
分數有：分數測量(fraction measures)、比(ratio)、
平均(含速率、密度) (rate)、商(quotient)、線性座標
（linearcoordinate）、小數(decimals)、運算元 (operator) 七種不同的意義。
Dickson, Brown＆
Gibson
1984
分數的意義有：
1.整個區域的子區域（sub-area of wholeregion）
2.子集合與全體集合間的比較
（a comparisonbetween a subset of discrete objects and the whole set）
表 2-3 續
3.位於兩個整數間數線上的一點（a point in number linewhich line at intermediate point between two wholenumbers）
4.兩數相除所得的商（the result of a division operation）
5.二組集合或二個度量的大小比較的方法（away of comparing the sizes of two sets of the objects or two measurements）
Nesher 1985
認為分數有五種詮釋：
部份－整體（part-whole）、商(quotient)、比(ratio)、
運算元(operator)、機率（probability）。
Ohlsson 1988
將分數分為四種建構及十一種涵義：
1.商的函數(the quotient function) ：包含等分除 (partitioning)、包含除(extracting)、縮小(shrinking)、
引出(educing)。
2.有理數(rational number)：包含分數(fractions)與測 量(measures)。
3.二元向量(a binary vector)：包含比(ratio)、內涵量 (intensive quantities)、比例(proportion)、平均(含速 率、密度) (rate)。
4.合成函數。
綜合以上的文獻得知，分數的意義非常廣泛和多重，而分數是用來解 決未滿一個單位量的數值問題，不外乎分數也是涉及兩個量之間的比較關 係，歸納學者們對分數的意義有以下一致的見解：1.部分和全體 2.商的意 涵 3.子集合和集合的意義 4.比的意涵 5.數線上的一點。在國小階段，分 數的教材中，並無法完全將分數的意義全部納入，但是學習分數的意義涵 蓋範圍不少。因此研究者針對四年級的學童在分數概念的測驗中，透過測 驗佈題情境，希冀了解四年級學童的分數意義，分數知識的概念。
貳貳
貳貳、、、、分數概念的發展分數概念的發展分數概念的發展分數概念的發展
國內外學者都曾做過有關兒童分數發展情形的研究，嘗試用不同的題 材，分析兒童不同層次的分數基模。以下茲列出以學習分數心理機制層面 為主的文獻，整理如下，作為本研究參考的理論：
一、Piaget (1960)
瑞士心理學家Piaget提出，兒童的認知是循序漸進的發展，為了探究兒 童的分數概念發展，他與Inhelder 和 Szeminska，設計活動，使用連續量 的具體物（紙張），研究4~10歲兒童如何解決面積的分割行為，以探究分 數知識的活動基模。其研究發現兒童的分割行為可分為四個概念發展：
(一)四歲到四歲半：
兒童對於一個物體分為兩半感到困難，對於不同形狀的分割，由難到 易，分別為正方形、圓形和長方形。此階段的兒童，沒有部分和全體之間 的關係，所以無法知道他所接觸的面積是全體面積中的元素。
(二)四歲~六歲：
兒童能將規則的圖形或小範圍的圖形（如長方形、圓形）分半，假若 圖形面積範圍增大，兒童分割能力延緩。也無法將物品等分為三分，兒童 解決的方式是將它三分後，忽略剩餘的部分，也就是無法窮盡全體。
(三)六歲~七歲：
兒童已可以等分三分，不需嘗試錯誤，兒童具有整體性的保留概念，
在有具體物下，能知道部分的總和等於全體。
(四) 十歲：
兒童能做六等分的分法。先將餅等分成三份，再把所得的三份餅再做 等分。
Piaget et al.同年也指出兒童在進行分數計算前，必須瞭解以下的七個 子概念：
（一）能將整體分割，必須有一個可以除盡的全體，才有分數的思考。
（二）一個分數，包含各部分的限定數(determinant)，分配東西時，各部分 必須和接受者相對應。
（三）子分割活動中，全體必須用盡，沒有餘數（沒有剩餘）。
（四）能知道分割數和全體，有一個固定的關係。
（五）分數除盡後，分割後的每一部分都是相等的。
（六）瞭解到部分是全體的一部分，同時此部分本身也是一可再細分 的全體。
（七）因為部分的總和等於全體，部分來自全體，其全體保持不變。
二、Steffe 和 Olive 分數概念認知發展階層
Steffe and Olive（Steffe, 2002; Steffe & Olive,2010），經過幾年來不斷 的研究，提出兒童的分數概念認知發展階層由原先的「等分割基模」
(equi-partition scheme)、「分割性單位分數基模」(partitiveunit fractional scheme)、「分割性分數基模」(partitivefractional scheme)、「迭代分數基模」
(iterative fractional scheme)及「等份基模」(equi-portioning scheme)等五種到 目前分為七個發展基模，包括：1、部份整體基模（part-whole scheme）；
2、分割性單位分數基模（partitive unit scheme）；3、分割性分數基模（partitive fractional scheme）；4、迭代的分數基模（iterative fractional scheme）；5、
共同等分割分數基模（common partitioning fractional Scheme）；6、分數集 聚基模（fraction composition scheme）；7、測量分數基模（measurement fractional scheme），更增加研究者對兒童分數認知的了解。此理論認為構 成分數概念有兩個主要的運思：「迭代」(iteration)和「分割」(partition)（Tzur, 2003）。就其概念發展說明如下：
(一) 部份整體基模（part-whole scheme）
係指兒童能將一個物件利用預期基模進行相等分割，等分割後的物件
(二) 分割性單位分數基模（partitive unit scheme）
指具有將整體等分後得到基本單位分數的基模，例如：一包餅乾12塊 平分給6人，每人得到
6
1包餅乾。
(三) 分割性分數基模（partitive fractional scheme）
指可以結合單位分數以形成一個整體的集聚部分，但此集聚部分小於 等於甚至是大於整體。與整體成為兩個獨立的單位同時存在，部分可自整 體中脫嵌。因此當部分自整體脫嵌後，可以成為可運算的單位分數，也可 以重複製作單位分數的方式，來進行同分母分數的合成與化聚，此分數基 模稱為分割性分數基模。
(四) 迭代的分數基模（iterative fractional scheme）
是指可以將一個分數進行迭代做出另一個分數，例如：把 5
3條積木連
續迭代4次得到 5
12條積木。兒童完全了解整體可等分割成部分，而部分可 以迭代合成整體，並且知悉整體與部分可同時存在，進一步重組等分割運 思，將子分割運思與迭代運思整合在一起，能清楚掌握部份與整體之間的 乘法性互逆關係，這時的分數基模稱為迭代的分數基模。
(五) 共同等分割分數基模（common partitioning fractional Scheme）
是指能知道等分活動後的每一個分量和整體量之間所形成份都一樣 多。例如，把一盒糖果72顆，分給9個人。兒童能做出每一個人都分到8顆，
而且知道這8顆是 9
1盒，也就是一份，而且有9個一份，每一份都相等。它
還有一個特色，為可調節三階的單位，承上題，
還有一個特色，為可調節三階的單位，承上題，