國小四年級學童分數概念的試題關聯結構分析研究

國立

國立

國立

國立臺

臺

臺中教育大學數學教育學系

臺

中教育大學數學教育學系

中教育大學數學教育學系

中教育大學數學教育學系

國小教師在職進修教學碩士班碩士論文

國小教師在職進修教學碩士班碩士論文

國小教師在職進修教學碩士班碩士論文

國小教師在職進修教學碩士班碩士論文

指導教授

指導教授

指導教授

指導教授：

：

：

：許天維

許天維

許天維

許天維

教授

教授

教授

教授

國小四年級學童分數概念的試題關

國小四年級學童分數概念的試題關

國小四年級學童分數概念的試題關

國小四年級學童分數概念的試題關

聯結構分析研究

聯結構分析研究

聯結構分析研究

聯結構分析研究

研究生

研究生

研究生

研究生：

：

：

：張斐斌

張斐斌

張斐斌

張斐斌

撰

撰

撰

撰

中華民國

中華民國

中華民國

中華民國

一百

一百

一百

一百

年

年

年

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六

六

六

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月

月

月

月

摘

摘

摘

摘 要

要

要

要

本研究旨在討國小四年級學童在分數概念上發展，藉由分析學童在分 數概念上的表現，瞭解四年級分數概念發展情形。 基於上述目的，本研究選取臺中市某國小四年級 146 位學童為研究對 象，以自編分數概念的試題，採用試題關聯結構分析法，分析試題的上下 位關聯，分析以下分數概念：等分概念、單位分數概念、單位量概念、簡 單分數概念、真分數概念、假分數與帶分數概念。獲致如下結論： 一、學童先理解連續量情境的等分概念，再理解離散量情境的等分概念。 二、學童要先理解內容物為一個或多個的單位量概念，再發展到不同單位 量或未知單位量的單位量概念。 三、學生先發展內容物非整數的真分數概念、內容物為單一的真分數概 念，再到內容物為多個的真分數概念。 四、學童先發展帶分數的整數相除概念，再發展含有單位量概念的假分數 的整數相除概念。 五、學童先理解連續量、內容物為多個的單位量概念，才能處理連續量、 內容物為多個的簡單分數概念。 關鍵字 關鍵字 關鍵字 關鍵字：：：分數：分數分數分數概念概念概念概念、、四年級學童、、四年級學童四年級學童、四年級學童、、試題關聯結構分析法、試題關聯結構分析法試題關聯結構分析法試題關聯結構分析法

Abstract

The purpose of this study is to confer the development of fraction concepts in fourth grade. According to analyze the students’ performance of fraction concepts. To understand the development of fraction concepts for fourth graders.

Based on the purpose, the research chooses 146 students of a Taichung elementary schools as objects of this study. The research edit fraction examination, adopts item relational structure analysis concept, and analyze the connection of examination. The fraction concepts of analysis are : equivalent division , unit fraction, unit quantity, simple fraction, proper fraction, improper fraction, mixed fraction. The results of this study are as follows:

1. Students have to understand equivalent division concept of continuous quantity. Then to understand equivalent division concept of divergent quantity.

2. Students have to understand the content’s unit quantity concept of single or multiple ones. Then expand to different unit quantity or unit quantity concept of unknown unit quantity.

3. Students have to develop proper fraction concept which not integer and which is single of content. Then expand to which is multiple of content. 4. Students have to develop integer division concept of mixed fraction. Then

expand to integer division concept of improper fraction which includes unit quantity concept.

5. Students have to understand unit quantity concept of continuous quantity and content is multiple. Then can manage simple fraction concept of continuous quantity and content is multiple.

目次

目次

目次

目次

第一章 第一章 第一章 第一章 緒論緒論緒論緒論...1 第一節 研究動機...1 第二節 研究目的...3 第三節 名詞釋義...4 第四節 研究範圍與限制...6 第二章 第二章 第二章 第二章 文獻探討文獻探討文獻探討文獻探討...7 第一節 分數概念的分析...7 第二節 分數概念的相關研究...20 第三節 國小四年級分數概念教材分析...26 第四節 試題關聯結構分析...36 第三章 第三章 第三章 第三章 研究設計與實施研究設計與實施研究設計與實施研究設計與實施...45 第一節 研究架構...45 第二節 研究對象與樣本選取...46 第三節 研究工具...47 第四節 研究流程...54 第五節 資料處理...55 第四章 第四章 第四章 第四章 研究結果與分析研究結果與分析研究結果與分析研究結果與分析...57 第一節 試題性質分析...57 第二節 試題關聯順序係數分析...61 第三節 試題關聯結構圖分析...63 第五章 第五章 第五章 第五章 結論與建議結論與建議結論與建議結論與建議...91 第一節 結論...91 第二節 建議...93 參考文獻 參考文獻 參考文獻 參考文獻...95 一、 中文部分...95 二、 英文部分...98 附錄 附錄 附錄 附錄...101 附錄一 試題檢核表...101 附錄二 國小四年級分數概念預試測驗...102 附錄三 國小學童分數概念測驗專家效度調查問卷...109 附錄四 國小四年級分數概念正式測驗...112 附錄五 試題關聯順序性係數表...119

表

表

表

表次

次

次

次

表 2-1 國內課程分數意義整理表 ...8 表 2-2 國內學者的分數意義整理表 ...9 表 2-3 國外學者的分數意義整理表 ...10 表 2-4 分數發展整理 ...19 表 2-5 國內分數概念相關研究整理表 ...20 表 2-6 國外分數概念相關研究整理表 ...24 表 2-7 數學領域「分數教材」的能力指標和分年細目 ...27 表 2-8 康軒版數學領域分數教材單元整理表(第四冊-第七冊) ...31 表 2-9 A、B 組學生得分情形...38 表 2-10 A、B 組學生得分簡表...38 表 2-11 A、B 組學生排序情形...39 表 2-12 A、B 組學生、試題排序情形...39 表 2-13 試題 Ii、Ij機率表...42 表 2-14 試題順序性係數舉例表 ...43 表 2-15 試題順序性係數 0-1 矩陣表舉例...43 表 3-1 預試樣本人數分配表 ...46 表 3-2 正式施測樣本人數分配表 ...46 表 3-3 預試試題雙向細目表 ...48 表 3-4 預試信度分析表 ...50 表 3-5 試題分析總表 ...52 表 3-6 修改題目表 ...53 表 4-1 正式施測之信度分析表 ...57 表 4-2 正式施測試題雙向細目表 ...59 表 4-3 正式測驗難度與鑑別度 ...60 表 4-4 試題關聯順序性係數之 0-1 矩陣表...62 表 4-5 整體試題關聯結構圖的橫斷層面分析 ...63 表 4-6 等分概念之試題內容分析 ...67 表 4-7 單位分數概念之試題內容分析 ...69 表 4-8 單位量概念之試題內容分析 ...70 表 4-9 簡單分數概念之試題內容分析 ...73 表 4-10 真分數合成、分解與比大小概念之試題內容分析 ...74 表 4-11 真分數整數倍概念之試題內容分析 ...78 表 4-12 帶分數與假分數概念之試題內容分析 ...80

圖

圖

圖

圖次

次

次

次

圖 2-1 A、B 組學生試題關聯結構圖...41 圖 2-2 試題關聯結構圖例 ...44 圖 2-3 試題關聯結構圖之簡化 ...44 圖 3-1 研究架構圖 ...45 圖 3-2 國小四年級學童預試試題架構分佈圖 ...49 圖 3-3 研究流程圖 ...54 圖 4-1 整體試題關聯結構圖 ...66 圖 4-2 等分概念之試題關聯結構圖 ...68 圖 4-3 單位分數概念之試題關聯結構圖 ...69 圖 4-4 單位量概念之試題關聯結構圖 ...71 圖 4-5 簡單分數概念之試題關聯結構圖 ...73 圖 4-6 真分數合成、分解與比大小概念之試題關聯結構圖 ...76 圖 4-7 真分數整數倍概念之試題關聯結構圖 ...78 圖 4-8 帶分數與假分數概念之試題關聯結構圖 ...81 圖 4- 9 等分、單位分數、單位量、簡單分數之試題關聯結構圖 ...83 圖 4-10 簡單分數、真分數合成、分解和比大小之試題關聯結構圖 ...85 圖 4-11 真分數(整數倍、比大小)和帶分數與假分數試題結構圖...87

第一章

第一章

第一章

第一章 緒論

緒論

緒論

緒論

本研究預探討國小四年級學童在分數概念發展的知識結構，採用試題 關聯結構分析（Item relational structure,IRS）。本章共分成四節：第一節為 研究動機，第二節為研究目的，第三節為名詞釋義，第四節為研究範圍限 制。

第一節

第一節

第一節

第一節 研究動機

研究動機

研究動機

研究動機

數與量在國民教育的數學課程中具有最重要的位置，其主要概念的形 成以及演算能力的培養均奠基於國小階段，其中有理數是小學的核心課 程，更是最有挑戰的教學主題，它的困難在於牽涉到兩種不同的表現形 式：分數與小數 (教育部，2003)。國際間的數學教育學者認為數概念 (Number)是整個數學課程的基礎，也是學童所應具備的重要數學知識(Reys

＆Nobuhio,1994；Neidorf, Brinkley, Gattis＆Nobara,2004)，分數更是其中重 要的一環。林碧珍(1990)提出，分數是一種既複雜又重要的概念，假若學 童無法理解分數，往後的數學發展將受到阻礙。劉秋木(1996)也提出，在 國小階段，分數是最高的概念，是國小數學的頂石，但也是往後學習的基 石，所以分數有如基礎數學與高深數學間的分水嶺。 依據九年一貫課程綱要，分數概念教學始於國小二年級下學期，教授 單位分數開始，一直到了高年級時，學生雖然已經有了多年分數的學習經 驗，但是在分數學習上仍是有諸多的問題。因為分數的概念與小數、百分 率、比、除法等其他概念彼此的關係十分密切，所以涵蓋的概念內容非常 廣泛，學童除了要學會分數本身的意義外，還要瞭解分數與其他概念彼此 轉換的關係(呂玉琴，1991a；陳靜姿，1997)。

由於分數概念在許多問題情境中兼具多重意義的數學概念；在日常生 活中也常呈現不同的面貌，因此造成學生學習時的困擾。同時分數計算也 因為分數概念的難以了解，學童常被迫用機械的方式使用算則進行解題； 而分數本身多重意義的特性也增加學習上的困難(湯錦雲，2002)。有鑑於 此，探究學童在分數學習上的困難實有其必要性。 站在教學的現場，分數不僅是對學童學習數學的一大考驗，更是教師 的一大挑戰。因此我們必須暸解學童的分數知識發展，探究分數概念。林 芳玉(2004)提出：以一位數學教師而言，他不知道學生分數學習的困難所 在，將嚴重影響到他對分數教學的進行，因為不能理解學生想法的老師， 該如何為學生安排適當的教材與學習內容？因此儘管分數概念的研究已 行之多年，研究學童在分數上的迷思也漸漸完備，但對國內學童學習分數 的知識結構順序，仍未有健全的研究資料。 Gagne´(1970)強調教學的目標在使學童獲得能力，能力是學習的終點 行為。由於學童內在的概念難以察覺，需經設計活動使其外顯；最常用的 方法就是測驗，藉著學童在解題時表現出的外顯行為來推測其內在概念結 構(邵宜翠，2003)。因此為了要了解學童的分數概念結構，則需要適時的 實施評量，故研究者擬訂一份「分數概念」的試題作為施測工具。 一般而言，想獲得學生學習成就之質方面的訊息，若測驗的對象是大 團體時，所使用的分法為試題反應理論或試題層次分析法；若測驗的對象 是小團體，如只有一個班級時，則採用試題關聯結構分析法(Item relation structure analysis，簡稱IRS )，如此即可獲得學童學習概念能力方面所呈現 之形成性的結構圖，此種結構圖可與教師依教材的特性所做的結構圖做比 較，也可與教科書編者所製的教材地位分析圖做比較，比較的最後結果對 於改善教學和與指導教材設計，都將有莫大的助益(許天維，1995)。

綜上所述，本研究先依據專家知識結構，擬編一份「四年級分數概念」 試題，再應用試題關聯結構分析法，形成四年級學童在分數概念的學習結 構圖，探討四年級學童有關分數概念結構的發展，以期對四年級學童分數 概念有進一步的理解，提供作為教師教學及教材編輯的參考。

第二節

第二節

第二節

第二節 研究目的

研究目的

研究目的

研究目的

根據上述的研究動機，本研究的主要目的是編製一份測驗國小四年級 學童分數概念的試題，藉此分析國小四年級學童分數概念發展結構。並藉 由分析題關聯結構圖，進而暸解概念的上下位關係，以提供教師在實施四 年級分數教學時做為參考。具體研究目的如下： 壹、編製一份具信度、效度，並能檢視國小四年級分數概念的測驗試題。 貳、探討學童分數概念的理解情況。 參、應用試題關聯結構分析法，分析國小四年學童的分數測驗試題上下位 關係。

第三節

第三節

第三節

第三節 名詞釋義

名詞釋義

名詞釋義

名詞釋義

為能更具體明確地了解本研究，茲將本研究中的重要名詞詮釋如下： 壹 壹 壹 壹、、、、國小四年級學童國小四年級學童國小四年級學童國小四年級學童 本研究中所稱國小四年級學童，係指九十九學年度四年級的學童，數 學科的課程是以教育部(2003)所公佈的九年一貫正式綱要為依據。本研究 正式施測時間為九十九學年上學期，學童已完成四年級上學期分數單元課 程。 貳 貳 貳 貳、、、、試題關聯結構分析法試題關聯結構分析法試題關聯結構分析法試題關聯結構分析法 試題關聯結構分析，簡稱IRS分析法，先依照概念編製試題，並依據施 測結果統計學童在各個試題的答對率，答對率較低者為上位概念，答對率 較高者為下位概念，再按照試題間彼此反應所得的順序性關係，製作有指 向性的圖形結構來分析試題的特性。 參 參 參 參、、、、分數概念分數概念分數概念分數概念 本研究預探討之分數概念包含有等分概念、單位分數概念、單位量概 念、簡單分數概念、真分數概念、假分數概念和帶分數概念。以下就本論 文內容所涉及的相關特定名詞界定如下： 一、連續量 物體本身無自然的單位，必須透過使用約定的測量工具，才可以說明 此物體的量，例如：長度、面積。 二、離散量 物體本身有自然的單位，一個個獨立呈現，具有離散狀況。在測量時， 以自然單位進行數數，例如：花片、積木。 三、等分概念

多，稱之為等分概念。 四、單位量概念 本研究中所稱單位量概念係指，在測量中，作為基準單位「1」所表示 的量。例如： 4 1 打蘋果，1打蘋果就是單位量。單位量在被指定的部份-全 體之間的關係中，單位量就是「整體」。 五、單位分數概念 將基準單位量等分割後，取其中的一份，就是單位分數，此時分數的 分子為1，依情境不同，在離散量情境下，可分為單位分數內容物為單一 個、單位分數內容物為多個和單位分數內容物非整數個。 六、真分數、假分數與帶分數概念 真分數是指分子小於分母的分數，真分數包含簡單分數。而本研究中 真分數概念包含了真分數的合成與分解概念、真分數的整數倍概念、真分 數比大小概念，將簡單分數概念另做分析。假分數是指分子大於或等於分 母的分數，本研究中假分數的概念包含了假分數整數相除的意義和假分數 的整數倍概念。帶分數是指帶有整數的分數，本研究中帶分數的概念包含 有帶分數整數相除的意義、與假分數互換和假分數的合成與分解概念。

第四節

第四節

第四節

第四節

研究範圍與限制

研究範圍與限制

研究範圍與限制

研究範圍與限制

壹 壹 壹 壹、、、、研究範圍研究範圍研究範圍研究範圍 本研究以國民小學四年級學童為研究對象，進行「國小四年級分數相 關概念測驗」，依據學童的測驗表現來分析國小四年級學童的分數相關概 念。 貳 貳 貳 貳、、、、研究限制研究限制研究限制研究限制 茲將研究限制以研究對象、研究工具和研究方法說明如下： 一 一 一 一、、、、 研究對象研究對象研究對象研究對象 本研究僅限於臺中市某國小，九十九學年度四年級五班學童，共計 146 名，採立意取樣方式進行本研究，因考慮研究者時間、人力等限制，無法 親臨現場施測，故委託該班任課老師。因此本研究之結果，僅適宜推論至 條件相類似的國小學童，不應做過度解釋。 二 二 二 二、、、、 研究工具研究工具研究工具研究工具 本研究為選擇題紙筆測驗，對於學生分數概念之呈現或許有所不足， 未來可以設計更多類型的試題，更加瞭解學童的思考理解模式。 三 三 三 三、、、、 研究方法研究方法研究方法研究方法 本研究採用研究者自編試題測驗的結果進行分析，用 SPSS（12.0）軟 體分析統計資料，並配合試題關聯分析法了解四年級學童的分數知識，分 析試題的上下位關係，實為量化分析，研究若能再併用質性分析，採個別 晤談、實作評量等多元評量，應能更加瞭解四年級學童的分數概念，對學 童的分數概念之發展更有所助益。

第二章

第二章

第二章

第二章 文獻探討

文獻探討

文獻探討

文獻探討

本研究藉由編製分數概念試題，透過試題關聯結構分析，探討國小四 年級學童分數概念的結構發展。本章文獻探討共分為四節：第一節分數概 念的分析，第二節分數概念的相關研究，第三節國小四年級分數概念教材 分析，第四節試題關聯結構分析。

第一節

第一節

第一節

第一節 分數概念的分析

分數概念的分析

分數概念的分析

分數概念的分析

本節主要探討分數概念，可從兩方面分析，一為分數的意義，另一個 為分數概念的發展，就其相關研究說明如下。 壹 壹 壹 壹、、、、分數的意義分數的意義分數的意義分數的意義 數概念是以整數為基礎，但當遇到整數無法解決的情境，就必須引進 分數（呂玉琴，1991b）。而「分數」這一詞，具有小部分、片段、破碎 的意思，來自拉丁文“fangere”，通常是指將全部分解成部分（張平東， 1995）。周筱亭、黃敏晃（2001），指出以「1」為計數單位時，當人們 生活中遇到不足「1」的計數、測量、比較時，自然而然會發展出比「1」 小的計數單位，例如： 2 1 、 4 1 、 8 1 等。甯自強(1993a)認為，分數的起源來 自等分割一物件的活動紀錄和結果，藉由將原單位量分割，我們能獲得單 位分量的重複，並從中得到與被測量量等價的量；使用分割份數和重複單 位分量的次數並置，作為被測量的指標。就數學上而言，分數能以 p 和 q 為整數，其中 p 不為 0，將分數化為 p q 的形式（有理數定義形式），p 表 示分母，q 表示分子，而在使用上，因情境的不同，其分數解釋會有所不 同(Corwin, Russel＆Tierney,1990；教育部，2003)。

分數在國小階段的數學佔有重要的角色，對國小學童而言，也有學習 分數的困難所在，探究原因之一分數有許多重意義，在運用上會因情境的 不同，有不同的解釋，也因此國內外研究者，提出許多見解，提出許多對 分數意義的解釋，整理如表 2-1：說明國內數學課程中，對分數概念提出 的分數意義內容；表 2-2：整理國內相關研究，提出分數的各種意義內涵； 表 2-3：整理國外相關研究，提出分數的各種意義內涵。分別整理如下： 表 2-1 國內課程分數意義整理表 版本 分數的意義 民國八十二年國小數 學課程標準 1. 表示操作：重視具體操作物與分數符號的連 結，進行分的活動。 2. 「部分/全部」：包含連續量和離散量。 3. 數線上的數值：分別表示線段長及表徵為數線 上的一點。 4. 整數相除的的結果 5. 比例、比值 6. 表示量的大小：如 5 1 ，加上名數「公升」，則 為 5 1 公升。 民國九十二年九年一 貫國小數學課程綱要 有理數的教學，必須釐清有理數的四個意涵 1. 平分的意涵：從平分學習分數。 2. 測量的意涵：測量是調和「部分/整體」的意涵 與帶分數認知衝突的重要工具。 3. 比例的意涵：比的原理。 4. 「部分/整體」的意涵

表 2-2 國內學者的分數意義整理表 研究者 年代 分數的意涵 楊壬孝 1988 1.一個整數之相等的部份 2.數線上的一個數值 3.一個集合等分組後的幾組 4.兩數相除的結果 林碧珍 1990 1.子集合-集合模式 2.部分-全體模式 3.數線模式 4.商模式 5.比值模式 彭海燕 1998 1.子集/集合的意義 2.部分/全體的意義 3.數線上的一點 4.兩數相除的結果 5.比值 楊瑞智 2000 1.部分/全部 2.子集合/集 3.乘法運算元 4. 整 數 乘 除 的 結 果 5. 平 均 ( 含 速 率 、 密 度 ) 6.當量 7.機率 8.分數是一個數、數線上的一點 9.比例中的比、比例尺、比值、比較量÷基準量 10.等值分數 湯錦雲 2002 1.部分-全部 2.數線上的一個數值 3.比例、比值 4.整數相除的結果 5.分數是一個數 林榮煌 2006 1. 部分/全體的關係 2.兩個整數相除的除法 3.比：兩個數的比較值 4.運算 5.測量

表 2-3 國外學者的分數意義整理表

研究者 年代 分數的意涵

1976

提出有理數的七種詮釋：分數(fractions) 、小數

(decimals) 、比(ratio) 、有序對(orderedpairs) 、

商(quotient)、測量(measures)、運算元(operator)。 1980 將其簡化為五種詮釋：部份－整體（part-whole）、 比(ratio)、商(quotient)、測量(measures)、運算元 (operator) Kieren 1988 再簡化為：比(ratio)、商(quotient)、測量(measures) 、 多重運算子(multiplicative operators) Larry＆ Joseph 1978 引自李端明，1997。 提出分數意義： 1.圖形中全部的一部份 2.比例中的比 3.除法中的商 4.自然數中的有序對 主張分數中要掌握的概念要素： 1.確定單位量 2.認知等分大小 3.找出等分割數 4.所聚份數與等分割數之比較 Behr, Lesh＆ Silver 1983 分數有：分數測量(fraction measures)、比(ratio)、 平均(含速率、密度) (rate)、商(quotient)、線性座標 （linearcoordinate）、小數(decimals)、運算元 (operator) 七種不同的意義。 Dickson, Brown＆ Gibson 1984 分數的意義有： 1.整個區域的子區域（sub-area of wholeregion） 2.子集合與全體集合間的比較

（a comparisonbetween a subset of discrete objects

表 2-3 續

3.位於兩個整數間數線上的一點（a point in number linewhich line at intermediate point between two wholenumbers）

4.兩數相除所得的商（the result of a division operation）

5.二組集合或二個度量的大小比較的方法（away of comparing the sizes of two sets of the objects or two measurements） Nesher 1985 認為分數有五種詮釋： 部份－整體（part-whole）、商(quotient)、比(ratio)、 運算元(operator)、機率（probability）。 Ohlsson 1988 將分數分為四種建構及十一種涵義：

1.商的函數(the quotient function) ：包含等分除 (partitioning)、包含除(extracting)、縮小(shrinking)、

引出(educing)。

2.有理數(rational number)：包含分數(fractions)與測

量(measures)。

3.二元向量(a binary vector)：包含比(ratio)、內涵量 (intensive quantities)、比例(proportion)、平均(含速 率、密度) (rate)。 4.合成函數。 綜合以上的文獻得知，分數的意義非常廣泛和多重，而分數是用來解 決未滿一個單位量的數值問題，不外乎分數也是涉及兩個量之間的比較關 係，歸納學者們對分數的意義有以下一致的見解：1.部分和全體 2.商的意 涵 3.子集合和集合的意義 4.比的意涵 5.數線上的一點。在國小階段，分 數的教材中，並無法完全將分數的意義全部納入，但是學習分數的意義涵 蓋範圍不少。因此研究者針對四年級的學童在分數概念的測驗中，透過測 驗佈題情境，希冀了解四年級學童的分數意義，分數知識的概念。

貳 貳 貳 貳、、、、分數概念的發展分數概念的發展分數概念的發展分數概念的發展 國內外學者都曾做過有關兒童分數發展情形的研究，嘗試用不同的題 材，分析兒童不同層次的分數基模。以下茲列出以學習分數心理機制層面 為主的文獻，整理如下，作為本研究參考的理論： 一、Piaget (1960) 瑞士心理學家Piaget提出，兒童的認知是循序漸進的發展，為了探究兒 童的分數概念發展，他與Inhelder 和 Szeminska，設計活動，使用連續量 的具體物（紙張），研究4~10歲兒童如何解決面積的分割行為，以探究分 數知識的活動基模。其研究發現兒童的分割行為可分為四個概念發展： (一)四歲到四歲半： 兒童對於一個物體分為兩半感到困難，對於不同形狀的分割，由難到 易，分別為正方形、圓形和長方形。此階段的兒童，沒有部分和全體之間 的關係，所以無法知道他所接觸的面積是全體面積中的元素。 (二)四歲~六歲： 兒童能將規則的圖形或小範圍的圖形（如長方形、圓形）分半，假若 圖形面積範圍增大，兒童分割能力延緩。也無法將物品等分為三分，兒童 解決的方式是將它三分後，忽略剩餘的部分，也就是無法窮盡全體。 (三)六歲~七歲： 兒童已可以等分三分，不需嘗試錯誤，兒童具有整體性的保留概念， 在有具體物下，能知道部分的總和等於全體。 (四) 十歲： 兒童能做六等分的分法。先將餅等分成三份，再把所得的三份餅再做 等分。 Piaget et al.同年也指出兒童在進行分數計算前，必須瞭解以下的七個 子概念：

（一）能將整體分割，必須有一個可以除盡的全體，才有分數的思考。 （二）一個分數，包含各部分的限定數(determinant)，分配東西時，各部分 必須和接受者相對應。 （三）子分割活動中，全體必須用盡，沒有餘數（沒有剩餘）。 （四）能知道分割數和全體，有一個固定的關係。 （五）分數除盡後，分割後的每一部分都是相等的。 （六）瞭解到部分是全體的一部分，同時此部分本身也是一可再細分 的全體。 （七）因為部分的總和等於全體，部分來自全體，其全體保持不變。 二、Steffe 和 Olive 分數概念認知發展階層

Steffe and Olive（Steffe, 2002; Steffe & Olive,2010），經過幾年來不斷

的研究，提出兒童的分數概念認知發展階層由原先的「等分割基模」

(equi-partition scheme)、「分割性單位分數基模」(partitiveunit fractional scheme)、「分割性分數基模」(partitivefractional scheme)、「迭代分數基模」 (iterative fractional scheme)及「等份基模」(equi-portioning scheme)等五種到

目前分為七個發展基模，包括：1、部份整體基模（part-whole scheme）；

2、分割性單位分數基模（partitive unit scheme）；3、分割性分數基模（partitive fractional scheme）；4、迭代的分數基模（iterative fractional scheme）；5、

共同等分割分數基模（common partitioning fractional Scheme）；6、分數集 聚基模（fraction composition scheme）；7、測量分數基模（measurement

fractional scheme），更增加研究者對兒童分數認知的了解。此理論認為構

成分數概念有兩個主要的運思：「迭代」(iteration)和「分割」(partition)（Tzur,

2003）。就其概念發展說明如下：

(一) 部份整體基模（part-whole scheme）

(二) 分割性單位分數基模（partitive unit scheme） 指具有將整體等分後得到基本單位分數的基模，例如：一包餅乾12塊 平分給6人，每人得到 6 1 包餅乾。

(三) 分割性分數基模（partitive fractional scheme）

指可以結合單位分數以形成一個整體的集聚部分，但此集聚部分小於 等於甚至是大於整體。與整體成為兩個獨立的單位同時存在，部分可自整 體中脫嵌。因此當部分自整體脫嵌後，可以成為可運算的單位分數，也可 以重複製作單位分數的方式，來進行同分母分數的合成與化聚，此分數基 模稱為分割性分數基模。

(四) 迭代的分數基模（iterative fractional scheme）

是指可以將一個分數進行迭代做出另一個分數，例如：把 5 3 條積木連 續迭代4次得到 5 12 條積木。兒童完全了解整體可等分割成部分，而部分可 以迭代合成整體，並且知悉整體與部分可同時存在，進一步重組等分割運 思，將子分割運思與迭代運思整合在一起，能清楚掌握部份與整體之間的 乘法性互逆關係，這時的分數基模稱為迭代的分數基模。

(五) 共同等分割分數基模（common partitioning fractional Scheme）

是指能知道等分活動後的每一個分量和整體量之間所形成份都一樣 多。例如，把一盒糖果72顆，分給9個人。兒童能做出每一個人都分到8顆， 而且知道這8顆是 9 1 盒，也就是一份，而且有9個一份，每一份都相等。它 還有一個特色，為可調節三階的單位，承上題， 72 8 盒也是8顆， 18 2 盒也是 8顆，這8顆是原始單位(72顆)，做不同的等分割後行成的，因此 72 8 (或 18 2 )， 是一個具有三階概念的分數。

(六) 分數集聚基模（fraction composition scheme） 此基模的發展導致分數乘法概念的出現，特色是透過分配的策略、可 逆性等分割及可重複性等分割而形成，具有此基模的兒童，將任何分數視 為是其它分數的分數，例如： 12 2 條蛋糕，可以是 4 2 條蛋糕做三等分後再取 其中一等分的結果。也就是說， 12 2 條蛋糕是 4 2 條蛋糕的 3 1 倍。

(七) 測量分數基模（measurement fractional scheme）

此基模的發展導致分數除法概念的出現。而擁有此基模的兒童必需要 把分數當作是可以相互比較的量來進行計算。 三、甯自強五階分數詞模型 甯自強(1993a，1997a，1997b)觀察兒童，發現兒童在不同的運思期會 對分數有不同的意義，產生不一樣的數概念，他用「分數詞」將兒童的分 數概念發展分為五個階段，因為有涉及數概念的運思模式，因此一併在此 說明，先說明甯自強的數概念發展再說明五個分數詞模型。 (一) 甯自強(1992，1993b)提出，國小兒童「數概念」的四個運思發展階段： 1.合成運思： 此一階段的兒童，僅能藉著操弄具體物，進行兩數之間的運算。能將 數個「1」合而為一，行成集聚單位。 2.累進性合成運思： 此一階段的兒童，能進行兩數集合間的包含關係。能以一個集聚單位 為基礎，再合成新的「1」，形成新的集聚單位。例如以3為起點，繼續合 成5個「1」，結果形成8。此為「內嵌數概念」。 3.部分-全體運思： 此一階段的兒童，能掌握單向部分-全體運思。能發展多單位的觀點解 讀數字意義。例如：數字35，能區辨出是由3個10和5個1構成。此為「合

4.測量運思： 此一階段的兒童，能掌握雙向部分-全體運思。能掌握兩個層級以上的 集聚關係，能知道集聚間轉換。例如：知道「1」與其他集聚單位的部份-全體關係，也知道10個「十」，能成為1個「百」。此為「測量單位數概 念」。 (二) 甯自強(1993b，1997a，1997b)提出，五個「分數詞」模型 1.分數前置概念 兒童處於序列性合成運思期，雖有數概念與分割活動，但兒童僅能以 序列性合成運思來回答問題，而無等分割概念，因為沒有「等分及窮盡」 的概念，兒童並未具有分數概念，故稱之為分數概念的前身。舉例而言， 兒童會將一個蛋糕成分六份，如果問兒童每一份蛋糕是多少「個」蛋糕， 兒童可能直接就回答「1 個」，混淆「個」和「份」單位的不同，兒童在 這階段所顯現的特徵還包括： (1)在連續量情境下，傾向於利用直覺做判斷，將一物撕裂使成為一個撕得 的部分和一撕剩下的部分，所以並不能做到真正的「等分」。 (2)只有部分而缺乏部分與整體的概念。如兒童可以知道將一個餅切成三份 後拿出一份是三份中的一份。但是如果問兒童將拿出的這一份再放回 去，那麼全部是多少時，兒童則會回答四份。 (3)分數詞「 2 1 」，對兒童而言，其意義為「1和2」，分數詞是「並置類型」 (juxtaposed pattern)。

2.起始單位分數(initial unit fraction)

兒童處於累進性合成運思期，應用在分數情境時，此階段的兒童只能 將一單位量內嵌到全體之中，不具有子分割運思。此時「分數詞」對他而 言是一種「內嵌並置關係」(embedded pattern)。由於分子尚未能脫嵌，單 位分數並非真正成為可以複製及做累積的單位，因此兒童也無法進行單位

分數的累積活動，例如：老師佈題「一個蛋糕切成10 片，小花拿了4片， 小利拿了2片，兩人合起來拿了多少個蛋糕？」的題目，若要求他用數學 符號表示時，往往做出來的答案是： 10 4 ＋ 10 2 ＝ 20 6 。因為，對兒童而言， 分子分母只是並置內嵌的關係，知道10片中的4片，和10片中的2片，兩個 10片合起來是20片，4片和2片合起來是6片，答案是 20 6 個，可見兒童主要 的認知特徵為：分子和分母的部分整體關係不明顯；單位分數無法被複製 累積。因此「起始單位分數」和單位分數概念不同之處在於「起始單位分 數」只是「隱含的部份/全體概念」，無法完全理解單位分數的概念，若將 部分抽出，全體也將消失，故稱為「起始單位分數」 3.加法性分數 兒童處於單向部分-全體運思期，引進分數情境中，分子可以自分母脫 嵌，此階段兒童對於非單位分數，也可以視為是由單位分數複製累積而 來。例如：運算 10 2 ＋ 10 2 ，可得知答案為 10 4 。加法性分數在性質上是一種 「單向」的部分-整體關係，此階段兒童的「分數詞」，是真正的分數概念， 其所顯現的特徵為： (1)不論是離散量或連續量下，對於單位分數內容為單一個物之同分母分數 合成、分解及比較問題可以了解。 (2)在離散量下，單位分數內容物為多數個的同分母分數問題有困難。 (3)對於假分數和帶分數的互換會混淆。 (4)對於等值分數的處理有困難。 4.巢狀分數 兒童處於測量運思期，引進分數情境中，開始具有子分割數值化的概 念，開始能理解單位分數內容物為多個之部分與整體的關係，並察覺等值 分數和分數次序比較。此時兒童所顯現的特徵為：

(1)具有雙向的部分-全體運思。 (2)可以利用等分割的方式，察覺等值分數。但是，因為缺乏彈性思考，在 面對非以再次等分單位分數所產生的等值分數，就無法判定，也就是說 尚未能真正具備等值的分數概念。例如： 10 2 和 5 1 的等值，是透過等分割 發現相等，而非共測單位 10 1 來進行比較。 (3)具有分數乘法的概念。 5.有理數概念 兒童處於比例測量運思期，引進分數情境中，所謂的有理數是兩個部 分-全體的重組，即巢狀分數的重組，此時的兒童不僅具有部分-全體的雙 向運思，更能以分數作為測量的單位。此時兒童所顯現的特徵為： (1)已經具有彈性思考的能力，能將不同分母的分數可以經由共測單位加以 比較。例如： 10 2 和 5 1 的等值，是透過非共測單位 10 1 來進行比較，兩數 均為 10 2 ，得知等價。 (2)能理解等值分數的概念，因此稱為有理數概念。 綜合上述Steffe 和 Olive「分數概念認知發展階層」、甯自強國小兒 童「數概念」的運思發展階段和「分數詞」的文獻得知，兒童開始真正會 使用分數，開始於加法分數，能明確掌握分量與單位量之間的關係。而加 法分數之前的分數概念為：分數前置概念和起始單位分數。 分數前置概念尚未有等分的概念，也沒達到Piaget所說進行分數前必備 之一：分數除盡後，分割後的每一部分都是相等的；起始單位分數時期相 當於Steffe 和 Olive「分數概念認知發展階層」中的部份整體基模，此時 分子內嵌於分母，無法獨立分母之外的累積運作。加法分數之後的分數概 念為：巢狀分數和有理數。巢狀分數是數概念中的雙向部份-全體概念，也 是確立等值分數概念得時候，相當於四年級下學期的教材課程。

最後形成的分數詞為有理數，也是相當於Steffe 和 Olive「分數概念 認知發展階層」中的測量分數基模，也是處理比值問題的時候。雖然每位 研究者對分數區分時期名稱有所差異，但是對分數的發展過程，均有相似 的共同點，也藉由這些明確的發展時期，本研究預探討四年級的分數概 念，希冀能如文獻中的學童在分數的概念發展是進入巢狀分數的時期。最 後將本節對分數發展的文獻稍做整理，如表2-4： 表 2-4 分數發展整理 Steffe 和 Olive 分數概念認知發展階層 「數概念」的運思發展階段 「分數詞」模型 序列性合成運思 分數前置概念 部分整體基模 累進性合成運思 起始單位分數 分割性分數基模 單向部分-全體運思 加法性分數 共同等分割分數 雙向部分-全體運思 巢狀分數 測量分數基模 比例測量運思 有理數

第二節

第二節

第二節

第二節 分數概念的相關研究

分數概念的相關研究

分數概念的相關研究

分數概念的相關研究

有關於兒童分數概念的學習研究文獻頗多，而研究的對象和研究方法 也不全相同，因此本節針對研究者所研究的主題，整理出相關的文獻，萃 取國內外學者的研究結果和內容。 壹 壹 壹 壹、、、、國內分數相關研究國內分數相關研究國內分數相關研究國內分數相關研究 近年來，國內學者對分數概念的相關研究，大致可以分為錯誤類型(迷 思概念)描述和分數概念認知發展取向。因為本研究預探究四年級分數概念 的知識，因此將文獻縮小範圍，就分數的概念相關研究為主軸，整理出表 2-5，表格包含研究者的年代、研究對象、研究方法和研究結果。 表 2-5 國內分數概念相關研究整理表 研究者/ 年代 研究對象/方法/ 主題 研究結果 陳靜姿/ 1997 四年級/ 紙筆測驗＆訪談/ 國小四年級兒童等 值分數了解之初探 1.能力值相對較低受試者，其分數概念屬於「並 置類型」。 2.能力值相對較高的受試者，其分數概念屬於 「內嵌並置類型」。 3.根據個案分析的結果，本研究假設該受試 學童，其分數概念是「加法性分數」。 李端明/ 1997 四年級/個案研究/ 國 小 四 年 級 兒 童 「分數詞」之解題 活動類型 本研究假設個案的分數概念是屬於加法性分數 過渡至巢狀分數階段，學生其解題活動上具單 向部份-全體關係，但缺乏雙向部份-全體關係 和共測單位。

表2-5續 彭海燕/ 1998 四至六年級/ 紙筆測驗＆訪談/ 國小學童等值分數 概念了解之研究 1.等值分數概念的層次有六種，由內容物為單 一到兒童具備同時使用想像與忽視分割線的 彈性思考能力。 2.兒童在紙筆測驗和面談的表現有差異 游政雄/ 2002 三、四年級/ 紙筆測驗＆訪談/ 台灣北部地區國小 中年級學童分數概 念之研究 1.在簡單分數概念表現情形上，學童對於不同 情境的連續量問題，受到整數知識的影響。 2.在單位量概念表現上，一半語言的敘述問題 比具二分之一符號問題簡單。 黃靖瑩/ 2003 三、四年級/ 問卷調查/ 國小中年級學童分 數概念之研究 1.等分概念的表現：處理「一半」問題優於處 理「等分」問題，連續量情境表現優於離散量 情境、直接敘述平分問題表現比分數符號問題 好。 2.簡單分數概念的表現：對於單位分數問題表 現優於真分數問題。 3.等值分數概念的表現：出現受分母或分子控 制影響的情形。 張日齊/ 2003 三至六年級 / 紙筆測驗/ 由分數詞的評量看 小學生分數概念的 發展 三年級學生已有一半的分數概念發展在起始單 位分數階段。四年級的分數概念發展為加法性 分數概念階段。五年級的分數概念已達加法性 分數概念但概念的發展上，並未超越四年級進 入下一個階段，顯示出學童由加法性分數發展 至巢狀分數可能需較長的時間。

表2-5續 邵宜翠/ 2003 三年級/ 紙 筆 測 驗 ( 試 題 關 聯結構分析)/ 國小三年級學童分 數加法概念的試題 編製與分析之研究 1.學童對於單位分數合成、單位分數、及真分 數的概念均是由「離散量」情境到「連續量」。 2.學童需能掌握「全體與部分」和「兩階單位」 的關係，才能形成真分數概念。 3.學童發展離散量分數加法的概念時，是由「不 需兩階單位轉換」的分數加法發展到「需做兩 階單位轉換」的分數加法。 林大錦/ 2003 三至六年級/ 紙筆測驗＆訪談/ 國小三至六年級的 兒童在分數詞類型 發展的探討研究 1.三年級兒童的分數發展是由學習並置類型的 活動經驗開始，並嘗試於加法性分數的經驗活 動中。 2.四年級兒童的分數發展是由加法性分數的經 驗活動中，並嘗試於巢狀分數的經驗活動。 3.五年級兒童的分數發展是起於加法性分數的 察覺經驗，並以於巢狀分數活動為基礎，並獲 得有理數中共測單位分數的初步經驗。 4.六年級兒童的分數發展是在漸能察覺巢狀分 數活動開始，並有有理數中共測單位分數的活 動經驗為基礎。 王淑芬/ 2005 三年級/教學晤談/ 兒童的分數概念研 究 : 一 個 國 小 三 年 級的個案 本研究學童的分數概念位於加法性分數概念。 而在有理數的子概念上，其解題活動類型具有 以下發現：有操作性顯著的子分割運思，具有 單向的由部分去形成全體的關係，但無法由全 體決定部分的雙向關係。

表2-5續 魏麗枝/ 2007 三年級/ 紙筆測驗＆訪談/ 國小三年級學童分 數詞意義之研究 1.三年級學童在完成分數概念的教學之後，學 生具備解決基本分數問題的能力，但不代表其 分數詞意義一定正確。 2.學生處理整體等分割後取出部分數量平均分 配的題型，會出現將分數詞的分母參照到取出 分配的部分數量或等分配數的錯誤。 莊大慶/ 2007 五、六年級/ 紙筆測驗/ 國小學童等值分數 概念發展之研究 研究結論中可知三個受試群體中，只有未學 擴、約分的五年級學童其答題表現與研究預期 的表現模式相符合，而學過擴、約分的五年級 以及學過通分的六年級學童均與研究所預期的 模式相違背，違背中以分數單位概念試題最容 易，其次是分數的兩階層部分/全體關係試題， 最難的則為尋找共測單位試題。 趙新珍 2010 四年級/ 紙 筆 測 驗 ( 試 題 關 聯結構分析)/ 試題關聯結構分析 法在診斷分數概念 上 的 應 用 - 以 國 小 四年級學童為例- 1.四年級學童在單位分數概念、等分概念及真 分數概念之發展順序均為連續量情境發展到 離散量情境。 2. 學童在分數概念試題表現上，以單位量概念 的表現最要加強。 3. 受測之四年級學童分數運思模式仍處於「加 法性分數」階段。

貳 貳 貳 貳、、、、國外分數相關研究國外分數相關研究國外分數相關研究國外分數相關研究 針對國外學者對分數相關概念，整理出表2-6。而分數的概念發展文獻 部分已於分數的概念發展章節中提出，可自行參閱。 表 2-6 國外分數概念相關研究整理表 研究者 研究方法、對象 研究結果 Nik pa (1987) 臨 床 晤 談 9 位 10、11歲兒童 晤談的兒童分數基模分成四類型： 1.撕裂基模（splitting scheme）：一連續量可一次或 多次的撕裂，但不見得分得很公平或會窮盡。 2.碎裂基模（fragmenting scheme）：將一量同時製 成數個部分。最後可以窮盡全部，但不一定分得一 樣。 3.分割基模（partitioning scheme）分割面積大小相 等的部分，以及使用數概念割集聚單位。

4.多對多比較基模（many to many comparison scheme）：是比較分母和分子所指涉的項目。 Saenz- Ludlow (1994) 教 學 實 驗 與 晤 談三年級 單位化概念的發展順序為：整數的複合單位；測量 的部份整體基模(連續性)；測量的部份整體基模(離 散情況) ；多重等分的協調；部分等分的協調。 Mack (1995) 個 別 教 學 實 驗 三、四年級 1.兒童雖有分數的非正式知識，但是卻無法和分數 的符號知識做連結。 2.兒童在建立分數符號表表徵意義時，常會混淆分 數符號意義，也常會受整數符號的影響。

綜合以上的文獻得知，中年級兒童的分數概念有些人處於起始單位分 數階段，大部分進展到加法性分數階段，甚至有人邁向巢狀分數階段。因 此國小中年級的兒童應該可以解答等分概念、兩階單位換算的分數加法問 題，能真正能了解分數的意義。此階段的兒童，正由單向的部份-全體邁入 雙向的部份-全體。 在兒童的分數學習發展上，依據文獻結果得知，要重視以下幾個分數 的內容，也是研究者編試題的分數子概念。 一、等分割 等分割是學習分數最基本的概念，要知道等分割後的每個部分要相等 並且分完，也就是公平與除盡的原則。當兒童缺乏等分概念，會從比較容 易分割的部分著手，把其他未等分的部分在某一分量再上進行分割，例 如：將一條蛋糕進行五等份分割，兒童常先四等份後再從其中的一等份再 對分。此種犯錯的現象與Piaget等人(1960)所做的實驗是一致的。有些研究 指出，兒童在做等分活動時，做連續量情境相對於離散量情境困難，但也 有結論相反的，也許是受不同的表徵方式影響。 二、單位分數 單位分數是學習分數概念的重要一環，許多研究發現兒童能處理單位 分數的活動後，對分數的概念能更穩固。兒童在處理和長度或面積有關的 分數問題時，優先處理 2 1 ，接著處理 4 1 ， 3 1 ， 5 1 。單位分數也是往後學習 簡單分數，真分數的先備知識。有研究指出兒童在單位分數的學習，是先 從連續量情境到離散量情境，也有持相反結論的研究。 三、單位量 有許多研究指出，學童在分數概念試題表現上，以單位量概念的表現 最差。因為兒童沒有雙向部份-全體的分數概念，容易發生單位量的混淆問 題。

四、真分數 研究指出，中年級學童在學習分數時，對「分數的意義」了解十分重 要，不論是在連續情境下，單位內容物為一物或多個的離散情境下，透過 對真分數的了解，進行分數的比較概念、分數的加減問題。邵宜翠（2003) 指出，學童對離散量分數加法的概念時，是由「不需兩階單位轉換」的分 數加法到「需做兩階單位轉換」的分數加法、由解決「合成問題」到解決 「分解問題」。

第三節

第三節

第三節 國小四年級分數概念教材分析

第三節

國小四年級分數概念教材分析

國小四年級分數概念教材分析

國小四年級分數概念教材分析

本研究預探討國小四年級學童的分數概念，施測對象為四年級上學 期，學完分數後的學生，故本節內容：壹、九年一貫課程中分數的概念分 析；貳、國小四年級學童的分數教材分析。 壹 壹 壹 壹、、、、九年一貫課程中分數的概念分析九年一貫課程中分數的概念分析九年一貫課程中分數的概念分析九年一貫課程中分數的概念分析 九年一貫課程強調以學習者為主題，以知識的完整面為教育主軸，以 終生學習為教育的目標(教育部，2003)。依照現行的國小數學教材依據國 民中小學九年一慣課程綱要數學學習領域，分數的教材列入五大主題之一 「數與量」的有理數中，而有理數最核心的部份為「除的意涵」： 一、平分的意涵： 學生在低年級認識人我分際之後，就會發展出強烈的公平感，因此從 平分入手學習分數，是一條比較容易的途徑，也比較容易化解分數的認知 衝題。 二、測量的意涵： 長度測量是低年級就發展的數學課題，在個別單位度量長度，為了解 決剩下部分的「餘數」約定時 ，就能同時發展小數與分數兩種課題。由 於單位的強調，測量是調和「部分/全體」的意涵與帶分數認知衝突的重要

三、比例的意涵： 比的原理，是一種微妙的平分方式，因此學生比較容易接受。即使學 生尚未學習比例式，透過比的方式，仍然可以協助學生解題。最後再透過 比值的引入，一貫地解決比例的問題。 四、部分/全體的意涵： 部分/全體雖然是分數的重要意義之ㄧ，但是由於概念較抽象，而且真 分數的暗示過深(全體為1)，可能造成假分數或帶分數學習上的困擾，必須 透過單位的強調來解決其認知衝突。 另外，建議在分數教學的早期，可以使用單位分數為計數單位，教導 假分數的約定和計算，這能與自然數、測量單位的學習，相互加強。 以下針對本研究之學童，數學領域「分數教材」的能力指標和分年細 目，探討範圍設於國小二年級到四年級上學期，整理如下表2-7。 表 2-7 數學領域「分數教材」的能力指標和分年細目 二年級 第一階段(一至三年級) 能力指標 分年細目 N-1-09 能在具體情境中，初步認識 分數，並解決同分母分數的比較與 加減問題。 2-n-10 能在平分的情境中，認識分 母在12以內的單位分數，並比較不 同單位分數的大小。 分年細目教學與教材說明 1.分數教學應盡量利用平分與公平的直覺，在學習上應從最容易的對半 (一半)、對分在對分開始。 2.先從 2 1 、 4 1 、 8 1 等容易平分的量入手，知道 2 1 個披薩就是「半個披薩」， 4 1 個披薩就是「半個披薩的一半」。然後再學習 3 1 、 5 1 … 12 1 。

表2-7續 3.分數教學常用的兩種模型：「圓型模型」(披薩形狀)與「線形模型」(如 直尺形狀)。前者無溝通上的干擾，適合教學；後者因為與測量有關， 也很重要，兩者皆應發展。 4.應要學會「二分之ㄧ」、「三分之ㄧ」……的說法，並知道「三分之ㄧ」 個披薩，就是將一個披薩平分成3片，取其中的1片。 5.能從平分的情境中，以分母較小的單位分數為比較基礎，推理得知一 個披薩平分給3人，每人所得的披薩會比平分給5人的時候多，所以， 3 1 個披薩＞ 5 1 個披薩。 三年級 第一階段(一至三年級) 能力指標 分年細目 N-1-09 能在具體情境中，初步認識 分數，並解決同分母分數的比較與 加減問題。 3-n-09 能在具體情境中，初步認識 分數，並解決同分母分數的比較與 加減問題。 分年細目教學與教材說明 1.初步認識分數的意義，學童從具體情境或活動中掌握分數的概念，能 學會分數的記號，並理解運用分數記號來記錄同分母分數的比較與加 減的分式。 2.知道「一個披薩的四分之三」或「一個披薩的 4 3 」是將一個披薩平分 成4片後，取其中的3片，因此相當於 4 1 個披薩取3片，計成「 4 3 個披薩」 並能說明分子、分母的意義。 3.學習比較同分母分數的大小，了解 4 3 個披薩比 4 2 個披薩多的原因，同 時，透過“一半”的語言，也能說明為什麼 4 2 個披薩就是 2 1 個披薩。

表2-7續 4.建議增加下列兩類活動已澄清學童對分數概念即及同分母分數大小比 較的了解。 (1)1盒餅乾有8片，分給小志和小英，小志得2片，小應得 8 3 盒，請問誰得 比較多的餅乾？ (2)哥哥有8個蘋果，姊姊有16個蘋果，哥哥吃掉自己全部蘋果的 8 5 ，姊姊 吃掉自己全部蘋果的 8 3 ，請問誰吃的蘋果比較多？ 上述2.至4.為內容物為連續量，以平分為為基礎的教學活動。 5.知道「30元的二分之ㄧ」意指30元的一半，也就是30元除以2的溝通約 定(這是針對平分的合理解釋，是30元× 2 1 的前置經驗，但並不相同)。 6.知道「32顆葡萄的四分之三是24顆」，意指32顆葡萄平分成四份（每 份32÷4＝8顆），再取其中的三份（得8×3＝24顆）。 上述5.至6.為內容物為離散量，以平分為為基礎的教學活動。 7.知道「小明有一盒巧克力，他自己留一半，其他分給小麗和小華。」， 意指小麗和小華會各得「全部巧克力的 4 1 」，小明自己保留「全部巧 克力的一半」或「半盒」。 四年級 第二階段(四至五年級) 能力指標 分年細目 N-2-06 能理解分數之「整數相除」 的意涵。 N-2-07 能認識真分數、假分數與帶 分數，作同分母分數的比較、加減 與整數倍計算，並解決生活中的問 題。 4-n-06 能在平分情境中，理解分數 之「整數相除」的意涵。 4-n-07 能認識真分數、假分數與帶 分數，熟練假分數與帶分數的互 換，並進行同分母分數的比較、加、 減與非帶分數的整數倍的計算。

表2-7續 分年細目教學與教材說明 1.能理解「整數相除」意涵，例如2÷3＝ 3 2 。由於除法有兩種不同的應用 情境，在四年級處理較簡單的平分情境（等分除）。 2.複習單位分數，例如：1個披薩÷3＝ 3 1 個披薩，簡單記成1÷3＝ 3 1 3.討論「如何將2個披薩，平分給3小朋友？」，歸結到先將每個披薩各 平分成3片的方法，再從每個披薩中各取 3 1 個披薩，也就是每位小朋友 各分得 3 2 個披薩，可以讓學童將 3 2 個披薩總加起來，確定會得2個披薩。 4.開始發展分數的計算課程，建議分母小於20。 5.將整數點數與分數記號連結起來，例如：9個 4 1 就是 4 9 。 6.能說明真分數、假分數、帶分數意義，能說明假分數和帶分數的轉換， 並理解這與分子除以分母的商與餘數的關係。 7.說明假(真)分數的整數倍，採用整數乘法的經驗，建立整數倍計算， 也可與「整數相除」的概念結合。 8.透過做帶分數減法，可能要從整數借1的計算原理。並在以10為分母 時，理解這與小數相減借位的原理相通。 綜合以上整理得知，分數的教學始於二年級下學期，從最容易的對半 (一半)、對分在對分開始學習，認識分母在12以內的單位分數，並比較不 同單位分數的大小。接著三年級，繼續學習比較同分母分數的大小，此時 開始學習內容物為連續量和離散量的平分活動，並接觸內容物為離散量， 以部分與全體為為基礎的教學活動。而四年級的學童要理解「整數相除」 意涵，認識真分數、假分數、帶分數意義，此外還要擴展到學習假分數與 帶分數的互換，採用整數乘法的經驗，建立真(假)分數整數倍計算、並進

貳 貳 貳 貳、、、、國小四年級學童的分數教材分析國小四年級學童的分數教材分析國小四年級學童的分數教材分析國小四年級學童的分數教材分析 本研究的四年級上學期學童，即98、99學年度使用康軒版數學領域教 材，因此選定分數教材所含的單元，進行相關的分數教材分析，為了分數 單元的一慣性，教材分析由97學年度的二下課程開始討論，臚列如表2-8。 表 2-8 康軒版數學領域分數教材單元整理表(第四冊-第七冊) 二年級下學期 第四冊第8單元 活動目標 活動佈題 透 過 等 分 單 一 個 物 的 經驗，認識「平分」的 意義；能辨識平面圖形 是否平分。 1. 阿姨結婚了。 (1)把一個圓形的喜餅平分給2個人，可以怎麼分？ (2)把一個長方形的蛋糕平分成2份，可以怎麼分？ (3)把一條彩帶平分成2段，可以怎麼分？ 在連續量的情境中，將 物件等分成2份、4份、 8份，並進行單位分數 的命名； 2 1 、 4 1 、 8 1 的 聽、說、讀、寫、做。 1.把一個圓形喜餅平分成2份，妹妹吃了其中的1份， 是吃了多少喜餅？想想看， 2 1 的2和1表示什麼？ 2.一個喜餅平分成4份，其中的一份是多少個喜餅？ 一個喜餅平分成8份，其中的一份是多少個喜餅？ 3.將一條彩帶平分成4段，每段做成一個蝴蝶結，每 個蝴蝶結用了多少條彩帶？ 在連續物的情境下，對 以等分成3、5、6、7、 9、10、11、12份的具 體物，進行單位分數的 命名活動；分母在12以 內單位分數的聽、說、 讀、寫。 1.一條彩帶平分成3段，其中1段是多少條彩帶？一條 彩帶平分成5、7、12段，其中1段是多少條彩帶？ 2.將一個蔥油餅切成6塊(平分)，小明吃了其中1塊， 表示吃了 6 1 個蔥油餅嗎？ 3.一盒草莓蛋糕有3種口味，香草、綠茶和巧克力口 味各佔多少盒蛋糕？

表2-8續 在 離 散 的 情 境 中 進 行 單 位 分 數 的 命 名 活 動。（單位分量的內容 物為單一個物） 1.把1瓶果汁平分成6杯，其中的1杯是幾「瓶」果汁？ 2.一盒雞蛋有10個，1個雞蛋是多少盒？一盒冰棒有6 枝，平分給6個人，每個人得到多少盒？一袋蘋果 有11個，爸爸、媽媽和哥哥各吃了1個，那媽媽吃 了多少袋？爸爸吃了多少袋？哥哥吃了多少袋？ 透過操作，比較單位分 數的大小；能用＞和＜ 的 符 號 表 示 單 位 分 數 的大小；透過操作，察 覺單位量不同，所表示 的部分也不同 1.有兩條一樣長的緞帶。美美用了 4 1 條做緞帶花，彬 彬用了 6 1 條綁禮物，誰用的緞帶比較長？ 2.有2個一樣大的披薩。小薇吃了 5 1 個披薩，小志吃 了 8 1 個披薩，誰吃的披薩比較多，用＞或＜的符號 記下。 3.媽媽做了一條巧克力蛋糕和一條草莓蛋糕，哥哥吃 了 5 1 條巧克力蛋糕，妹妹吃了 5 1 條草莓蛋糕，有一 樣多嗎？(單位量不同，巧克力口味的蛋糕較大條) 三年級上學期 第五冊第10單元 活動目標 活動佈題 認 識 真 分 數 分 母 為 20 以下的分數意義；能用 分 數 描 述 以 等 分 好 具 體物的部分量；能知道 「 幾 分 之 幾 個 」 就 是 「一個的幾分之幾」； 認識分母、分子 1.一個披薩平分成4片，1片是多少個披薩？2片是多 少個披薩？3片是多少個披薩？4片是多少個披 薩？ 4 4 個披薩和1個披薩一樣大嗎？ 2.一盒鳳梨酥有20個。凱安拿了7個鳳梨酥，是多少 盒？也就是拿了一盒的幾分之幾？剩下的都送給 芬芬，芬芬拿了幾盒？是一盒的幾分之幾？ 3. 6，橫線上的數是分子，橫線下的數是分母。

透 過 單 位 分 數 的 累 積，建立分數的數詞序 列 1.有一條彩帶，畫出 10 1 條、 10 2 條…… 10 10 條彩帶。2 個 10 1 條合起來是幾條？3個呢？……。10個 10 1 條合 起來是幾條？ 10 6 條是幾個 10 1 條合起來的？ 2.自己做手環，把一條紙帶的 16 8 塗上顏色。 在連續物的情境下，進 行分數的比較；在單位 分 數 內 容 物 為 單 一 物 的離散情境下，進行分 數的大小比較 1.軒軒和童童各買一條一樣的巧克力。軒軒吃了 8 6 條，童童吃了 8 7 條，誰吃的比較多？ 2.一打鉛筆12枝，姐姐拿了3枝，弟弟拿了 12 2 打，誰 拿的鉛筆比較少？ 透過具體活動，解決同 分 母 分 數 的 合 成 分 解 活動；能解決同分母分 數的加減問題，並用算 式記錄 1.小英用 12 3 條緞帶做蝴蝶結，再用 12 6 條做領結，共 用了多少條緞帶？用算式怎麼記？ 2.一盒雞蛋有10個，冰箱裡有 10 9 盒雞蛋，媽媽做早餐 用掉了 10 3 盒，還剩下多少盒雞蛋？用算式記下。 三年級下學期 第六冊第9單元 活動目標 活動佈題 能 計 算 兩 步 驟 的 同 分 母分數加減問題；能用 算 式 填 充 題 記 錄 被 加 數（加數）未知問題， 並做計算 1.冰箱裡有 14 11 條吐司，上午吃了 14 5 條，下午吃了 14 3 條，冰箱裡還有幾條吐司？ 2.偉婷有一條彩帶，上美勞課用掉 22 9 公尺後，還剩 下 22 4 公尺，這條彩帶原來有多少公尺長？ 用算式填充題記問題： 9 ＝ 4 表 2-8 續

從 連 續 量 的 平 分 活 動 情境中，初步經驗等值 分數 1. 2 2 張聰油餅和1張聰油餅一樣大嗎？三分之幾和1 一樣大？四分之幾和1一樣大？ 2.有3個一樣大的蛋糕，分給小華、小娟和小強，每 人1個。小華吃了 2 1 個，小娟吃 4 2 個，誰吃的比較 多？小強將蛋糕平分成8份，他要吃八分之幾個蛋 糕，才會和 2 1 個蛋糕一樣多？ 從 離 散 量 的 平 分 活 動 情境中，建立「內容物 為多個物」的分量數詞 序列；能經驗離散量的 等值分數 1.一盒綠豆糕有18個。將一盒明分成6份，1份有幾 個？1份是幾盒？ 9 1 盒有個幾個綠豆糕？ 2.一盒鳳梨酥有24個，品萱拿走 6 2 盒，皓宇拿走 4 1 盒，兩人各拿走幾個鳳梨酥？誰拿的比較多？ 四年級上學期 第七冊第9單元 活動目標 活動布題 知 道 某 一 分 數 就 是 若 干個單位分數；透過真 分數的合成，認識假分 數及其記法；透過整數 和真分數的合成，認識 帶分數及其記法 1.製作1條蛋糕需要水 4 1 杯，做3條蛋糕要準備多少 水？ 4 3 杯和3個 4 1 杯一樣多嗎？做5條蛋糕，要準備 多少杯水？ 4 5 杯水和「1杯又 4 1 杯」水一樣多嗎？ 2.老師將每條蛋糕都平分成8塊，玉珍那組拿了10 塊，合起來是多少條蛋糕？ 知道真(假)分數整數倍 的結果和意義；解決真 ( 假 ) 分 數 整 數 倍 的 問 題，並用乘式計算 1.芳怡調配1杯蜂蜜檸檬汁，需要 16 5 公升的檸檬原 汁，調配3杯，共要多少公升的檸檬原汁？ 2.文豪家有3個人，每個人都吃了 4 5 個蔥油餅，全家 表 2-8 續

表 2-8 續 能分辨真分數、假分數 和 帶 分 數 ； 知 道 真 分 數、假分數和帶分數的 術語 1.2 3 1 有幾個 3 1 ？也就是三分之幾？3公升和 10 6 公升 合起來是3 10 6 公升，用假分數怎麼說？ 2. 2 7 個蔥油餅，用帶分數表示，也可以說是多少個蔥 油餅？7÷2＝3…1 ， 2 7 ＝3 2 1 3.每個月餅都平分成4小塊，27小塊是幾個月餅？ 能 解 決 分 數 加 減 法 問 題，並說明解題過程 1.班上同學分組做三明治，第一組用了 15 8 條吐司，第 二組用了 15 11 條吐司，兩組一共用了多少條吐司？ 2.媽媽買了一條緞帶，包裝禮物用了 5 3 條，還剩下幾 條緞帶？ 綜合以上整理得知，二年級下學期是分數概念學習的引入，首先藉由 操作認識平分意義開始、要了解等分割的意義，接著將物件等分成2份、4 份、8份，再分別從連續量的情境和離散量的情境下認識分母在12以內的 單位分數，之後再比較單位分數的大小。三年級上學期延續等分割的意 義，藉由連續情境或離散量情境知道真分數的意義（分母為20以內），也 透過分母和分子的解釋，了解幾分之幾個就是一個的幾分之幾。同時要瞭 解同分母的加減問題。三年級下學期，延續同分母的加減問題，要能用算 式填充題記錄，此時開始加入了運算結構來解決分數問題，並開始察覺單 位分數的等值關係，經驗連續量和離散量的等值分數。而在四年級上學 期，透過分數單元的引導，學生須了解分數是單位分數累加後的結果，也 就是知道 4 3 是3個 4 1 （單位分數），同時將3個 4 1 看做 4 3 ，藉由真分數的結 合認識假分數，也透過整數和真分數的結合，認識帶分數，最後能解決假 分數與真分數的互換問題和真（假）分數整數倍的問題。

第四節

第四節

第四節

第四節 試題關聯結構分析

試題關聯結構分析

試題關聯結構分析

試題關聯結構分析

壹 壹 壹 壹、、、、試題關聯結構分析法的由來及功能試題關聯結構分析法的由來及功能試題關聯結構分析法的由來及功能試題關聯結構分析法的由來及功能

美國的學者Airasian and Bart在1973年首先揭開次序理論（ordering

theory）在教育工學的功用。在1977年時，日本竹谷 誠（Takeya）教授參

加美國威斯康辛大學的研討會，此時接觸到次序理論，因Baker F.B.的介紹 而知其功用，在返回日本後，全心致力於修改次序理論的缺點，於1979年， 正式提出「試題關聯結構分析法」（Item relational structure analysis），簡 稱IRS分析法。採用測驗試題的結果，按題目之間反應所得的順序關係， 繪製有指向性的圖形結構，用來分析試題的特性，並在1980年代，完成「試 題關聯結構分析法的理論」，最後證明其為有效的分析工具（許天維，

1995）。簡而言之，IRS就是將學習者的知識概念以圖像化形式呈現出來，

以方便研究者分析，因此頗受歡迎。依據Scandura and Scandrua（1980）的 研究，試題關聯結構分析法對於代數、小數課程、計算技巧或幾何做圖問 題，都有實證性的研究結論。而經過研究的結果，試題關聯結構分析法具 有下列五種功能（許天維，1995）： 一、教學設計之運用 教師在進行單元教學活動之前，可以將欲進行的課程內容之先前經驗 概念，作一知識結構分析後，再依結構所對應的知識概念分別出題，並加 以施測，所得的結果以「試題關聯結構分析法」進行分析，可以考驗出學 生先前經驗概念不足之處，從而想像出未來指導時的困難所在，以作為進 行設計教學歷程的參考。 二、形成性評量之運用 經過單元教學活動後，欲知班級學童的學習結果，可以利用知識結構 分析出題，編製形成性評量，再加以施測，所得的結果以「試題關聯結構

楚之處，進行補救教學加強之。 三、認知學習構造之分析 形成性評量的反應結果，亦可利用佐藤S-P表獲得注意係數，從而偵測 出異質性的兒童，此類兒童所畫出結構圖與班上的結構圖可以互為比較， 即可知道此類兒童異質的原因，從而加強輔導教學。 四、概念形成過程之考驗 對縱貫研究而言，兒童概念的形成過程有層次之分，例如山田完對教 師進行評定兒童設有四層次，即操作經驗層次、知覺內化層次、言語抽象 層次、因果論理層次，如果以此四層次來評定各年級班上學生的形成過 程，並建立各年級的結構圖，即可知學生的概念形成過程的發展。對橫斷 研究而言，亦可知班上學生的概念形成過程的分布。 五、課程教材構造之解析 由母群體隨機抽出樣本進行考驗後，透過「試題關聯結構分析法」進 行構圖，可得一般兒童的學習構造，對教科書編者而言，是貴重的資料， 而且對於分析典範教師的學習指導構造圖的特質，都有很大的作用。 本研究之試題施測於學童學習活動後進行，因此運用到形成性評量之 功能，可了解學童學習後的知識結構，對其不清楚之處進行補救教學；除 此，亦可於學童進行新的分數單元活動前，事先知道學童先前經驗概念不 足之處，作為單元教學設計之參考。 貳 貳 貳 貳、、、、試題關連結構分析理論試題關連結構分析理論試題關連結構分析理論試題關連結構分析理論 在此，舉例說明試題關聯結構分析直觀上的意義。假設有A、B兩組受 試者，各有10位，共20位，參加試題共為六題的同一種測驗，若假設答對 者得一分，答錯者得零分，其得分情況如下表所示：