第三節 第三節
第三節 分數概念的迷思概念與錯誤類型 分數概念的迷思概念與錯誤類型 分數概念的迷思概念與錯誤類型 分數概念的迷思概念與錯誤類型
基於上述，分數因不同的情境而有不同的意義、不同的表徵，具有複 雜、多重的特性，而分數概念的發展又具有層次性，故學習分數必須循序 漸進，當前面的分數概念未具備，要學習高一層的概念就愈形困難(Gagné, 1997)。因此分數的學習常讓學生產生許多的困難和迷思。
一、分數概念的迷思概念
建構論者認為學習者是動態的、主動的，並非被動接受，透過調適外 在事物，反應出一種結構化、序列化、可預測的行為。學習包括使用新訊 息、組織、重建學習者已有的概念和架構，並建構自己的知識和認知架構，
但當學習者以既有的經驗去建構知識時，就可能產生迷思概念(湯錦雲，
2002)。因學生的知識是自行建構，若其先前知識與正統概念有所落差，則 會影響思考過程，形成錯誤概念（張鳳燕，1991）。Ginsburg(1977)認為學 生學習數學會用過去的生活經驗來解決，建構自己的數學意義，當這個意 義是錯誤時，就形成了迷思概念。而這個錯誤概念的產生，可能來自日常 生活經驗，或學生對老師教的一知半解（呂溪木，1983）。因此迷思概念 意旨學生自我建構的知識或概念，無法為現行知識或概念所包容時，導致 影響學習的困難，亦可稱為迷失概念或錯誤概念（陳和貴，2002）。
林福來、黃敏晃、呂玉琴與譚寧君(1992)等學者認為迷思概念具有下列 幾項特性：
(一)個別性、規律性：個人的迷思概念具有相當的系統性，並且是個人獨 有的，藉由一連串的觀察，就可找到理論加以解釋。
(二)非正統性：與專家知識有相當的差距。
(三)穩定性、普遍性：迷思概念具有根深柢固、不易改變及普遍發生的特 性，即使不斷的提醒、解說，仍是不斷出現。
(四)歷史性：所發生的迷思概念在以前學童本身也曾發生過。
(五)思考性：迷思概念可能因不正確、不成熟的推理、思考所造成。
(六)不完備性：很多的迷思概念是因為對問題的思考不周全所造成。
而迷思概念的成因，歸納學者們的看法有（呂玉琴，1994；鄭昭明，
1993；Davis, 1990；Resnick, 1987；Resnick & Ford, 1981）： (一)日常生活的錯誤印象：兒童自己的生活經驗或文化所影響。
(二)架構憶取的錯誤：選擇了錯誤的架構或將某些概念過度類推到不適合 的規則。
(三)二元逆轉：以過去學過的問題來處理新知識。
(四)同化範型：受視覺刺激的熟悉度所影響。
(五)正式、非正式的教學影響：因教師的教法與教學相關知識、教科書不 當的描述或插圖的誤導所影響。
(六)遺忘或解除公式的限制條件，導致錯誤規則的產生。
(七)對相關知識不足所產生。
(八)語言的不正確或含糊所導致。
(九)以不完全的算則而遭遇僵局所產生的解題方式。
分數概念在數學或自然科學中，占有非常重要的地位，但分數概念過 於抽象又難瞭解，分數的迷思概念若不能獲得適度的解決，對日後的分數 發展將有深大的影響；進行抽象符號的分數運算時，學生若不能充分瞭解 分數運算的規則和過程，就容易產生分數概念的錯誤。茲整理國內外有關 分數迷思概念之相關文獻，說明如下：
湯錦雲(2002)指出國小五年級學童普遍存在的分數概念與運算的迷思 概念成因有：
(一)缺少完整的先備知識：把適用於小數的方式（每一單位長分成 10 段）
運用在分數、將部份-全部的概念運用於數線上。
(二)使用不當的數學規則：用乘法觀念處理分數加法。
(三)學習知識互相干擾：將整數算則運用到分數加法，而有分子加分子、
分母加分母的情形。
(四)兒童採用兒童法：使用整數、數數或疊加的方式處理手邊的問題。
(五)無法將概念與運算聯繫：只懂得學習規則和解題訣竅。
(六)對試題用語不瞭解：如因受語言次序或部份-整體影響而導致在數線上 標出錯誤的分數。
(七)忽略問題情境：
湯錦雲(2002)認為學生在分數概念表現較容易出現的錯誤類型有：
(一)單位量的指認：如在 12 顆蘋果中，將 4
1 的蘋果圈出來？學生的答案將
4 顆一圈，再從這 4 顆中圈出 1 顆。原因在於忽略了給定的單位量。
(二)部分-全部的區分：如在 12 顆蘋果中，將 4
1的蘋果圈出來？學生的答案
每 4 顆一圈，每一圈是全部的 4
1。原因在於沒有部分-全部的概念。
(三)數量的觀念：如小明的 5
1誤認為小明是 5 1，或
3
1誤認為 3 1元。
(四)分數數線觀念：如將數線分割點誤認為間隔數。
(五)題意的瞭解：題意不明白，以猜答方式作答。
(六)等值分數概念：無法將 3 2化成
12 8 。
而在分數加減法運算上易出現的錯誤類型則有：
(一)帶分數的錯誤：帶分數假分數互換的錯誤。
(二)向整數借位的問題：向整數借 1，最後計算忘了減 1。
(三)分數加減法運算錯誤：分子加分子，分母加分母。
(四)整數運算錯誤：5 減 2 等於 4。
(五)通分與約分錯誤：通分後，分子不變而進行運算。
陳和貴(2002)歸納出學生錯誤的分數概念有：
(一)學生不將分數看成一個數或認為分數不是數。
(二)不瞭解部份/全部的分數問題。
(三)指認單位量有困難：可分為三類，忽略給定的單位量、受分子的控制、
受分母的控制。
(四)易將數線問題看成部份/全部的分數問題。
(五)受自然數的影響，在比較分數大小或等值分數時易產生錯誤。
(六)不同試題變數影響學生在數線上的分數表現。
(七)解題時採用學童法或初學法。
在學生分數計算錯誤類型上歸納出：
(一)不瞭解分數意義。
(二)不會使用等值分數的規則。
(三)不會應用通分、分數轉換成假分數。
(四)不清楚分數計算的規則和過程。
洪素敏(2002) 分析相關文獻及自身學經驗，將學童的迷思概念分為：
(一)等分觀念薄弱：忽略分數是要對整體進行等分割的活動。（林福來、黃 敏晃、呂玉琴，1996）
(二)忽略單位量：原因在於學生未真正瞭解分數的意義。（楊壬孝，1988；
洪素敏、楊德清，2002；楊德清、洪素敏，2003）
(三)受整數基模的影響，視分數為兩個獨立的數：進行離散量分數問題、
比較分數大小與尋找等值分數受整數基模影響而產生錯誤。
李慧鳳(2005)綜合國內外學者專家的研究，認為影響學生分數概念學 習有：
(一)分數的意義：在不同情境中具有不同的意義。
(二)單位量的指認：處理部分/全部、子集/集合或分數問題時，忽略給定的 單位量、受分子控制、受分母控制。
(三)等分概念：容易未注意分割後的每一塊或每一堆是否相等。
(四)數和量的觀念：缺乏數與量的辨識能力，認為只要有數字都可以進行 大小比較，忽略單位的存在。
(五)分數數線的觀念：忽略數線上的參考值，易將數線當作 1 個單位量。
(六)等值分數概念：缺乏彈性思考的能力，導致不易在不同表徵系統間做 彈性轉換。
綜合以上國內外學者的研究，學生的分數迷思概念相當多樣，這可能 因為分數具有多重意義而不易瞭解所導致；由於分數是一個複雜的概念，
學生若不能真正瞭解分數的意義，就會導致產生許多迷思概念和錯誤類 型。而且學生建構出來的迷思概念通常相當固執，即使精心設計的教學也 難以改變，所以教學者在教學歷程中，分析、診斷學生數學概念的迷思、
計算過程的錯誤類型，並糾正學生錯誤的想法，才能幫助學生發展更正確 的概念系統。