國小五年級學童分數概念表現分析之研究

國立臺中教育大學數學教育學系

國小教師在職進修教學碩士班碩士論文

指導教授：胡豐榮 博士

鄭博文 博士

國小五年級學童分數概念表現分析

之研究

研究生：劉世強 撰

中 華 民 國 一 百 年 六 月

國小五年級學童分數概念表現分析之研究

國小五年級學童分數概念表現分析之研究

國小五年級學童分數概念表現分析之研究

國小五年級學童分數概念表現分析之研究

摘要

摘要

摘要

摘要

本 研 究 旨 在 探 討 國 小 五 年 級 學 童 的 分 數 概 念 的 能 力 表

現，其次，統整學童問卷錯誤題目的結果，並將其錯誤類型進

行分類，最後比較城鄉地區分數概念的能力表現是否達到顯著

差異。

本研究採量化設計，立意抽樣方式，於彰化縣五個城市與

五個鄉村，各選取一個班級，於此五年級共十班 286 名學童為

研究樣本，進行分數概念問卷的施測。

研究結果如下：

一、國小五年級學童於分數概念能力的表現上整體平均數為

13.87，標準差為 6.02，在「等值分數」

；

「分數大小比較」；

「分數加法」；「分數減法」四個向度中，以「等值分數」

為表現最優秀。

二、學童答題錯誤類型分為三類：(一) 分數概念錯誤型：未

具有正確的分數概念；(二) 分數運算錯誤型：分數運算

過程中，因觀念錯誤或大意所產生的錯誤；(三) 逃避錯

誤型：答題原因中為「不知道」、「猜的」或留空白者。

三、在國小五年級城鄉學童分數概念能力的表現方面，整體而

言分數概念能力明顯不同，而四個向度「等值分數」；「分

數大小比較」；「分數加法」；「分數減法」城鄉之間也明顯

不同。

關鍵字 關鍵字 關鍵字 關鍵字：：：分數概念：分數概念分數概念分數概念、、城鄉差距、、城鄉差距城鄉差距城鄉差距、、、、錯誤類型錯誤類型錯誤類型錯誤類型

The Performance Analysis of the Fractional Concepts

of the Fifth graders

Abstract

The purposes of this study are to investigate students’

ability of fractional concepts in the fifth grade students, to

conclude and category the error patterns, and to compare the

difference on students’ ability of fractional concepts by the area

variable.

This study used investigation method to test 10 classes from

10 elementary schools in Changhua county from urban area and

rural area respectively, including 286 students, imposed by the

fractional concepts questionnaires.

The results revealed as follows:

1. The average score and standard deviation of fractional concept

of the fifth graders are 13.87 and 6.02. The greatest one is

“Equivalent Fraction” among the four subscales , ”Equivalent

Fraction”, ”Fraction Comparison”, “ Fraction Addition “,

“Fraction Subtraction.”

2. The three error patterns are: (1) misconception of fraction; (2)

error of the fraction operation; (3)escaping errors.

3. There were significantly differences in urban and rural area

schools students’ performances on fractional concept and also

on the four subscales, ”Equivalent Fraction”, ”Fraction

Comparison”, “ Fraction Addition “, “Fraction Subtraction.”

目

目

目

目

次

次

次

次

第一章

第一章

第一章

第一章

緒論

緒論

緒論

緒論

...

1

1

1

1

第一節 研究動機...1 第二節 研究目的與待答問題...3 第三節 名詞釋義...3 第四節 研究範圍與限制...4

第二章

第二章

第二章

第二章

文獻探討

文獻探討

文獻探討

文獻探討

...

5

5

5

5

第一節 分數概念的意涵...5 第二節 分數概念的教材分析...14 第三節 分數概念的迷思概念與錯誤類型...19 第四節 城鄉間教育背景之差距...23

第三章

第三章

第三章

第三章

研究方法

研究方法

研究方法

研究方法

...

27

27

27

27

第一節 研究設計與流程...27 第二節 研究對象...29 第三節 研究工具...31 第四節 資料處理與統計...40

第四章

第四章

第四章

第四章

研究結果與分析

研究結果與分析

研究結果與分析

研究結果與分析

...

41

41

41

41

第一節 國小五年級學童在分數概念能力上的表現...41 第二節 國小五年級學童在分數概念上的錯誤類型統整 與分析...54 第三節 城鄉差距對五年級分數概念能力表現上的差異...63

第五章

第五章

第五章

第五章 結論與建議

結論與建議

結論與建議

結論與建議

...

6

69

6

6

9

9

9

第一節 結論...69 第二節 建議...71

參考文獻

參考文獻

參考文獻

參考文獻

...

73

73

73

73

一、中文部分...73 二、英文部分...76

附錄

附錄

附錄

附錄

附錄一 國小五年級學童分數概念測驗預試試題...79 附錄二 國小五年級學童分數概念評量專家效度調查問卷.87 附錄三 國小五年級學童分數概念測驗正式試題...89 附錄四 國小五年級分數概念正式試題細目表...95

表

表

表

表

次

次

次

次

表 2-2-1 92 正綱與 97 課綱數學領域學習階段比較表...15 表 2-2-2 92 正綱與 97 課綱分數教材能力指標與分年細目 比較表...15 表 3-2-1 台灣彰化縣主要都市及人口...30 表 3-2-2 樣本人數分配表...30 表 3-3-1 國小五年級分數概念預試試題細目表...32 表 3-3-2 預試試題之整體通過率、難度及鑑別度分析...34 表 3-3-3 預試之內部一致性 α 值...36 表 3-3-4 分數概念測驗問卷之試題分配表...38 表 4-1-1 等值分數概念能力之題型...42 表 4-1-2 等值分數概念能力表現之統計...43 表 4-1-3 分數大小比較概念能力之題型...44 表 4-1-4 分數大小比較概念能力表現之統計...46 表 4-1-5 分數加法概念能力之題型...48 表 4-1-6 分數加法概念能力表現之統計...49 表 4-1-7 分數減法概念能力之題型...50 表 4-1-8 分數減法概念能力表現之統計...52 表 4-1-9 整體分數概念能力表現之統計...54 表 4-2-1 分數概念問卷錯誤比例...55

表 4-2-2 分數概念錯誤型比例...56 表 4-2-3 分數運算錯誤型比例...59 表 4-2-4 逃避錯誤型比例...61 表 4-3-1 城鄉之間分數概念能力表現平均成績比較...63 表 4-3-2 等值分數概念能力表現之 t 考驗分析...64 表 4-3-3 分數大小比較概念能力表現之 t 考驗分析...64 表 4-3-4 分數加法概念能力表現之 t 考驗分析...65 表 4-3-5 分數減法概念能力表現之 t 考驗分析...65 表 4-3-6 分數整體概念能力表現之 t 考驗分析...66

圖

圖

圖

圖

次

次

次

次

圖 3-1-1 研究流程...28 圖 3-3-1 試題編製流程...31 圖 4-2-1 學生解法...57 圖 4-2-2 學生解法...57 圖 4-2-3 學生解法...58 圖 4-2-4 學生解法...58 圖 4-2-5 學生解法...59 圖 4-2-6 學生解法...60 圖 4-2-7 學生解法...60 圖 4-2-8 學生解法...62 圖 4-2-9 學生解法...62 圖 4-2-10 學生解法...62 圖 4-2-11 學生解法...62

第一章

第一章

第一章

第一章 緒論

緒論

緒論

緒論

分數在數學領域中占有相當重要的角色，並且是國小學童較難理解且 易產生迷思的單元，本研究以九年一貫課程數學領域五年級應學會的分數 概念為研究範疇，進而瞭解國小五年級學童分數概念的能力表現，及學習 上的錯誤思考類型，並探討城鄉地區學童在分數概念上的差異，以提供教 師在實施分數教學及補救教學的參考依據，期能獲得更好的教學效益，提 升學生學習能力。 本章共分為四節，第一節為為研究動機；第二節為研究目的與待答問 題；第三節為名詞釋義；第四節為研究範圍與限制。

第一節

第一節

第一節

第一節 研究動機

研究動機

研究動機

研究動機

在數學教育裡，九年一貫課程強調每個學生都有權利要求受到良好 的數學訓練，並充分認識重要的數學概念及提昇厚實數學能力。而這些 重要的數學概念和精熟的演算能力，是九年一貫所強調「帶著走」的能 力。其中精熟的演算能力不只是機械式計算操作而已，而是在能夠理解 數學概念或演算規則的情況下，所進行的純熟操作；這種透過理解並能 將觀念與計算結合的能力，才是演算能力（教育部，2003） 。 九年一貫課程數學領域中的「數與量」主題，不僅範圍廣、份量重， 也是學童學習主要概念和培養演算能力的階段。尤其有理數子題不僅是小 學的核心課程之一，也是小學數學教育中，最有挑戰性的教學主題。分數 是奠定有理數概念的基礎，而且分數的應用範圍也很廣（平分、測量、比 例、比率、比值、部分/全體），與百分率、小數、比、除法等概念的關係 又相當密切，在數學、自然科學與日常生活中，處處可見分數的應用，可 見分數是一個很重要的概念；在第二階段（四、五年級）的能力指標要求 學生在分數學習上依序需達成：N-2-06 能理解分數之「整數相除」的意涵；

N-2-07 能認識真分數、假分數與帶分數，作同分母分數的比較、加減與整 數倍計算，並解決生活中的問題；N-2-08 能理解等值分數、約分、擴分的 意義；N-2-09 能理解通分的意義，並用來解決異分母分數的比較與加減問 題；N-2-11 能理解分數乘法的意義及計算方法，並解決生活中的問題等能 力 （教育部，2003）；可見分數能力的養成不僅需要循序漸進，在數學領 域中也占有相當部份的比例。 不少的國內外（湯錦雲，2002；楊壬孝，1988；Hunting, 1986；Kieren, 1980）研究報告指出，分數在不同的情境下具有不同的意義、表徵方式， 且分數的形式是學生首次碰到兩整數並置的約定，整數的經驗與有理數的 學習相互影響，種種因素，造成學生學習分數的困難。因為分數意義的不 清楚，受整數的影響，分數的計算更容易發生錯誤，即使算對也只是學會 分數的機械式操作運算，以流於形式的方式進行解題，對於分數概念仍是 一知半解，這樣的方式不但違背了九年一貫課程的精神--概念的理解是解 決數學問題的基石，更會阻礙學童日後的數學發展。數學概念是由一連串 概念累積而成，具有抽象及前後連貫的特性（林碧珍，1988），國小分數 概 念 不 完 備 ， 日 後 國 中 的 代 數 學 習 就 會 發 生 困 難 (Behr,Harel,Post,& Lesh,1992)；分數學習的錯誤概念，將形成日後抽象化數學概念學習的阻 礙。湯錦雲(2002)也指出學生不理解分數，將嚴重影響其日後數學學習的 信心與成就。美國全國教育發展評估指出學童常有對分數意義不瞭解、不 知分數是數、以機械式記憶方式進行計算分數等不完備的分數概念；Behr et al.（1992）等人也認為，分數的學習常是兒童數學發展上嚴重障礙。 分數概念的發展是如此的重要，那該如何進行教學，一直是老師感到 頭痛的課程。九年一貫課程數學領域課程綱要（教育部，2003）中建議有 理數的教學應先從較容易的平分或測量入手，將材料做適當的安排，在有 理數概念上不管是形式程序或概念理解，都應相互支持，並將其他的應用

課題，做為錘鍊有理數數感的課題，將自然數、分數和小數結合在一起， 運用數線模型，匯集成完整的「數」的概念。 本研究藉由國小五年級學童分數概念相關的研究，期望瞭解五年級學 童在分數概念學習上的表現，並針對城鄉差距與錯誤類型進行深入探討， 並結合國小九年一貫課程數學領域課程綱要與能力指標，期能在教學上有 更好的助益。

第二節

第二節

第二節

第二節 研究目的與待答問題

研究目的與待答問題

研究目的與待答問題

研究目的與待答問題

根據上述之研究動機，故本研究的具體目的如下： 一、研究目的： (一)了解國小五年級學童在分數概念上的學習情形。 (二)分析國小五年級學童在分數概念上的錯誤類型。 (三)分析城鄉地區的國小五年級學童在分數概念上的差異。 二、待答問題： (一)國小五年級學童分數概念的表現為何？ (二)國小五年級學童對分數概念的錯誤型態為何？ (三)國小五年級學童分數概念的表現上是否有顯著的城鄉差異？

第三節

第三節

第三節

第三節 名詞釋義

名詞釋義

名詞釋義

名詞釋義

根據上述之目的，茲將本研究中相關的重要名詞定義如下，以便更能 了解本研究之用語： 一、五年級學童 本研究中「國小五年級學童」是指九十九學年度（上學期） 已學習 完整數相除、等值分數、通分概念、分數大小比較、異分母相加減等概念 之彰化縣國小五年級之學童。

二、分數概念 本研究所指的分數概念，是根據現行九年一貫課程綱要及現階段的課 程教材，歸納出整數相除、等值分數、通分概念、分數大小比較、異分母 相加減等概念。 三、迷思概念 學童運用先備經驗處理新知識時，因思考和錯誤的判斷，形成的概念 與專家的想法不相符時，稱之為迷思概念。 四、城鄉差距 彰化縣於民國九十七年底擁有五萬以上人口之市、鎮或鄉定義為城 市，其餘則為鄉村（非城市），依此二分法觀察「城」與「鄉」在五年級 學童分數概念的差異程度。

第四節

第四節

第四節

第四節 研究範圍與限制

研究範圍與限制

研究範圍與限制

研究範圍與限制

本研究以已修習完成國小五年級上學期學業之學童為研究對象，為瞭 解國小五年級學童分數概念的能力表現，及學習上的錯誤思考類型，並探 討城鄉地區學童在分數概念上的差異，茲將研究範圍與限制說明如下： 一、研究內容 本研究之測驗內容係以九年一貫課程正式綱要數學領域五年級上學 期應具備之分數概念，並參閱南一、翰林、部編、康軒等出版社編輯之分 數教材及教學指引內容，故不宜將研究結果推論至其他單元。 二、研究對象 受限於時間、人力、經費等各個因素之考量，本研究以彰化縣國民小 學五年級男女學童共 286 人為研究對象，因此研究結果不宜解釋為普遍性 的現象。

第二章

第二章

第二章

第二章 文獻探討

文獻探討

文獻探討

文獻探討

本章根據相關的理論、文獻之探討，進行自編分數概念問卷，以瞭解 五年級學童分數概念的表現情形。因此本章共可分為四節：第一節為分數 的意涵；第二節為分數概念的教材分析；第三節為分數概念的迷思概念與 錯誤類型；第四節為城鄉間教育背景之差距。

第一節

第一節

第一節

第一節 分數概念的意涵

分數概念的意涵

分數概念的意涵

分數概念的意涵

分數的學習在國小教育數學課程中一直受到重視，學童能成功學習分 數則有賴於分數概念的穩固，故本研究依序從分數的起源、分數的意義、 學童分數概念的發展等相關研究進行說明。 一、分數的起源 分數(fraction)一詞最早出現於拉丁文中，意思為破碎、片段、不連續， 羅鴻翔(1980)解釋分數是描述一個全體被分開的各個部分。所以分數的概 念起源於分，用來解決不滿一個單位量的數值問題，將原單位量等分割成 單位分量，再重覆將數個單位分量合成一個量，用等分的份數和重複的次 數並置來描述，即為所謂的分數（南一書局，2007）。Hunting(1986)認為對 一個連續物的細分是分數的最初概念，例如披薩、蛋糕、蘋果。甯自強(1995) 則認為分數是起源於對一物件進行等分割活動的紀錄和結果。人們以 1 為 計數單位時，當面臨不足 1 的量，但卻必須計數、測量和比較時，就發展 出比 1 小的計數單位 （周筱亭、黃敏晃，2001） 。 因此分數的產生實源於生活中「分」的需要，在人類日常生活中，因 遇到對一個連續量的分割，原本以自然數為計數的原有度量單位（個、棵） 就不敷使用，因而產生一套模式來處理部分事物或組成分子的小度量，即 為分數。

二、分數的意義 分數概念在不同情境、表徵方式下，有不同的多重意義、解釋和用法， 這也是國小學童學習分數的困難度，國內外諸多學者對於分數概念有許多 不同的看法： 幼獅數學大辭典(1983)中說明分數是表示 1 之若干等分之名詞，凡等分 之一即為分數單位，如 5 4 中，含有所分 1 之等分為 4，每份等於 5 1 ， 5 1 為分 數單位。 Kieren(1980)對分數的定義為若能化為 p q 的型態，且 p、q 皆為整數， p≠0；其中 p 稱為分母，q 稱為分子，而分數是個具有稠密性、無窮可數的 數系，其對分數分為五種子建構： (一)部分/整體(part-whole)：某個相對於整體部份量被劃分成等分單位時的 比較關係。 (二)運算元(operator)：甲有 18 元，乙的錢是甲的 6 5 ， 6 5 是由數字 5、數字 6 和符號－所組成的運算元。 (三)比(ratio)：兩個集合或度量比較的結果。 (四)商(quotient)：兩個整數相除的結果。 (五)測量(measures)：測量一個不滿一個單位量的數值問題或對兩量的對等 關係進行數值化。

Dickson, Brown and Gibson(1984)等人對分數意義提出的解釋有： (一)整塊面積的其中一部分：以圖形面積表示連續的整體（連續量）等分

後的部份，相當於部份/整體的關係，如一條繩子分成五段，分出一 段是多少條？

(二)子集合與整體集合間的比較：表示一集合（離散量）等分若干組後其 中的組數，與部份/整體的模式相近，如一盒蘋果有 8 顆，2 顆是幾盒？

(三)位於數線上兩個整數間等分好的一點：在數線標示區間長度為 1 的模 式，其意義與部份/整體的模式相近。 (四)兩數相除所得的商：表示兩數相除的結果，特別是無法整除但必須除 盡時；在分數轉換為等值小數時，可以說明轉換時算則的意義。 (五)兩組集合（離散量）或兩個量（連續量）的大小比較的方法：以兩個 集合（離散量）或兩個量（連續量）的比較結果，也可稱為比值。 Ohlsson(1988)認為分數從數學建構來看，具有四種： (一)商的函數：兩數之間除的關係，如等分除、包含除、縮小、引出。 (二)有理數：代表商之間的一個不變的值，如分數及測量。 (三)二元向量：xy 可以表示斜率或直線的方向，也可表示兩個量之間的比 較關係，如比、平均、內涵量、比例。 (四)合成函數。

Behr, Harel, Post and Lesh(1992)等人認為分數是由無限等價集所構成 的一個無限多商的場，這個場又包含無數等值的類，而等值類中的一元， 就是一個分數；並且指出分數的意義有下列六種： (一)部分—全體比較：將一個整體 1 等分後，以分數表示子分割單位的部 分量和整體量的關係。 (二)測量：測量一個不滿一個單位量的數值問題或對兩量的對等關係進行 數值化。 (三)比：兩個集合或度量相比較的結果。 (四)商：兩數相除無法整除時，所得的商以分數表示。 (五)運算元： 6 5 是由數字 5、數字 6 和符號－所組成的運算元。 國內學者楊壬孝(1988)認為分數在國小學童分數概念發展的意義具有 下列四項：(一)一個整體之相等部分。(二)一個集合等分組後的幾組。(三) 數線上的某一數值。(四)兩數相除的結果。

林碧珍(1990)參考國小數學科教材及國外文獻，將分數意義定義為下列 五類：(一)全部的部分區域，以連續量為主，如長度、面積等（部分、整 體模式） 。(二)集合中的部分集合（子集合、集合模式）。(三)數線上的一 個數值（數線模式）。(三)兩個整數相除的結果（商模式）。(五)兩個集合或 度量相比的結果（比值模式）。 民國八十二年教育部頒布之國民小數學科課程標準（教育部，1993） 中，說明分數具有六項意義： (一)部分/全部：將一整數（集合）等分後，其中的部份（子集）、整體（集 合）的關係，以分數來表示，可包括連續量（部分/整體）與離散量 （子集/集合）的情境。 (二)量的大小： 6 3 加上名數「平分公尺」， 6 3 平分公尺即為固定面積量。 (三)操作：藉由進行具體物或圖像「分的活動」，以連結具體物操作與分數 符號。 (四)商：整數相除的結果即為商，為最基本的數學性質；在除法關係中， 4÷7= 7 4 ，4 為比較量，7 為基準量，兩者也可視為分數的一種意義。 (五)比例、比值：表示兩個度量或集合相比的結果。 (六)數線上的一數值：表示數線長或數線上的一點。 楊瑞智(2000)曾針對 82 年版國小數學科分數問題情境教材進行分析， 歸納出分數概念具有下列意義： (一)部分/全部：在單位量為連續量的問題情境中，將一個整體 1 等分後， 以分數表示子分割單位的部分量和整體量的關係。 (二)子集合/集合：在單位量為離散量的問題情境中，將一個整體 1 等分後， 以分數表示子分割單位的部分量和整體量的關係。。 (三)乘法運算元。

(五)整數相除的結果。 (六)一個數（數線上的一點）。 (七)平均（含密度、速率）：表示基準量、比較量相互比較的結果。 (八)當量。 (九)比例中的比、比例尺、比值、比較量/基準量：兩個集合或度量相比較 的結果。 (十)機率。 湯錦雲(2002)認為分數有以下五種意義： (一)部分全部。(二)數線上一個數值。(三)整數相除的結果。(四)比例、比 值。(五)分數是一個數。 教育部(2003)92 年版國民中小學九年一貫課程綱要中，對國小分數的 教學，強調有理數即是分數，是小學的核心課程之一，必須釐清、練習並 連結下列有理數的四種意涵，最後歸納為有理數中最核心的除的意涵： (一)平分的意涵：學生在認識人我分際時會有強烈的公平感，因此學習分 數從平分著手是較簡單的途徑。 (二)測量的意涵：長度測量是低年級發展的重要課題，以個別長度度量長 度，為了解決剩下部分的「餘數」約定時，就能同時發展小數和分數 兩種課題。 (三)比例的意涵：比的原理，是一種微妙的平分方式；透過比的方式，可 協助學生進行解題。最後再引入比值，一貫地解決比例的問題。 (四)部分/整體的意涵：部分/整體是分數的重要概念，但較於抽象，真分數 過深的暗示易造成假分數和帶分數學習的困難，必須透過單位的強調 來解決其認知的衝突。 詹婉華與呂玉琴(2004)將分數概念分為四個子概念： (一)簡單分數概念：單位分數內容為單一個物之離散量或連續量的真分數。

(二)等分概念：細分離散量或連續量物品，使每個部分或子集合皆等量。(三) 單位量概念：整體量或單位整體量概念，如部分/整體、子集合/集合。(四) 等值分數：無限的分數方式表示一個數的形式。 綜合以上學者的說法，分數的意義可歸納出下列幾種： (一)部分/全體：把一個連續量（由一個單一物體所組成）等分後，以分數 表示其中一部分或幾部分合併後和全部的關係。 (二)子集合/集合：在離散量（超過一個物體所組成）的情境中，把集合等 分組後，以分數表示其中一組或幾組與集合的相對比較關係。 (三)一個數值或一段長度：位在數線上的點所表現的數值。 (四)整數相除的結果：即為商的形式，代表比較量（被除數）與基準量（除 數）的相對比較關係。 (五)比例、比值：兩個度量或集合相比的結果。 由此可見，綜合國內外各學者在分數意義及數學教材上的分析及解釋 可知，分數的意義是多重、複雜的，對於學童是抽象難以理解的，可以是 數、量的分割，也可是兩個量的比較；隨著使用情境的不同，又有不同的 意義，故對於學童在分數的學習上益形困難（呂玉琴，1991）。故教師在 教學前應先了解教學單元相關的情境和問題，找出適合學童學習分數概念 的方式，再配合不同的意義進行解釋，才能避免學童在分數學習上不必要 的困擾和挫折，協助學童在學習上獲得最多的助益，老師也可以藉此增長 數學知識及提升教學經驗。 三、學童分數概念的發展 國外學者 Piaget 的認知理論中，認為兒童的認知發展是循序漸進的， 並說明了兩個最基本的概念，一為同化：指將外界的東西納入自己的體系 之中。另一為調適：同化外界事物的過程中，因受到影響而改變。以此為 基礎，認為兒童的認知發展可以分為四個時期：一、感覺動作期：0-2 歲

的兒童，以感覺動作為基礎，發展出物體恆存性的概念。二、前運思期： 2-7 歲的兒童，能使用符號與語言表徵外在事物，具保留性，但不具可逆 性，以自我為中心。三、具體運思期：7-11 歲的兒童，能依據具體經驗、 操作具體物思維解決問題，能理解守恆與可逆性道理。四、形式運思期： 11-16 歲的兒童，能邏輯、抽象思維、假設驗證思考解決問題。

而 Piaget, Inhelder and Szeminska(1960)針對 4 至 11 歲的兒童，使用連 續量的具體物進行面積的分割，以探討兒童如何建構部分和整體的關係， 其研究發現兒童的分數概念發展為： (一)四歲到四歲半的兒童：這階段兒童最大的特徵是缺少部分與全體的關 係，不會注意部分是某個全體之中所含的要素，因此分割前沒有預想 的計畫或基模(scheme)，將一物分為兩半感到甚為困難，其中正方形 最難，圓形次之，長方形最為容易。 (二)四歲到六歲的兒童：對規則的、範圍小的東西有分為兩半的能力，但 若整體的大小增大，則此能力就會減弱；將物體三等分的能力則未出 現。 (三)六歲到七歲的兒童：在具體的操作層次中，能成功的將物體三等分， 並具有整體性的保留概念，了解分割後的總數與原本的數是一樣的。 (四)十歲左右的兒童能成功將物體六等分，其方法為先三等分一個餅，再 將所得的三塊餅二等分，就能獲得六塊餅。 同時 Piaget et al.(1960)也認為兒童要理解分數的意義，必須具備下列 七個子概念： (一)能被除盡的整體。 (二)一個分數分配東西，假設為各部分須與接受者相對應。 (三)再細分的部分全體，全體必須被用盡而沒有餘數。 (四)全體被分割後，分割數與全體有一固定的關係。

(五)分割後的每一部分都是相等的。 (六)了解部分來自全體，細分後的部份還可以再細分。 (七)知道部分來自全體，所以全體保持不變。 分數起源於對一物件進行等分割活動的紀錄和結果，而分割活動是學 習及理解分數概念與意義的關鍵。國內學者甯自強(1993)分析兒童在不同 階段分數詞上的運思層次和分割活動，來建構兒童分數概念的模型，並認 為兒童分數概念發展應有五個階段： (一)序列性合成運思（分數概念的前置概念）：此時的兒童僅有序列性合成 運思的數概念，透過分割活動把離散量或連續量分散、撕裂，但並未 能將子分割單位數值化，故未具有分數概念。此階段的兒童不會使用 不同的分數詞去表示不同的分割情境，分數詞的表示是由兩個使用子 分割單位形成的集聚單位並置所形成的物件，稱為「並置類型」 (Juxtaposed pattern)(Ning, 1992)。如分數詞 5 1 ，其意義為或 1 和 5，或 5 和 1，即要兒童從 5 個積木中取出 5 1 ，兒童的答案不是「一個」積 木，就是「五個」積木，此時所涉及的活動大多為離散量子分割活動。 (二)累進性合成運思（起始單位分數）：此時的分數詞意義為「內嵌並置類 型」(embedded patterns )，即將子分割單位構成的分子部份內嵌於子 分割單位構成的分母部分，其關係是隱約的部份全體關係，兒童不具 有子分割單位數值化的概念，也無法進行單位分數的累積活動。如分 數詞 3 1 ，其意義為 3 中間的 1，1 所涉之集聚單位內嵌於 3 所涉之集 聚單位之中，分子僅是內嵌於分母的一部分，問兒童 3 1 ＋ 3 1 為何時， 答案為 6 2 ，顯示兒童同時複製了分子和分母，分子內嵌於分母，無法 脫嵌而出，所以當 1 被複製，分割數也被複製，分子無法單獨當作被

累積的單位，獨立於分母之外， 3 1 並未成為被使用的單位分數，也無 法從事單位分數的累計。 (三)部分全體運思（加法性分數）：此階段的兒童能運思 4 1 ＋ 4 1 為 4 2 ，即子 分割單位成為單位分數單位(unitfraction unit)，原內嵌於集聚單位中的 子分割單位，經部分全體運思的過程中脫嵌而出，成為可集聚的計 數、獨立部分單位，能區分不同的分數詞意義，也能進行分數累加活 動，具有明顯的部分全體運思，但僅能解決單位分數內容物為單一離 散量或連續量的同分母合成、分解問題，如 3 2 和 6 4 在兒童的運思過程 中是不同的。 (四)測量運思（巢狀分數）：巢狀分數是測量運思的產品，並能出現單位分 數內容物是複數個物的情境中，與加法性分數最大的不同，兒童具有 雙向的部份全體運思及子分割單位數值化的分數概念，可以理解分數 的次序比較與等值分數，如能以單位分數的再次分割（分母或分子是 倍數關係）了解 2 1 和 4 2 是等值分數，但缺乏共測單位的概念，對於非 以再次等分單位分數而產生的等值分數（分母或分子非為倍數關 係），則無法判定，如知道 2 1 = 4 2 ，也知道 2 1 = 6 3 ，但無法了解 4 2 = 6 3 ， 即無法以 12 1 共測單位來了解 4 2 和 6 3 是等值。 (五)有理數數概念：此時兒童具有等比例運思（共變）的概念，兼具雙向 部分全體運思與重組兩個部分全體，並能以分數為測量單位，比較兩 個分數，了解 4 2 和 6 3 都是 12 6 ，以 12 1 為測量單位，即兩個部分全體的 重組（巢狀分數的重組），此為有理數數概念。 由此可知兒童的分數概念發展是隨著年紀、心智發展而漸漸增長，故 教師在進行分數概念的教學與教材編排上，應多使用操作分數相關的具體

數學物件，配合兒童的身心發展，使其有效的與分數概念相連結，才能獲 得教學上的效果。 本研究欲了解五年級學童分數概念，其分數概念發展正由「測量運思」 （雙向部分全體關係）進入「有理數數概念」階段，即應具由「巢狀分數」 進入「巢狀分數的重組」。

第二節

第二節

第二節

第二節 分數概念的教材分析

分數概念的教材分析

分數概念的教材分析

分數概念的教材分析

我國現行國小數學教材，從 90 年 8 月 1 日實施的九年一貫課程暫行 綱要（89 年暫綱），經大幅度的修訂，於 94 年 8 月 1 日施行的九年一貫課 程正式綱要（92 正綱）施行至今，強調以學習者為主體，以知識的完整面 為教育的主軸，以終身學習為教育的目標，並基於以上的認知，反映出下 列理念：一、數學能力是國民素質的一個重要指標；二、培養學生正向的 數學態度，瞭解數學是推進人類文明的要素；三、數學教學（含教材、課 本及教學法）應配合學童不同階段的需求，協助學童數學智能的發展；四、 數學作為基礎科學的工具性特質。數學內容分為「數與量」、「幾何」、「代 數」、「統計與機率」、「連結」等五大主題（教育部，2003）。 基於符應時代脈絡、回應基層教學需求、配合中小學一貫課程體系之 建置，落實中小學課程之連貫等緣由，根據九年一貫課程正式綱要進行微 調，並由教育部九十七年公布九年一貫課程綱要修正版（97 課綱），於民 國 100 年 8 月 1 日實施，在數學學習領域階段方面，由原本讓社會大眾混 淆的階段一（一至三年級）、階段二（四、五年級）、階段三（六、七年級）、 階段四（八、九年級）修改為讓社會大眾容易了解的第一階段（國小一至 二年級），第二階段（國小三至四年級），第三階段（國小五至六年級）， 第四階段（國中一至三年級），其餘僅進行課綱內容之修訂、調整指標順 序，未涉及課程架構之改變，如表 2-2-1。

表 2-2-1 92 正綱與 97 課綱數學領域學習階段比較表 階 段 劃 分 九年一貫課程正式綱要(92 正綱) 九年一貫課程綱要修正版(97 課綱) 第一階段（1-3 年級） 第二階段（4-5 年級） 第三階段（6-7 年級） 第四階段（8-9 年級） 第一階段（1-2 年級） 第二階段（3-4 年級） 第三階段（5-6 年級） 第四階段（7-9 年級） 資料來源：國民教育社群網(2009) http://teach.eje.edu.tw/9CC/index_new90.php 本研究主要內容為五年級分數概念，大致包含於「數與量」的主題中， 以下針對九年一貫課程正式綱要（92 正綱）與九年一貫課程綱要修正版（97 課綱）分數教材在能力指標與分年細目進行分析，以探討現行教材對學生 分數概念學習的影響，如表 2-2-2。 表 2-2-2 92 正綱與 97 課綱分數教材能力指標與分年細目比較表 年 級 92 課綱 97 課綱修正規定 92 課綱 97 課綱修正規定 能力指標 能力指標 分年細目 分年細目 一 N-1-09 能在具體情 境中，初步認 識分數，並解 決同分母分 數的比較與 加減問題。 二 三 N-2-09 能在具體情境 中，初步認識分 數。（修 N-1-09） N-2-12 能認識等值分 數，並做簡單的應 四 N-2-08 能理解等值 4-n-06 能在平分情境 4-n-07 能理解分數之

分數、約 分、擴分的 意義。 N-2-11 能理解分數 乘法的意義 及計算方 法，並解決 生活中的問 題。 用。（修 N-2-08） 中，理解分數之 「整數相除」的 意涵。 4-n-08 能理解等值分 數，進行簡單異 分母分數的比 較，並用來做簡 單分數與小數 的互換。 「整數相除」的 意涵。 (修 4-n-06) 4-n-09 能認識等值分 數，進行簡單異 分母分數的比 較，並用來做簡 單分數與小數的 互換。 （修 4-n-08） 五 N-3-05 能認識最大公因 數、最小公倍數與 兩數互質的意 義，並用來將分數 化成最簡分數。 （修 N-3-02） N-3-09 能理解分數(含小 數)乘法的意義及 計算方法，並解決 生活中的問題。 （修 N-2-11） N-3-10 5-n-07 能理解乘數為 分數的意義及 計算方法，並解 決生活中的問 題。 5-n-08 能理解分數乘法 的意義，並熟練 其計算，解決生 活中的問題。 （修 5-n-07） 5-n-09 能理解除數為整 數的分數除法的 意義，並解決生 活中的問題。 （修 6-n-03） 六 N-3-02 能理解最大 6-n-02 能 認 識 兩 數 的 6-n-03 能認識兩數互質

公因數、最小 公倍數與兩 數互質的意 義，並用來將 分數約成最 簡分數。 N-3-03 能理解除數 為分數的意 義及計算方 法，並解決生 活中的問題。 N-3-05 能理解比、比 例、比值與 正、反比的意 義，並解決生 活中的問題。 能理解分數（含小 數）除法的意義及 計算方法，並解決 生活中的問題。 （修 N-3-03） N-3-15 能認識比、比值與 正比的意義，並解 決生活中的問 題。（修 N-3-05） 最大公因數、最 小 公 倍 數 與 兩 數 互 質 的 意 義，理解最大公 因數、最小公倍 數 的 計 算 方 式，並能將分數 約成最簡分數。 6-n-03 能理解除數為 分數的意義及 計算方法，並解 決生活中的問 題。 6-n-05 能作分數的兩 步驟四則混合 計算。 6-n-09 能理解正比的 現象，並發展正 比的概念，解決 生活中的問題。 的意義，並將分 數約成最簡分 數。（修 6-n-02） 6-n-04 能理解分數除法 的意義及熟練其 計算，並解決生 活中的問題。 （修 6-n-03） 6-n-05 能在具體情境 中，解決分數的 兩步驟問題，並 能併式計算。 （修 6-n-05） 6-n-10 能理解正比的意 義，並解決生活 中的問題。 （修 6-n-09） 資料來源：國民教育社群網(2009) http://teach.eje.edu.tw/9CC/index_new90.php

由上表可知，九年一貫課程正式綱要（92 正綱）與九年一貫課程綱要 修正版（97 課綱）除了在學習階段方面有所調整，在能力指標與分年細目 也適度的微調和敘寫。在分數教材方面，92 課綱中 N-1-09（能在具體情境 中，初步認識分數，並解決同分母分數的比較與加減問題）及 2-n-10（能 在平分的情境中，認識分母在 12 以內的單位分數，並比較不同單位分數 的大小），在 97 課綱中將此併入三年級教學 N-2-09（能在具體情境中，初 步認識分數。修 N-1-09），即二年級不再進行單位分數之教學，以配合學 童較成熟的認知發展；92 課綱中 6-a-02（能使用未知數符號，將具體情境 中的問題列成兩步驟的算式題，並嘗試解題及驗算其解）在 97 課綱中修 改成 6-a-02（能將分數單步驟的具體情境問題列成含有未知數符號的算 式，並求解及驗算），藉此重新做分數教學的整合，並做為國中學習以未 知數符號代表數之前置經驗；因此，97 課綱並未涉及課程架構之改變，皆 強調在具體情境中認識分數，進而理解真分數、假分數和帶分數、等值分 數的意義，最後學會分數加、減、乘、除的運算，協助解決生活中的問題， 所以在國中與國小銜接上沒有太大問題，老師教學時若能掌握課綱、熟悉 教材，運用活潑多元的教學方法，做適性的評量，在學童既有的數學概念、 學習歷程上，導引至新的概念，必能提升教師的教學效能及學生的學習成 效。故本研究擬定了「等值分數」、「分數大小比較」、「分數加法」、「分數 減法」等四個概念為範疇，自編分數概念問卷以瞭解五年級學童分數概念 的表現情形，以協助教師於日後進行分數教學與補救。

第三節

第三節

第三節

第三節 分數概念的迷思概念與錯誤類型

分數概念的迷思概念與錯誤類型

分數概念的迷思概念與錯誤類型

分數概念的迷思概念與錯誤類型

基於上述，分數因不同的情境而有不同的意義、不同的表徵，具有複 雜、多重的特性，而分數概念的發展又具有層次性，故學習分數必須循序 漸進，當前面的分數概念未具備，要學習高一層的概念就愈形困難(Gagné, 1997)。因此分數的學習常讓學生產生許多的困難和迷思。 一、分數概念的迷思概念 建構論者認為學習者是動態的、主動的，並非被動接受，透過調適外 在事物，反應出一種結構化、序列化、可預測的行為。學習包括使用新訊 息、組織、重建學習者已有的概念和架構，並建構自己的知識和認知架構， 但當學習者以既有的經驗去建構知識時，就可能產生迷思概念(湯錦雲， 2002)。因學生的知識是自行建構，若其先前知識與正統概念有所落差，則 會影響思考過程，形成錯誤概念（張鳳燕，1991）。Ginsburg(1977)認為學 生學習數學會用過去的生活經驗來解決，建構自己的數學意義，當這個意 義是錯誤時，就形成了迷思概念。而這個錯誤概念的產生，可能來自日常 生活經驗，或學生對老師教的一知半解（呂溪木，1983）。因此迷思概念 意旨學生自我建構的知識或概念，無法為現行知識或概念所包容時，導致 影響學習的困難，亦可稱為迷失概念或錯誤概念（陳和貴，2002）。 林福來、黃敏晃、呂玉琴與譚寧君(1992)等學者認為迷思概念具有下列 幾項特性： (一)個別性、規律性：個人的迷思概念具有相當的系統性，並且是個人獨 有的，藉由一連串的觀察，就可找到理論加以解釋。 (二)非正統性：與專家知識有相當的差距。 (三)穩定性、普遍性：迷思概念具有根深柢固、不易改變及普遍發生的特 性，即使不斷的提醒、解說，仍是不斷出現。 (四)歷史性：所發生的迷思概念在以前學童本身也曾發生過。

(五)思考性：迷思概念可能因不正確、不成熟的推理、思考所造成。 (六)不完備性：很多的迷思概念是因為對問題的思考不周全所造成。 而迷思概念的成因，歸納學者們的看法有（呂玉琴，1994；鄭昭明， 1993；Davis, 1990；Resnick, 1987；Resnick & Ford, 1981）：

(一)日常生活的錯誤印象：兒童自己的生活經驗或文化所影響。 (二)架構憶取的錯誤：選擇了錯誤的架構或將某些概念過度類推到不適合 的規則。 (三)二元逆轉：以過去學過的問題來處理新知識。 (四)同化範型：受視覺刺激的熟悉度所影響。 (五)正式、非正式的教學影響：因教師的教法與教學相關知識、教科書不 當的描述或插圖的誤導所影響。 (六)遺忘或解除公式的限制條件，導致錯誤規則的產生。 (七)對相關知識不足所產生。 (八)語言的不正確或含糊所導致。 (九)以不完全的算則而遭遇僵局所產生的解題方式。 分數概念在數學或自然科學中，占有非常重要的地位，但分數概念過 於抽象又難瞭解，分數的迷思概念若不能獲得適度的解決，對日後的分數 發展將有深大的影響；進行抽象符號的分數運算時，學生若不能充分瞭解 分數運算的規則和過程，就容易產生分數概念的錯誤。茲整理國內外有關 分數迷思概念之相關文獻，說明如下： 湯錦雲(2002)指出國小五年級學童普遍存在的分數概念與運算的迷思 概念成因有： (一)缺少完整的先備知識：把適用於小數的方式（每一單位長分成 10 段） 運用在分數、將部份-全部的概念運用於數線上。 (二)使用不當的數學規則：用乘法觀念處理分數加法。

(三)學習知識互相干擾：將整數算則運用到分數加法，而有分子加分子、 分母加分母的情形。 (四)兒童採用兒童法：使用整數、數數或疊加的方式處理手邊的問題。 (五)無法將概念與運算聯繫：只懂得學習規則和解題訣竅。 (六)對試題用語不瞭解：如因受語言次序或部份-整體影響而導致在數線上 標出錯誤的分數。 (七)忽略問題情境： 湯錦雲(2002)認為學生在分數概念表現較容易出現的錯誤類型有： (一)單位量的指認：如在 12 顆蘋果中，將 4 1 的蘋果圈出來？學生的答案將 4 顆一圈，再從這 4 顆中圈出 1 顆。原因在於忽略了給定的單位量。 (二)部分-全部的區分：如在 12 顆蘋果中，將 4 1 的蘋果圈出來？學生的答案 每 4 顆一圈，每一圈是全部的 4 1 。原因在於沒有部分-全部的概念。 (三)數量的觀念：如小明的 5 1 誤認為小明是 5 1 ，或 3 1 誤認為 3 1 元。 (四)分數數線觀念：如將數線分割點誤認為間隔數。 (五)題意的瞭解：題意不明白，以猜答方式作答。 (六)等值分數概念：無法將 3 2 化成 12 8 。 而在分數加減法運算上易出現的錯誤類型則有： (一)帶分數的錯誤：帶分數假分數互換的錯誤。 (二)向整數借位的問題：向整數借 1，最後計算忘了減 1。 (三)分數加減法運算錯誤：分子加分子，分母加分母。 (四)整數運算錯誤：5 減 2 等於 4。 (五)通分與約分錯誤：通分後，分子不變而進行運算。 陳和貴(2002)歸納出學生錯誤的分數概念有： (一)學生不將分數看成一個數或認為分數不是數。

(二)不瞭解部份/全部的分數問題。 (三)指認單位量有困難：可分為三類，忽略給定的單位量、受分子的控制、 受分母的控制。 (四)易將數線問題看成部份/全部的分數問題。 (五)受自然數的影響，在比較分數大小或等值分數時易產生錯誤。 (六)不同試題變數影響學生在數線上的分數表現。 (七)解題時採用學童法或初學法。 在學生分數計算錯誤類型上歸納出： (一)不瞭解分數意義。 (二)不會使用等值分數的規則。 (三)不會應用通分、分數轉換成假分數。 (四)不清楚分數計算的規則和過程。 洪素敏(2002) 分析相關文獻及自身學經驗，將學童的迷思概念分為： (一)等分觀念薄弱：忽略分數是要對整體進行等分割的活動。（林福來、黃 敏晃、呂玉琴，1996） (二)忽略單位量：原因在於學生未真正瞭解分數的意義。（楊壬孝，1988； 洪素敏、楊德清，2002；楊德清、洪素敏，2003） (三)受整數基模的影響，視分數為兩個獨立的數：進行離散量分數問題、 比較分數大小與尋找等值分數受整數基模影響而產生錯誤。 李慧鳳(2005)綜合國內外學者專家的研究，認為影響學生分數概念學 習有： (一)分數的意義：在不同情境中具有不同的意義。 (二)單位量的指認：處理部分/全部、子集/集合或分數問題時，忽略給定的 單位量、受分子控制、受分母控制。 (三)等分概念：容易未注意分割後的每一塊或每一堆是否相等。

(四)數和量的觀念：缺乏數與量的辨識能力，認為只要有數字都可以進行 大小比較，忽略單位的存在。 (五)分數數線的觀念：忽略數線上的參考值，易將數線當作 1 個單位量。 (六)等值分數概念：缺乏彈性思考的能力，導致不易在不同表徵系統間做 彈性轉換。 綜合以上國內外學者的研究，學生的分數迷思概念相當多樣，這可能 因為分數具有多重意義而不易瞭解所導致；由於分數是一個複雜的概念， 學生若不能真正瞭解分數的意義，就會導致產生許多迷思概念和錯誤類 型。而且學生建構出來的迷思概念通常相當固執，即使精心設計的教學也 難以改變，所以教學者在教學歷程中，分析、診斷學生數學概念的迷思、 計算過程的錯誤類型，並糾正學生錯誤的想法，才能幫助學生發展更正確 的概念系統。

第四節

第四節

第四節

第四節 城鄉間教育背景之差距

城鄉間教育背景之差距

城鄉間教育背景之差距

城鄉間教育背景之差距

隨著時代的變遷、經濟的發展及教育政策的改變，在政治、經濟、文 化等各方面都存在著城鄉差距，而國民義務教育隨著地方自治意識的抬 頭，也受到莫大的影響。從六年國教、九年國教、十二年國教等三階段的 教育改革，在在顯示政府對於國民義務教育的重視，而教育機會均等更是 政府竭力追求的理念，然而各研究文獻顯示，城鄉差距的現象並未因為政 策的改革而有所改善，反而有逐漸惡化的趨勢。 一、台灣城鄉的界定 人類居住過程中所形成的生活空間稱為聚落(settlement)，而地理學把 聚落分成鄉村和都市。都市多半由鄉村發展而成，少部分為計畫而興建。 而鄉村與都市的分野。主要在於機能(function)。因此地理學者將就業結構 作為界定城鄉的首要條件，其中以非農部落為主的聚落即為都市。

除了上述的訂定標準外，對於都市界定的主要的條件還有較高的人口 密度、相當數量的人口規模、居民就業結構以非農活動為主、具有政治、 教育、娛樂、醫療等機能。 行政院主計處((1993)修訂之「中華民國統計地區標準分類」中說明都 市化地區的定義為：一個具有二萬人以上之聚居地，就業男性中百分之七 十以上為非農業就業，其人口密度達每平方公里三百人以上者；或不同 市、鎮、鄉之兩個以上毗鄰聚居地，其人口數合計達二萬人以上，就業男 性中百分之七十以上為非農業就業，且平均人口密度達每平方公里三百人 以上者。 行政院經濟建設委員會都市及住宅發展處編印之「都市及區域發展統 計彙編 98 年版」中，將彙編之地區分為臺灣地區及福建省、區域、縣市 及主要都市四個層次： 北部區域：包括臺北市、基隆市、新竹市、臺北縣、桃園縣、新竹縣及宜 蘭縣。 中部區域：包括臺中市、苗栗縣、臺中縣、彰化縣、南投縣及雲林縣。 南部區域：包括高雄市、臺南市、嘉義市、嘉義縣、臺南縣、高雄縣、屏 東縣及澎湖縣。 東部區域：包括花蓮縣及臺東縣。 福 建 省：包括金門縣與連江縣。 主要都市：計九十四個，係民國九十七年底擁有五萬以上人口之市、鎮或 鄉。 本研究的城市係指「都市及區域發展統計彙編 98 年版」中的九十四 個於民國九十七年底擁有五萬以上人口之市、鎮或鄉。鄉村（非城市）地 區則屬非九十四個主要都市，即民國九十七年底未滿五萬以上人口之市、 鎮或鄉。

二、台灣城鄉差距對教育影響的實證性研究 每個孩子呱呱落地，最早接觸的就是家庭，然而鄉村的家庭背景，如 單親、新移民、隔代教養等，無法提供孩子優渥的教育、養育資源；鄉村 的學校設備、社區機能與城市相較之下更是天差地別，補習班、才藝班、 安親班林立，都市的預算多，學校設備齊全，使得城市中的小孩在追逐知 識、享受資源上比鄉村的小孩還擁有更多的機會。根據經建會「都市及區 域發展統整彙編」中的區域發展指標項目數據進行分析，常常顯示台灣區 域發展差距並不大，但再以更細緻的指標進行檢視時，區域之間的確存在 著相當大的差距（柯文欣，2009）。 多年來各國教育普遍存著一個現象，都市型的學校資源豐富、生活便 利，導致多數的家長、學生、老師遷往都市學校發展；而鄉村型的學校因 資源、學生數不足而面臨萎縮，甚至裁校，因此都市與鄉村的差距變愈來 愈大（黃琮智，2008）。張菁蘭(2010)在「全台各縣市中小學分布之研究」 中，以我國國民義務教育為研究對象，從國家、地方兩層級探討 1979 年 至 2008 年各縣市的中小學校數、班級數、學生數等角度的分布情形，指 出全台二十五縣市中小學之分布皆有其城鄉差距之現象，而此存在已久的 問題不但沒有改善，反而愈來愈顯著。 楊英君（2008）研究指出城市地區學校師資結構，包含師生比偏低、 教師碩士學歷高、教師流動性偏低、教師教學年資高，都較鄉村地區學校 師資結構優異，而這些因素對於學生基測成績表現都有影響。都會區的家 庭重視孩子學習，除了提供基本的學習資源外，家長們優異的經濟能力、 社經地位及整體的學習、文化環境，有助於提升孩子學測能力，更能學習 各種才藝。反觀偏遠地區的孩子，家長們的經濟能力並非那麼優渥，再加 上文化（隔代教養）、交通、硬體設備及教育資源的短缺，種種不利的因 素使得偏遠地區的國中學測成績欲振乏力（黃怡雯，2008）。

李家同（2002）指出目前國中英文學測的結果有一共通的「雙峰現 象」，即高分者恆高，低分者恆低的兩極端分數表現。教育部分析歷年基 測成績分布，發現都市明顯優於鄉村，即使考題偏易，城鄉差距的表現仍 未獲得改善，高低雙峰的差異卻是愈來愈嚴重（張錦弘、孫蓉華，2005）。 張武昌（2007）、吳武典（2001）針對國中基本學力測驗結果呈現雙峰現 象進行探討，認為主要原因為城鄉與家長社經地位的差距。城鄉差距除了 造成孩子在學習成就上的雙峰現象外，林仁傑（2007）更指出教育M型化 的誕生。在全球化的趨勢下與社會變遷中，富裕與安定的中產階級因流失 了競爭力，大部分正向下沈淪為中、下階級，左邊的窮人變多，右邊的富 人也變多，但是代表中間的中產階級，卻忽然往下陷，導致各國人口的生 活方式，從倒Ｕ型轉變為M型社會(呂晶晶，2008)。莊淇銘(2006)更認為在 知識社會下，台灣的貧富差距不斷擴大，台灣已成了「高跟鞋型社會」， 高跟代表富有，富有的人只是少數，其餘人們的收入就像高跟鞋的斜率一 樣快速下滑，掉落到貧窮線下的人口愈來愈多，高跟鞋鞋跟也愈來愈高； 就資源分配而言，社會又像是「Q型社會」，其中的O代表「財富大餅」，這 個大餅被少數富人分食了，而其他多數的人分食的卻只有一小根線條（肉 屑）。不管是何種型態的社會結構，「富者愈富，貧者愈貧」不僅衝擊政治、 經濟、社會、文化等各層面，教育當然也不能倖免。繳不起學費與念高學 費貴族學校的現象，對於教育產生了「弱勢族群受教育機會更為弱勢」與 「高等教育發展更為精緻卓越化」兩大衝擊。 綜合所述，國民義務教育的實施並沒想像中的平等，教育政策的改革 並未能左右其現象，可見城鄉差距的問題與教育政策並無高度相關，我國 的經濟發展、文化、人口變遷才是造成城鄉差距的主要原因（張菁蘭， 2010）。

第三章

第三章

第三章

第三章 研究方法

研究方法

研究方法

研究方法

本研究擬由自編的分數概念測驗，採調查研究法，筆試的方式蒐集資 料，以探討五年級學童分數概念的表現情形、迷思概念與錯誤思考類型， 以及城鄉地區的國小五年級學童在分數概念上的差異。本章根據文獻探討 及研究目的，共分為四個小節，第一節為研究設計與流程，第二節為研究 對象，第三節為研究工具，第四節為資料處理

第一節

第一節

第一節

第一節 研究設計與流程

研究設計與流程

研究設計與流程

研究設計與流程

一、研究設計 本研究根據相關文獻探討分析，並歸納相關國小五年級學童分數概念 的因素，採量化研究，藉由問卷進行量化的分析與研究，旨在了解五年級 學童分數概念的能力表現為何，以及學童在分數學習上的迷思概念與錯誤 思考類型，並探討城鄉地區的國小五年級學童在分數概念上的差異；其結 果可協助教師進一步了解學童在分數概念上的表現與差異，以便教師在進 行分數教學時有更好的教學設計與活動，獲得更好的教學效益。 二、研究流程 研究者確立研究主題後，便著手進行閱讀相關文獻與理論探討，訂定 適當的研究問題；蒐集國小五年級分數單元各版本教材及相關文獻，擬定 「國小五年級分數概念試題細目表」，開始進行「國小五年級學童分數概 念測驗」問卷的編製；本測驗之試題編製完成後，商請數學教育專家及數 位多年任教於國小，具多年數學教學經驗教師共同檢視測驗工具之內容效 度，期能確認試題內容的代表性。接著選擇彰化縣國小五年級學生，四班 共計 106 位為對象進行預試，再根據預試結果進行信、效度的檢驗，並將 試題予以修改、篩選並確定。待正式測驗試題完成後，採立意抽樣方式， 選擇彰化縣十所國小五年級學生，抽取十班學生為施測對象，進行正式施

測，有效樣本共計 286 位；於問卷回收後採用 Excel 軟體和 SPSS 套裝軟 體進行分析，再根據資料處理結果撰寫論文。根據研究動機、研究目的及 相關文獻，茲將研究流程圖描繪如圖 3-1-1。 圖3-1-1 研究流程 編製分數概念試題 檢測試題信、效度 正式施測 問卷蒐集、量化資料整理與分析 撰寫論文 文獻收集與理論探討 確立研究主題 訂定待答問題 參考國小分數教材 專家修正試題 試卷預試 試題修改、篩選並確定

第二節

第二節

第二節

第二節 研究對象

研究對象

研究對象

研究對象

本研究以彰化縣九十九學年度上學期國小五年級學童為研究對象，欲 了解國小五年級學童在分數概念的能力表現、錯誤思考類型以及城鄉地區 的國小五年級學童在分數概念上的差異，其詳細說明如下： 一、預試對象 本研究於九十九學年度上學期末，五年級學童完成所有有關分數概念 的課程後，因限於時間及人力之限制，採立意抽樣，預試對象為彰化縣某 一所國小五年級學童，該校採男女混合且為常態編班，合計四班共 107 位 學童進行預試，研究者請擔任預試班級的級任老師進行施測，由於本測驗 主要在於測驗概念而非速度，所以給學童有足夠時間做答為原則，並做為 正式施測時間的參考依據。預試測驗目的主要在於蒐集學童答題資料，以 確定本研究工具之信、效度。刪除無效問卷後，共得有效問卷數為 106 份。 二、正式施測對象 經預試檢驗問卷，確認信、效度後，接著進行正式施測，施測對象排 除預試學校，根據「都市及區域發展統計彙編 98 年版」於彰化縣彰化市、 員林鎮、二林鎮、鹿港鎮及溪湖鎮等五都市與田中鎮、田尾鄉、永靖鄉、 埔心鄉及社頭鄉等五鄉村共十個鄉鎮市，如表 3-2-1；立意抽樣各取一間學 校，一個班進行施測，十間學校十個班，共 286 人，以「國小五年級學童 分數概念測驗」（見附件三）進行正式施測。樣本人數分配表如表 3-2-2 所 示：

表 3-2-1 台灣彰化縣主要都市及人口 城 市 97 年底人口數（人） 彰化市 236,631 員林鎮 125,962 鹿港鎮 85,340 溪湖鎮 56,449 二林鎮 54,795 和美鎮 89,386 資料來源：都市及區域發展統計彙編(2009) 表 3-2-2 樣本人數分配表 城 市 鄉 村 彰化市 32 人 田中鎮 26 人 員林鎮 26 人 永靖鄉 23 人 鹿港鎮 30 人 田尾鄉 28 人 溪湖鎮 29 人 埔心鄉 30 人 二林鎮 33 人 社頭鄉 29 人 合 計 150 人 合 計 136 人

第三節

第三節

第三節

第三節 研究工具

研究工具

研究工具

研究工具

本研究主要研究工具為自編之「國小五年級學童分數概念測驗」，內 容限於五年級上學期分數概念範圍，藉此工具來蒐集資料，以了解學童表 現。茲將本節分成試題編製流程、試題編製架構、預試試題品質分析、正 式施測試題品質分析、分析軟體五部分，茲說明如下： 一、試題編製流程 本研究於參考相關文獻與教材，確立研究主題後，即進行「國小五年 級學童分數概念測驗」問卷之編製，其試題編製流程圖如圖 3-3-1。 圖 3-3-1 試題編製流程 參考相關文獻與教材 訂定國小五年級分數概念試題細目表 依五年級分數概念編製試題 專家審查、修訂試題 預試，分析試題信、效度 依專家意見刪除、修訂試題 試題定稿

二、試題編製架構 本研究參照教育部(2003)國民中小學九年一貫課程綱要，及康軒出版 社（2010 年版）、翰林出版社（2010 年版）、部編社（2010 年版）、南一 出版社（2010 年版）等出版的教科書與教師手冊之分數概念相關課程， 並配合相關文獻資料與學童之認知發展，最後形成「國小五年級學童分數 概念測驗」自編預試試題（如附件一），茲將國小五年級分數概念分為四 種子概念，共分二十種類，合計四十題。試題內容及題型整理如表 3-3-1。 表 3-3-1 國小五年級分數概念預試試題細目表 序號 子概念 類型 題號 1 等值分數 等分概念 分母=分割數的因數（擴分） 分母=分割數的倍數（約分） 33、34 18、36 21、38 2 分數大小比 較 分數為同分子 假分數化為帶分數，以整數判斷 通分-分數分母為倍數關係 通分-分數分子、分母具有共同因 數，可先約分 通分-分數分母為互質關係 通分-分數分母有公倍數 比較與 1 差為單位分數的分數 27、14 25、19 26、40 23、16 1、2 22、20 28、35

表 3-3-1 國小五年級分數概念預試試題細目表(續) 3 分數加法 分數分母為倍數關係 分數分子、分母具有共同因數，可 先約分 分數分母為互質關係 分數分母有公倍數 分數為整數相除的意義 4、5 29、37 3、6 39、17 8、11 4 分數減法 分數分母為倍數關係 分數分子、分母具有共同因數，可 先約分 分數分母為互質關係 分數分母有公倍數 分數為整數相除的意義 10、24 32、13 7、12 30、31 9、15 本問卷作答方式採紙筆測驗，除了預選選擇答案之外，為求學童將其 正確思考歷程以文字呈現，請學童確認答案後，於「你的解法區」寫下選 取此答案的解題過程，方便研究者就學童選擇的答案，進行分析，以得到 最佳的效果。 三、預試試題品質分析 本問卷試題編製完成後，即進行預試，而本工具之難度、鑑別度、信 度及效度之分析如下： (一)試卷的難易度及鑑別度分析 1、難易度分析 本測驗的難易度採內部一致性的方式，依據學童在各題的得分總和依 高低排序，取前 27%者為高分組，以 PH表示高分組通過率；後 27%者為

低分組，以 PL表示低分組通過率，以高分組通過率加低分組通過率之平均 來表示。本預試人數為有 106 人，分數概念測驗難度指數範圍是 0.30-0.89， 預試測驗平均通過率為.69。 2、鑑別度分析 本測驗的鑑別度(D)以高分組通過率減低分組通過率來表示，依據學童 在各題的得分總和，前 27%者為高分組，以 PH表示高分組通過率；後 27% 者為 低 分 組 ， 以 PL 表 示 低 分 組 通 過 率 。 此 測 驗 鑑 別 度 指 數 範 圍 是 0.11-0.75，表 3-3-2 為此測驗各試題整體通過率、難易度分析及鑑別度分 析。 表 3-3-2 預試試題之整體通過率、難度及鑑別度分析 題號 試題通過率 難度 鑑別度 D P (PH+PL)/2 PH-PL Q1 .92 .88 .11 Q2 .92 .89 .21 Q3 .90 .86 .29 Q4 .82 .82 .22 Q5 .92 .88 .25 Q6 .94 .89 .21 Q7 .93 .89 .21 Q8 .85 .77 .25 Q9 .79 .70 .40 Q10 .89 .86 .22 Q11 .78 .73 .54 Q12 .89 .82 .36

表 3-3-2 預試試題之整體通過率、難度及鑑別度分析(續) 題號 試題通過率 難度 鑑別度 D P (PH+PL)/2 PH-PL Q13 .80 .70 .54 Q14 .40 .43 .65 Q15 .24 .30 .38 Q16 .76 .70 .54 Q17 .85 .79 .29 Q18 .64 .59 .61 Q19 .88 .84 .32 Q20 .91 .88 .18 Q21 .31 .40 .58 Q22 .82 .68 .43 Q23 .80 .79 .43 Q24 .63 .63 .61 Q25 .57 .58 .37 Q26 .91 .86 .29 Q27 .74 .61 .36 Q28 .40 .47 .51 Q29 .73 .66 .54 Q30 .70 .72 .50 Q31 .68 .72 .50 Q32 .55 .56 .75 Q33 .69 .61 .51

表 3-3-2 預試試題之整體通過率、難度及鑑別度分析(續) 題號 試題通過率 難度 鑑別度 D P (PH+PL)/2 PH-PL Q34 .68 .63 .40 Q35 .46 .56 .68 Q36 .56 .51 .30 Q37 .58 .60 .54 Q38 .52 .52 .40 Q39 .73 .68 .57 Q40 .71 .66 .68 (二)試題的效度與信度 1、信度分析 信度(reliability)是指測驗工具的穩定性或正確性，本研究根據學童得 分檢驗試題內部一致性 Cronbach's α 值為.881，是一份具有可信度的試卷， 而各向度間的 Cronbach's α 值如表 3-3-3。 表3-3-3 預試之內部一致性α值 (N=106) 分數概念 Cronbach's Alpha 值 整體分數概念題本 .881 2、效度分析 效度(validity)是指一份測驗能夠測量到所欲測量特質的程度，即為一 份測驗的正確性，本研究採用內容效度與專家效度作為考驗試題效度之依 據。

(1)內容效度 內容效度(content validity)是指檢視測驗工具的內容有無符合測驗的目 標，依據表 3-3-1 國小五年級分數概念試題細目表，可有系統檢查測驗內 容與目標，故具有內容效度。 (2)專家效度 本研究商請系上數學教育專家及五位多年任教於國小高年級數學科 教學，具多年數學教學經驗教師，根據「國小五年級學童分數概念評量專 家效度調查問卷」（如附件二）共同檢視測驗工具，並提供建議、多次修 訂，期能確認試題內容的適切性，研究者針對專家對各試題意見加以統 整，故此測驗工具具有專家效度。 四、正式施測試題品質分析 本研究分數概念預試試題內部一致性Cronbach's α值為.881，是一份信 度可被接受的預試試卷，但測驗難度指數範圍是0.30-0.89，鑑別度指數範 圍是0.11-0.75，且各向度間的Cronbach's α值中，等值分數、分數大小比較 等向度Cronbach's α值未達0.7，未達可接受的水準(Nunnally ,1978)，因此將 難度太難、太簡單（難度指數範圍未在0.2-0.8）或鑑別度太差（鑑別度指 數未滿0.25）之試題進行刪除（題號2、3、4、7、8、10、17、19、20、26、 34、36）或修訂（題號1、5、6、9、12、15、22、23、25、27、38），又 考量慎防學童作答時間過久，影響答題之公信力，因此將各向度題材進行 小部份統合與編修，由原試題問卷40題，精簡成正式問卷28題（如附件 三），國小五年級分數概念正式試題細目表（如附件四），不但解決了題目 過多導致學童作答的耐心，且於信、效度上得到更加的成果。題目分配表 如表3-3-4所示：

表3-3-4 分數概念測驗問卷之試題分配表 分數概念向度 問卷題號 題數 等值分數 1、2、3、21 4題 分數大小比較 4、22、5、6、7、23、8、9、10、24 10題 分數加法 11、17、25、13、19、15 6題 分數減法 16、12、26、18、14、27、20、28 8題 共計28題 以下就分數概念測驗問卷中的四個向度：(一)等值分數(二)分數大小比 較(三)分數加法(四)分數減法 各取一題具代表性之試題進行說明。 (一)等值分數 本向度的問題，主要目的在於測驗學童在等分概念；分母=分割數的 因數（擴分）；分母=分割數的倍數（約分）等子概念是否有正確的了解。 21、( )這是一條紙帶，平分成 32 小段，塗色部分是24 32條。把每 8 段當 成一份時，「24 32」條也可以說是幾條紙帶？ ○ １ 8 6 ○２ 128 96 ○３ 12 9 ○ ４ 4 3 。

你的解法：

(二)分數大小比較 本向度的問題，主要目的在於測驗學童在分數為同分子；假分數化為 帶分數，以整數判斷；通分-分數分母為倍數關係；通分-分數分子、分母 具有共同因數，可先約分；通分-分數分母為互質關係；通分-分數分母有

公倍數；比較與 1 差為單位分數的分數等子概念是否有正確的了解。 22、( ) 253 389 （ ） 252 389 ，請問( )應填入＞、＝或＜？ ○ １ ＞ ○２ ＝ ○３ ＜ ○４ 無法比較 。

你的解法：

(三)分數加法 本向度的問題，主要目的在於測驗學童在分數分母為倍數關係；分數 分子、分母具有共同因數，可先約分；分數分母為互質關係；分數分母有 公倍數；分數為整數相除的意義等子概念是否有正確的了解。 11、( )小華家上星期吃掉 52 7 3 公斤的米，這星期吃掉 13 3 1 公斤的米，兩 星期共吃掉幾公斤的米？○１ 65 10 4 ○２ 52 19 4 ○３ 39 4 2 ○４ 52 47 1 。

你的解法：

(四)分數減法 本向度的問題，主要目的在於測驗學童在分數分母為倍數關係；分數 分子、分母具有共同因數，可先約分；分數分母為互質關係；分數分母有 公倍數；分數為整數相除的意義等子概念是否有正確的了解。 16、( ) 爸爸開車出差，從臺北到臺中花了13 6 小時，從臺中到高雄花了 32 3 小時，請問從臺中到高雄比從臺北到臺中多花了幾小時？