第二章 文獻探討
第一節 分數迷思概念
第二章 文獻探討
本研究的主要目的是探討運用心智圖於國小四年級數學學習領域之行動研 究，希望能進一步探討四年級學生學習心智圖後，了解其對於運用心智圖於數學 領域後成效、未來使用意願的影響。因此，本章文獻探討分為三個部分，第一節 探討分數迷思概念，第二節為針對分數解題或迷思澄清的相關研究，第三節探討 心智圖運用在數學教學的相關研究。
第一節 分數迷思概念
一、迷思概念
「迷思概念」又可稱為錯誤概念(Error Conception)、另類架構(Alternative Frameworks)、直覺概念(Intuitive Conceptions)(郭重吉，1991；陳忠志、許有亮，
1998)……等。美國的科學教育期刊中，曾提過「迷思概念」，而這也是「迷思概 念」一詞問世之時 (陳啟明，1991)；另外姜善鑫(1998)曾指出「迷思概念」是 指對某一種事、物、狀況最一開始的有主觀認定的謬誤想法；王美芬及熊召弟 (1995)也指出當人們在學習、形成概念的過程中，會以過去的生活經驗來解決問 題，若發生概念的遺漏或是錯置，而形成與科學專家社群不同的概念時，即稱之 為迷思概念。
陳和貴(2001)從過去的研究中，歸納出迷思概念具有以下特性：
(一)規律性：又分為標準化的規律性，雖然人各有所差異，但是擁有的迷思 概念卻具有系統性，能找出一定的理論給予解釋；及錯誤的規律性，指此概念為 個體所獨有，需觀察一連串的反應後，才能歸納出一定的運思模式。
(二)個別性：人們各有所差異，在迷思概念的部分也是，是屬於私有且獨特 的概念。
(三)普遍性：過去有研究發現部分迷思具有普遍性，包括不同年齡層或是不 同族群的人會產生相同的迷思，抑或是現在學生所產生之迷思概念，也曾在過去 的學生身上發生過。
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(四)穩定性：迷思概念與一般的錯誤(看錯題目、筆誤、遺漏)有所不同，他 是一種根深蒂固、無法輕易改變的概念，就算教師一再講解與說明，仍會一而再、
再而三的出現。
(五)思考性：迷思概念也涵蓋了思考的成分，這些概念可能是錯誤、直覺的 類推與比較、不正確的推理或是不成熟的思考方式而產生的結果。
(六)不正統性：迷思概念其實與領域專家們所定義之概念有所差距，故屬於 不正統的概念。
(七)不完備性：學生回答問題不完整，並非表達能力的問題，而是對問題的 思考不周全。
造成迷思概念的來源眾多，包含生活經驗、教材內容、教師教學、社會環境、
認知發展……等，因此學者們對於迷思概念的成因有許多看法。
郭重吉(1988)認為迷思概念的成因有以下三個：
(一)自身生活經驗、用語的影響。
(二)對既有生活現況的誤解或不了解。
(三)自我中心的觀念所限制。
黃寶鈿(1999)將學生產生迷思概念的成因歸因為以下四種：
(一)生活經驗的影響。
(二)教材內容。
(三)教學問題。
(四)學生認知發展。
陳和貴(2001)整合了國內外研究對於迷思概念的成因：
(一)日常生活經驗的錯誤印象。
(二)學生所選取的基模或架構不符合問題。
(三)學生用過去所學來解決新近知識。
(四)視覺刺激所造成的影響，例如：將 7x7 算成 7+7。
(五)教材內容或是教師教學所影響。
(六)遺忘或是解除演算公式的條件限制，導致錯誤產生。
(七)對相關知識認知不足。
(八)語言的不正確和含糊所造成。
(九)學生以不完全的算則而遭遇困境，所產生之解題方式，是種重組與修補。
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由以上研究發現迷思概念主要和學生自身生活經驗、教材及教師教學有較 大的關係。
二、分數的迷思概念及錯誤類型 (一)分數的迷思概念
分數一詞相對於整數而言，學生是需要花較多時間理解的，因此在學習分數 的過程中，較容易產生迷思而導致錯誤，許多學者也針對分數的迷思做了各種研 究，分述如下：
表 1
分數的迷思概念
資料來源：研究者自行整理
(二)分數的錯誤類型
由以上分數的迷思概念，許多學者也研究了學童因而產生的錯誤類型，整理 如下：
分數迷思概念
1. 等分概念(林易慧，2016；湯錦雲，2002)
2. 等值分數概念不穩固(林易慧，2016；湯錦雲，2002)
3. 缺乏部分與全部的概念(林易慧，2016；鍾佩玲，2014；湯錦雲，
2002)
4. 數線概念之迷思(林易慧，2016；湯錦雲，2002)
5. 單位量概念(林易慧，2016；鍾佩玲，2014；洪素敏，2004；湯錦雲，
2002)
6. 受圖形表徵的影響(林易慧，2016；洪素敏，2004)
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表 2
分數的錯誤類型
資料來源：研究者自行整理
從以上文獻可以看出各階段在學習分數時有其一定的迷思概念，尤其是「單 位量」、「等分概念」、「等值分數」、「分數符號與生活的連結」……等。甚至也易 因題目中的數字、分數符號、圖形、分子或分母而產生混淆。而分數的錯誤類型，
即是因為對於分數有迷思，學習一段時間後，仍對等分概念不熟悉、無法指認單 位量……等，以致於無法解決分數題型，更別說是文字題型。
分數迷思 影響分數的錯誤類型
1.等分概念
(1)未注意或忽略等分
(2)受題目中的數字、圖片或敘述等訊息影響(詹婉 華，2003；陳和貴，2002)
2.單位量概念
(1)忽略單位量不一定一致 (2)總量與單位量混淆
(3)受題目中的訊息影響(題目之敘述、數字或圖形) (4)以小數解答
(5)單位量錯誤
(6)改變單位量(詹婉華，2003；陳和貴，2002)
3.等值分數概念
(1)受題目中分數符號的自然數影響 (2)未具細分並組合的能力
(3)未以相同的單位比較 (4)因單位不同而不會比較
(5)未考慮到分數整個數值的大小
(6)僅以數字(分子或分母)為標準判斷(詹婉華，
2003；陳和貴，2002)
4.受圖形表徵的影 響
(1)受圖形影響 (2)受圖形影響
(3)比較分數圖形的大小時，只是直觀的以圖形面 積的多少為判斷依據(詹婉華，2003；陳和貴，2002)
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三、分數的意義及概念
分數起源於「分」的概念，是用來解決當單位量不足「1」的數值問題(呂玉 琴，1996)，亦即當我們生活中遇到無法以整數紀錄或描述一物件的情形時，分 數因而產生(侯君玲，2010)，以下為國內學者對分數意義所做的解釋。
呂玉琴、李源順、劉曼麗、吳毓瑩(2009)將分數的意義分為以下幾種：
(一)「部分/全部」-指把一個連續的整體(連續量)等分後的幾部分。
(二)「子集/集合」-指把一個集合(離散量)等分組後的幾組。
(三)「商」-指兩數相除後的表示方式。
(四)「數值」-指數線上的一個點所表示的數值。
(五)「比」-指兩個量(連續量)或兩個集合(離散量)的比較結果 (六)「運算子」-可視為一個函數或操作。
另外再從「簡單分數」、「單位量」、「等分概念」三個部分來說明分數的意義 及概念。
(一)簡單分數
國小分數的概念，是由「分單位量不足１的東西」進而帶入，透過生活中常 說的「一半」去連結對「二分之一」的概念(詹婉華，2003)，卻也有研究顯示學 生無法將生活經驗與分數符號產生連結。例如：某研究中，提到有三位六年級學 童，無法將分數的概念與分數符號產生連結(Mack,1990)：
請學生比較兩個一樣的蛋糕，分別分成3 等份跟 5 等份，各拿一小塊，哪一 塊比較大？學生能正確回答分成3 等份的一小塊比較大，原因是平分的量較少，
所以每一塊的量較多。但是如果將情境換成分數符號，請學生比較兩個一樣的蛋 糕，其中一個拿1
3，另一個拿1
5，請問哪一塊比較大？此時學生會因為分母 5 比 3 大，所以回答1
5塊的比較大，因此無法正確比較分數的大小。
而陳瑞發(2003)也藉由分析三個不同版本的簡單分數教材，可以發現教材 安排如下：
1. 皆由連續量的情境，進入分數命名的活動。
2. 命名分數的活動，是先與生活語言(一半、平分……)連結，經過共同命 名後，再進行國字的數學語言介紹(二分之一)，最後進行讀法、國字及 分數的數學符號的連結(1
2與二分之一)。
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3. 簡單分數的學習順序為1
2→1
4→1
3→1
5，到三年級學習分數時，分母最多只 有20。
4. 簡單分數的學習，皆從「部分/整體」開始進行，再從「子集/集合」的 意義進行學習。
5. 在活動情境上，連續量情境比離散量情境多很多。
6. 分數的讀寫活動不多。
7. 三個版本中，只有其中一版本有出現單位量內容物為二的情境，涉及等 值分數，但教材內容並不要求以等值分數來作答。
從以上文獻可以了解到，分數的學習須從生活經驗連結，不論是讀法、國字、
數學符號，每一項皆環環相扣。在學生學習的過程中，老師要適時引導並連結，
避免產生生活經驗無法連結數學符號的情況。
(二)單位量
在分數的活動中，只要涉及兩個單位不同的問題，都須進行單位量概念的辨 識活動(陳瑞發，2003)，呂玉琴(1991)也指出學童不管是在「部分與全部」、「子 集與集合」或是數線的分數問題時，皆有判斷單位量的困難，或是會因為單位量、
分子、分母而影響對分母的理解。
(三)等分概念
在學習分數「部分/整體」的概念時，必須先讓學童了解「等分」的概念，
而許多學童一開始只能注意到「分」，卻未能注意每一份的大小皆要相同，不管 大小，只要數目一樣，就認為是公平的分配(陳瑞發，2003)。楊德清與洪素敏 (2002)發現四年級學生會試著以圖像表徵3
5，分割數目確實是 5，但是每份大小 卻不相同。
根據以上內容，可以發現分數的意義非常多樣，林易慧(2016)歸納出學者專 家對分數意義的共同解釋：
1. 部分與整體 2. 子集與集合
3. 數線上的一個數值 4. 商
5. 比(值)
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其實在國小階段分數是個抽象而又複雜的概念，從以上對於分數的各項解 釋與意義中，可以發現是針對各種不同的情況所使用，對學童來說，要先判斷情 況再判斷用法，實屬困難。