各分群學生在除法擬題中的能力表現

依據本研究所訂定之擬題計分標準，統計各分群學生在不同擬題題目 中所得分數之平均數，以探討在不同擬題題目中各分群學生的能力表現。

各分群在不同擬題題目中所得分數之平均數，如下表 4-2-1。表中 C1 代表 除法擬題第一題。

表 4-2-1

為 2.08，A'群為 1.38，B'群為 1.33，此三群之群體表現以 A 群較佳，

(四)在「未知數的位置在商且有餘數」的擬題中各分群所獲得的平均數比

1.38

知數的位置在被除數且有餘數」的擬題中表現最好。而 A 群之平均數

第三節 各分群學生擬題錯誤類型及其分析

本節之主要目的，首先呈現學生在本次「數學擬題測驗」中所表現之 擬題類型；然後進行各分群學生擬題錯誤類型之分析與比較。

一、學生擬題類型 (一)非題目

所謂非題目，是指學生所擬出之數學題目文字敘述非疑問性質，

或是其內容無法清楚表達致無法構成一可回答之問題均屬之，如圖 4-3-1。梁淑坤(1999)擬題作品五分量表分類亦以此為其分類之一，而 陳佩琦(2003)擬定之擬題作品九分評量表則以「非完整敘述」與「只 是敘述」來分類。

圖 4-3-1 學生擬題(一) (二)非數學

所謂非數學，是指學生所擬出之數學題目文字敘述內容可構成一 問題之問句，但問題內容並非數學問題或問題解答不須運用數學算則 之題目，如圖 4-3-2。梁淑坤(1999)擬題作品五分量表分類亦以此為其 分類之一，而陳佩琦(2003)擬定之擬題作品九分評量表亦以「非數學 問題」來分類之。

圖 4-3-2 學生擬題(二) (三)內容不合邏輯

所謂內容不合邏輯，是指學生所擬出之數學題目文字敘述具有題 目性質，但問題內容不符合邏輯或問題內容前後有矛盾，如圖 4-3-3。

梁淑坤(1999)擬題作品五分量表分類亦以此為其分類之一，而陳佩琦 (2003)擬定之擬題作品九分評量表則以「題意不清，不可解之數學問 題」來分類之。

圖 4-3-3 學生擬題(三) (四)非除法題型之數學題目

非除法題型之數學題目是指學生所擬出之題目屬於數學問題，但

解題所須的運算方法並非除法，而是加法、減法或乘法等類型之問題，

如圖 4-3-4。此分類與陳佩琦(2003)擬定之擬題作品九分評量表中「因 條件不足、或答案與題意不合而不可解的數學問題」類型相似，但將 其「答案與題意不合」獨立出來加以細分，而此分類屬於梁淑坤(1996) 擬題作品分類中之「答案與題意不合」類型。

圖 4-3-4 學生擬題(四) (五)資料位置錯誤之除法類型題目

資料位置錯誤之除法類型題目是指學生所擬出之題目屬於除法題 目，但所擬題內容之數據資料位置與擬題算式不同，如圖 4-3-5。此分 類與前項同屬由陳佩琦(2003)擬定之擬題作品九分評量表「因條件不 足、或答案與題意不合而不可解的數學問題」類型中「答案與題意不 合」之細分類型，因此，此分類亦屬於梁淑坤(1996)擬題作品分類中 之「答案與題意不合」類型。

圖 4-3-5 學生擬題(五) (六)未知數位置錯誤之除法類型題目

未知數位置錯誤之除法類型題目是指學生所擬出之題目屬於除法 題目，但所擬題內容之未知數位置與擬題算式不同，如圖 4-3-6。此分 類與前二項同屬由陳佩琦(2003)擬定之擬題作品九分評量表「因條件 不足、或答案與題意不合而不可解的數學問題」類型中「答案與題意 不合」之細分類型，因此，此分類亦屬於梁淑坤(1996)擬題作品分類 中之「答案與題意不合」類型。

圖 4-3-6 學生擬題(六)

(七)資料不足之除法類型題目

資料不足之除法類型題目是指學生所擬出之題目屬於除法題目，

但所擬題內容之數據資料不足而導致題目無法可解之類型，如圖 4-3-7。此分類與陳佩琦(2003)擬定之擬題作品九分評量表中「因條件 不足、或答案與題意不合而不可解的數學問題」類型相似，但僅與「因 條件不足而不可解的數學問題」相同，而此分類屬於梁淑坤(1999)擬 題作品五分量表中之「資料不足」類型。

圖 4-3-7 學生擬題(七) (八)資料錯誤之除法類型題目

資料錯誤之除法類型題目是指學生所擬出之題目屬於除法題目，

但所擬題內容之數據錯誤與擬題算式不符，如圖 4-3-8。此分類與陳佩 琦(2003)擬定之擬題作品九分評量表中「與題目所提供訊息無關的可 解數學問題」類型相同，屬於梁淑坤(1996)擬題作品分類中之「答案 與題意不合」類型。

圖 4-3-8 學生擬題(八) (九)單位錯誤之除法類型題目

單位錯誤之除法類型題目是指學生所擬出之題目屬於除法題目，

但所擬題內容單位缺乏單位或單位不正確或前後不一致，如圖 4-3-9。

此類型中單位之錯誤有可能造成解題者不瞭解題意而無法順利解題，

因此，屬於梁淑坤(1996)擬題作品分類中「題意不清」之類型，而陳 佩琦(2003)擬定之擬題作品九分評量表中雖無此類型，但依性質而 言，此類型與其「題意不清，不可解之數學問題」類型相同。

圖 4-3-9 學生擬題(九)

(十)遺漏部分字詞之除法類型題目

遺漏部分字詞之除法類型題目是指學生所擬出之題目屬於除法題 目，但所擬題內容遺漏部分字詞，致文句不通順或敘述不完整，如圖 4-3-10。此分類屬於梁淑坤(1996)擬題作品分類中之「題意不清」類型，

且同於陳佩琦(2003)擬定之擬題作品九分評量表中之「結構完整，但 有錯字或漏字的可解數學問題」與「結構完整，但文句不通順的可解 數學問題」二種類型。

圖 4-3-10 學生擬題(十) (十一)擬題正確

擬題正確是指學生所擬出之題目屬於除法題目，且所擬題目內容 完整且與擬題算式相符，如圖 4-3-11。此即梁淑坤(1999)擬題作品五分 量表之「資料適中」類型，亦即陳佩琦(2003)擬定之擬題作品九分評 量表中之「結構完整，正確無誤可解的數學題」。

圖 4-3-11 學生擬題(十一)

總括而言，本研究將除法擬題測驗中之擬題錯誤類型區分為 11 類，期 能清楚界定學生所犯之錯誤類別，再藉由錯誤類型的分析更加清楚學生錯 誤概念之成因。

二、各分群學生擬題錯誤類型之分析與比較

各分群學生在本次擬題測驗之不同擬題類型之錯誤類型統計如附錄 二。由表附錄二之資料中可知 A 群所犯之擬題錯誤類型最多者為「非題目」

類，其次為「未知數位置錯誤之除法類型題目」類；A'群所犯之擬題錯誤 類型最多者為「非題目」與「非除法題型之數學題目」兩類；B 群僅有 1 人，所犯之擬題錯誤類型為「未知數位置錯誤之除法類型題目」類；B'群 所犯之擬題錯誤類型最多者為「非題目」類，其次為「空白」類；C 群所 犯之擬題錯誤類型最多者為「非題目」類與「空白」類；C'群所犯之擬題 錯誤類型最多者為「空白」類。

由此可知，不同分群學生之錯誤類型不盡相同，但 A 群、A'群、B'群 與 C 群等之擬題錯誤類型皆以「非題目」類為最多，且犯「非題目」類錯 誤之總人次佔擬題錯誤總數之 28.1％，為所有錯誤類型中比例最高者。

第四節 各種擬題錯誤類型之學生除法概念結構

本節主要是依據學生在擬題測驗中所犯之錯誤類型，選取犯相同錯誤 類型次數最多之 2 名學生，分析其除法概念結構之共同特徵。

(一)「空白」錯誤類型

依據擬題「空白」類型錯誤 6 題的 S40 與 4 題「空白」的 S57 進行分 析，其除法概念結構如圖 4-4-1。其共同特徵為：1.概念 6 同為兩者之最上 層概念，且概念精熟度較其他概念不精熟。2.均以概念 1、2 為概念 4、5 之下位概念，而概念 4、5 又為概念 6 之下位概念。

圖 4-4-1 受試者 S40 與 S57 之除法概念結構圖

(二)「非題目」錯誤類型

依據擬題「非題目」類型錯誤 7 題的 S5 與 S91 進行分析，其除法概 念結構如圖 4-4-2。在此錯誤類型中，S5 之概念階層為四層，底層概念為 概念 1、2，第二層概念為概念 4、5，第三層概念為概念 3，而最上層概念 為概念 6、7，以概念 6 最不精熟。而 S91 之概念階層只有一層，所有概念 均達精熟且具等價關係。

圖 4-4-2 受試者 S5 與 S91 之除法概念結構圖

(三)「非數學」錯誤類型

依據擬題「非數學」類型錯誤 3 題的 S160 與 2 題的 S48 進行分析，

其除法概念結構如圖 4-4-3。其共同特徵為：1.概念 6 同為兩者之最上層概 念，且概念精熟度較其他概念不精熟。2.概念 1、2、4、5 同為概念 6、

7 之下位概念。

圖 4-4-3 受試者 S160 與 S48 之除法概念結構圖

(四)「不合邏輯」錯誤類型

依據擬題「不合邏輯」類型錯誤 4 題的 S152 與 3 題的 S177 進行分析，

其除法概念結構如圖 4-4-4。在此錯誤類型中，S152 之概念階層只有一層，

所有概念均達精熟且具等價關係。S177 之概念階層為三層，底層概念為概 念 4，第二層概念為概念 3、5、6、7，而最上層概念為概念 1、2，且概念 3、5、6、7 同為概念 1、2 之下位概念。

圖 4-4-4 受試者 S152 與 S177 之除法概念結構圖

(五)「非除法題型之數學題目」錯誤類型

依據擬題「非除法題型之數學題目」類型錯誤 5 題的 S157 與 3 題的 S148 進行分析，其除法概念結構如圖 4-4-5。其共同特徵為：1.概念 6、7 同為兩者之最上層概念，且概念精熟度較其他概念不精熟。2.概念 1、2 同 為概念 5 之下位概念，而概念 4、5 又同為概念 6 之下位概念。

圖 4-4-5 受試者 S157 與 S148 之除法概念結構圖

(六)「資料位置錯誤之除法類型題目」錯誤類型

依據擬題「資料位置錯誤之除法類型題目」類型錯誤 2 題的 S44 與 S47 進行分析，其除法概念結構如圖 4-4-6。在此錯誤類型中，S44 之概念階層 只有一層，所有概念均達精熟且具等價關係。S47 之概念階層為四層，底 層概念為概念 1，第二層概念為概念 2，第三層概念為 4、5，而最上層概 念為概念 3、6、7，概念中以概念 6 最不精熟，其下位概念為概念 1、2、

4、5。

圖 4-4-6 受試者 S44 與 S47 之除法概念結構圖

(七)「未知數位置錯誤之除法類型題目」錯誤類型

依據擬題「未知數位置錯誤之除法類型題目」類型錯誤 4 題的 S88 與 3 題的 S154 進行分析，其除法概念結構如圖 4-4-7。其共同特徵為：1.概 念 6、7 同為兩者之最上層概念，且概念精熟度較其他概念不精熟。2.概念 1、2 同為概念 4、5 之下位概念，而概念 4、5 又同為概念 6 之下位概念。

依據擬題「未知數位置錯誤之除法類型題目」類型錯誤 4 題的 S88 與 3 題的 S154 進行分析，其除法概念結構如圖 4-4-7。其共同特徵為：1.概 念 6、7 同為兩者之最上層概念，且概念精熟度較其他概念不精熟。2.概念 1、2 同為概念 4、5 之下位概念，而概念 4、5 又同為概念 6 之下位概念。