國小三年級學生除法概念結構分析與其擬題能力之探討

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(1)國立臺中教育大學數學教育學系國小教師在職進修教學碩士班碩士論文. 正明指導教授：易林原宏. 教授教授. 國小三年級學生除法概念結構分析與其擬題能力之探討. 研究生：鄭乃赫. 撰. 中華民國一○一年六月.

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(3) 謝. 誌. 兩年的碩士研究生的生活在充滿忙碌中轉眼就過去了，期間有快樂、有掙扎、有不知所措，但最棒的是看見了許多人性的光輝，與教授們不這辭辛勞的指導，讓這段歲月雖短卻又十分的充盈，心中不時的湧現出感激之情。能夠完成這份學業與論文，首先要感謝的當然是我的指導教授—林原宏教授與易正明教授。兩位教授從我一開始，尚不知從何著手時，就花了不少時間與我晤談，討論我自己感興趣的論文題目，並教導我按部就班的進行工具編擬、預試、分析、修改與正式施測，之後又在百忙之中抽出時間與我討論論文的修改方向，給了我許多寶貴的建議，讓我對學術研究有了更加深刻的瞭解，真的非常感謝兩位教授的指導。另外，還要感謝口試委員陳錦杏教授、陳進春校長和黃一泓老師在口試時提出了許多寶貴的問題與建議，讓我對自己的論文能夠有更進一步的省思。當然不能忘懷，要感謝的還有在臺中教育大學求學期間，不辭辛勞教導我們的甯自強老師、謝闓如老師、胡豐榮老師、陳鉪逸老師和陳中川老師，讓我在這兩年的學習路上受益良多，並在學術研究領域中奠下了基礎。最後，要感謝 99 級教學碩士班的同學們，在這段期間的分享與鼓勵，很高興能和大家一起求學成長！其中要特別感謝的是，研究小組的佳珍、佳萍、嬌霞、炎冠、仁彥在論文撰寫時能互相督促和切磋，以及論文口試時能撥冗前來幫忙。在此將學習的成果，獻給每一個關心我的人！. 乃赫謹誌.

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(5) 中文摘要本研究旨在探討國小三年級學生在除法之概念結構及擬題能力之表現。本研究以185位國小三年級學生為研究對象，採用自編的「除法概念測驗」及「數學擬題測驗」為研究工具，將學生在「除法概念測驗」之作答反應，使用S-P表分析以進行學生分群，並探討各分群之概念詮釋結構特徵。其次，分析學生在除法擬題中之能力表現與錯誤類型，再依錯誤類型探討其除法概念特徵。本研究結果如下：一、大多數三年級學生之除法概念的學習狀況良好且穩定性高。二、概念學習時同分群內之學生具有相似之學習順序性。三、以總分之平均數而言，B群表現最佳，A群次之，A'群及C群再次之， B'群再次之，C'群之表現最不理想。四、各分群在擬題測驗中所犯錯誤類型共計11項，其中以「非題目」錯誤類型最多，佔擬題錯誤總數之28.1％，相當於全部擬題總數的14.6％。五、各分群最易犯的錯誤類型並不相同。A群所犯之擬題錯誤類型最多者為「非題目」類，A'群為「非題目」與「非除法題型數學題目」兩類； B群為「未知數位置錯誤之除法題目」類；B'群為「非題目」類；C群所犯之擬題錯誤類型最多者為「非題目」類；C'群為「空白」類。六、擬題錯誤學生對「比較型問題」與「陣列型問題」兩種概念較不精熟。七、在部分錯誤類型中，發現存有除法概念完全精熟之學生，顯示擬題錯誤原因除了除法概念不精熟之外，尚存有其他因素。本研究根據研究結果加以討論，並提出若干建議作為教師教學及未來研究的參考。關鍵字：除法概念、擬題、錯誤類型、概念詮釋結構. I.

(6) A Study of Analyzing Division Conceptive Structure and Ability in Division Problem Posing in Third Graders. Abstract The purpose of this study was to explore the third graders’ performance on division conceptine structure and ability in division problem posing. The sample of this study consisted of one hundred and eighty-five third graders.”Concept of the Division Test” and “Mathematical Problem Posing Test” designed by the researcher were adopted as tools. Analyzing item responses of “Concept of the Division Test” by S-P table to divide students into groups and exploring characteristics of interpretation of the conceptual structure within groups. Furthermore,analyzing students’ ability performace and misconception pattern in division problem posing is to explore their characteristic of the division concept. Results of this study presented as follows: 1.Most third-grade students learning of division concept are in good condition and high stability. 2.Concept learning within the same group students with similar learning sequential. 3.As far as the average of the total concerned, group B showed the best, followed by group A, group A' and group C, and group B', however, group C performance is the worst. 4. Misconception pattern made by each group in the test of problem posing are 11 types, among them, the “non-topic”misconception pattern the largest, accounting for 28.1 ％ of the total number of misconception pattern, equivalent to 14.6％ of the total number of problem posing. 5. Misconception patterns in each group are not the same, the major problem posing misconception pattern made by group A is the “non-topic”pattern, group A' are “non-topic” pattern and “non -division kinds of math” pattern, group B' is “the error location of unknown in division math” pattern, group II.

(7) B' is “non-topic” pattern, group C' is “non-topic”pattern, group C' is “blank”pattern. 6. Students making mistakes are not familiar with “comparative questions” and “array-type questions”. 7. Students being full mastery of division concepts may make misconception patterns, which revealed the cause of problem posing error, in addition to not familiar with the concept of division, there are other factors. Based on the study results, some suggestions were made for teaching and study in the future.. Keywords: conception of division, problem posing, misconception pattern, interpretation conception structure. III.

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(9) 目次中文摘要 ....................................................................................... I 英文摘要 ..................................................................................... ΙΙ 目次 ............................................................................................. V 表次 .......................................................................................... VII 圖次 ......................................................................................... VIII 第一章緒論...............................................................................................1 第一節研究動機 ....................................................................................... 1 第二節研究目的 ....................................................................................... 4 第三節名詞釋義 ....................................................................................... 4. 第二章文獻探討.......................................................................................7 第一節除法概念及其相關研究 ............................................................... 7 第二節擬題及其相關研究 ..................................................................... 10 第三節 S-P 表分析理論及相關研究 ...................................................... 12 第四節概念詮釋結構模式及其相關研究 ............................................. 15. 第三章研究方法.....................................................................................19 第一節研究架構 ..................................................................................... 19 第二節研究對象 ..................................................................................... 20 第三節研究工具 ..................................................................................... 20 第四節研究流程 ..................................................................................... 28 第五節資料分析 ..................................................................................... 29. 第四章研究結果與討論 ........................................................................31 第一節各分群學生除法概念結構之特徵 ............................................. 31 第二節各分群學生在除法擬題中的能力表現 ..................................... 44 第三節各分群學生易犯擬題錯誤類型及其分析 ................................. 50. V.

(10) 第四節各種擬題錯誤類型之學生除法概念結構 ................................. 58. 第五章結論與建議 ................................................................................67 第一節結論 ............................................................................................. 67 第二節建議 ............................................................................................. 69. 參考文獻...................................................................................................71 中文部份 ................................................................................................... 71 英文部份 ................................................................................................... 75. 附錄一 A 群之概念精熟度矩陣 ..........................................................78 附錄二各分群在不同分群之錯誤類型統計表 .......................................83 附錄三除法概念測驗 ..........................................................................85 附錄四除法概念測驗（擬題） ..........................................................90. VI.

(11) 表次表 3-2-1. 研究樣本人數分配表 ..................................................................... 20. 表 3-3-1. 除法概念測驗預試雙向細目分析表 ............................................. 21. 表 3-3-2. 試題概念屬性分析表 ..................................................................... 22. 表 3-3-3. 除法概念測驗計分表 ..................................................................... 22. 表 3-3-4. 除法概念測驗預試樣本人數分配表 ............................................. 23. 表 3-3-5. 除法概念測驗預試樣本選擇題統計分析表 ................................. 23. 表 3-3-6. 除法概念測驗預試樣本應用題統計分析表 ................................. 24. 表 3-3-7. 擬題測驗題目類型表 ..................................................................... 25. 表 3-3-8. 數學擬題測驗計分法 ..................................................................... 26. 表 3-3-9. 除法擬題測驗預試樣本人數分配表 ............................................. 26. 表 3-3-10 數學擬題測驗預試樣本統計分析表 ............................................. 27 表 4-1-1. S45、S66、S88、S106 與 S108 之概念精熟度及其概念之歐氏距離統計表 ......................................................................................... 32. 表 4-1-2. A'群之概念精熟度矩陣 ................................................................. 34. 表 4-1-3. B 群之概念精熟度矩陣 ................................................................. 36. 表 4-1-4. B'群之概念精熟度矩陣.................................................................. 38. 表 4-1-5. C 群之概念精熟度矩陣 ................................................................. 40. 表 4-1-6. C'群之概念精熟度矩陣.................................................................. 42. 表 4-2-1. 各分群在不同擬題中得分之平均數統計表 ................................. 45. 表 4-2-2. 不同擬題類型中各分群之表現情形統計表 ................................. 49. VII.

(12) 圖次圖 2-3-1. 學習類型分類 ................................................................................. 14. 圖 3-1-1. 研究架構圖 ..................................................................................... 19. 圖 3-4-1. 研究流程圖 ..................................................................................... 28. 圖 4-1-1. 受試者 S45 之除法概念結構圖 ..................................................... 32. 圖 4-1-2. 受試者 S139 之除法概念結構圖 ................................................... 34. 圖 4-1-3. 受試者 S112 之除法概念結構圖 ................................................... 35. 圖 4-1-4. 受試者 S85 之除法概念結構圖 ..................................................... 35. 圖 4-1-5. 受試者 S95 之除法概念結構圖 ..................................................... 37. 圖 4-1-6. 受試者 S63 之除法概念結構圖 ..................................................... 39. 圖 4-1-7. 受試者 S128 之除法概念結構圖 ................................................... 39. 圖 4-1-8. 受試者 S184 之除法概念結構圖 ................................................... 39. 圖 4-1-9. 受試者 S50 之除法概念結構圖 ..................................................... 41. 圖 4-1-10 受試者 S100 之除法概念結構圖 ................................................... 41 圖 4-1-11 受試者 S19 之除法概念結構圖 ..................................................... 43 圖 4-1-12 受試者 S182 之除法概念結構圖 ................................................... 43 圖 4-2-1. 各群在 C1 擬題中之平均數比較圖 .............................................. 45. 圖 4-2-2. 各群在 C2 擬題中之平均數比較圖 .............................................. 46. 圖 4-2-3. 各群在 C3 擬題中之平均數比較圖 .............................................. 46. 圖 4-2-4. 各群在 C4 擬題中之平均數比較圖 .............................................. 47. 圖 4-2-5. 各群在 C5 擬題中之平均數比較圖 .............................................. 48. 圖 4-2-6. 各群在 C6 擬題中之平均數比較圖 .............................................. 48. 圖 4-2-7. 各群在 C7 擬題中之平均數比較圖 .............................................. 49. 圖 4-3-1. 學生擬題(一) .................................................................................. 50. 圖 4-3-2. 學生擬題(二) .................................................................................. 51. 圖 4-3-3. 學生擬題(三) .................................................................................. 51 VIII.

(13) 圖 4-3-4. 學生擬題(四) .................................................................................. 52. 圖 4-3-5. 學生擬題(五) .................................................................................. 53. 圖 4-3-6. 學生擬題(六) .................................................................................. 53. 圖 4-3-7. 學生擬題(七) .................................................................................. 54. 圖 4-3-8. 學生擬題(八) .................................................................................. 55. 圖 4-3-9. 學生擬題(九) .................................................................................. 55. 圖 4-3-10 學生擬題(十) .................................................................................. 56 圖 4-3-11 學生擬題(十一) .............................................................................. 57 圖 4-4-1. 受試者 S40 與 S57 之除法概念結構圖 ........................................ 58. 圖 4-4-2. 受試者 S5 與 S91 之除法概念結構圖 .......................................... 59. 圖 4-4-3. 受試者 S160 與 S48 之除法概念結構圖 ...................................... 59. 圖 4-4-4. 受試者 S152 與 S177 之除法概念結構圖 .................................... 60. 圖 4-4-5. 受試者 S157 與 S148 之除法概念結構圖 .................................... 61. 圖 4-4-6. 受試者 S44 與 S47 之除法概念結構圖 ........................................ 61. 圖 4-4-7. 受試者 S88 與 S154 之除法概念結構圖 ...................................... 62. 圖 4-4-8. 受試者 S41 與 S45 之除法概念結構圖 ........................................ 63. 圖 4-4-9. 受試者 S33 與 S62 之除法概念結構圖 ........................................ 63. 圖 4-4-10 受試者 S56 與 S118 之除法概念結構圖 ...................................... 64 圖 4-4-11 受試者 S13 與 S7 之除法概念結構圖 .......................................... 65. IX.

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(15) 第一章緒論本章旨在針對研究主題說明本研究之動機、目的及名詞釋義。全章共分為三節：第一節，研究動機；第二節，研究目的；第三節，名詞釋義。. 第一節. 研究動機. 國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域的教學目標中，明確指出「自然數及其運算」為第一階段之學習重點，「熟練自然數的四則與混合計算，培養流暢的數字感」為第二階段之重點，「熟練小數與分數的四則計算」為第三階段之重點，又在五大主題說明中提及「數與量在國民教育的數學課程中具有主要的地位，其主要概念的形成與演算能力的培養均奠基於國小階段」「整數計算是一切數學學習的基礎」(教育部，2003)，由此可見四則運算在教材中具有相當重要的地位。而對學生而言，四則運算中乘、除法運算的意義比加、減法運算更感到困難(Dickson, Brown & Gibson, 1984)，其主要原因在於加減法僅具單一向度，而乘除法的向度比較複雜(林碧珍，1991；Greer, 1992)。Suydam(1984)在數學教育成就之研究結論中指出，大部分學生對除法的精熟度一直要到九年級才能達 90 % 以上，因此對許多學生而言，甚至到 10~12 年級，除法運算仍無法與其它運算一樣達到最高水準，可見得除法又難於乘法(馬秀蘭，2004)。而在國內的相關研究中，游麗卿(1999)連續三年對二至四年級學生實施研究觀察，發現有許多學生能成功的模仿除法的算式來解題，但卻不一定能正確說明算式的真正含義。因此本研究以剛學到除法算則的三年級學生為研究對象，期能更加瞭解其除法概念，以作為教師教學時之參考。國內外有許多學者認為，讓學生擬題(problem posing)可以令其自行思考數學中的抽象概念，培養問答結構的探索企圖，而並非只是獲得解答 1.

(16) (Stoyanova, 2003)，尤其過程中學生需要主動釐清數學概念、表徵或設想情境(林碧珍，2001)，可以培養解決問題、分析問題和創造問題的能力(楊惠如，2000)，故而建議讓學生擬題並解題，以培養學生數學思考與解決問題的能力(林碧珍，2001；徐文鈺，1996；梁淑坤，1993；蔡美怡，2005)，由此可知擬題確實能夠有效的幫助學生澄清概念與提升數學能力，也因此，國內在擬題教學及擬題錯誤類型方面的研究相當的豐富(林原宏、許淑萍，2003；林峻志、徐照麗，2008；林德宗，1999；邱瑤瑢，2006；孫秀芳，1997；徐文鈺，1996；梁淑坤，1993；梁淑坤，1994；梁淑坤，1995；梁淑坤，1997；梁淑坤，1999；陳佩琦，2003；曾志華，2009；詹才億， 2011；劉富連，1999)，可見得瞭解學生之擬題錯誤類型對於學生之擬題學習與教師之擬題教學相當重要，若能進一步瞭解擬題錯誤類型學生之概念結構特徵，不但能夠有效釐清學生之錯誤成因，且亦能幫助教師進行更加有效率的補救教學，因此，本研究將一併探討擬題錯誤類型學生之除法概念結構特徵。 Anastasi(1967)認為傳統測驗強調統計技術，卻忽略了所欲評量的能力或特質，傳統教育測驗的測驗分數反映了學生答對與答錯的題數，同時也顯示出了學生能力在團體中所佔的相對位置，但卻無法顯現出學生是否精熟某種技能的訊息。日本學者佐藤博隆(Takahiro Sato)於 1970 年代提出 S-P 表(student-problem chart, S-P Chart)理論，將學生在試題上的作答反應情形予以「圖形化」分析，並藉由差異係數(disparity index)、同質性係數 (homogeneity index)、試題注意係數(item caution index)及學生注意係數 (student caution index)等指標來判斷反應異常之組型，並藉此提供診斷訊息 (游森期、余民寧，2006)。又依據學生注意係數(caution index for students, CS) 將學生的學習狀況分為六大類型(學習穩定型、粗心大意型、努力不足型、欠缺充分型、學力不足型與學習異常型)。使用 S-P 表分析可獲得學生的學習診斷資料，作為教師實施有效的學習輔導之參考。國內也有不少應用 S-P 表的研究(呂秋文，1987；何英奇，1988；陳騰祥，1987)，大致上均認. 2.

(17) 為 S-P 具有學習診斷的功能，可做為補救教學之依據。因此，本研究決定採用 S-P 表，將學生依其學習狀況進行分群，期能在分群的情況下尋找出最接近學習個體之概念特徵。在心理計量領域的研究中，類似概念階層結構之分析方法有很多(林原宏，2005)，例如：古典測驗理論(classical test theory)、試題反應理論(item response theory)、次序理論(ordering theory)、概念構圖(concept mapping)、徑路搜尋法(pathfinder)、試題關聯結構(item relational structure, IRS)、規則空間(rule space)和詮釋結構模式(interpretive structural modeling, ISM)等。許天維、林原宏(1994)認為 Warfield(1976)所提出的 ISM 分析方法可表示出概念思考單位元素的高低層次和順序關係，但因其只限於元素的二元關係，用此來描述學生所獲得的知識概念關係並不完全恰當(詹家明、林原宏， 2008)。因此，Lin, Hung, and Huang(2006)根據模糊理論 α 截矩陣以及概念向量比對 (concept vector matching) 等計算方法，重新定義對於概念間關係與階層結構的分析方法而提出概念詮釋結構模式 (concept advanced interpretive structural modeling, CAISM)，其主要目的是根據受試者之作答反應資料及試題屬性資料進行分析，以獲得每位受試者在試題中每個概念的精熟度，及個人化之概念階層結構 (individualized concept hierarchy structure)。但在不同配分的試題中，受試者常會出現有部分得分的情形，因此，Lin, Bart and Huang (2006)將之修改使之成為適用於不同計分方式的多元計分概念詮釋結構模式 (Polytomous concept advanced interpretive structural modeling, PCAISM)以推廣至適用於多元計分之情況。換言之 PCAISM 具有在多元計分的情況下，仍能呈現每位受試者在不同概念的精熟度，及個人化概念階層結構之優點。故本研究以此方法來分析，期能讓教師了解不同分群中學生的學習特徵，並在有限的教學時間中，達到最佳的教學效果。綜合上述，本研究以剛結束三年級課程的學生為對象，進行除法概念測驗，並將測驗結果採用 S-P 表(student-problem chart)進行分群，再針對各. 3.

(18) 分群進行除法概念結構之探討，而後依學生之擬題結果分別對其得分情形與擬題錯誤情形進行分析，最後，再依擬題錯誤類型探討擬題錯誤學生之除法概念結構，以提供未來教學之參考。. 第二節. 研究目的. 本研究旨在探討國小三年級學生在除法之概念結構，並採用 S-P 表進行分群，探討各分群中學生之擬題能力表現。因此，本研究之主要目的如下：一、探討三年級學生在 S-P 表分群下，各分群學生除法概念結構之特徵。二、探討三年級學生在 S-P 表分群下，各分群學生在除法擬題中的能力表現。三、探討三年級學生在 S-P 表分群下，各分群學生擬題錯誤類型及其分析。四、各種擬題錯誤類型學生之除法概念結構特徵。. 第三節. 名詞釋義. 一、除法概念本研究的除法概念係指平分概念、除法算則、等分除、包含除、等組型問題、比較型問題及陣列型問題等。二、S-P 表 S-P 表是由佐藤隆博(Takahiro Sato)於 1970 年代所創，其方法是將學生的作答反應情形繪製成圖形，再依圖形進行分析，以獲得每位學生的學習診斷資料。其依據學生之注意係數將學生的學習狀況分為六大類：學習穩定型(A 區)、粗心大意型(A'區)、努力不足型(B 區)、欠缺充分型(B'區)、學. 4.

(19) 力不足型(C 區)與學習異常型(C'區)。本研究即依此將學生分為六群。三、除法概念結構本研究所指之除法概念結構，是將所測得學生之除法概念資料輸入林原宏等人所開發之「認知診斷即時服務系統」，所得之概念詮釋結構圖之概念結構。四、擬題本研究的擬題是指由學生依據所給定之除法算式自行擬出合理之題目，而擬題之類型則是以除數、被除數、商或餘數為未知數的不完整除法算式來分類。. 5.

(20) 6.

(21) 第二章文獻探討本研究之相關理論將於本章進行探討，共分為四節。第一節，除法概念及其相關研究；第二節，擬題及其相關研究；第三節，S-P 表分析理論及其相關研究；第四節，概念詮釋結構模式及其相關研究。. 第一節. 除法概念及其相關研究. 一、除法概念 Fischbein, Deri, Nello and Marino (1985)等人認為除法概念的原始模式可分為「包含除(quotative)」和「等分除(partitive)」兩種。而「包含除」是把低階單位表示成高階單位的單位量轉化活動，「等分除」則是未知的新高階單位量的轉化活動(甯自強，1993)。換言之，若以總數除以每一組的個數以求得組數時，我們稱之為包含除；而若是以總數除以組數以求得每一組有多少個時，我們稱之為等分除，因此相對於乘法問題，包含除是解決單位數未知的問題；而等分除是解決單位量未知的問題(楊瑞智， 1997)。所以，國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域中要求教師要在「分裝」(包含除)與「平分」(等分除)兩種不同的情境中，讓學生理解除法的意義，而其對於「除」之解釋則是以「14÷4=3…2，14 為被除數，4 為除數，3 為商，2 為餘數。當餘數為 0 時，稱為整除，如 12÷4＝3。」來作說明(教育部，2003)。綜合上述觀點，除法之基本概念至少包含了「等分除」、「包含除」、「平分」及「除法算則」等概念，但在除法的問題情境中，除了二分為包含除與等分除之外，還可以「連續量」與「離散量」來作為區分(楊瑞智， 1997)。因此，本研究之除法概念選擇題除了納入「平分」與「除法算則」之概念之外，還將「等分除」與「包含除」之問題情境再各自細分成「連 7.

(22) 續量」與「離散量」之型態，期能更加完整的測驗出學生的除法概念。. 二、除法文字題類型研究乘、除法的學者通常是將這兩種知識一起做探討(林碧珍，1991)，因此在做分類時也都一併進行分類，以下列舉不同研究者所做出的分類方式： (一)Vergnaud(1983, 1988)從向量空間和向度(dimension)的觀點，將乘法的結構類型分為：量數同構(isomorphism of measures)、量數乘積(product of measures)和多重比例(multiple proportions)三種類型。而量數同構又可細分為：簡單的乘法(multiplication)、等分除(partitive division)、包含除 (quotative division)及失值問題(missing value problems)等四類。 (二)Schmidt and Weiser(1995)依據語意結構將乘除問題分為：形成量數的 N 倍、組合結構、運算的組合結構和由公式而來的乘法等四類。 (三)Greer(1992)依照情境將整數的乘法問題與除法問題區分為：等組型問題、比較型問題、笛卡爾積及矩陣型問題等四類。綜觀上述學者的乘除法問題情境分類不盡相同，但考量本研究之受試對象為國小三年級學生，其所受之乘除法教材中，最常也最早出現的是等組型問題，而乘法比較型問題(如：倍數問題)與矩陣問題(如：矩形面積) 雖然較少出現，但仍有之，因此教材之分類與 Greer(1992)之分類較為接近，所以，研究者之除法文字題採用 Greer(1992)之分類方式進行設計，並以等分除、包含除與離散量、連續量之問題情境來加以細分。. 三、除法問題之相關研究國內外的學者在除法問題的研究大致可分為解題策略之探討與除法概念之分析兩種。在解題策略之探討方面，Mulligan(1992)曾以二年時間研究 70 名二至三年級學生，發現有 75％的學生在未接受乘除法課程下，仍會使用不同策略來解決問題，其策略可區分為實物計數、加減法運算、使用已知或衍生 8.

(23) 事實等三種。後來 Mulligan and Mitchelmore(1997)一起研究二至三年級學生在乘除法文字題的解題表現，發現學生會利用直覺模式來解決問題，而其主要的直覺模式可分為直接計算、累加及乘法運算三種，但在解決除法文字題時，會增加累減模式。而林碧珍(1911)針對國小五、六年級的 128 名學生，分析學生在「乘除法應用問題」的解題策略及思考方法，發現學生對乘除法應用問題的瞭解由易而難的順序為：量數同構型、叉積型、比較型、多重比例型。鄭秋定(2002)以國小二、三、四年級之學生各六百名進行測驗，分析國小學生在正整數除法問題中解題策略之演變情形，以及除法算式摘要之使用情形，發現三年級學生的解題策略達十七種之多，且學生在使用除法直式解題策略時，會受到教材的影響而有所差異，而其使用最多的解題策略是「除法算式填充題列式(或摘要記錄)，除法直式策略」。此外，Robinson and Dube`(2008)針對五年級學生（平均年齡為 10 歲又 3 個月）解決除法問題的策略持續進行 8 週的觀察研究，發現對學生而言，除法技能在四則運算中是最困難的，學生在面對除法問題時，仍會明顯的依賴加法、減法與乘法問題來幫忙解決問題，學生的除法策略具有多種的思維方式，但是對學生而言，乘法是其中最佳的選擇。而在分析除法概念方面，Tirosh and Graeber(1991)以 80 名在大學時曾修過小學數學教育內容之在職教師為研究對象，進行 16 題除法問題之筆試與訪談，問題內容分為包含除與等分除兩種基本題型，而在基本題型下再區分為符合原始模式與不符合原始模式兩類，而所謂原始模式是指被除數大於除數的情形，結果發現符合原始模式的題目答對率較高，顯示出原始模式對在職教師之影響。李源順、楊棻雅與何佳恩(2007)探究一位國小實習教師的數學教學知能，及其數學之教學信念，發現此實習教師的學習認知，認為在具體操作時等分除問題比較簡單，包含除問題比較困難，但在算式的理解上則正好相反。陳鵬全(2001)則以 258 名三年級學生在除法問題的解題表現進行研究，研究發現：(一)國小三年級學生對除法問題在解題過程的累減或累乘算式表徵含意不清楚。(二)國小三年級學生對等分. 9.

(24) 除問題中『÷』號意義的瞭解尚待加強。(三)部分學生只模仿寫算式填充題的寫法。(四)部分學生尚不清楚除法直式的記錄方式，或未連結橫式的記錄方式。而 Squire and Bryant(2003)針對 129 名 1-3 年級的學生進行學生的除法問題模型進行研究，發現：(一)具體的情境能夠幫助學生理解除法問題。(二)當學生知道「如果 12÷4 =3，那麼 12÷3= 4」，則可依此來幫助學生對包含除與等分除問題產生連結。另外，Horton(2007)針對 210 名 4-5 年級學生、17 名小學數學教師及 7 名大學數學教師進行除法概念之評估，研究發現：(一)大部分學生無法正確或完整的來解釋複雜的問題，原因有可能是學生對概念的不瞭解，或者是不習慣於解釋他們的答案，而大部分的老師也不要求學生在課堂上解釋他們的答案。(二)在除法概念的學習上男女性別並無明顯差異。綜合上述之研究結果，可知國小學生在面對除法問題時，往往受限於教材或教師所教授之方法，甚至以數值大小、關鍵字等為解題之依據，卻未能充分瞭解除法的意義與概念，因此，繪製出學生之除法概念結構，以瞭解其概念連結情形與上下位概念間之關係，藉以幫助學生理解除法的意義與概念，並釐清其迷思概念確有其必要性。故本研究針對三年級學生之除法概念進行概念詮釋結構分析，期能藉由本研究更加瞭解學生之除法概念結構，以提升教師在教學上之效能。. 第二節. 擬題及其相關研究. 一、擬題的意義所謂的擬題，Duncker(1945)認為擬題是重新擬定一個所給的問題或是產出一個新問題。Shukkwan(1993)認為擬題是從所給定的情境中製訂出一個相關的數學問題。Mamona-Downs(1993)認為擬題是以一個問題激發出其他問題為產物的活動。Silver(1993, 1995)認為擬題是從情境或經驗中創建. 10.

(25) 或重新擬定一個所給予的問題。梁淑坤(1994)則認為擬題就是由學生自己想出一個數學題目。綜合上述，擬題就是由學生在施測者所提供的條件或情境下，依照自己的經驗或想法產出一個數學問題。. 二、擬題相關研究近年來，國內外之擬題相關研究相當豐富，如國內學者梁淑坤(1994) 在其「擬題的研究及其在課程的角色」中提及，在擬題活動中，當小朋友在解答別人所擬出的題目時會反問擬題者，而擬題者則藉以發現自己所擬出題目的漏洞或語文的不當再加以修改，因此擬題和解題是相連性的活動。而在國小課程中，擬題可扮演兩個角色，其一是手法(means)，是教師以學生所擬的題目為授課內容的一種方式；另一則是目的(ends)，就是定期讓學生來擬題。另外，林峻志(2007)以 34 位學生為研究對象，進行三角形與四邊形幾何圖形性質之擬題教學活動，並比較在擬題教學前後之差異，發現擬題對於高、中、低數學學習成就學生之概念理解層次均有相當之助益，因此，認為擬題教學適用於各種不同學習程度學生之數學學習。顏素蘭(2008)針對國小五年級原住民學生進行四則運算之擬題教學活動，擬題教學流程包括「解題」、「擬題」及「解擬題」三個階段，而後進行原住民與漢族學生在此學習過程中所呈現迷思概念情形之探討。研究中發現：(一)學生對於不同題目類型會有不同的擬題表現。(二)大多數學生能適當擬出文字題的題目類型，但對於開放的題目類型較感困難。(三)學生的擬題內容會因生活環境與文化背景而有所差異性。(四)擬題教學讓學生對於數學學習產生更多的興趣，且能提高學生數學概念與思考能力。張芷鳳與姚如芬(2009)針對國小四年級學生進行「四位數除以二位數」、「併式」、「除以幾百、幾千的直式」、「解題」等四單元的除法擬題教學與評量，發現研究初期學生對除法意義不了解，錯誤率高，但在經過五次擬題評量後，擬題表現逐漸有進步且較能指出題目錯誤之處，並認為除法擬題有助. 11.

(26) 於除法學習。李玉萍(2007)針對國小五年級學生進行一位小數乘法之解題與擬題能力之研究，發現擬題能力與解題能力具有相關性，換言之，能夠正確擬題者，較能正確解題，而無法正確解題者，較無法正確擬題。而擬題之錯誤原因主要為邏輯不符、答案與題意不合及不熟悉擬題三種。而在國外的研究中，Nardone and Lee(2011)探討學生所產生的擬題策略發現，在擬題活動中，教師扮演著推動者的角色，透過擬題技能的培養，可以幫助學生更深入的理解課程內容，並提高其批判思維能力。另外，English(1997) 針對國小五年級學生進行為期一年的擬題能力發展研究，研究結果發現相較於沒有參加擬題計畫的學生，有參加的學生不論是在問題結構、對不同類型問題的喜好程度或是不同類型數學思維的發展均有相當顯著的進步。Stoyanova(2005)針對 8-9 年級學生進行擬題策略探討，研究指出在擬題的過程中，學生漸能順利建構出較複雜的題目，而在無法順利擬題時，若提供一個解決方案，他們就有辦法理解。當面對極困難問題時，學生會使用模仿策略來建構出不同類型的題目，而不只是改寫所參考的題目。綜觀上述之研究，擬題活動可以幫助學生澄清概念，有助於各單元的概念學習，還可以提高學生的反思能力、學習興趣與語文能力。而本研究是以瞭解三年級學生之除法概念為主要目的，因此，將擬題納入本研究一併探討，期能由學生之擬題錯誤中進一步瞭解其錯誤類型與除法概念之關係。. 第三節. S-P 表分析理論及其相關研究. 一、S-P 表分析理論 S-P 表(student-problem chart, S-P Chart )是由佐藤隆博(Takahiro Sato) 於 1970 年代所創，其方法是將學生的作答反應情形繪製成圖形，再依圖形進行分析，藉由圖形分析可獲得每位學生的學習診斷資料，以作為學習. 12.

(27) 輔導之參考。S-P 表診斷學生的作答反應組型，是藉由差異係數(disparity index)、同質性係數(homogeneity index)、試題注意係數(item caution index) 及學生注意係數(student caution index)等指標，以做為反應組型是否具有不尋常之判斷依據，並藉此提供診斷訊息(余民寧，2002)。根據 S-P 表的分析結果，將學生的注意係數當作橫軸，再將學生得分之百分比當作縱軸，繪製出學生診斷分析圖，而後依據學生注意係數將學生的學習狀況分為六大類(圖 2-3-1)：學習穩定型(A 區)、粗心大意型(A' 區)、努力不足型(B 區)、欠缺充分型(B'區)、學力不足型(C 區)與學習異常型(C'區)。這六種學習類型有下列幾項特性(余民寧，2002)： (一)學習穩定型(A 區) 學習穩定型的學生學習狀況穩定良好，學習時能快速達到精熟程度。對這一類型學生，教師只需持續的給予鼓勵，就能使他們保持穩定的學習。 (二)粗心大意型(A'區) 粗心大意型的學生考試時常粗心大意，學習狀況較不穩定，但仍是班上程度較好的學生。 (三)努力不足型(B 區) 努力不足型的學生學習狀況尚稱穩定良好，但是可能因為不夠努力用功，而使得考試成績不盡理想。其表現不如「學習穩定型」學生，這類型的學生多半是班上中上程度的學生。 (四)欠缺充分型(B'區) 欠缺充分型的學生學習準備不夠充分，考試時偶爾也會粗心犯錯，學習狀況比較不穩定，努力也不夠充足。 (五)學力不足型(C 區) 學力不足型的學生不論是在基本學力、用功程度或是學習層面上都不夠充足。主要是因為他們沒有在過去奠定下良好的學習基礎和背景知識，因此學習新知識時會倍感吃力。. 13.

(28) (六)學習異常型(C'區) 學習異常型的學生學習相當不穩定，考試前沒有充分準備，考試時猜題、亂答或作弊，導致作答組型異常。 100％. 學生得分百分比. 75％ 50％. A 學習穩定型. A' 粗心大意型. B 努力不足型. B' 欠缺充分型. C 學力不足型. C' 學習異常型. 0. 0.50. 1.00. 學生注意係數圖 2-3-1 學習類型分類. 二、S-P 表相關研究 S-P 表兼具試題及學生學習診斷的功能，對教師而言，是一種頗為實用的工具，因此，國內有不少使用 S-P 表將學生分群以探討各分群學生學習狀況之研究，如：黃資貴、陳惠萍與林原宏(2009)等人針對臺中市五、六年級學生，進行應用 S-P 表探討相關性思考之解題規則的分析研究，結果發現依 S-P 表分析將受試者分成六種不同學習狀況之類型，其代表之解題規則階層結構頗具差異。Chang, Yang, Shih and Chao(2009)，使用 S-P 表與布魯姆(Bloom)分類法來評估智能發展之評量工具，結果發現將 S-P 表應用於線上評估系統，能夠有效的分析每個學習者，幫助教師輕鬆的瞭解學習者的學習狀況。黃麗麗(2009)以金門地區國小高年級學生為對象，探討在 S-P 表分析中，各類型學生的數字常識概念結構圖，發現在數字常識的表現上，A 類型學生之概念次序關係較為密切，B'類型學生則較為薄弱。且 A 類型學生的概念連結高於 A'類型學生，B 類型學生的概念連結高於 B'類型學生、C 類型學生的概念連結高於 C'類型學生。王瑞慶(2008)應用 S-P 表理論將學生分成低、中、高三個分群，並細分為 A、A'、B、B'、C、. 14.

(29) C'等六類型，以探討國小六年級學生在分數乘法的知識結構，發現高分群學生所犯的錯誤類型最少而低分群所犯的錯誤類型最多；且 A'類型學生所犯錯誤類型多於 A 類型，B'類型學生所犯錯誤類型多於 B 類型，C'類型學生所犯錯誤類型也多於 C 類型。許芳郡(2009)應用 S-P 表和多元計分次序理論，分析國小高年級學生分數加減法之概念，發現在 S-P 表分類下，各類型的學生概念階層結構並不相同，且 A、B、C 類型三群概念結構層次分明，且有次序性；而 A'、B'及 C'類型的學生，因表現有些異常，使得在概念階層結構上的層次不明顯。綜觀以上之相關研究可知，藉由 S-P 表之分群可適切反映出各群學生之學習特性，因此，以上之研究可做為本研究參考與依據。. 第四節. 概念詮釋結構模式及其相關研究. 一、概念詮釋結構模式詮釋結構模式 (interpretive structure modeling, ISM) 是由 Warfield (1976)所提出，原是應用在社會系統工程(social system engineering)中的一種構造模型(Structure Modeling)，其將一個系統內的元素透過二維矩陣的數學運算，以呈現出此系統內所有元素間的關聯性。而後由佐藤隆博(1979) 提出 ISM 分析法，將其運用在學習者的思考概念結構上，試圖使用具體的圖形或數量來表示出學習者的概念單元結構(許天維、林原宏，1994)。不過，因為 ISM 分析法僅適用於呈現元素間的二元關係，但從認知心理學的觀點來看，兩個概念元素之間的關係，絕非僅具二元結構。因此， Lin, Hung, and Huang(2006)根據模糊理論 α 截矩陣以及概念向量比對 (concept vector matching)等計算方法，重新定義對於概念間關係與階層結構的分析方法提出概念詮釋結構模式 (concept advanced interpretive structural modeling , CAISM)，其主要目的是根據受試者之作答反應資料及試題屬性資料進行分析，以獲得每位受試者各概念的精熟度，及個人化之 15.

(30) 概念階層結構 (individualized concept hierarchy structure)。但在不同配分的試題中，受試者常會出現有部分得分的情形。因此，將之修改為適用於不同計分方式的多元計分概念詮釋結構模式(Polytomous concept advanced interpretive structural modeling, PCAISM) 以推廣至適用於多元計分之情況。換言之 PCAISM 具有在多元計分的情況下仍能呈現每位受試者各概念的精熟度，及個人化之概念階層結構的優點。二、概念詮釋結構模式相關研究概念詮釋結構模式是由 Lin et al.(2006)等人所提出，目前國外之相關研究較不多見，但因其使用方便、快速，而且能夠不受人數限制的繪製出學生個人化的概念結構圖，因此，國內有不少運用概念詮釋結構模式來分析學生概念結構之研究，如：莊惠雯、林原宏、易正明 (2008)應用概念詮釋結構模式來分析國小一年級學生加減法文字題之概念結構，結果發現國小一年級學生加減法文字題之概念結構圖具有階層，且總分不同者，其概念結構分層狀況與概念結構之組成有所差異，而總分相同但反應組型不同者，其概念結構圖不盡相同。鄭佩郡(2008)應用概念詮釋結構模式，針對國小六年級資賦優異與普通班學生的面積概念結構進行分析，結果認為使用概念詮釋結構模式分析面積概念結構是可行的方法，且藉由分析概念間的連結關係，可做為教學者教材呈現順序的參考。林原宏、莊惠雯、易正明(2009)針對國小二年級學生進行時間概念之研究，其利用模糊集群分析方式將學生分群，而後使用概念詮釋結構模式繪製出學生之概念結構圖，以探討各群學生在 10 個時間概念的結構特徵，結論中認為概念詮釋結構圖能夠提供個別化的認知診斷訊息，足可作為補救教學之依據。王佩芬 (2009)運用概念詮釋結構模式，以 33 名國小五年級為研究對象，進行國小四年級在小數概念的知識結構之探討，認為藉由概念階層結構圖可瞭解學生概念間的上下位與指向關係，瞭解學生對各概念之精熟程度與不易精熟概念之下位概念，可有效提供教學者進行補救教學的參考資訊。劉建宏 (2010)針對國小四年級學生之幾何概念結構，使用概念詮釋結構模式進行 16.

(31) 分析，認為由個人化的概念結構圖，可以了解受試者的概念關聯指向與各概念之精熟度。江孟聰(2011)針對國小五年級學生之幾何概念進行概念詮釋結構模式分析，並認為：(一)使用多元計分概念詮釋結構模式分析法，可繪製出受試者個人化的概念階層結構圖，藉以了解個別受試者的概念階層結構。(二)不同分群中的概念階層結構圖，其概念階層數、概念屬性、概念連結指向皆有明顯的差異。(三)個人化之概念階層結構圖，有助於教師找出學生之學習困難或迷思概念，進而實施補救教學。由以上之研究可知，藉由概念詮釋結構模式所繪製出的學生概念結構圖可以瞭解到學生的概念階層、概念間連結與上下位的關係，還能夠同時知道各學生之概念精熟度。. 17.

(32) 18.

(33) 第三章研究方法本研究旨在探討國小三年級學生之除法概念與其擬題能力，因此，在進行除法概念測驗後，依學生之作答反應，使用 S-P 表進行分群，再依分群進行除法概念詮釋結構分析；並探討分群內學生之擬題能力表現。基於以上之目的，本章將分為下列五節進行說明：第一節本研究之研究架構；第二節本研究之研究對象來源；第三節研究工具，包括工具編製過程、預試及信效度分析；第四節研究流程；第五節本研究之資料分析工具。. 第一節. 研究架構. 本研究的研究架構係根據研究目的及相關文獻探討所建構而成，本研究之研究架構如圖 3-1-1：. 以 CAISM 進行分析除法概念測驗以 S-P 進行分群. 各分群之除法概念結構特徵擬題錯誤類型與概念詮釋結構之比較分析. 數學擬題測驗. 擬題能力 1.未知數的位置 2.餘數之有無. 圖3-1-1. 研究架構圖. 19. 各分群之擬題錯誤類型分析.

(34) 第二節. 研究對象. 本研究以國小三年級學生為施測對象，在考量受測時間及教師配合意願下，本研究之取樣決定以彰化縣某兩國民小學及嘉義縣某一國民小學三年級學生，七個班級，共 185 名學生為樣本，維持原班級進行研究。本研究選擇以國小三年級學生為研究對象的原因，是因為在九年一貫課程綱要的能力指標中，要求國小三年級學生的除法能力須能理解除法的意義，運用÷、＝做橫式紀錄(包括有餘數的情況)，並解決生活中的問題。因此，依學生在除法概念測驗中的作答反應，用 S-P 表進行分群，再依分群探討學生的除法概念結構；並依分群探究學生在不同情境的除法擬題測驗中之擬題能力與錯誤類型。本研究選取三年級學生為研究對象，進行樣本如表 3-2-1。. 表 3-2-1 研究樣本人數分配表縣市. 學校. 班級. 人數. 彰化縣. A. 甲. 24. B. 乙. 29. B. 丙. 30. B. 丁. 28. B. 戊. 30. C. 己. 22. C. 庚. 22. 嘉義縣合計. 185. 第三節. 研究工具. 本研究所使用的工具包括自編除法概念測驗、數學擬題測驗以及相關的統計、資料分析、概念繪圖軟體等。茲分別說明如下：. 20.

(35) 一、除法概念測驗 (一)試題內容設計試題內容是參考邱瑤瑢(2006)的研究，並配合施測對象所使用的國小三年級部編版第六冊數學教材之除法課程修編而成。本測驗預試之雙向細目分析表如下表 3-3-1，試題概念屬性分析表如下表 3-3-2。表中 A1 代表選擇題第一題，B1 代表除法應用題第一題。除法概念分析表中，1 表示該題具備對應之概念屬性，0 表示該題未具備對應之概念屬性。. 表 3-3-1 除法概念測驗預試雙向細目分析表教平分. 除法概念︵選擇題︶. 除法算則. 等分除包含除. 學. 等分除有餘數等組型問題能整除包含除有餘數比較型問題. 容. 平分的意義「÷」的意義被除數、除數、商餘數除法算式填充式算式紀錄離散量連續量離散量連續量能整除. 除法應用題︵計算題︶. 內. 離散量連續量離散量連續量離散量連續量離散量連續量. 教學目標知識理解應用 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 B1 B5 B3 B7 B2 B6 B4 B8. 等分除. B10. 包含除. B9 B11 B12. 陣列型問題 (矩形面積) 21.

(36) 表3-3-2 試題概念屬性分析表概念 1 平分 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 B1 B5 B3 B7 B2 B6 B4 B8 B10 B9 B11 B12. 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1. 2 除法算則 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1. 3. 4. 等分除包含除 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0. 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0. 5 等組型問題 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0. 6 比較型問題 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0. 7 陣列型問題 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1. (二)計分方式本研究之除法概念測驗計分方式：第一部份除法概念題選擇題，每答對一題得 1 分。第二部份除法應用題，計分方式如下表 3-3-3。. 表 3-3-3 除法概念測驗應用題計分表得分答題情形 1 空白○ 2 未能正確列出算式 0分 ○ 1 分能正確列出算式，但未能掌握除法計算法則 2 分能正確列出算式，且能掌握除法計算法則，但計算錯誤 3 分能正確列出算式，掌握除法計算法則，且答案正確。 22.

(37) (三)預試本研究之預試對象是以彰化市、彰化縣、台中縣及嘉義縣各一所國小之四年級共 104 位學生為預試對象，之所以以四年級學生為預試對象，是因為預試時，國小三年級學生尚未實施「二位數除以一位數」及「三位數除以一位數」之教學，因此，決定以四年級學生為預試對象。本測驗預定作答時間為 40 分鐘，但若學生無法於時限內完成，仍以讓學生寫完為原則。預試樣本如表 3-3-4：表3-3-4 除法概念測驗預試樣本人數分配表縣市學校彰化市甲校彰化縣乙校台中縣丙校嘉義縣丁校合計. 班級一班一班一班一班. 人數 31 19 25 29 104. (四)試題分析及題目修正除法概念測驗預試樣本選擇題統計分析如表 3-3-5、除法概念測驗預試樣本應用題統計分析如表 3-3-6。表3-3-5 除法概念測驗預試樣本選擇題統計分析表難度試題 P (PH＋PL)/2 PH－PL A1 .74 .68 .64 A2 .86 .82 .36 A3 .56 .54 .92 A4 .85 .78 .44 A5 .89 .85 .31 A6 .90 .85 .31 A7 .62 .63 .31 A8 .81 .78 .75 A9 .90 .85 .44 A10 .88 .82 .31 *** p＜.001 N＝104. 23. 鑑別度 rxy .56*** .65*** .64*** .70 *** .76 *** .75 *** .58 *** .60 *** .79 *** .73 ***. t 7.87*** 4.45*** 19.62*** 5.29*** 3.92*** 10.25*** 5.29*** 3.92*** 4.45*** 5.29***.

(38) 表 3-3-6 除法概念測驗預試樣本應用題統計分析表難度試題 P (PH＋PL)/2 PH－PL B1 .03 .97 .99 B2 .08 .96 .96 B3 .96 .89 .22 B4 .96 .92 .16 B5 .94 .93 .14 B6 .89 .87 .27 B7 .95 .91 .19 B8 .94 .92 .16 B9 .05 .96 .97 B10 .94 .50 1.00 B11 .93 .92 .16 B12 .91 .89 .22 * *** p＜.05 p＜.001 N＝104. 鑑別度 rxy .53 *** .63 *** .52 *** .56 *** .84 *** .74 *** .63 *** .62 *** .73 *** .58 *** .84 *** .70***. t 1.36* 1.76*** 3.23*** 2.55*** 2.25*** 3.74*** 3.46*** 2.78*** 1.65* 2.25*** 2.52*** 3.22***. 本研究之預試分析結果，除法概念測驗選擇題之 Cronbach’s α 值為.84，試題難度介於.54～.85 之間，鑑別度介於.31～.92 之間，且所有試題之相關係數及 t 檢定均達顯著，故除法概念測驗選擇題為良好試題。而除法概念應用題之 Cronbach’s α 值為.88，試題難度介於.50～.99 之間，鑑別度介於.03～1.00 之間，所有試題之相關係數及 t 檢定均達顯著，但依 Ebel and Frisbie(1991)所提出之試題鑑別度評鑑標準，鑑別度指數在.19 以下之試題屬於劣質題目，須要刪除或修改，而本次預試分析中應用題第 1、2、 4、5、7、8、9、11 題均屬之，唯考量本試題之測驗目的是要了解三年級之除法概念，若予以刪除則在概念分析上將缺乏完整性，因此，決定選擇修正鑑別度低於.10 的 B1、B2 及 B9 等三題，將題目中的被除數由二位數改為三位數，即將：原 B1 之題目：「娜美到橘子園採了 28 顆橘子，想要平分給 4 個人，最多每人得到幾顆橘子？」改為「娜美到橘子園採了 128 顆橘子，想要平分給 4 個人，最多每人得到顆橘子？」原 B2 之題目：「文具行買進了 40 支原子筆，想要分裝成每盒 8 支， 24.

(39) 最多能裝幾盒？」改為「文具行買進了 240 支原子筆，想要分裝成每盒 8 支，最多能裝幾盒？」原 B9 之題目：「香吉士身上帶了 7 元，騙人布身上帶了 42 元，騙人布身上帶的錢是香吉士身上帶的錢的幾倍？」改為「香吉士身上帶了 7 元，騙人布身上帶了 735 元，騙人布身上帶的錢是香吉士身上帶的錢的幾倍？」，其餘題目維持不變。 (五)效度本研究工具的試題是依據表 3-3-1 除法概念測驗雙向細目分析表中的教學內容編製而成，故本研究之測驗試題具有內容效度。. 二、數學擬題測驗 (一)試題內容設計本研究之擬題測驗工具，是採用梁淑坤(1997)所編定擬題評量工具分類中的算式類，在佈題中給予一個不完整的算式，讓學生依據此算式擬出一個符合佈題條件的題目。再藉由作答結果分析各分群學生之擬題能力與錯誤類型。因本次擬題是以除法概念為主軸，因此試題主要是以未知數的位置及有無餘數為變項。類型如下表 3-3-7. 表 3-3-7 擬題測驗題目類型表題型有無餘數無二位數除以一位數有. 25. 未知數的位置被除數除數商被除數除數商餘數. 題號 C2 C5 C1 C7 C6 C4 C3.

(40) (二)計分方式本測驗之評分，是以梁淑坤(1999)發展之擬題評量工具為基礎，再與教育大學教授討論後簡化而成。本工具之評分方法如表 3-3-8：表3-3-8 數學擬題測驗計分法得分作答情形 1 空白 ○ 2 非題目 ○ 3 非數學 ○ 4 不合邏輯 0分 ○ 1 數學題目，但非除法題型 ○ 2 數學題目，且為除法類型，但資料位置錯誤 1分 ○ 3 數學題目，且為除法類型，但未知數的位置錯誤或不完整 ○ 1 數學題目，且為除法類型，但資料不足 ○ 2 數學題目，且為除法類型，但資料錯誤 ○ 2分 3 數學題目，且為除法類型，但單位錯誤 ○ 4 數學題目，且為除法類型，但遺漏部分字詞 ○ 1 擬題正確 3分 ○ 依上表所評，學生在每一題中之最高得分為 3 分，代表答對；最低得分是 0 分，0~2 分代表答錯。受試者在本測驗最高可得 21 分，最低為 0 分。 (三)預試以彰化縣兩所國小四年級共 104 位學生為預試對象，預試樣本如表 3-3-9：. 表3-3-9 除法擬題測驗預試樣本人數分配表縣市學校彰化市甲校彰化縣乙校台中縣丙校嘉義縣丁校合計. 班級數 1 1 1 1 4. 26. 人數 31 19 24 30 104.

(41) 預試時並不特別限制學生的測驗時間，以盡量讓學生寫完為原則，受試者作答時間為 60 分鐘。 (四)試題分析本研究之擬題測驗預試樣本統計分析如表 3-3-10 所示。. 表3-3-10 數學擬題測驗預試樣本統計分析表難度試題 P (PH＋PL)/2 C1 .81 0.88 C2 .64 0.66 C3 .57 0.58 C4 .57 0.60 C5 .42 0.46 C6 .41 0.54 C7 .65 0.66 *** p＜.001 N＝102. PH－PL 0.24 0.60 0.76 0.72 0.93 0.77 0.60. 鑑別度 rxy .38*** .59*** .67*** .51 *** .75 *** .64 *** .60 ***. t值 2.39*** 5.56*** 7.31*** 6.12*** 17.77*** 7.35*** 6.01***. 本研究之預試分析結果，除法擬題測驗之 Cronbach’s α 值為.70，試題難度介於.46～.88 之間，鑑別度介於.24～.93 之間，且所有試題之相關係數及 t 檢定均達顯著，故為良好試題。 (五)效度本研究工具的試題是依據表 3-3-7 擬題測驗題目類型表編製而成，故本研究之測驗試題具有內容效度。. 27.

(42) 第四節研究流程本研究在確定研究主題與目的後，即開始蒐集、閱讀、整理相關文獻，並進行工具的編擬，工具內容是依據表 3-3-1 及表 3-3-7，並配合施測對象所使用的國小三年級部編版第六冊數學教材之除法課程修編而成。於下學期第二次月考後，請國小四年級學生進行預試，依據預試分析結果，進行工具之編修，確定正式施測工具之內容。於同一學期第三次月考前，對受試者進行施測，回收試卷後即進行資料之評分、整理與分析。研究流程如圖 3-4-1。確定研究主題與目的文獻探討發展研究工具除法概念測驗工具編修. 除法擬題測驗. 進行預試. 進行預試. 資料分析. 資料分析正式施測學生分群資料分析. 除法概念結構圖. 除法擬題能力. 資料彙整撰寫研究報告. 圖3-4-1 研究流程圖 28. 工具編修.

(43) 第五節. 資料分析工具. 一、歐基里德距離(Euclidean distance) 相似性可以反映觀察值之間的親疏程度，是集群分析中的一個基本概念，換言之，集群分析即是依觀察值之間的相似性來進行分群。而衡量相似性的方法可區分為三類：(1)距離(2)關連係數(3)相關係數。而就觀察值而言，距離是較易瞭解的觀念，因此距離衡量的方式較常被使用，而其中最常被使用的則是歐基里德距離(李維蔓、詹岱倫，2010)，假設在 d 維空間中有兩點 p=[ p1, p2, …, pd]，q =[ q1, q2, …,qd]，則其歐幾里得距離可表示 d. 為：Distance(p,q) =. p i 1. i.  qi . 2. 因此，本研究分析各分群概念特徵之取樣，即是以各分群學生之各概念精熟度與該分群之各概念精熟度平均值，計算歐基里德距離，選取距離最小之學生為分析對象，期能有效代表該群學生之概念特徵。二、認知診斷之測驗分析即時服務系統認知診斷之測驗分析即時服務系統是由臺中教育大學數學教育學系林原宏、莊宗霖、陳慶恩與林昌宏等人所共同設計，是結合二元計分模式下，S-P 表分析(student problem chart)和次序理論(ordering theory)，以及多元計分模式下，多元計分 S-P 表分析(polytomous student problem chart )、多元計分次序理論(polytomous ordering theory)和多元計分概念詮釋結構模式(polytomous concept advanced interpretive structural modeling)所建構而成的一套認知診斷系統。教師將學生之試題反應匯入此服務系統後，即可獲得學生在 S-P 表分析中的分類類別，並得到學生個別化的試題階層次序結構圖。若併同測驗試題屬性資料匯入，便可獲得學生之概念精熟度，及個人化的概念階層結構圖。本研究即是使用此系統進行 S-P 表分析及多元計分概念詮釋結構模式分析。. 29.

(44) 三、資料分析項目及步驟本研究透過研究者自編的「除法概念測驗」和「數學擬題測驗」蒐集學生之作答反應，再使用 S-P 進行分群，探討各分群中學生的除法概念結構與擬題能力，並將擬題錯誤學生之除法概念結構與其擬題錯誤類型作比較。資料分析項目及步驟如下： (一)將預試學生的試題反應原始資料輸入 SPSS 12.0 中文版軟體，分析自編之「除法概念測驗選擇題」、「除法概念測驗應用題」及「數學擬題測驗」之信度與鑑別度，以作為試題刪除或修改之參考依據。 (二)將正式施測學生的試題反應原始資料輸入 Excel 軟體中進行整理，再使用 S-P 表進行分析，將學生分為 A、A'、B、B'、C、C'六個分群。 (三)將選取的受試者試題反應矩陣與試題屬性矩陣匯入認知診斷之測驗分析即時服務系統中，可獲得試題反應組型、個人概念詮釋結構圖及其概念之精熟度。 (四)使用 Excel 軟體計算出各分群所有受試者之概念精熟度與各概念平均值之歐氏距離值，再依歐式距離選取距離最短之 3 名學生作為除法概念詮釋結構之分析對象。 (五)再依據獲得的資料對學生除法之概念詮釋結構圖進行描述性分析，探討各分群學生概念詮釋結構圖之特徵與差異。 (六)將學生的擬題得分結果輸入 SPSS 12.0 中文版軟體，以平均數探討在不同擬題題目中各分群學生的能力表現。 (七)將學生擬題作答結果依據表 3-3-8 數學擬題測驗計分法進行分類與統計，探討各分群學生易犯之擬題錯誤類型。 (八)依擬題錯誤類型，選取 2 位相同錯誤次數最多學生，探討各種擬題錯誤類型中除法概念詮釋結構之異同。. 30.

(45) 第四章研究結果與討論本章主要是依據施測結果進行分群的分析與討論，根據本研究目的分為四節。第一節，由各分群中選取 3 名受試者之概念結構，探討各分群學生之共同特徵；第二節，以受試者的擬題得分，來探討各分群學生在除法概念中的擬題表現；第三節中，將學生的擬題作答情形進行分類與統計，探討各分群學生易犯之擬題錯誤類型；第四節中，研究者將依擬題錯誤類型選取擬題錯誤最多之 2 位學生，探討各種擬題錯誤類型中除法概念詮釋結構之異同。. 第一節. 各分群學生除法概念結構之特徵. 本節將受試者依據 S-P 表進行分群後，以歐氏距離(Euclidean distance) 選取最接近概念精熟度平均值之 3 名學生，針對其除法概念結構實施分析與比較，以瞭解各分群之概念結構特徵。研究者先將受試者之反應矩陣輸入到認知診斷之測驗分析即時服務系統之 S-P&POT 軟體中進行分析，繪出 S-P 表及 A、A'、B、B'、C、C' 六種分群，再將反應矩陣與試題屬性矩陣輸入 CAISM 中，獲得每位受試者在七個概念中的精熟度矩陣與除法概念結構，再依據每位受試者之精熟度矩陣計算出其與該群概念精熟度平均之歐氏距離，而後選取歐氏距離最短之 3 名(該群人數不足 3 人者全額選取)受試者進行除法概念結構分析，以探討該群學生之除法概念結構特徵。概念結構圖中圓圈內上方之數字代表本次測驗之概念 1 至概念 7(如表 3-3-2)，圓圈內下方之小數則代表受試者在本次測驗中該測驗所得之精熟度，精熟度介於 0 至 1 之間，所得數值越高代表受試者對該概念越精熟。. 31.

(46) 一、A 群 A 群之總計人數為 157 名，將 A 群所有受試者之概念精熟度與各概念之平均值進行歐氏距離運算後，得到所有受試者之概念精熟度及其概念之歐氏距離統計表如附錄一。由附錄一可知歐氏距離最短的是 S45、S66、 S88、S106 及 S123 等 5 名，其概念精熟度及其概念之歐氏距離統計表如表 4-1-1，但因 S45 等 5 名之概念精熟度均相同，且其除法概念結構亦相同，故研究者僅選取 S45 做為本群之分析對象，其除法概念結構圖如圖 4-1-1 所示。. 表 4-1-1 S45、S66、S88、S106 與 S123 之概念精熟度及其概念之歐氏距離統計表學生歐氏概念 1 概念 2 概念 3 概念 4 概念 5 概念 6 概念 7 距離編號 S45 .76 .82 .60 .57 .56 .52 .53 0.162 S66 .76 .82 .60 .57 .56 .52 .53 0.162 S88 .76 .82 .60 .57 .56 .52 .53 0.162 S106 .76 .82 .60 .57 .56 .52 .53 0.162 S123 .76 .82 .60 .57 .56 .52 .53 0.162 A 群概 .79 .76 .63 .63 .63 .60 .61 念平均. 圖 4-1-1. 受試者 S45 之除法概念結構圖 32.

(47) 根據圖 4-1-1，受試者 S45 之除法概念結構其特徵如下： (一)就概念精熟度而言，以概念 2 之精熟度(.82)最高，概念 6 之精熟度(.52) 最低。 (二)概念 6 及概念 7 在同一階層，彼此間無連結指向關係，且其下位概念同為概念 1、概念 2、概念 3、概念 4 及概念 5。 (三)概念 4 及概念 5 在同一階層，彼此間無連結指向關係，且其上位概念同為概念 6 及概念 7，下位概念同為概念 1、概念 2、概念 3。 (四)概念 3 之上位概念為概念 4、概念 5、概念 6 及概念 7，下位概念為概念 1 及概念 2。 (五)概念 1 之上位概念為概念 3、概念 4、概念 5、概念 6 及概念 7，下位概念為概念 2。 (六)概念 2 之上位概念為其他所有概念，且無下位概念，因此，概念 2 為學生之底層概念。 (七) 由以上可知，學生必須先學會概念 2 才能精熟概念 1，學會概念 1 後才能精熟概念 3，學會概念 3 後才能精熟概念 4 及概念 5，學會概念 4 及概念 5 後才能精熟概念 6 和概念 7。綜合以上所述，本群學生對於除法算則(概念 2)最為精熟，並透過除法算則來瞭解除法的平分概念(概念 1)，而在除法的應用解題中，學生首先精熟到的是等分除概念 (概念 3)，在學會等分除概念之後，才能進而瞭解包含除概念(概念 4)與等組型問題概念(概念 5)，但對學生而言，包含除與等組型問題概念是不具關聯性的兩種概念，且須在精熟包含除概念與等組型問題概念之後，學生才有辦法處理比較型問題(概念 6)與陣列型問題(概念 7)。就 S-P 表之學習類型特性而言，本群學生具有學習良好穩定性高之特性，且本群學生約占受測總人數之 84.86﹪，因此，本群之概念結構特徵可視為學生學習除法時之正常概念結構，提供教師做為教學時之參考。. 33.

(48) 二、A'群本研究中 A'群之人數為 8 名，將 A'群所有受試者之概念精熟度與各概念之平均值進行歐氏距離運算後，得到所有受試者之概念精熟度及其概念之歐氏距離統計表如下表 4-1-2。由表中可知歐氏距離最短的是 S139、S112 及 S85 等 3 名，故研究者選取此 3 名做為本群之分析對象，其除法概念結構圖如圖 4-1-2、圖 4-1-3 及圖 4-1-4 所示。. 表 4-1-2 A'群之概念精熟度矩陣學生概念 1 概念 2 概念 3 概念 4 概念 5 概念 6 概念 7 編號 S139 0.64 0.57 0.52 0.53 0.54 0.50 0.48 S112 0.64 0.61 0.56 0.53 0.54 0.50 0.48 S85 0.58 0.63 0.57 0.54 0.53 0.50 0.52 S111 0.68 0.57 0.55 0.50 0.53 0.50 0.52 S150 0.67 0.63 0.57 0.51 0.54 0.51 0.52 S58 0.56 0.60 0.48 0.55 0.54 0.51 0.52 S108 0.57 0.51 0.59 0.56 0.55 0.51 0.53 S175 0.57 0.51 0.59 0.56 0.55 0.51 0.53 平均 0.61 0.58 0.55 0.54 0.54 0.51 0.51. 圖 4-1-2. 受試者 S139 之除法概念結構圖. 34. 歐氏距離 0.055 0.055 0.064 0.083 0.087 0.089 0.095 0.095.

(49) 圖 4-1-3. 受試者 S112 之除法概念結構圖. 圖 4-1-4. 受試者 S85 之除法概念結構圖. 依據圖 4-1-2、圖 4-1-3、圖 4-1-4，受試者 S139、S112 與 S85 之除法概念結構圖，其共同特徵如下： (一)就概念精熟度而言，所有概念之精熟度差異不大，以概念 1 及概念 2 較為精熟(介於.57~.64 之間)，概念 6 及概念 7 較不精熟(介於.48~.52 之間)。 35.

(50) (二)概念 3 是概念 2 之上位概念。 (三)概念 4 及概念 5 在同一階層，彼此間無連結指向關係，且下位概念同為概念 1、概念 2。 (四) 由上可知，學生要精熟概念 3 之前必須先學會概念 2，要精熟概念 4 及概念 5 之前則必須先學會概念 1 及概念 2。綜合以上所述，本群學生對於平分概念(概念 1)與除法算則(概念 2)較為精熟，且兩者間具有連結指向關係，但有些學生是先學會平分概念進而精熟除法算則，有些學生卻是先學會除法算則才瞭解到平分概念。當學生學會除法算則後才能了解等分除概念(概念 3)，而且至少必須在平分概念與除法算則都學會後，學生才有辦法進一步學習包含除概念(概念 4)及等組型問題概念(概念 5)，不過，對學生而言，包含除概念與等組型問題概念之間並不具關聯性。由圖 4-1-2、圖 4-1-3、圖 4-1-4 可以看出，本群學生之概念結構差異性頗大，主要可能原因是本群在 S-P 表的學習類型分類中，具有粗心大意，不細心造成錯誤之特性。因此，學生在受測時可能因為答題粗心犯錯，而造成繪製出的概念結構圖無法真實反映出學生的真實概念結構，所以，本小節僅就其共同之結構特徵進行探討，以做為教師分組教學或補救教學時之參考。. 三、B 群 B 群之人數僅有 1 名，其各概念精熟度矩陣如下表 4-1-3。因本群僅有 1 名，故研究者以受試者 S95 為分析對象，其除法概念結構圖如圖 4-1-5 所示。. 表 4-1-3 B 群之概念精熟度矩陣學生編號 S95. 概念 1 概念 2 概念 3 概念 4 概念 5 概念 6 概念 7 .57. .57. .51. .54. 36. .53. .50. .52.

(51) 圖 4-1-5. 受試者 S95 之除法概念結構圖. 根據圖 4-1-5，受試者 S95 之除法概念結構圖，其特徵如下： (一)就概念精熟度而言，各概念之精熟度差異不大，以概念 1 及概念 2 較為精熟(均為.57)，概念 6 較不精熟(.50)。 (二)概念 6 之下位概念為概念 1、概念 2、概念 4 及概念 5。 (三)概念 4 及概念 5 在同一層，彼此間無連結指向關係，且上位概念同為概念 6，下位概念同為概念 1 及概念 2。 (四)概念 1 及概念 2 在同一階層且互為等價概念，其上位概念為概念 4、概念 5 及概念 6。 (五)由上可知，學生要精熟概念 4 或概念 5 之前必須先學會概念 1 及概念 2，要精熟概念 6 之前則必須先學會概念 4 及概念 5。綜合以上所述，本群學生之平分概念(概念 1)與除法算則(概念 2)位於最底層且互為等價概念，意即學生清楚知道除法算則中具有平分概念，且平分時可用除法算則來運算。當學生學會平分概念與除法算則後，能藉此學習包含除概念(概念 4)與等組型問題概念(概念 5)，但對學生而言，包含除概念與等組型問題概念是截然不同的兩種概念。當學生學會包含除概念與等組型問題概念後，學生才能瞭解並精熟比較型問題概念(概念 6)。而等分除概念(概念 3)與陣列型問題概念(概念 7)位於概念階層之最上層，顯示其對學生而言是較困難的概念，且此兩概念對學生來說都是個別獨立的概 37.

(52) 念，與其他概念間並無任何關係。在 S-P 表的學習類型分類中，本群在班上成績居於中間，且具有學習尚稱穩定，但需要更用功之特性，因此，本群之結構特徵可作為教師輔導中等成績學生之參考。. 四、B'群 B'群人數為 15 名，將 B'群所有受試者之概念精熟度與各概念之平均值進行歐氏距離運算後，得到所有受試者之概念精熟度及其概念之歐氏距離統計表如下表 4-1-4。由表中可知歐氏距離最短的是 S63、S128 及 S184 等 3 名，故研究者選取此 3 名做為本群之分析對象，其除法概念結構圖如圖 4-1-6、圖 4-1-7 及圖 4-1-8 所示。. 表 4-1-4 B'群之概念精熟度矩陣學生歐氏概念 1 概念 2 概念 3 概念 4 概念 5 概念 6 概念 7 編號距離 S63 .53 .53 .52 .50 .53 .51 .51 0.020 S128 .54 .54 .50 .50 .51 .49 .49 0.035 S184 .50 .50 .51 .50 .53 .50 .52 0.054 S121 .59 .51 .52 .53 .52 .51 .50 0.059 S120 .53 .58 .50 .52 .51 .49 .49 0.061 S51 .48 .56 .52 .52 .53 .51 .52 0.070 S17 .47 .55 .48 .50 .52 .50 .51 0.084 S161 .55 .62 .51 .53 .52 .50 .52 0.094 S122 .60 .60 .51 .52 .52 .49 .49 0.096 S3 .56 .63 .51 .52 .52 .51 .51 0.103 S40 .64 .54 .54 .52 .52 .49 .52 0.104 S2 .44 .50 .52 .50 .53 .51 .52 0.106 S177 .46 .46 .52 .53 .53 .51 .52 0.110 S29 .63 .46 .54 .50 .53 .50 .52 0.117 S43 .51 .42 .55 .50 .53 .51 .49 0.121 平均 .54 .53 .52 .51 .52 .50 .51. 38.

(53) 圖 4-1-6. 受試者 S63 之除法概念結構圖. 圖 4-1-7. 受試者 S128 之除法概念結構圖. 圖 4-1-8. 受試者 S184 之除法概念結構圖 39.

(54) 依據圖 4-1-6、圖 4-1-7、圖 4-1-8，受試者 S63、S128 與 S184 之除法概念詮釋結構圖，其特徵如下： (一)就概念精熟度而言，各概念之精熟度差異小(介於.49~.54 之間)。 (二)概念 1 及概念 2 位於同一階層且互為等價概念。由上可知，本群學生之概念結構差異頗大，除了平分概念(概念 1)與除法算則(概念 2)互為等價概念，且包含除概念(概念 4)、比較型問題概念(概念 6)及陣列型問題概念(概念 7)等三種概念皆位於概念階層之最頂層，對學生而言會是比較困難的概念之外，其他概念之連結與發展皆因人而異。本群在 S-P 表的學習類型分類中，具有偶爾粗心，準備不充分，需要再努力之特性。因此，本群學生可能會與 A'群學生受測時同樣出現答題粗心犯錯之情況，而且在準備不充分的情形下還有可能出現猜題之情形，此兩種不穩定之因素會造成繪製出的概念結構圖無法真實反映學生的概念結構，所以，本小節僅就其共同之結構特徵進行探討，以做為教師分組教學或補救教學時之參考。. 五、C 群 C 群之總計人數共 2 名，其各概念精熟度矩陣如下表 4-1-5。因本群僅有 2 名，故研究者以受試者 S50 及 S100 為分析對象，其除法概念結構圖如圖 4-1-9、圖 4-1-10 所示。. 表 4-1-5 C 群之概念精熟度矩陣學生編號概念 1 概念 2 概念 3 概念 4 概念 5 概念 6 概念 7 S50 .47 .48 .48 .48 .49 .50 .49 S100 .47 .48 .48 .48 .49 .50 .49 平均 .47 .48 .48 .48 .49 .50 .49. 40. 歐氏距離 0.00 0.00.