除法概念及其相關研究

一、除法概念

Fischbein, Deri, Nello and Marino (1985)等人認為除法概念的原始模式 可分為「包含除(quotative)」和「等分除(partitive)」兩種。而「包含除」是 把低階單位表示成高階單位的單位量轉化活動，「等分除」則是未知的新 高階單位量的轉化活動(甯自強，1993)。換言之，若以總數除以每一組的 個數以求得組數時，我們稱之為包含除；而若是以總數除以組數以求得每 一組有多少個時，我們稱之為等分除，因此相對於乘法問題，包含除是 解決單位數未知的問題；而等分除是解決單位量未知的問題(楊瑞智，

1997)。所以，國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域中要求教師要在

「分裝」(包含除)與「平分」(等分除)兩種不同的情境中，讓學生理解除法 的意義，而其對於「除」之解釋則是以「14÷4=3…2，14 為被除數，4 為 除數，3 為商，2 為餘數。當餘數為 0 時，稱為整除，如 12÷4＝3。」來作 說明(教育部，2003)。

綜合上述觀點，除法之基本概念至少包含了「等分除」、「包含除」、

「平分」及「除法算則」等概念，但在除法的問題情境中，除了二分為包 含除與等分除之外，還可以「連續量」與「離散量」來作為區分(楊瑞智，

1997)。因此，本研究之除法概念選擇題除了納入「平分」與「除法算則」

之概念之外，還將「等分除」與「包含除」之問題情境再各自細分成「連

續量」與「離散量」之型態，期能更加完整的測驗出學生的除法概念。 結構類型分為：量數同構(isomorphism of measures)、量數乘積(product of measures)和多重比例(multiple proportions)三種類型。而量數同構又可細 分為：簡單的乘法(multiplication)、等分除(partitive division)、包含除

(quotative division)及失值問題(missing value problems)等四類。

(二)Schmidt and Weiser(1995)依據語意結構將乘除問題分為：形成量數的 N 倍、組合結構、運算的組合結構和由公式而來的乘法等四類。

事實等三種。後來 Mulligan and Mitchelmore(1997)一起研究二至三年級學生

而在分析除法概念方面，Tirosh and Graeber(1991)以 80 名在大學時曾 修過小學數學教育內容之在職教師為研究對象，進行 16 題除法問題之筆

除問題中『÷』號意義的瞭解尚待加強。(三)部分學生只模仿寫算式填充題 的寫法。(四)部分學生尚不清楚除法直式的記錄方式，或未連結橫式的記 錄方式。而 Squire and Bryant(2003)針對 129 名 1-3 年級的學生進行學生的 除法問題模型進行研究，發現：(一)具體的情境能夠幫助學生理解除法問 題。(二)當學生知道「如果 12÷4 =3，那麼 12÷3= 4」，則可依此來幫助學生 對包含除與等分除問題產生連結。另外，Horton(2007)針對 210 名 4-5 年級 學生、17 名小學數學教師及 7 名大學數學教師進行除法概念之評估，研究 發現：(一)大部分學生無法正確或完整的來解釋複雜的問題，原因有可能 是學生對概念的不瞭解，或者是不習慣於解釋他們的答案，而大部分的老 師也不要求學生在課堂上解釋他們的答案。(二)在除法概念的學習上男 女性別並無明顯差異。

綜合上述之研究結果，可知國小學生在面對除法問題時，往往受限於 教材或教師所教授之方法，甚至以數值大小、關鍵字等為解題之依據，卻 未能充分瞭解除法的意義與概念，因此，繪製出學生之除法概念結構，以 瞭解其概念連結情形與上下位概念間之關係，藉以幫助學生理解除法的意 義與概念，並釐清其迷思概念確有其必要性。故本研究針對三年級學生之 除法概念進行概念詮釋結構分析，期能藉由本研究更加瞭解學生之除法概 念結構，以提升教師在教學上之效能。