各分群學生除法概念結構之特徵

本節將受試者依據 S-P 表進行分群後，以歐氏距離(Euclidean distance) 選取最接近概念精熟度平均值之 3 名學生，針對其除法概念結構實施分析 與比較，以瞭解各分群之概念結構特徵。

研究者先將受試者之反應矩陣輸入到認知診斷之測驗分析即時服務 系統之 S-P&POT 軟體中進行分析，繪出 S-P 表及 A、A'、B、B'、C、C' 六種分群，再將反應矩陣與試題屬性矩陣輸入 CAISM 中，獲得每位受試 者在七個概念中的精熟度矩陣與除法概念結構，再依據每位受試者之精熟 度矩陣計算出其與該群概念精熟度平均之歐氏距離，而後選取歐氏距離最 短之 3 名(該群人數不足 3 人者全額選取)受試者進行除法概念結構分析，

以探討該群學生之除法概念結構特徵。概念結構圖中圓圈內上方之數字代 表本次測驗之概念 1 至概念 7(如表 3-3-2)，圓圈內下方之小數則代表受試 者在本次測驗中該測驗所得之精熟度，精熟度介於 0 至 1 之間，所得數值 越高代表受試者對該概念越精熟。

一、A 群

A 群之總計人數為 157 名，將 A 群所有受試者之概念精熟度與各概念 之平均值進行歐氏距離運算後，得到所有受試者之概念精熟度及其概念之 歐氏距離統計表如附錄一。由附錄一可知歐氏距離最短的是 S45、S66、

S88、S106 及 S123 等 5 名，其概念精熟度及其概念之歐氏距離統計表如表 4-1-1，但因 S45 等 5 名之概念精熟度均相同，且其除法概念結構亦相同，

故研究者僅選取 S45 做為本群之分析對象，其除法概念結構圖如圖 4-1-1 所示。

表 4-1-1

S45、S66、S88、S106 與 S123 之概念精熟度及其概念之歐氏距離統計表 學生 概念 1 概念 2 概念 3 概念 4 概念 5 概念 6 概念 7 歐氏 編號 距離

S45 .76 .82 .60 .57 .56 .52 .53 0.162 S66 .76 .82 .60 .57 .56 .52 .53 0.162 S88 .76 .82 .60 .57 .56 .52 .53 0.162 S106 .76 .82 .60 .57 .56 .52 .53 0.162 S123 .76 .82 .60 .57 .56 .52 .53 0.162 A 群概

念平均 .79 .76 .63 .63 .63 .60 .61

圖 4-1-1 受試者 S45 之除法概念結構圖

根據圖 4-1-1，受試者 S45 之除法概念結構其特徵如下：

(一)就概念精熟度而言，以概念 2 之精熟度(.82)最高，概念 6 之精熟度(.52) 最低。

(二)概念 6 及概念 7 在同一階層，彼此間無連結指向關係，且其下位概念 同為概念 1、概念 2、概念 3、概念 4 及概念 5。

(三)概念 4 及概念 5 在同一階層，彼此間無連結指向關係，且其上位概念 同為概念 6 及概念 7，下位概念同為概念 1、概念 2、概念 3。

(四)概念 3 之上位概念為概念 4、概念 5、概念 6 及概念 7，下位概念為概 念 1 及概念 2。

(五)概念 1 之上位概念為概念 3、概念 4、概念 5、概念 6 及概念 7，下位 概念為概念 2。

(六)概念 2 之上位概念為其他所有概念，且無下位概念，因此，概念 2 為 學生之底層概念。

(七) 由以上可知，學生必須先學會概念 2 才能精熟概念 1，學會概念 1 後 才能精熟概念 3，學會概念 3 後才能精熟概念 4 及概念 5，學會概念 4

及概念 5 後才能精熟概念 6 和概念 7。

綜合以上所述，本群學生對於除法算則(概念 2)最為精熟，並透過除法 算則來瞭解除法的平分概念(概念 1)，而在除法的應用解題中，學生首先精 熟到的是等分除概念 (概念 3)，在學會等分除概念之後，才能進而瞭解包 含除概念(概念 4)與等組型問題概念(概念 5)，但對學生而言，包含除與等 組型問題概念是不具關聯性的兩種概念，且須在精熟包含除概念與等組型 問題概念之後，學生才有辦法處理比較型問題(概念 6)與陣列型問題(概念 7)。就 S-P 表之學習類型特性而言，本群學生具有學習良好穩定性高之特 性，且本群學生約占受測總人數之 84.86﹪，因此，本群之概念結構特徵 可視為學生學習除法時之正常概念結構，提供教師做為教學時之參考。

二、A'群

本研究中 A'群之人數為 8 名，將 A'群所有受試者之概念精熟度與各概 念之平均值進行歐氏距離運算後，得到所有受試者之概念精熟度及其概念 之歐氏距離統計表如下表 4-1-2。由表中可知歐氏距離最短的是 S139、S112 及 S85 等 3 名，故研究者選取此 3 名做為本群之分析對象，其除法概念結 構圖如圖 4-1-2、圖 4-1-3 及圖 4-1-4 所示。

表 4-1-2

A'群之概念精熟度矩陣

學生 概念 1 概念 2 概念 3 概念 4 概念 5 概念 6 概念 7 歐氏 距離 編號

S139 0.64 0.57 0.52 0.53 0.54 0.50 0.48 0.055 S112 0.64 0.61 0.56 0.53 0.54 0.50 0.48 0.055 S85 0.58 0.63 0.57 0.54 0.53 0.50 0.52 0.064 S111 0.68 0.57 0.55 0.50 0.53 0.50 0.52 0.083 S150 0.67 0.63 0.57 0.51 0.54 0.51 0.52 0.087 S58 0.56 0.60 0.48 0.55 0.54 0.51 0.52 0.089 S108 0.57 0.51 0.59 0.56 0.55 0.51 0.53 0.095 S175 0.57 0.51 0.59 0.56 0.55 0.51 0.53 0.095 平均 0.61 0.58 0.55 0.54 0.54 0.51 0.51

圖 4-1-2 受試者 S139 之除法概念結構圖

圖 4-1-3 受試者 S112 之除法概念結構圖

圖 4-1-4 受試者 S85 之除法概念結構圖

依據圖 4-1-2、圖 4-1-3、圖 4-1-4，受試者 S139、S112 與 S85 之除法 概念結構圖，其共同特徵如下：

(一)就概念精熟度而言，所有概念之精熟度差異不大，以概念 1 及概念 2 較為精熟(介於.57~.64 之間)，概念 6 及概念 7 較不精熟(介於.48~.52 之間)。

(二)概念 3 是概念 2 之上位概念。

圖 4-1-5 受試者 S95 之除法概念結構圖

根據圖 4-1-5，受試者 S95 之除法概念結構圖，其特徵如下：

(一)就概念精熟度而言，各概念之精熟度差異不大，以概念 1 及概念 2 較 為精熟(均為.57)，概念 6 較不精熟(.50)。

(二)概念 6 之下位概念為概念 1、概念 2、概念 4 及概念 5。

(三)概念 4 及概念 5 在同一層，彼此間無連結指向關係，且上位概念同為 概念 6，下位概念同為概念 1 及概念 2。

(四)概念 1 及概念 2 在同一階層且互為等價概念，其上位概念為概念 4、概 念 5 及概念 6。

(五)由上可知，學生要精熟概念 4 或概念 5 之前必須先學會概念 1 及概念 2，要精熟概念 6 之前則必須先學會概念 4 及概念 5。

綜合以上所述，本群學生之平分概念(概念 1)與除法算則(概念 2)位於 最底層且互為等價概念，意即學生清楚知道除法算則中具有平分概念，且 平分時可用除法算則來運算。當學生學會平分概念與除法算則後，能藉此 學習包含除概念(概念 4)與等組型問題概念(概念 5)，但對學生而言，包含 除概念與等組型問題概念是截然不同的兩種概念。當學生學會包含除概念 與等組型問題概念後，學生才能瞭解並精熟比較型問題概念(概念 6)。而等 分除概念(概念 3)與陣列型問題概念(概念 7)位於概念階層之最上層，顯示 其對學生而言是較困難的概念，且此兩概念對學生來說都是個別獨立的概

念，與其他概念間並無任何關係。在 S-P 表的學習類型分類中，本群在班

圖 4-1-6 受試者 S63 之除法概念結構圖

圖 4-1-7 受試者 S128 之除法概念結構圖

圖 4-1-8 受試者 S184 之除法概念結構圖

依據圖 4-1-6、圖 4-1-7、圖 4-1-8，受試者 S63、S128 與 S184 之除法

圖 4-1-9 受試者 S50 之除法概念結構圖

圖 4-1-10 受試者 S100 之除法概念結構圖

根據圖 4-1-9、圖 4-1-10，受試者 S50 與 S100 之除法概念結構圖，其 特徵如下：

(一)就概念精熟度而言，各概念之精熟度差異甚小(介於.47~.50)，以概念 6 較為精熟(.50)，概念 1 較不精熟(.47)。

(二)概念 1 為概念 6 及概念 7 之上位概念。

(三)概念 6 及概念 7 在同一階層，彼此間無連結指向關係，且同為概念 1 之下位概念。

(四) 由上可知，學生要精熟概念 1 必須先學會概念 6 及概念 7。

綜合以上所述，本群學生之概念階層分為 2 階層，且是以比較型問題

圖 4-1-11 受試者 S19 之除法概念結構圖

圖 4-1-12 受試者 S182 之除法概念結構圖

根據圖 4-1-11、圖 4-1-12，受試者 S19 與 S182 之除法概念結構圖，其 特徵如下：

(一)就概念精熟度而言，各概念之精熟度介於.43~.52 之間。

(二)群內個體間之概念連結差異甚大，唯一共同特徵是以概念 3 為概念 1 之下位概念，換言之，學生必須先學會概念 3 才能學會概念 1。

由上可知，本群學生概念結構之差異性極大，除了學生以等分除(概念 3)為平分概念(概念 1)之下位概念，且平分概念(概念 1)與除法算則(概念 2) 皆為學生之最上層概念之外，其他概念之連結因人而異。本群在 S-P 表的 學習類型分類中，具有學習極不穩定、隨性的讀書習慣及對考試內容沒有 充分準備之特性。因此，本群學生可能會出現考試時猜題、亂答或作弊，

導致作答組型異常之情況，因而造成繪製出的概念結構圖無法反映學生的 真實概念結構，如本群受試者 S182 之所有概念精熟度均偏低，但其概念 間之連結卻頗為緊密，與其他分群學生之概念結構明顯有所不同，所以，

S182 在答題時可能有猜題或亂答之情況，此亦可提供教師進行教學診斷時 之參考。