第二章 文獻探討
第二節 擬題及其相關研究
一、擬題的意義
所謂的擬題，Duncker(1945)認為擬題是重新擬定一個所給的問題或是 產出一個新問題。Shukkwan(1993)認為擬題是從所給定的情境中製訂出一 個相關的數學問題。Mamona-Downs(1993)認為擬題是以一個問題激發出其 他問題為產物的活動。Silver(1993, 1995)認為擬題是從情境或經驗中創建
或重新擬定一個所給予的問題。梁淑坤(1994)則認為擬題就是由學生自己
於除法學習。李玉萍(2007)針對國小五年級學生進行一位小數乘法之解題 與擬題能力之研究，發現擬題能力與解題能力具有相關性，換言之，能夠 正確擬題者，較能正確解題，而無法正確解題者，較無法正確擬題。而擬 題之錯誤原因主要為邏輯不符、答案與題意不合及不熟悉擬題三種。而在 國外的研究中，Nardone and Lee(2011)探討學生所產生的擬題策略發現，
在擬題活動中，教師扮演著推動者的角色，透過擬題技能的培養，可以幫 助學生更深入的理解課程內容，並提高其批判思維能力。另外，English(1997) 針對國小五年級學生進行為期一年的擬題能力發展研究，研究結果發現相 較於沒有參加擬題計畫的學生，有參加的學生不論是在問題結構、對不同 類型問題的喜好程度或是不同類型數學思維的發展均有相當顯著的進 步。Stoyanova(2005)針對 8-9 年級學生進行擬題策略探討，研究指出在擬 題的過程中，學生漸能順利建構出較複雜的題目，而在無法順利擬題時，
若提供一個解決方案，他們就有辦法理解。當面對極困難問題時，學生會 使用模仿策略來建構出不同類型的題目，而不只是改寫所參考的題目。
綜觀上述之研究，擬題活動可以幫助學生澄清概念，有助於各單元的 概念學習，還可以提高學生的反思能力、學習興趣與語文能力。而本研究 是以瞭解三年級學生之除法概念為主要目的，因此，將擬題納入本研究一 併探討，期能由學生之擬題錯誤中進一步瞭解其錯誤類型與除法概念之關 係。
第三節 S-P 表分析理論及其相關研究
一、S-P 表分析理論
S-P 表(student-problem chart, S-P Chart )是由佐藤隆博(Takahiro Sato) 於 1970 年代所創，其方法是將學生的作答反應情形繪製成圖形，再依圖 形進行分析，藉由圖形分析可獲得每位學生的學習診斷資料，以作為學習
輔導之參考。S-P 表診斷學生的作答反應組型，是藉由差異係數(disparity index)、同質性係數(homogeneity index)、試題注意係數(item caution index) 及學生注意係數(student caution index)等指標，以做為反應組型是否具有不
(六)學習異常型(C'區) 題規則階層結構頗具差異。Chang, Yang, Shih and Chao(2009)，使用 S-P 表 與布魯姆(Bloom)分類法來評估智能發展之評量工具，結果發現將 S-P 表應
C'等六類型，以探討國小六年級學生在分數乘法的知識結構，發現高分群 學生所犯的錯誤類型最少而低分群所犯的錯誤類型最多；且 A'類型學生所 犯錯誤類型多於 A 類型，B'類型學生所犯錯誤類型多於 B 類型，C'類型學 生所犯錯誤類型也多於 C 類型。許芳郡(2009)應用 S-P 表和多元計分次序 理論，分析國小高年級學生分數加減法之概念，發現在 S-P 表分類下，各 類型的學生概念階層結構並不相同，且 A、B、C 類型三群概念結構層次 分明，且有次序性；而 A'、B'及 C'類型的學生，因表現有些異常，使得在 概念階層結構上的層次不明顯。
綜觀以上之相關研究可知，藉由 S-P 表之分群可適切反映出各群學生 之學習特性，因此，以上之研究可做為本研究參考與依據。
第四節 概念詮釋結構模式及其相關研究
一、概念詮釋結構模式
詮釋結構模式 (interpretive structure modeling, ISM) 是由 Warfield (1976)所提出，原是應用在社會系統工程(social system engineering)中的一 種構造模型(Structure Modeling)，其將一個系統內的元素透過二維矩陣的數 學運算，以呈現出此系統內所有元素間的關聯性。而後由佐藤隆博(1979) 提出 ISM 分析法，將其運用在學習者的思考概念結構上，試圖使用具體的 圖形或數量來表示出學習者的概念單元結構(許天維、林原宏，1994)。
不過，因為 ISM 分析法僅適用於呈現元素間的二元關係，但從認知 心理學的觀點來看，兩個概念元素之間的關係，絕非僅具二元結構。因此，
Lin, Hung, and Huang(2006)根據模糊理論 α 截矩陣以及概念向量比對 (concept vector matching)等計算方法，重新定義對於概念間關係與階層結 構 的 分 析 方 法 提 出 概 念 詮 釋 結 構 模 式 (concept advanced interpretive structural modeling , CAISM)，其主要目的是根據受試者之作答反應資料及 試題屬性資料進行分析，以獲得每位受試者各概念的精熟度，及個人化之
概念階層結構 (individualized concept hierarchy structure)。但在不同配分的 試題中，受試者常會出現有部分得分的情形。因此，將之修改為適用於不 同計分方式的多元計分概念詮釋結構模式(Polytomous concept advanced interpretive structural modeling, PCAISM) 以推廣至適用於多元計分之情 況。換言之 PCAISM 具有在多元計分的情況下仍能呈現每位受試者各概念
分析，認為由個人化的概念結構圖，可以了解受試者的概念關聯指向與各 概念之精熟度。江孟聰(2011)針對國小五年級學生之幾何概念進行概念詮 釋結構模式分析，並認為：(一)使用多元計分概念詮釋結構模式分析法，
可繪製出受試者個人化的概念階層結構圖，藉以了解個別受試者的概念階 層結構。(二)不同分群中的概念階層結構圖，其概念階層數、概念屬性、
概念連結指向皆有明顯的差異。(三)個人化之概念階層結構圖，有助於教 師找出學生之學習困難或迷思概念，進而實施補救教學。
由以上之研究可知，藉由概念詮釋結構模式所繪製出的學生概念結構 圖可以瞭解到學生的概念階層、概念間連結與上下位的關係，還能夠同時 知道各學生之概念精熟度。
第三章 研究方法
本研究旨在探討國小三年級學生之除法概念與其擬題能力，因此，在 進行除法概念測驗後，依學生之作答反應，使用 S-P 表進行分群，再依分 群進行除法概念詮釋結構分析；並探討分群內學生之擬題能力表現。基於 以上之目的，本章將分為下列五節進行說明：第一節本研究之研究架構；
第二節本研究之研究對象來源；第三節研究工具，包括工具編製過程、預 試及信效度分析；第四節研究流程；第五節本研究之資料分析工具。
第一節 研究架構
本研究的研究架構係根據研究目的及相關文獻探討所建構而成，本研 究之研究架構如圖 3-1-1：
圖3-1-1 研究架構圖
除法概念測驗 各分群之除法
概念結構特徵 以 CAISM 進行分析
數學擬題測驗 擬題能力
1.未知數的位置 2.餘數之有無 以 S-P 進行分群
各分群之擬題 錯誤類型分析
擬 題 錯 誤 類 型 與 概 念 詮 釋 結 構之比較分析
第二節 研究對象
本研究以國小三年級學生為施測對象，在考量受測時間及教師配合意 願下，本研究之取樣決定以彰化縣某兩國民小學及嘉義縣某一國民小學三 年級學生，七個班級，共 185 名學生為樣本，維持原班級進行研究。
本研究選擇以國小三年級學生為研究對象的原因，是因為在九年一貫 課程綱要的能力指標中，要求國小三年級學生的除法能力須能理解除法的 意義，運用÷、＝做橫式紀錄(包括有餘數的情況)，並解決生活中的問題。
因此，依學生在除法概念測驗中的作答反應，用 S-P 表進行分群，再依分 群探討學生的除法概念結構；並依分群探究學生在不同情境的除法擬題測 驗中之擬題能力與錯誤類型。
本研究選取三年級學生為研究對象，進行樣本如表 3-2-1。
表 3-2-1
研究樣本人數分配表
縣市 學校 班級 人數
彰化縣 A 甲 24
B 乙 29
B 丙 30
B 丁 28
B 戊 30
嘉義縣 C 己 22
C 庚 22
合計 185
第三節 研究工具
本研究所使用的工具包括自編除法概念測驗、數學擬題測驗以及相關 的統計、資料分析、概念繪圖軟體等。茲分別說明如下：
一、除法概念測驗
表3-3-2
(三)預試
表 3-3-6 除法概念應用題之 Cronbach’s α 值為.88，試題難度介於.50～.99 之間，鑑 別度介於.03～1.00 之間，所有試題之相關係數及 t 檢定均達顯著，但依 Ebel and Frisbie(1991)所提出之試題鑑別度評鑑標準，鑑別度指數在.19 以下之 試題屬於劣質題目，須要刪除或修改，而本次預試分析中應用題第 1、2、
最多能裝幾盒？」
(二)計分方式
預試時並不特別限制學生的測驗時間，以盡量讓學生寫完為原 則，受試者作答時間為 60 分鐘。
(四)試題分析
本研究之擬題測驗預試樣本統計分析如表 3-3-10 所示。
表3-3-10
數學擬題測驗預試樣本統計分析表
試題 難度 鑑別度
P (PH＋PL)/2 PH－PL rxy t值 C1 .81 0.88 0.24 .38*** 2.39***
C2 .64 0.66 0.60 .59*** 5.56***
C3 .57 0.58 0.76 .67*** 7.31***
C4 .57 0.60 0.72 .51 *** 6.12***
C5 .42 0.46 0.93 .75 *** 17.77***
C6 .41 0.54 0.77 .64 *** 7.35***
C7 .65 0.66 0.60 .60 *** 6.01***
***p＜.001 N＝102
本研究之預試分析結果，除法擬題測驗之 Cronbach’s α 值為.70，
試題難度介於.46～.88 之間，鑑別度介於.24～.93 之間，且所有試題之 相關係數及 t 檢定均達顯著，故為良好試題。
(五)效度
本研究工具的試題是依據表 3-3-7 擬題測驗題目類型表編製而 成，故本研究之測驗試題具有內容效度。
第四節
研究流程
第五節 資料分析工具
下，S-P 表分析(student problem chart)和次序理論(ordering theory)，以及多 元計分模式下，多元計分 S-P 表分析(polytomous student problem chart )、多元計分次序理論(polytomous ordering theory)和多元計分概念詮釋結構模 式(polytomous concept advanced interpretive structural modeling)所建構而成 的一套認知診斷系統。教師將學生之試題反應匯入此服務系統後，即可獲 得學生在 S-P 表分析中的分類類別，並得到學生個別化的試題階層次序結 構圖。若併同測驗試題屬性資料匯入，便可獲得學生之概念精熟度，及個 人化的概念階層結構圖。本研究即是使用此系統進行 S-P 表分析及多元計 分概念詮釋結構模式分析。
三、資料分析項目及步驟
本研究透過研究者自編的「除法概念測驗」和「數學擬題測驗」蒐集 學生之作答反應，再使用 S-P 進行分群，探討各分群中學生的除法概念結 構與擬題能力，並將擬題錯誤學生之除法概念結構與其擬題錯誤類型作比 較。資料分析項目及步驟如下：
(一)將預試學生的試題反應原始資料輸入 SPSS 12.0 中文版軟體，分析自編 之「除法概念測驗選擇題」、「除法概念測驗應用題」及「數學擬題 測驗」之信度與鑑別度，以作為試題刪除或修改之參考依據。
(二)將正式施測學生的試題反應原始資料輸入 Excel 軟體中進行整理，再使
(二)將正式施測學生的試題反應原始資料輸入 Excel 軟體中進行整理，再使