分數概念之發展

分數概念在不同情境中，有不同意義。美國數學教師協會曾宣佈，今後數學課程應以 「概 念為取向」的基本立論。學童隨著知識的理解而建構出數學概念是十分重要的，因為唯有理 解基本的數學概念，才能幫助學童奠定往後學習高階數學的基礎（NCTM,2000）。唯有真正 理解概念，才能在不同情境之中選擇合適的解題方法。

而學童的分數概念形成不是一蹴可幾的，必須先有數概念，再經由等分割的觀念，進而 瞭解部分—全體關係，才認識分數，隨著分數概念增加而進行運算。

一、數概念

九年一貫數學課程綱要中的素質指標中強調：每個學生都有權利要求受到良好的數學訓 練，並充分認識重要的數學概念及提昇厚實數學能力；因為這些重要的數學概念和精熟的演 算能力，是九年一貫所強調「帶著走」的能力(教育部，2003)。由此可見，數學概念是數學 能力的基礎，更是學習數學的重要基石。

所謂的數，根據 Gauss（1800）指出：「數」是一個指標，此指標是用來指示，為了獲 得一個與一被界定量相等的量起見，一個已知量（單位量），或是此單位量的一個被等分割 部分，所需被重複累積的次數；這個次數則被用來指示被界定量（引自甯自強，民 87）。即 數概念可以看成是某量與某一單位量之間的關係（甯自強，民 82）。羅素（1903）主張：由 數學的觀點來看，數僅不過是相似的類所成的類。例如數字「2」是由 2 顆糖果、2 張紙、2 把傘等物件的類的抽象而得的。羅素對數的看法主張數是對物的共同屬性抽象而成(甯自強，

民 82)。由此可知，數並不是一個實際的物體，而是一個抽象的事物，是為了界定單位量與 被量測的量之間的關係而產生的名詞。

Skemp(1971)指出：「概念是過去經驗共通不變性的智慧性表現。概念的形成過程，一般 稱為抽象化。很多數學概念首先來自我們實際經驗所抽象化形成的初級概念，再根據這些初 級概念繼續抽象形成次級概念。」在 Webster (1971) 大辭典提到：概念有 concept 及 conception 兩種表示方式。concept 是比較抽象的，是指對一連串特殊事例思考過後所形成的概念；而 conception 所要強調的並非結果，而是想像或是概念形成的過程。若能經由具體的事物來幫助

學生建構完整的數概念，再經由具體的實物建立符號，進而所得解題過程的數概念逐一建 模，等概念完整後，學生便能處理抽象概念，甚至是更高的層次概念。因此，我們必須探究 學童對數概念的運思。不同年齡的兒童會有不同的運思方式，形成不同的數概念類型。當兒 童能成熟的運用某一階段的運思方式時，代表其擁有此一階段的數概念。甯自強將不同層次 的運思方式與其對應的數概念分成：合成運思、累進性合成運思、部份一全體運思與測量運 思。以下將針對各運思期的概念說明如下：

（1）合成運思（integration operation）

兒童將構成事物的元素合成為一事物的能力或運思稱為合成運思。在此運思下的整數詞 意義就是幾個 1 的合成。此運思將數個「1」合而為一，形成一個集聚單位，例如「10」（甯 自強，民 81;民 84a） 。且其數詞的關係是屬於量的比較，而每一個數詞代表的數都是獨立的，

兒童能依數詞所指示的量依序進行量的合成與分解，並透過一對一比較而得來的。在算式所 代表的關係是量與量的關係，因其所建構出的集聚單位彼此之間是獨立的，所以兒童是無法 處理單位量轉換的問題，必須使用單位 「1」，將物件累算後才能確定數的大小。在甯自強 （1992）

的研究中指出：問兒童「ㄨˇ」在那裡？兒童可以指向五個花片的全體。如果兒童只有指第 五個花片，而不是全體。這只是「數的前置概念」，尚未具有數保留概念。

（2）累進性合成運思（progressive integration operation）

累進性合成運思是指兒童能將構成事物的元素合成一集聚單位，並以集聚單位為起點，

進一步累加「1」，以形成另一個集聚單位(Steffe，1988；甯自強，1992)。在此運思下，「15」

的意義可以看成「10」為一個集聚單位，以此為基礎，再往上累加 5 個「1」。此階段所建構 兩數之間的關係是集合間的包含關係，而算式所代表意義是數與數的關係。

（3）部份—全體運思（part 一 who1e operation）

部分—全體運思是累進性合成運思的重組。其運思的方式是把內嵌於全體的部分加以複 寫後予以脫嵌外提後，再置回原處，並且保留全體不變。外提的部分像是獨立的事物，它的 使用不會影響原來的全體(甯自強，1992)。

此時的兒童對數的掌握能區分「十」集聚單位與「一」集聚單位兩者不同的記數意義，

在混合使用兩種以上的被計數單位時，例如「十」、「百」、「千」…，各集聚單位皆與「一」

有明顯的部分一全體關係，學童不會混淆其意義，可以將數個集聚單位和數個「一」合而為 一，形成新的集聚單位，可以將「48」看成 4 個「十」和 8 個「一」的合成。此時的部分—

全體運思是單方向的，學生尚能理解六個十是六十的概念，但反之，一個六十是由六個十所 組成的卻未必能夠理解。

（4）測量運思（measurement operation）

「測量運思」是重複的運用部分-全體運思，以重組相同基數的次階集聚單位後，「一」

的集聚單位，它把內嵌於最高階集聚單位中的次階單位當成部分，加以複寫後予以外提，再 置回原處，並保留住原有的最高階集聚單位與「一」的部分-全體關係(甯自強，1992)。此運 思以掌握「一」與集聚單位（例如「十」）間的部分一全體關係為基礎，進而能掌握此集聚 單位與以其為元素所合成的另一集聚單位，例如「10 個十」或「百」間的部分一全體關係，

故而是同時掌握兩個層次的部分一全體關係。

此時的兒童能在整體不變的情況之下，自行調整內在的結構，且對數的意義掌握上是可 以合成別的數，也可以由別的數來合成，並且能真正掌握乘法交換率，此時兒童的部份—全 體關係是雙向且可逆的。甯自強(1996)進一步說明，乘法的交換性、結合性及乘法對加法的 分配性等各種性質，以及等分配性質的等分除概念、乘除互逆概念的完全成熟都是測量運思 時期的產品。

每一個新的運思期起點都是前一個運思期的產品，要分析學生的數學問題行為時，就必 須先了解學生的運思過程，當學生數學學習出現問題時，便可以明確界定學生何種運思過程 出了差錯，如此才可以迅速協助解決問題或設計補救教學。

二、分數概念

Hunting(1986)認為分數概念的來源，主要是對一個連續物的細分(例如蛋糕)。當一塊蛋糕 分給四個人，就必須尋找更小的度量單位，或把度量單位分割得更小。黃金堆（2008）認為，

當整數不能再單獨滿足人們的需求的時候，描述事物部份或組成分子的需要便應需求而產 生，為了迎合這種需要，我們便建立了一套數學模式來處理這種情況，這就是分數。所以分 數的產生是源自於人類對日常生活的需求，人類對數的使用源自生活中記數的需求 （整數） ， 當人類對數的要求越多、越複雜時，直到整數已無法滿足需求時，小數、分數、負數便依照 著人類的需要而漸漸產生。

鍾啟芳（2005）指出，若兒童的分數概念是發展的，必然和成人的分數概念有所不同。

當分數在日常的生活情境被應用時，配合不同情境，其代表的意義是相當複雜且多元的，因 此若是在分析分數概念時都是以大人們的認知來解釋，會造成兒童的分數概念無法明確說 出，以及兒童的分數概念到成人觀點的分數知識的鴻溝。

Piaget、Inhelder and Szeminska（1960）將兒童的分數概念發展分為：

（一）四歲到四歲半的兒童：將一物分為兩半是很困難的，分割之前是沒有任何的預想計劃 或基模，在不同形狀之分割時，以長方形比較容易，圓形次之，而正方形是比較難的。

缺少部份與全體之間的關係是這種階段的最大特徵，此時對兒童來說，是不會去注意 到所接觸的部份是某個比較大的全體中所含的元素。

（二）四到六歲的兒童：對於具有規則和小範圍的東西有半分的能力，若是原來整體的大小 改變，例如增大或變小，便得延緩分成一半的能力。此時期尚未有將物體分成相等三 部份的能力，在分割圖形中利用長方形的餅來解決比較容易。

（三）六到七歲的兒童：對於三等分的分法已經能夠成功的實施，而不用嘗試錯誤的方法，

但是其操作的了解仍停留在具體的操作層次。以一個圓餅為例，因為此階段的兒童具 有整體性的保留概念，他們已能了解到將各個分割塊數結合後所得到的總量與整個餅 是一樣多的。

（四）十歲左右的兒童：已經能實施六等分的分法。首先用三等分法先分好一個圓餅，所分 得的三塊餅，每塊分別再用二分法分一次。

Piaget 等人更進一步的說明，進行分數運算之前，兒童必須先具有下列七個子概念：

（一）具有分數的思考前，應必須有一個可以除盡的全體。

（二）分配東西時，一個分數包含各部分的限定數，各部分須與接受者相對應。

（三）子分割活動中，全體必須沒有餘數，完全被耗盡。

（四）全體被切割成各部分的數與切割數之間，彼此有固定的關係。

（五）分割後的每一部分皆相等就是分數的概念。

（六）再細分的部分概念被兒童操作後，他們就會瞭解到此細分的部分是全體 的一部分，同時一個可再細分的全體即是此一細分的部分本身。

（七）全體始終不變，是因為分數是從全體而來。 概念類型的名詞(Ning，1992)。從此子分割活動已成為可被集聚的計數單位，子分割單位自此

（七）全體始終不變，是因為分數是從全體而來。 概念類型的名詞(Ning，1992)。從此子分割活動已成為可被集聚的計數單位，子分割單位自此