第四章 研究結果
4.1 符合 SOM 性質之正確率探討
4.1.2 加權情況下符合 SOM 性質之正確率探討
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由於𝑃𝑖(𝜃)符合單調性的假設，亦即 P(𝑋𝑖 = 1|𝜃𝑎) ≤ P(𝑋𝑖 = 1|𝜃𝑏), 𝜃𝑎< 𝜃𝑏，所 以 𝑃𝑖(𝜃𝑏) − 𝑃𝑖(𝜃𝑎) ≥ 0。
再者，由於權重 𝑊𝑖 為一正值，因此
𝑊𝑖𝑃𝑖(𝜃𝑏) − 𝑊𝑖𝑃𝑖(𝜃𝑎) = 𝑊𝑖(𝑃𝑖(𝜃𝑏) − 𝑃𝑖(𝜃𝑎)) ≥ 0, 𝜃𝑎 < 𝜃𝑏 我們進而可以得出
∑ 𝑊𝑖𝑃𝑖(𝜃𝑏)
𝑖
− ∑ 𝑊𝑖𝑃𝑖(𝜃𝑎)
𝑖
≥ 0, 𝜃𝑎 < 𝜃𝑏 也就是說
E (∑ 𝑊𝑖𝑋𝑖
𝑖
|𝜃𝑎) ≤ E (∑ 𝑊𝑖𝑋𝑖
𝑖
|𝜃𝑏), 𝜃𝑎 < 𝜃𝑏
因此不管加權值為何，受試者的潛在特質(𝜃)越高，則受試者的預期回答加權總 分(𝑋+𝑊)也會越高。
II. 模擬資料符合 SOM 性質之正確率探討
接著我們進行加權分數正確率與相關係數的探討，我們本來也想討論多種加 權方式，但因為時間的關係，我們這裡就只看一組加權方式。我們考慮試題難度 越高，試題權重越高；試題總共5 題，試題難度從簡單排至難，權重為 1、1、1、
2、3。
與原始未加權資料探討的方式相同，影響因子為受試者樣本數(𝑁)及鑑別參 數(𝛼)，受試者樣本數分別考慮 1000、2000 及 3000 人三種情況，而鑑別參數分 別考慮0.75、1.00、1.25 及 1.50 四種情況。在這 12 種組合情況之下，藉以了解 符合 SOM 性質正確率及受試者潛在特質與加權總分相關係數的可能變化，我們 模擬次數仍然是100 次。表 4.1.3 為符合 SOM 性質正確率的模擬結果，表 4.1.4 則為相關係數的結果，分別列出包含最小值、第一四分位數、中位數、平均數、
第三四分位數、最大值及標準差等具代表性的統計量。
由表 4.1.3 來看，符合 SOM 性質正確率的最小值為 0.7387，最大值為 0.8675。
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若我們固定受試者樣本數時，當鑑別參數越大，符合SOM 性質正確率也會越大，
但標準差部分不一定會漸減；若固定鑑別參數，來看受試者樣本數改變會對正確 率造成的影響，受試者樣本數越大，符合 SOM 性質正確率數值的變化不大，但 標準差會漸減，表示固定鑑別參數時，受試者樣本數越大，符合 SOM 性質正確 率數值的分佈會越集中。
由表 4.1.4 來看受試者潛在特質與加權總分相關係數的最小值為 0.5064，最 大值為 0.7738，若現在固定受試者樣本數，則鑑別參數越大，相關係數也會越 大，且標準差也有漸減趨勢；若固定鑑別參數，受試者樣本數改變對相關係數數 值也不會有太大的改變，但因為標準差有漸減的趨勢，我們可以說受試者樣本數 越大，相關係數的分佈會越集中。
表4.1. 3 加權情況下，符合 SOM 性質正確率
N α Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max. SD
1000
0.75 0.7387 0.7547 0.7595 0.7595 0.7635 0.7818 0.00758 1.00 0.7758 0.7923 0.7959 0.7965 0.8019 0.8094 0.00696 1.25 0.8097 0.8221 0.8251 0.8264 0.8312 0.8464 0.00714 1.50 0.8370 0.8476 0.8509 0.8513 0.8550 0.8675 0.00604
2000
0.75 0.7474 0.7548 0.7590 0.7594 0.7633 0.7771 0.00628 1.00 0.7826 0.7951 0.7983 0.7979 0.8017 0.8100 0.00534 1.25 0.8131 0.8233 0.8271 0.8267 0.8300 0.8379 0.00530 1.50 0.8400 0.8489 0.8513 0.8512 0.8541 0.8611 0.00419
3000
0.75 0.7481 0.7555 0.7584 0.7591 0.7623 0.7708 0.00452 1.00 0.7877 0.7958 0.7985 0.7986 0.8015 0.8086 0.00408 1.25 0.8196 0.8252 0.8274 0.8278 0.8302 0.8378 0.00420 1.50 0.8441 0.8479 0.8507 0.8506 0.8527 0.8611 0.00346
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表4.1. 4 加權情況下，受試者潛在特質與加權總分之相關係數
N α Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max. SD
1000
0.75 0.5064 0.5441 0.5571 0.5563 0.5705 0.6167 0.02048 1.00 0.5970 0.6304 0.6407 0.6404 0.6508 0.6752 0.01640 1.25 0.6574 0.6899 0.6994 0.6996 0.7097 0.7467 0.01611 1.50 0.7038 0.7346 0.7429 0.7421 0.7504 0.7738 0.01319
2000
0.75 0.5281 0.5456 0.5573 0.5577 0.5682 0.6089 0.01604 1.00 0.6125 0.6356 0.6444 0.6442 0.6538 0.6716 0.01231 1.25 0.6662 0.6924 0.6989 0.6994 0.7073 0.7268 0.01176 1.50 0.7224 0.7366 0.7430 0.7426 0.7476 0.7662 0.00885
3000
0.75 0.5295 0.5475 0.5565 0.5574 0.5664 0.5901 0.01185 1.00 0.6216 0.6382 0.6450 0.6446 0.6506 0.6730 0.00929 1.25 0.6807 0.6944 0.7006 0.7008 0.7064 0.7231 0.00918 1.50 0.7267 0.7373 0.7410 0.7417 0.7458 0.7636 0.00690
同樣的，我們希望藉由圖形的呈現，可以較為清楚了解受試者樣本數(𝑁)及 鑑別參數(𝛼)對符合 SOM 性質正確率及相關係數的影響。從圖 4.1.8 至圖 4.1.10 來看，受試者樣本數固定時，當鑑別參數越大時，受試者潛在特質與加權總分的 相關係數越大，符合SOM 性質正確率也會越高；從圖 4.1.11 至圖 4.1.14 來看，
鑑別參數固定時，當受試者樣本數越大，受試者潛在特質與加權總分的相關係數 和符合SOM 性質正確率的分佈會越集中。
受試者樣本數1000 人
給定：鑑別參數值(𝛼)
𝛼 = 0.75 𝛼 = 1.00 𝛼 = 1.25 𝛼 = 1.50
圖4.1. 8 加權情況下，受試者樣本數 1000 人，在不同鑑別參數下，相關係數和符合 SOM 性質正確率的關係分佈
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受試者樣本數2000 人
給定：鑑別參數值(𝛼)
𝛼 = 0.75 𝛼 = 1.00 𝛼 = 1.25 𝛼 = 1.50
圖4.1. 9 加權情況下，受試者樣本數 2000 人，在不同鑑別參數下，相關係數和符合 SOM 性質正確率的關係分佈
受試者樣本數3000 人
給定：鑑別參數值(𝛼)
𝛼 = 0.75 𝛼 = 1.00 𝛼 = 1.25 𝛼 = 1.50
圖4.1. 10 加權情況下，受試者樣本數 3000 人，在不同鑑別參數下，相關係數和符合 SOM 性質正確率的關係分佈
鑑別參數值(𝛼) = 0.75 給定：受試者樣本數
𝑁 = 1000 𝑁 = 2000 𝑁 = 3000
圖4.1. 11 加權情況下，鑑別參數 0.75，在不同受試者樣本數下，相關係數和符合 SOM 性質正確率的關係分佈
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鑑別參數值(𝛼) = 1.00 給定：受試者樣本數
𝑁 = 1000 𝑁 = 2000 𝑁 = 3000
圖4.1. 12 加權情況下，鑑別參數 1.00，在不同受試者樣本數下，相關係數和符合 SOM 性質正確率的關係分佈
鑑別參數值(𝛼) = 1.25 給定：受試者樣本數
𝑁 = 1000 𝑁 = 2000 𝑁 = 3000
圖4.1. 13 加權情況下，鑑別參數 1.25，在不同受試者樣本數下，相關係數和符合 SOM 性質正確率的關係分佈
鑑別參數值(𝛼) = 1.50 給定：受試者樣本數
𝑁 = 1000 𝑁 = 2000 𝑁 = 3000
圖4.1. 14 加權情況下，鑑別參數 1.50，在不同受試者樣本數下，相關係數和符合 SOM 性質正確率的關係分佈
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