加減法文字題之相關研究

文字題(word problem)，過去通常稱為應用問題，可作為學習數學符號 表徵的連結工具，而小孩子如何解簡單的加、減法文字題，這一類問題的範 圍簡單到可以很合理、清楚的看出問題間的差異，又豐富到足夠提供問題的 變化、解題策略及錯誤類型(呂玉琴譯，1988)，以下就加減法文字題的分類、

加減法文字題的解題歷程及其相關研究做一探討。

一、加減法文字題的分類

1.Carpenter 和 Moser加減法文字題的分類：主要區分問題類型的方式 是採用「改變」、「合併」和「比較」三大類型，針對此三大類型再 依「運算結構」和「未知數性質」細分成十四個問題，如表2-1-1所 示，其中以「比較型基準量未知」的問題最難。

表2-1-1 Carpenter 和 Moser加減法文字題的分類

動詞（如：給予或拿走）的意義。

(2)層次二

此時學童有能力將因果事件作結合，而且能預期某個行動之後 會產生的結果。在此層次的學童能推論若要將一個集合轉換得更大 或更小需要改變多少的量，並且能理解事件的先後順序，但只能用 單向且非逆向（unidirectional and non-reversible）的方式思考。

(3)層次三

在此層次的學童發展出具整合性的「部分—部分—整體」基模

（part-part-whole scheme），能用來表徵集合之間的關係，不論 未知數性質為何，皆可以用「部分—部分—整體」的方式來表徵它 與其他集合（或數量）間的關係。在此層次的計算上，加法結構是 可逆的， 而且等號被看作是用來表示在等號左右兩邊的數量具有相 等的關係。由於加法與減法的運算被視為是在同一結構上的反向運 算， 所以此層次的學童能對集合間的關係在計算上作逆向推論，亦 即會推論若A+B=C，那麼必然C-B=A 或C-A=B。

(4)層次四

層次四的學童擁有可以逆向表徵非對稱性關係的基模，能以更 彈性的方式處理方向性的字眼。在計算上，此層次的學童能處理不 對等性(inequality)及其與對等性(equality)之間的關係。如若A>B，則 A-C=B或B+C=A。層次四的學童因此能不忽略並整合「比⋯多」與

「比⋯少」這樣的字眼，並應用反向的關係來選擇正確的運算方式，

而且仍然維持其原來的順序關係。因此，學童在讀到題中「更多」

的字眼時，能以減法解題。

表2-1-2 Nesher加減法文字題對學童各層次的預測表

題目類型 層次一 層次二 層次三 層次四

合併題型

(1)總數未知 ◎

(2)合併量未知 ◎

改變題型

(1)結果量未知(增加) ◎ (2)結果量未知(減少) ◎

(3)改變量未知(增加) ◎ (4)改變量未知(減少) ◎

(5)起始量未知(增加) ◎

(6)起始量未知(減少) ◎

比較題型

(1)差異量未知(比多) ◎

(2)差異量未知(比少) ◎

(3)被比較量未知(比多) ◎

(4)被比較量未知(比少) ◎

(5)參照量未知(比多) ◎

(6)參照量未知(比少) ◎

註：◎表示此一層次兒童所能解的問題

（原文譯字 Nesher et.al，1982，P.392，引自詹士宜，1991，37 頁）

3.Fuson (1992) 加減法文字題的分類：主要區分問題類型的方式是採用

「改變」、「合併」、「比較」和「等化」四種類型，再依數量運作 方向(例如：增加、減少、比多、比少) 與未知數量在問題中的角色，

進一步地區分各種類型的文字題，詳述如表2-1-3 (呂玉琴譯，1988；

許琇皙，1999；蔣治邦，2001)：

表2-1-3 Fuson加減法文字題的分類

Fuson et.al (1996)的研究中卻發現，學童的表現並未反映出「差異量 未知題最簡單，被比較量未知題次之，參照量未知題最難」的趨勢。而被 比較量未知題上，比少題較比多題容易；參照量未知題上，比多題則較為 簡單(吳昭容，1990；翁嘉英，1988；謝毅興，1991)。

另外，翁嘉英(1988)也對語意關係與未知數性質的交互影響提出解 釋。翁嘉英合併被比較量未知與參照量未知題的錯誤率，發現應採加法運 算的題目比應採減法運算的題目有較高的錯誤率，他以「減法策略」解釋 此現象：對低年級學童而言，兩量不同才有做比較的需要，因此「比」意 味著兩量的不同，如此也就隱含「相減」的意義，而用減法運算解決所有 比較問題，因此應採加法運算的問題(被比較量未知的比多題與參照量未 知的比少題)的錯誤率就較高了。

二、加減法文字題的解題歷程

Musser & Burger(1988)把數學文字題解題視為一種回饋歷程，包含 由原來的問題轉換成數學算式，再算出解答，以說明原來問題情境，並加 以核對。由圖2-1-1我們可以知道，數學文字題的解題涉及語意知識、基 模知識、策略性知識及程序性知識，解題步驟並非彼此獨立，而是彼此之 間具有相互關係的一種連續的歷程(古明峰，1998)。

圖2-1-1 數學問題的解題歷程

（修改自Musser＆Burger, 1988；古明峰，1998）

原來的問題 將問題轉換

成數學算式

原來的問題 將問題轉換

成數學算式

轉換

說明

解 答 核

對

De Corte & Verschaffel(1991)從認知心理學訊息處理取向的觀點， 別是有關部分－全部之關係知識（Riley , Greeno & Heller,1983）。

Cummins(1991)在研究中進一步指出，兒童解題失敗並非完全由於缺

圖2-1-2 (a)圖在說明成功解題者的解題途徑有二：一為從問題內容 文字敘述獲得解題過程線索，亦即從簡單的關鍵字映射到解題的程序；

一為從題目陳述映射到部分－全部知識，觸發解題程序。(b)圖的解題者 缺乏解題技能，即缺乏部分－全部知識，僅能利用關鍵字直接映射到解 題程序。(c)圖的解題者解題失敗是因題目敘述與部分－全部知識之間缺 乏或不適當映射所致（古明峰，1998）。

Hegarty et.al (1995)比較數學文字題解題專家與生手的理解歷程，發 現解題專家多採用「問題模式策略」，即將問題情境所描述的轉譯建構 成問題情境所記述的心理模式，以作為解題計畫依據，亦即先理解題目 數量的語詞。而解題生手則多採「直接轉譯策略」，就問題中所涉入的 數字和關係詞如「更多」或「更少」加以選擇，直接就問題陳述關鍵字 著手計算，並未對問題的情境加以建構，亦即採關鍵字方式，抓取數字，

計算在先，思考在後。Hegarty et.al(1995)為檢視這兩種策略理解歷程，

提出數學文字題理解歷程模式，如圖2-1-3。

圖2-1-3 數學文字題理解歷程模式

（修改自Hegarty, Mayer & Monk,1995；古明峰，1998）

閱讀句子

建構／根據新的信 息修改語意網路

選擇數字 和關鍵字

發展解題計畫

建構／根據新的信 息修改問題模式

執行解題計畫

三、加減法文字題的相關研究

加減法文字題之相關研究頗多，但部分研究是針對某一類型加以討 論，以下所探討的為包含改變、合併、比較等各類之研究，至於等化類 的答題情形則較為缺乏。

Loftus & Suppes(1972)在分析影響問題困難度的因素時，發現「學生 感到特別困難的問題是包含有相關性的敍述句」。

Riley(1981)研究兒童加減法文字題相對困難情形之比較，發現二年 級學童的添加型結果量未知、拿走型結果量未知、添加型改變量未知、

拿走型改變量未知以及合併類全體量未知的答對率皆為 1，其他依序為 較少型比較量未知.90、較多型差異量未知.85、添加型起始量未知.80、

較多型比較量未知.80、較少型差異量未知.75、添加型起始量未知.70、

合併類部分量未知.70、較多型參考量未知.65，答對率最低為較少型參 考量未知.35。

Yancy(1981)提出文字題本身的敘述複雜程度會影響解題的難度，困 難的文字題分為下列十項：(一)題目中並未將需要計算的資料依序列出 (二)許多無關資料夾雜在題目中(三)題目呈現時並無伴隨輔助圖表出現 (四)必要的資料須從題目中推論出來(五)需借用許多計算步驟才能得到 答案(六)有許多線索字須特別注意(七)字彙高於學生的閱讀程度(八)題 目內容不為學生所熟析(九)計算過程複雜沉悶(十)不用「數字」表示觀 念(例如用「一半」)。

Watson(引自Dickson, Brown, & Gibson,1984)描述學生解一個步驟文 字題的五種錯誤類型：(一)缺乏閱讀能力(二)不了解題意(三)缺乏轉換 的能力(四)缺乏計算能力(五)缺乏寫適當答案的能力。

Briars & Larkin(1984)研究發現「比較類」文字題對學生而言，是較 為困難的題型。而問題中的「關係句」可能就是學生對這類問題形成表

徵困難的主要原因。

陳石孝(1985)的研究指出，兒童對文字題解題的錯誤型態，以「列 式錯誤」為最多，「完全沒有做」次之，表示兒童對文字題的解題缺乏 思考、推理、分析的能力，同時兒童對日常生活的知識運用尚無系統。

謝毅興(1991)針對國小兒童解數學應用問題的策略進行研究，結果 發現在缺乏適當的問題基模下，學童常常只尋求題目的表面特徵作為解 題依據，在比較類問題中，「比多」及「比少」兩個「關鍵字」則常被 學童引來作為解題策略的依據。

Muth(1991)的研究指出，學生對於數學文字題的解題能力會因文字 題中無關訊息的干擾而無法解決問題。學生們的觀念中都認為文字題中 的所有訊息都應被使用，因而造成學生對辨識問題類型之問題整合上的 困難。

楊美伶和蔣治邦(1992)針對國民小學數學科加減法教材關鍵字之分 析研究，結果發現通常兒童面臨文字題不知採取何種運算時，就使用關 鍵字策略，而且數學課本加減法單一運算的題目中，有73%適用關鍵字策 略；數學習作的習題則有83%適用關鍵字策略，比例偏高，其中違反關鍵 字策略的題目類型變化很少。

蔣治邦(1992)的研究成果發現，二、三、四年級學童皆較易辨識符 合題意的順向算式，唯有程度較高的學童才能逐漸地增加變通性，接受 轉換算式。

葉淑儀(1992)針對二、三年級學童使用算式表徵文字題的能力做研 究，研究對象是二、三年級學童80 名，分為高低數學成就四組，每組各 20 名學生，分別進行個別晤談，以改變類型－「改變量未知」及「起始 量未知」的題目，請學童判斷算式的對錯外並說明在判斷作業上所運用 的推理原則。研究結果發現，學童在正確算式題的答對率高於錯誤算式

題的答對率；在「改變量未知題」的表現優於在「起始量未知題」的表 現。整體看來，年級與數學成就會影響學童表徵文字題的能力。

許家驊(1993)針對國小二年級學生改變型數學文字題錯誤偵測表現 之研究，有以下發現：(一)不同錯誤種類中，答案計算錯誤偵測作業是 最容易的，運算子錯誤偵測作業稍難，而語意脈絡錯誤偵測作業最難；

(二)在量數增加中，結果量未知錯誤偵測作業是最容易的，而改變量未 知和起始量未知錯誤偵測作業的難度是相近的；但在量數減少中，三者

(二)在量數增加中，結果量未知錯誤偵測作業是最容易的，而改變量未 知和起始量未知錯誤偵測作業的難度是相近的；但在量數減少中，三者