不同步驟加減法文字題之分析-以二年級為例
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(2) Abstract The main purpose of this thesis is to analyze the misconception of the addition and subtraction dealing with different-step word problems. According to one-step, two-step, three-step word problems, the researcher proposes some concepts of the teaching strategies. In the study, there are 334 elementary school students who are 2nd graders as the subject for the study. The research t o o l sa r e“ Se l f -Editing Addition and Subtraction different-step Word Problems for Questions and Tes t s ” , and the software BILOG, PCKNOT, SAS and SPSS, etc. proceeding as to analyze statistical data. The suggestions of this study are as follow: 1. Pupils on all kinds of questions more like use standard number calculation. also type is A+B=( ) or A-B=( ). 2. When solving the characters question of addition and subtraction, ask the pupil to use fill-in the blank problems. 3. There are 3 Proximity indexes which can take effect for the forecasting with capabilities, and the forecasting effect of GTD Indexes is the highest. 4. The examinees whose raw score are the same, their knowledge structure also have high difference. 5. By using the method of cluster analysis can group examinees effectively. There are lots of similarities to knowledge structure diagram between GTD and PRX. 6. Pupils in high scored group and pupils in middle scored group are different in one-step subtraction word problems, then before learning two-step problems, student must to understand all one-step problems. Pupils in low II.
(3) scored group have many redundant links. Maybe they have no any idea with c o nc e p t ,a n dt e a c he r ss h oul dt a kee xt r a c u r r i c u l a rt i met oc o r r e c ts t u de nt s ’ unpracticed section. The results and suggestions of the study offer the concept of the addition and subtraction dealing with different-step word problems, which could be used as the diagnosis tool and reference of the instruction. Key words: Word Problems of Addition and Subtraction, Knowledge Structure, Pathfinder Method. III.
(4) 目錄 第一章. 緒論 ....................................................1. 第一節 第二節 第三節 第四節 第二章. 文獻探討 ................................................6. 第一節 第二節 第三節 第四節 第三章. 加減法文字題之相關研究.............................6 知識結構..........................................18 徑路搜尋..........................................23 試題反應理論......................................34. 研究程序 ...............................................40. 第一節 第二節 第三節 第四節 第四章. 研究動機...........................................1 研究目的與待答問題.................................3 研究範圍與限制.....................................3 名詞解釋...........................................4. 研究設計..........................................40 研究對象..........................................41 研究工具..........................................42 資料處理..........................................51. 結果與討論 .............................................52. 第一節 第二節. 不同步驟之加減法文字題分析........................52 徑路搜尋之知識結構分析............................57. 第五章 結論與建議 ..............................................78 第一節 第二節. 結論..............................................78 建議..............................................80. IV.
(5) 參考文獻 .......................................................82 一、中文部分 .............................................82 二、英文部分 .............................................85 附錄 ...........................................................87 附錄一. 自編不同步驟加減法文字題預試之分析...............87. 附錄二. 自編不同步驟加減法文字題之解題測驗...............93. 附錄三. BILOG 程式 .......................................99. 附錄四. SAS 程式 ........................................100. 附錄五. PCKNOT 程式 .....................................101. V.
(6) 表目錄 表 2-1-1 Carpenter&Moser 加減法文字題的分類......................7 表 2-1-2 Nesher 加減法文字題對學童各層次的預測表.................9 表 2-1-3 Fuson 加減法文字題的分類...............................10 表 2-2-1 知識結構評量方法分析表 ................................21 表 2-2-2 不同知識結構量尺化方法之比較分析 ......................23 表 2-3-1 由圖 2-3-1 計算所得之 GTD 指數 ..........................28 表 2-3-2 根據圖 2-3-2 之網路一與網路二計算所得之 PFC 指數 ........29 表 2-3-3 根據圖 2-3-2 之網路一的接近性矩陣 ......................29 表 2-3-4 根據圖 2-3-2 之網路二的接近性矩陣 ......................30 表 3-3-1 加減法文字題之類型 ....................................42 表 3-3-2 自編一步驟加減法文字題之類型 ..........................43 表 3-3-3 自編一步驟加減法文字題類型所代表的意義 ................44 表 3-3-4 自編不同步驟加減法文字題類型所代表的意義 ..............45 表 3-3-5 預試試卷與國語數學成績的相關 ..........................47 表 3-3-6 預試試卷第 12 題和第 18 題的項目分析 ....................48 表 3-3-7 通過率、難度指數及鑑別度之項目分析 ....................49 表 3-3-8 試題內容架構分布 ......................................50 表 4-1-1 一步驟試題分析 ........................................53 表 4-1-2 二步驟試題分析 ........................................54 表 4-1-3 三步驟試題分析 ........................................54. VI.
(7) 表 4-1-4 因素分析所分出的構面 ..................................55 表 4-2-1 三相似性指數與能力值之相關係數表 ......................57 表 4-2-2 三個相似性指數與能力值之迴歸分析 ......................57 表 4-2-3 各組人數、能力值及指數值平均 ..........................58 表 4-2-4 最接近該組能力值平均學生的實例 ........................60 表 4-2-5 原始分數為十四之能力值及指數值實例 ....................61 表 4-2-6 集群分析的分類情況及相關資料分析 ......................64 表 4-2-7 各群之三種指數變異數分析表 ............................65 表 4-2-8 各群 PFC 指數之 Scheffe 事後比較摘要表 .................65 表 4-2-9 各群 GTD 指數之 Scheffe 事後比較摘要表 .................66 表 4-2-10 各群 PRX 指數之 Scheffe 事後比較摘要表 ................66 表 4-2-11 第一群第一類與第二類各實例之核心概念、能力值及指數值 .68 表 4-2-12 第一群第一類與第二類各實例知識結構圖不同之處 .........69 表 4-2-13 第一群第二類各實例之核心概念、能力值及指數值 .........70 表 4-2-14 第一群第三類各區之概念和算式 .........................72 表 4-2-15 第二群各實例之核心概念、能力值及指數值 ...............73 表 4-2-16 第二群第四區和第五區的概念和算式 .....................76 表 4-2-17 第四群各實例之核心概念、能力值及指數值 ...............76. VII.
(8) 圖目錄 圖 2-1-1 數學問題的解題歷程 ....................................11 圖 2-1-2 成功與失敗的解題表現 ..................................12 圖 2-1-3 數學文字題理解歷程模式 ................................13 圖 2-2-1 陳述性知識、程序性知識與知識結構三者的關係 ............19 圖 2-3-1 接近性矩陣與徑路搜尋網路 ..............................26 圖 2-3-2 徑路搜尋網路之 PFC 值及 GTD 值 ..........................27 圖 3-1-1 研究架構圖 ............................................40 圖 4-2-1 標準參照之知識結構圖 ..................................59 圖 4-2-2 高能力組實例之知識結構圖 ..............................60 圖 4-2-3 中能力組實例之知識結構圖 ..............................60 圖 4-2-4 低能力組實例之知識結構圖 ..............................60 圖 4-2-5 原始分數十四分實例一 ..................................62 圖 4-2-6 原始分數十四分實例二 ..................................62 圖 4-2-7 原始分數十四分實例三 ..................................62 圖 4-2-8 原始分數十四分實例四 ..................................62 圖 4-2-9 原始分數十四分實例五 ..................................62 圖 4-2-10 原始分數十四分實例六 .................................62 圖 4-2-11 原始分數十四分實例七 .................................63 圖 4-2-12 原始分數十四分實例八 .................................63 圖 4-2-13 原始分數十四分實例九 .................................63 圖 4-2-14 原始分數十四分實例十 .................................63 VIII.
(9) 圖 4-2-15 原始分數十四分實例十一 ...............................63 圖 4-2-16 原始分數十四分實例十二 ...............................63 圖 4-2-17 第一群第一類實例一 ...................................68 圖 4-2-18 第一群第二類實例一 ...................................68 圖 4-2-19 第一群第二類實例二 ...................................68 圖 4-2-20 第一群第二類實例三 ...................................68 圖 4-2-21 第一群第三類實例一 ...................................71 圖 4-2-22 第一群第三類實例二 ...................................71 圖 4-2-23 第一群第三類實例三 ...................................71 圖 4-2-24 第一群第三類實例四 ...................................71 圖 4-2-25 第一群第三類實例五 ...................................71 圖 4-2-26 第一群第三類實例六 ...................................71 圖 4-2-27 第二群實例一 .........................................73 圖 4-2-28 第二群實例二 .........................................73 圖 4-2-29 第二群實例三 .........................................74 圖 4-2-30 第二群實例四 .........................................74 圖 4-2-31 第二群實例五 .........................................74 圖 4-2-32 第二群實例六 .........................................74 圖 4-2-33 第二群實例七 .........................................74 圖 4-2-34 第二群實例八 .........................................74 圖 4-2-35 第二群實例九 .........................................75 圖 4-2-36 第二群實例十 .........................................75 IX.
(10) 圖 4-2-37 第二群實例十一 .......................................75 圖 4-2-38 第二群實例十二 .......................................75 圖 4-2-39 第二群實例十三 .......................................75 圖 4-2-40 第二群實例十四 .......................................75 圖 4-2-41 第四群實例一 .........................................77 圖 4-2-42 第四群實例二 .........................................77 圖 4-2-43 第四群實例三 .........................................77. X.
(11) 第一章 緒論 本研究目的欲探討國小學童面對不同步驟加減法文字題時的解題的正確 率及思考方式，透過因素分析及知識結構探討其產生的錯誤類型及迷思概 念。本章共分四節，第一節研究動機，第二節研究目的與待答問題，第三節 研究範圍與限制，第四節名詞解釋，茲分述如下。. 第一節 研究動機 研究者從事教職後，大部分的時間都是教低年級，進而發現低年級的數 學能力與閱讀能力有很大的相關，雖一般人總是能夠認同閱讀與寫作能力對 於日常生活非常重要，但對於數學能力的需要與否則看法互異，然而在過往 的研究中常顯示出數學中的一些諸如數量、計算、空間等類的知識，普遍都 會影響我們在社會中運作功能的良好與否。所以說，數學能力的重要性實不 下於閱讀與寫作能力，但是在一般人的想法中往往會將所謂的數學能力與計 算能力劃上等號，總覺得數學即便代表了符號運算，但數學中的文字題卻又 打破了此一刻板印象，在過去的研究中發現文字題的解題過程十分複雜，絕 非單純地符號運算，而在小學數學課程中，文字題也佔有重要的份量，其主 要目的是希望學生運用課堂上所學到的數學知識和應用能力，以解決在日常 生活中實際所遭遇到的問題。而一般學生對文字題的解題表現，有「長於計 算與記憶，拙於推理和理解的現象，甚至因而影響數學的學習興趣」(方吉正， 1995)。而現今學生的解題能力更受到重視，對解題能力的性質，周筱亭(1991) 指出，「所謂『解題』並不只是指『文字題』。文字題只是練習，用以解釋 已教過的概念、技巧或是計算的過程。『問題』是指一個人遭遇到了困境， 沒有辦法立刻看出解決的辦法，需要將許多已知的東西加以組織，運用這些. 1.
(12) 知識找出解法。」從教學經驗中也發現，「解題」不只是找到答案，其中的 過程、方法更是重要的關鍵。研究文字題解題表現，無法忽略對其中思考模 式的探究。因此，藉由測驗了解學生對文字題的解題表現，並分析不同步驟 文字題的難易度、鑑別度，探究其解題困難所在以及迷思概念。 評量工具是否能真正測得學生的能力？余民寧、林曉芳、蔡佳燕(2001) 研究發現，利用徑路搜尋(pathfinder)所繪製出來的知識結構圖，可以供作分 析、診斷學生的錯誤概念之用，進而能夠針對學習缺陷之處提出適當的補救 措施，可以改進傳統紙筆評量方法之不足，提供極具參考價值的診斷資訊。 試題反應理論(item response theory，簡稱IRT)能適切地描述能力值與試題 答對機率，所以本研究使用試題反應理論為基礎，提供徑路搜尋的計分依據。 因此，本研究擬運用徑路搜尋之分析技術，來測量學童在不同步驟文字題的 知識結構，期望分析學童知識結構，並且藉以比較不同能力值學童知識結構 之間的差異，以瞭解學生的學習歷程。集群分析(cluster analysis)是藉由 客觀的度量，將各屬性相近者合併成一群，故試圖利用集群分析將學生進行 分組，對照徑路搜尋所繪製出來的不同步驟文字題知識結構，以便教師日後 進行補救教學。 綜上所述，本研究使用試題反應理論為基礎，提供徑路搜尋的計分依據， 分析國小二年級學童面對不同步驟文字題時之知識結構。期待藉由此研究能 更了解學童面對不同步驟文字題時的知識結構，並根據研究的結果提出教學 及評量上的建議。. 2.
(13) 第二節 研究目的與待答問題 根據上述研究動機，本研究有下列主要研究目的： 一、瞭解國小二年級學童面對不同步驟加減法文字題的表現 (一)瞭解國小二年級學童面對不同步驟加減法文字題時的答對率。 (二)瞭解國小二年級學童面對不同步驟加減法文字題時的思考模式。 二、探討二年級學童面對不同步驟加減法文字題知識結構與能力值之分析 (一)了解相似性指數對能力值之預測情形。 (二)比較不同能力值的學童，其知識結構圖的差異。 (三)分析原始分數相同但能力值不同的學童，其知識結構圖的差異。 三、以集群分析探討二年級學童面對不同步驟加減法文字題的知識結構 (一)比較不同集群的學童，其相似性指數的差異。 (二)分析不同集群的學童，其知識結構圖的差異。. 第三節 研究範圍與限制 一、研究範圍 (一)本研究對象限定於苗栗市國小二年級的學童。 (二)本研究針對加減應用問題進而分類，探討學生在認知部分的解題 歷程，其他如情意部分不在本研究的分析範圍內。 二、研究限制 (一)因為本研究對象只限定於苗栗市某二校的國小二年級的學童，所 以研究結果在推論上只可參考，不宜將結果推論到其他城鄉差異 大的學生身上。 (二)本研究只考慮苗栗市二年級學生的理解與學習能力，所以題目的 計算力求簡單，且文字數字均控制在55以下，使得研究內容較為 簡單，所得的研究結果是否能推論至其他年級或計算能力較複雜 之題目，有待進一步的研究。. 3.
(14) 第四節 名詞解釋 為使意義更為明確，避免混淆，便於討論，茲將本研究所涉及之相 關特定名詞的界定及說明如下： 一、低年級學童 指苗栗市國小二年級的學生，共334位學生。 二、不同步驟及題型文字題 以解題步驟的多寡，分為單步驟文字題(one-step word problems)、 二步驟文字題(two-step word problems)與三步驟文字題(three-step word problems)。 1.一步驟 研究者以Fuson(1992)所歸納加減法文字題分類為主，包含改變(添 加型和拿走型)、合併、比較(較多型和較少型)、等化(添加等化型 與拿走等化型)二十種題型裡取其八題為測試題目。 2.二步驟 以Fuson二十種題型配對而成的二步驟測試題目共七題。 3.三步驟 以Fuson二十種題型配對而成的三步驟測試題目共三題。 三、解題表現 「解題」是指當某人面對問題情境時，為獲得此問題的答案所從 事的一系列運思活動。解題表現包括答對率、解題表徵方式及解題歷 程，其分析如下： 1.答對率 係指學生透過紙筆測驗的答對情形。 2.解題表徵方式 係指學生在測驗上，答案正確而且過程合理的解題歷程記錄。. 4.
(15) 四、標準算式 標準算式是指無論題意如何呈現，皆用由左而右寫成的算式來表徵， 也就是算式皆以A+B=( )或 A-B=( )來表示。 五、加減互逆 指學生解基本加減文字題時，可同時使用加法和減法的概念解決所面 對的問題，而不至於混淆，並且能夠清楚得說明兩者間的關係及使用 理由。 六、能力值 本研究所指的能力值是以不同步驟文字題概念測驗施測所獲得 資料，經由試題反應理論之三參數試題反應模式所得的能力值。 七、知識結構 所謂知識結構(knowledge structure)，係指學習者透過內在的認知 歷程，將數個單一概念組合之後所形成的組織。本研究透過徑路搜 尋，計算出PFC、GTD、PRX三種指數，作為知識結構的指標，得分 愈高表示受試者知識結構與參照知識結構相似性愈高。 八、徑路搜尋 徑路搜尋等技術係由美國新墨西哥州立大學R. W. Schvaneveldt 教授領導的團隊開發出來的知識結構分析方法，可用來評量、表徵、 分析學習者在某個學習領域所習得的知識結構。其軟體稱為知識網路 組織工具(Knowledge Network Organizing Tool，簡稱KNOT)，用以分 析知識結構。. 5.
(16) 第二章 文獻探討 第一節 加減法文字題之相關研究 文字題(word problem)，過去通常稱為應用問題，可作為學習數學符號 表徵的連結工具，而小孩子如何解簡單的加、減法文字題，這一類問題的範 圍簡單到可以很合理、清楚的看出問題間的差異，又豐富到足夠提供問題的 變化、解題策略及錯誤類型(呂玉琴譯，1988)，以下就加減法文字題的分類、 加減法文字題的解題歷程及其相關研究做一探討。. 一、加減法文字題的分類 1.Carpenter 和 Moser加減法文字題的分類：主要區分問題類型的方式 是採用「改變」、「合併」和「比較」三大類型，針對此三大類型再 依「運算結構」和「未知數性質」細分成十四個問題，如表2-1-1所 示，其中以「比較型基準量未知」的問題最難。. 6.
(17) 表2-1-1 Carpenter 和 Moser加減法文字題的分類 問題題型. 結果未知. 例子. 1.小明有3顆糖，小華又給小明5顆糖，問小明現在有幾顆糖？ 2.小明有8顆糖，然後小華給小明5顆糖，問小明現在有幾顆糖？. 3.小明有3顆糖，小華又給小明一些糖後，現在小明有8顆糖，問 小華給小明幾顆糖？ 改變量未知 4.小明有8顆糖，然後他給小華一些糖後，現在小明有3顆糖，問 改變 小明給小華幾顆糖？. 起始量未知. 合併. 6.小明有一些糖，然後他給小華5顆，現在小明有3顆糖，問小明 原來有幾顆糖？. 總數未知 1.小明有3顆糖，小華有5顆糖，問小明和小華共有幾顆糖？ 子集合未知 2.小明和小華共有8顆糖，小明有3顆，問小華有幾顆糖？ 差異量未知. 比較. 5.小明有一些糖，小華給他5顆後，現在小明有8顆糖，問小明原 來有幾顆糖？. 被比較量 未知. 1.小明有8顆糖，小華有5顆糖，問小明比小華多幾顆糖？ 2.小明有8顆糖，小華有5顆糖，問小華比小明少幾顆糖？ 3.小明有3顆糖，小華比小明多5顆糖，問小華有幾顆糖？ 4.小明有8顆糖，小華比小明少5顆糖，問小華有幾顆糖？. 基準量未知 5.小明有8顆糖，小明比小華多5顆糖，問小華有幾顆糖？ 6.小明有3顆糖，小明比小華少5顆糖，問小華有幾顆糖？ （引自翁嘉英，1988） 2.Nesher加減法文字題的分類：主要區分問題類型的方式是採用「改 變」、「合併」和「比較」三大類型，其兒童解題能力可分為四個層 次，說明如下，而Nesher對於加減法文字題對學童各層次的預測如表 2-1-2： (1)層次一 學童有能力認出由各種的語言描述（如：名稱、位置、時間點、 擁有者等等）所界定出的集合，同時有能力執行簡單的操作（如： 從集合中加入或移出物體），此外，能理解用來說明所有權轉移的. 7.
(18) 動詞（如：給予或拿走）的意義。 (2)層次二 此時學童有能力將因果事件作結合，而且能預期某個行動之後 會產生的結果。在此層次的學童能推論若要將一個集合轉換得更大 或更小需要改變多少的量，並且能理解事件的先後順序，但只能用 單向且非逆向（unidirectional and non-reversible）的方式思考。 (3)層次三 在此層次的學童發展出具整合性的「部分—部分—整體」基模 （part-part-whole scheme），能用來表徵集合之間的關係，不論 未知數性質為何，皆可以用「部分—部分—整體」的方式來表徵它 與其他集合（或數量）間的關係。在此層次的計算上，加法結構是 可逆的， 而且等號被看作是用來表示在等號左右兩邊的數量具有相 等的關係。由於加法與減法的運算被視為是在同一結構上的反向運 算， 所以此層次的學童能對集合間的關係在計算上作逆向推論，亦 即會推論若A+B=C，那麼必然C-B=A 或C-A=B。 (4)層次四 層次四的學童擁有可以逆向表徵非對稱性關係的基模，能以更 彈性的方式處理方向性的字眼。在計算上，此層次的學童能處理不 對等性(inequality)及其與對等性(equality)之間的關係。如若A>B，則 A-C=B或B+C=A。層次四的學童因此能不忽略並整合「比⋯多」與 「比⋯少」這樣的字眼，並應用反向的關係來選擇正確的運算方式， 而且仍然維持其原來的順序關係。因此，學童在讀到題中「更多」 的字眼時，能以減法解題。. 8.
(19) 表2-1-2 Nesher加減法文字題對學童各層次的預測表 題目類型 層次一 層次二 層次三 層次四 合併題型 (1)總數未知 ◎ (2)合併量未知 ◎ 改變題型 (1)結果量未知(增加) ◎ (2)結果量未知(減少) ◎ (3)改變量未知(增加) ◎ (4)改變量未知(減少) ◎ (5)起始量未知(增加) ◎ (6)起始量未知(減少) ◎ 比較題型 (1)差異量未知(比多) ◎ (2)差異量未知(比少) ◎ (3)被比較量未知(比多) ◎ (4)被比較量未知(比少) ◎ (5)參照量未知(比多) ◎ (6)參照量未知(比少) ◎ 註：◎表示此一層次兒童所能解的問題 （原文譯字 Nesher et.al，1982，P.392，引自詹士宜，1991，37 頁）. 3.Fuson (1992) 加減法文字題的分類：主要區分問題類型的方式是採用 「改變」、「合併」、「比較」和「等化」四種類型，再依數量運作 方向(例如：增加、減少、比多、比少) 與未知數量在問題中的角色， 進一步地區分各種類型的文字題，詳述如表2-1-3 (呂玉琴譯，1988； 許琇皙，1999；蔣治邦，2001)：. 9.
(20) 表2-1-3 Fuson加減法文字題的分類 題型. 題型代表的題號 1.小明有一些糖，小華給他 5 顆糖後，現在小明有 8 顆糖，問 小明原來有幾顆糖？ 起始量未知 2.小明有一些糖，然後他給小華5顆，現在小明有3顆糖，問小 明原來有幾顆糖？ 3.小明有3顆糖，小華又給小明一些糖後，現在小明有8顆糖， 改變 問小華給小明幾顆糖？ 改變量未知 4.小明有8顆糖，然後他給小華一些糖後，現在小明有3顆糖， 問小明給小華幾顆糖？ 結果量未知 合併. 5.小明有3顆糖，小華又給小明5顆，問小明現在有幾顆糖？ 6.小明有8顆糖，然後小明給小華3顆，問小明現在有幾顆糖？. 全體量未知 1.小明有3顆糖，小華有5顆糖，問小明和小華共有幾顆糖？ 部份量未知 2.小明和小華共有8顆糖，小明有3顆糖，問小華有機顆糖？ 參考量未知. 比較 比較量未知. 差異量未知. 1.小明有8顆糖，小明比小華多5顆糖，問小華有幾顆糖？ 2.小明有3顆糖，小明比小華少5顆糖，問小華有幾顆糖？ 3.小明有3顆糖，小華比小明多5顆糖，問小華有幾顆糖？ 4.小明有8顆糖，小華比小明少5顆糖，問小華有幾顆糖？ 5.小明有8顆糖，小華有3顆糖，問小明比小華多幾顆糖？ 6.小明有8顆糖，小華有3顆糖，問小華比小明少幾顆糖？. 1.小明有3顆糖，他再買5顆糖後，就會和小華有一樣多的糖， 問小華有幾顆糖？ 參考量未知 2.小明有8顆糖，他吃掉5顆糖後，就會和小華有一樣多的糖， 問小華有幾顆糖？ 3.小明有8顆糖，小華再買8顆糖後，就會和小明有一樣多的 糖，小華原來有幾顆糖？ 等化 比較量未知 4.小明有3顆糖，小華把自己的糖吃掉5顆後，就會和小明有一 樣多的糖，小華原來有幾顆糖？ 5.小明有8顆糖，小華有3顆糖，問小華要再買幾顆糖後，才能 和小明一樣多？ 差異量未知 6.小明有8顆糖，小華有3顆糖，問小明要吃掉幾顆糖後，才能 和小華一樣多？ （引自蔣治邦，2001，240頁）. 10.
(21) Fuson et.al (1996)的研究中卻發現，學童的表現並未反映出「差異量 未知題最簡單，被比較量未知題次之，參照量未知題最難」的趨勢。而被 比較量未知題上，比少題較比多題容易；參照量未知題上，比多題則較為 簡單(吳昭容，1990；翁嘉英，1988；謝毅興，1991)。 另外，翁嘉英(1988)也對語意關係與未知數性質的交互影響提出解 釋。翁嘉英合併被比較量未知與參照量未知題的錯誤率，發現應採加法運 算的題目比應採減法運算的題目有較高的錯誤率，他以「減法策略」解釋 此現象：對低年級學童而言，兩量不同才有做比較的需要，因此「比」意 味著兩量的不同，如此也就隱含「相減」的意義，而用減法運算解決所有 比較問題，因此應採加法運算的問題(被比較量未知的比多題與參照量未 知的比少題)的錯誤率就較高了。 二、加減法文字題的解題歷程 Musser & Burger(1988)把數學文字題解題視為一種回饋歷程，包含 由原來的問題轉換成數學算式，再算出解答，以說明原來問題情境，並加 以核對。由圖2-1-1我們可以知道，數學文字題的解題涉及語意知識、基 模知識、策略性知識及程序性知識，解題步驟並非彼此獨立，而是彼此之 間具有相互關係的一種連續的歷程(古明峰，1998)。 轉換. 原來的問題. 將問題轉換 成數學算式. 核 對. 解 答. 將問題轉換 成數學算式. 原來的問題 說明. 圖2-1-1 數學問題的解題歷程 （修改自Musser＆Burger, 1988；古明峰，1998）. 11.
(22) De Corte & Verschaffel(1991)從認知心理學訊息處理取向的觀點， 認為小學文字題的解題能力模式應包含五個階段： （一）由題目處理活動產生複雜的目標導向：學生開始從題目的敘述語詞 建構問題中整個集合詞與集合關係的抽象內在表徵。 （二）建立在上述的表徵基礎上，解題者正確選擇算術運算形式或非正式 的計算策略，找尋問題表徵中的未知元素。 （三）選擇行動或執行運算。 （四）藉由行動結果完成及系統的陳述回答以取代問題中未知元素，使問 題解題恢復到起始表徵。 （五）對於解題程序中的每一步驟行動和結果加以檢視驗證。 成功的解題者能在面對問題時建立正確的心理表徵，亦即擁有表徵問 題關係的語意基模，而語意基模的習得則有賴於邏輯關係陳述的學習，特 別是有關部分－全部之關係知識（Riley , Greeno & Heller,1983）。 Cummins(1991)在研究中進一步指出，兒童解題失敗並非完全由於缺 乏部分－全部之知識，如將問題稍加改寫，使語意陳述更為清楚，則兒童 便能正確表徵出部分－全部之結構，以此觀點提出成功與失敗的解題模式 如圖2-1-2： 成功者 (a) 內容 敘述. 失敗者 (b). 部分－ 全部知識. 解決策略. (c). 內容 敘述. ？. ？. 解決策略. 圖2-1-2 成功與失敗的解題表現 （修改自Cummins,1991；古明峰，1998） 12. 部分－ 全部知識. 解決策略.
(23) 圖2-1-2 (a)圖在說明成功解題者的解題途徑有二：一為從問題內容 文字敘述獲得解題過程線索，亦即從簡單的關鍵字映射到解題的程序； 一為從題目陳述映射到部分－全部知識，觸發解題程序。(b)圖的解題者 缺乏解題技能，即缺乏部分－全部知識，僅能利用關鍵字直接映射到解 題程序。(c)圖的解題者解題失敗是因題目敘述與部分－全部知識之間缺 乏或不適當映射所致（古明峰，1998）。 Hegarty et.al (1995)比較數學文字題解題專家與生手的理解歷程，發 現解題專家多採用「問題模式策略」，即將問題情境所描述的轉譯建構 成問題情境所記述的心理模式，以作為解題計畫依據，亦即先理解題目 數量的語詞。而解題生手則多採「直接轉譯策略」，就問題中所涉入的 數字和關係詞如「更多」或「更少」加以選擇，直接就問題陳述關鍵字 著手計算，並未對問題的情境加以建構，亦即採關鍵字方式，抓取數字， 計算在先，思考在後。Hegarty et.al(1995)為檢視這兩種策略理解歷程， 提出數學文字題理解歷程模式，如圖2-1-3。 閱讀句子. 建構／根據新的信 息修改語意網路. 選擇數字 和關鍵字. 建構／根據新的信 息修改問題模式 發展解題計畫 執行解題計畫. 圖2-1-3 數學文字題理解歷程模式 （修改自Hegarty, Mayer & Monk,1995；古明峰，1998）. 13.
(24) 三、加減法文字題的相關研究 加減法文字題之相關研究頗多，但部分研究是針對某一類型加以討 論，以下所探討的為包含改變、合併、比較等各類之研究，至於等化類 的答題情形則較為缺乏。 Loftus & Suppes(1972)在分析影響問題困難度的因素時，發現「學生 感到特別困難的問題是包含有相關性的敍述句」。 Riley(1981)研究兒童加減法文字題相對困難情形之比較，發現二年 級學童的添加型結果量未知、拿走型結果量未知、添加型改變量未知、 拿走型改變量未知以及合併類全體量未知的答對率皆為 1，其他依序為 較少型比較量未知.90、較多型差異量未知.85、添加型起始量未知.80、 較多型比較量未知.80、較少型差異量未知.75、添加型起始量未知.70、 合併類部分量未知.70、較多型參考量未知.65，答對率最低為較少型參 考量未知.35。 Yancy(1981)提出文字題本身的敘述複雜程度會影響解題的難度，困 難的文字題分為下列十項：(一)題目中並未將需要計算的資料依序列出 (二)許多無關資料夾雜在題目中(三)題目呈現時並無伴隨輔助圖表出現 (四)必要的資料須從題目中推論出來(五)需借用許多計算步驟才能得到 答案(六)有許多線索字須特別注意(七)字彙高於學生的閱讀程度(八)題 目內容不為學生所熟析(九)計算過程複雜沉悶(十)不用「數字」表示觀 念(例如用「一半」)。 Watson(引自Dickson, Brown, & Gibson,1984)描述學生解一個步驟文 字題的五種錯誤類型：(一)缺乏閱讀能力(二)不了解題意(三)缺乏轉換 的能力(四)缺乏計算能力(五)缺乏寫適當答案的能力。 Briars & Larkin(1984)研究發現「比較類」文字題對學生而言，是較 為困難的題型。而問題中的「關係句」可能就是學生對這類問題形成表. 14.
(25) 徵困難的主要原因。 陳石孝(1985)的研究指出，兒童對文字題解題的錯誤型態，以「列 式錯誤」為最多，「完全沒有做」次之，表示兒童對文字題的解題缺乏 思考、推理、分析的能力，同時兒童對日常生活的知識運用尚無系統。 謝毅興(1991)針對國小兒童解數學應用問題的策略進行研究，結果 發現在缺乏適當的問題基模下，學童常常只尋求題目的表面特徵作為解 題依據，在比較類問題中，「比多」及「比少」兩個「關鍵字」則常被 學童引來作為解題策略的依據。 Muth(1991)的研究指出，學生對於數學文字題的解題能力會因文字 題中無關訊息的干擾而無法解決問題。學生們的觀念中都認為文字題中 的所有訊息都應被使用，因而造成學生對辨識問題類型之問題整合上的 困難。 楊美伶和蔣治邦(1992)針對國民小學數學科加減法教材關鍵字之分 析研究，結果發現通常兒童面臨文字題不知採取何種運算時，就使用關 鍵字策略，而且數學課本加減法單一運算的題目中，有73%適用關鍵字策 略；數學習作的習題則有83%適用關鍵字策略，比例偏高，其中違反關鍵 字策略的題目類型變化很少。 蔣治邦(1992)的研究成果發現，二、三、四年級學童皆較易辨識符 合題意的順向算式，唯有程度較高的學童才能逐漸地增加變通性，接受 轉換算式。 葉淑儀(1992)針對二、三年級學童使用算式表徵文字題的能力做研 究，研究對象是二、三年級學童80 名，分為高低數學成就四組，每組各 20 名學生，分別進行個別晤談，以改變類型－「改變量未知」及「起始 量未知」的題目，請學童判斷算式的對錯外並說明在判斷作業上所運用 的推理原則。研究結果發現，學童在正確算式題的答對率高於錯誤算式. 15.
(26) 題的答對率；在「改變量未知題」的表現優於在「起始量未知題」的表 現。整體看來，年級與數學成就會影響學童表徵文字題的能力。 許家驊(1993)針對國小二年級學生改變型數學文字題錯誤偵測表現 之研究，有以下發現：(一)不同錯誤種類中，答案計算錯誤偵測作業是 最容易的，運算子錯誤偵測作業稍難，而語意脈絡錯誤偵測作業最難； (二)在量數增加中，結果量未知錯誤偵測作業是最容易的，而改變量未 知和起始量未知錯誤偵測作業的難度是相近的；但在量數減少中，三者 的錯誤偵測作業間沒有出現統計上的差異趨勢，在改變量未知和起始量 未知的錯誤偵測作業上是較量數增加更為簡單；(三)國小二年級學生的 錯誤偵測表現與其數學學業成就間有中度正相關的關係(r=.6105)，即數 學學業成就愈高的學生，其錯誤偵測表現有愈好的趨勢。不過仍有些學 生數學學業成就高但錯誤偵測表現不佳，經訪談後發現，「閱讀理解」、 「自我覺察」和「認知能力與認知監控能力發展不協調」三類問題可能 是阻礙這些學生錯誤偵測表現的原因。 呂玉琴(1997)研究國小一、二年級學童解簡單的加減法文字題的表 現，研究結果發現答對率分別在 58%、72%以上，其中以比較類參考量未 知的問題最難。學生選擇運算符號策略包括：了解題意、比對記憶的相 似題及其解法、找關鍵字等。用來算出答案的策略包括：具體物策略、 數數策略、合成或分解策略、混合策略等。產生解題錯誤的原因包括： 錯用關鍵字、計算錯誤、看錯題目等。 陳明媚(2001)探討國小三年級聽覺障礙學生在一步驟及二步驟文字 題的解題歷程，研究題型包括合併類、改變類及比較類，利用Mayer(1992) 所提的解題階段分析所得資料。研究結果發現，受試者的主要困難發生 在問題轉譯階段－對關係句的理解有困難。另外的困難來自於問題整合 －加減法概念不清；解題計畫及監控－監控能力差、關鍵字策略；解題. 16.
(27) 執行－對位錯誤、數錯等。 馬祖平和蔣治邦(2003)探討國小學童理解加減比較問題方式的發 展，以二下到四上的學童做為研究對象。研究結果顯示，學童較不可能 透過算式轉換策略來進行判斷作業，而傾向獨立地判斷各算式；學童採 用「減法策略」或「呆板對應策略」的可能性，值得警愓。這些策略皆 隱喻依賴問題中的表面線索來決定解題運算，而非掌握問題情境中的數 量關係。 綜合以上學者的研究可以發現，文字題的題目型態、語意結構、運 算及缺乏基模等，都是造成學童在文字題的學習上產生困難的因素，其 中又以題目型態及語意結構的影響最大。許多的研究均指出，學生在面 對文字題時，問題的轉譯以及如何使用正確的數學表徵常是學生的困難 所在。針對題目的表面線索來解題，沒有掌握問題情境中的數量關係， 是學生在解題時最常犯的錯誤。. 17.
(28) 第二節. 知識結構. 壹、知識結構之理論分析 對於知識結構的定義，長久以來由於不同學者的研究重點、研究動 機和理論觀點的不同而有不同的看法，而認知結構(cognitive structure)是 認知心理學研究的主題，探討此主題有助於了解個人獲得知識的心理歷 程；認知結構是指長期記憶中概念的關係和組織，有助於個人進行儲存、 提取和操弄等訊息處理歷程。有許多名詞與認知結構一詞是類似的，如 知 識 的 心 理 表 徵 (mental representation of knowledge) 、 知 識 表 徵 (knowledge representation)、知識結構(knowledge structure)，都是重視知 識在個人心理的結構或狀態，而直接影響學習、思考和問題解決等活動 （江淑卿，1997；饒見維，1994） 。 綜言之，知識結構是存在長期記憶中的認知結構，能掌握知識的組 織特質和關係，個人透過建構、修正和重組知識結構，影響學習和認知 的表現(Shavelson,1972)。 一、知識的類型 認 知 心 理 學 家 Anderson(1990) 將 知 識 分 為 兩 類 ： 陳 述 性 知 識 (declarative knowledge)、程序性知識(procedural knowledge)。其中陳述性 知識一詞可用〝knowing that〞來代替之，是靜態知識，亦即是屬於理解 物件、事件或想法的概念性知識，當某人知其然時，他就能對該物件做 清楚的描述，但並不必然要會懂得使用該知識；程序性知識一詞可用 〝knowing how〞來代替之，是動態性的知識，亦即是指對於完成一件事 情所需各步驟的技能性知識。簡言之，陳述方式表達的知識均屬陳述性 知識，按一定程序理解操作從而獲致結果的知識為程序性知識。 Mitchell & Chi(1984)指出，知識結構屬於陳述性知識的一部份，主 要在表徵事件與概念之間的關係；但另有學者 Jonassen, Beissner &. 18.
(29) Yacci(1993)認為知識結構是傳遞陳述性知識，進入程序性知識的中介， 有助於個體了解如何組織知識（如圖 2-2-1）(江淑卿，1997)。 陳述性知識. 知識結構. knowing that →. knowing why. 程序性知識 →. knowing how. 圖 2-2-1 陳述性知識、程序性知識與知識結構三者的關係 二、知識表徵的類型 本研究的其中一個重要的課題即是如何呈現「知識關係」 ，Rumelhart 和Norman(1985)認為知識的表徵大致可分為類比式、命題式和程序式表 徵系統。 (一)直接以圖像、影像表徵知識的類比式（analogical）表徵系統：類比 式表徵系統(analogical reprensentational system)係假設知識由多元表 徵構成，包括語意和心像表徵(Paivio,1986)。 (二)以實際作業或動作程序表徵知識的程序式（procedural）表徵系統： 程序式表徵系統(procedural reprensentational system)係假設知識以 條件句形式呈現，強調知識結構和修正的動態歷程。 (三)呈現知識結構語意部分的命題式（propositional）表徵系統：程序式 表徵系統(procedural reprensentational system)係假設知識以條件句 形式呈現，強調知識結構和修正的動態歷程。 兩個概念加上連結兩概念的連結語所組合出的有意義單元就叫命 題，然而由於多數的類比式與程序式表徵系統所表徵的知識都能藉由命 題式表徵系統取代，且以文字表現的命題式表徵法簡單易懂，更重要的 是人類記憶儲存知識也是以命題為單位，所以用命題式表徵系統去呈現 知識就是最自然也是最普遍的方式，本研究所採的網路模式即係屬命題 式表徵系統。. 19.
(30) 貳、知識結構之測量 多位學者研究發現，在知識結構對學習表現的影響方面，知識結構 與學習表現有密切的關係，且知識結構能有效預測學習表現；在知識結 構的差異方面，專家的知識結構優於生手，能力較佳者的知識結構優於 能力較差者；在教學對知識結構的影響方面，發現教學介入能改變知識 結構(Acton, Johnson & Goldsmith, 1994；Goldsmith ,Jonson & Acton, 1991；Gomez & Housner, 1992)。所以知識結構有測量之必要。 一、測量方法的特性 Royer, Cisero ＆ Carlo(1993)曾指出，網路模式對知識結構的研究相 當具體與客觀，大多數測量知識結構的方法是根據此理論發展出來的， 這些方法有三項特性（江淑卿，1997） ： (一)所測量的知識結構的靜態的。 (二)所測量的知識結構於陳述性知識，對於程序性知識的測量較有限。 (三)不同測量方法僅測得部份複雜的認知表徵，且各有其適合的領域。 二、測量方法的種類 測量知識結構的方法很多，Koubek ＆ Mountjoy(1991)將測量方法 分為四類，包括晤談法、分類法、圖解法、量尺法；鍾世帆（2005）將 知識結構評量方法整理如表 2-2-1 所示：. 20.
(31) 表 2-2-1 知識結構評量方法分析表 測量 方法. 唔談法. 分類法. 透過晤談、放聲 思考、原案分 析、觀察或文件 方式 分析等過程取向 的方法，分析個 體的認知結構。. 透過卡片分類、樹 狀結構分析等方 法，分析個體的認 知結構。其分析步 驟大致分為概念 引發、概念分類和 表徵分析。 能深入了解個體 快速簡單、可了解 知識結構的內容 結構特質和改變。 組織和變化。. 圖解法 透過訓練幫助 個體熟悉概念 構圖技巧，將個 體的概念構 圖，根據評分系 統計分，評量理 解能力。 將知識結構的 內容分析，進一 步量化。. 量尺法 透過不同量尺 化程序測量知 識結構。. 以客觀和統計 方式產生圖解 和知識結構相 關量數，突破過 特色 去以理論和經 驗的方式，進行 知識結構測量。 所獲取的資料需 無法處理團體和 評分時需透過 無法確實了解 透過主試者主觀 平均的知識結 主試者的解 概念接近性所 的解釋，且較難 構，其結構性和系 釋，無法避免主 代表的意義。 限制 統計分析 統性介於晤談法 觀經驗影響。 和量尺法間，仍需 透過主試者主觀 解釋評分。 本研究為獲得客觀的數據，以及進一步統計分析，故選擇量尺法較適 合。經常運用的量尺法包括重視整體知識結構關係的多向度量尺、重視知識 結構概念類別的集群分析、以及重視知識結構內關係的徑路搜尋網路 (pathfinder networks)(Jonassen et.al,1993)，下列分別敘述及比較之（黃俊英， 1988；蔡佳燕，2000）。 1.多向度量尺 是多變量分析的一種，蒐集 n 個觀察點的相似度，形成近似矩陣， 然後根據此近似矩陣，決定最佳的 m 度空間來描述這些觀察體，而這 n. 21.
(32) 個觀察點有其座標位置，從座標位置可以知道觀察點的空間關係為何。 2.集群分析 亦是多變量分析的一種，是根據相似性客觀地將相似者歸集在同一 集群，有階層集群分析(hierarchical cluster analysis)和非階層集群分析 (non- hierarchical cluster analysis)兩種。本研究所利用的集群分析方法是 K 平均數法(K-means methods)，即先假定集群的個數為 K，將所有觀察值 分成 K 群，然後依各觀察值到中心點距離遠近重新移動，使各觀察值將 移至最靠近的群體中，此時再計算各群體的新中點，這時繼續再移動各 觀察值到最近的群體，這樣不斷重複，直到不能再重新分派為止。 3.徑路搜尋網路分析 是 一 個 理 論 圖 形 (graph-theoretic) 方 法 ， 能 將 近 似 矩 陣 (proximity matrix)經過轉換後，獲得一個網路結構(network structure)，在這網路結構 中，每一概念是一個節點(node)，而節點之間用一個線來鏈結(linking)， 表示兩概念之間有關係。此外，在鏈結的線上有一個加權值(weighting)， 表示節點之間的鏈結強度。本研究即以此為主要研究工具，下節將著重 對徑路搜尋之理論與分析應用加以探討。 Cooke, Durso & Schvaneveldt(1986)亦指出，徑路搜尋比多向度量尺 的向度表徵，更能掌握回憶作業中的組織關係。徑路搜尋強調概念與概 念間的關係，而多向度表徵則只提供關於全部概念空間的訊息。比較概 念與概念的關係，可以凸顯不同個體間的知識結構差異，如此有助於解 釋個體的表現差異，此為徑路搜尋較其他知識結構表徵技術更實用、有 效的主要特點，在此將不同知識結構量尺方法分析比較如表 2-2-2。. 22.
(33) 表 2-2-2 量尺化 方法. 不同知識結構量尺化方法之比較分析. 三者共同點. 1. 引 發 知 識 係透過概 念間相似 徑路搜尋 性的判斷 網路分析 獲得接近 性矩陣。 2. 將 知 識 結 多向度 構 量 尺 量尺 化。 3. 無 法 切 實 了解相似 性判斷，所 集群分析 代表的因 素。. 研究重點. 限制. 空間呈現. 適用資料. 掌握結構中 最重要的關 係，了解概 念之間的位 置。. 鏈結沒有命 名，以鏈結 長度表示相 關程度，視 需要予以鏈 結命名。. 以節點和鏈 結呈現二向 度的網狀或 階層圖。. 適用階層性 和非階層性 結構、次序和 比率資料、對 稱和非對稱 相關性。. 掌握結構整 需主觀解釋 二向度以上 體 概 念 關 向 度 的 定 的空間結構 係。 義。 呈現。 掌握結構概 需主觀解釋 樹狀階層結 適 合 處 理 階 念類別。 集群階層的 構呈現。 層結構，不適 分割點。 合非階層結 構。. （引自：江淑卿，1997） 徑路搜尋以結構網路模式表徵知識結構，且可看出概念之間的相關 性，因此本研究選用徑路搜尋來分析國小學童面對不同步驟文字題時之知識 結構，並配合集群分析的 K 平均數法（K-means methods） ，根據相似性客觀 地將相似者歸集在同一集群，藉此了解學生面對不同步驟文字題時之集群分 佈情形。. 第三節. 徑路搜尋. 壹、徑路搜尋的基礎理論 徑路搜尋是 1985 年由美國新墨西哥州立大學計算研究實驗室的領 導人 R. W. Schvaneveldt 及其研究小組，依據網路模式和圖解理論，研 發徑路搜尋網路量尺化算則(pathfinder scaling algorithm)，用以建構與分 析受試者之知識網路結構型態，可獲得徑路搜尋網路、圖解理論距離、. 23.
(34) 徑路搜尋網路圖解及與參照結構比較之相似性指數（PFC 指數、GTD 指 數、PRX 指數） ，並設計知識網路組織工具(knowledge network organizing tool，簡稱 KNOT)以執行徑路搜尋。其理論基礎假設知識可以被組織的， 且一個人的知識要豐富，必須理解領域中主要概念間所存在的關係 (Johnson, Goldsmith & Teague,1994)，通常用來輔助、分析和評量知識結 構，希望藉此提供評量個體知識結構之另一選擇。 徑路搜尋網路是以節點和鏈結相互連接之網路結構，一個節點代表 一個概念，如果有 n 個節點，每對節點之間都有鏈結，則有. n 2 n 條鏈 2. 結。而節點與節點之間的鏈結關係以距離權值表示其鏈結強度，但沒有 命名。鏈結的特色是能掌握知識結構中概念與概念間的關係，並藉此了 解哪些鏈結間的關係比較重要，但也因鏈結沒有命名，在解讀圖解時較 難直接了解其結構形式 (Schvaneveldt, 1990)。. 貳、徑路搜尋的分析過程 徑路搜尋法評量知識結構的過程大致可分為三個步驟：(一)引出知 識(二)表徵知識結構(三)評價知識結構，以下將這三個程序來分析徑路 搜尋法的評量歷程。 一、徑路搜尋之引出知識 量尺法中知識的引出一般有字詞聯想、分類法、相似性評定、構圖 等，徑路搜尋法通常採用相似性評定法，來評量個體對於概念與概念間 相互關係的瞭解情形。首先挑選欲進行研究的一群概念，兩兩配對，由 受試者進行判斷各配對概念間的相似性、關聯性或心理距離，獲得受試 者之接近性矩陣，接近性矩陣中數值愈小，表示兩概念關係愈緊密。 然而相似性評定法雖具備客觀和施測簡易的優點，且研究者在編製 量表的同時可以掌握研究所需涵蓋的概念，較具完整性，但發現受試者 無法精確掌握其評定的標準，當概念數目較多時，此問題可能更嚴重(黃. 24.
(35) 湃翔，2004)。為修正此種研究的缺失，本研究將使用傳統試卷施測，並 搭配試題反應理論與類似係數，求得受試者在不同步驟文字題概念之接 近性矩陣。 二、徑路搜尋之表徵知識結構 徑路搜尋法以網路模式和圖解理論為基礎，主要將知識引出之相似 性矩陣資料以徑路搜尋量尺化算則(pathfinder scaling algorithm)轉換成距 離矩陣和徑路搜尋網路(PFNET)。徑路搜尋法在轉換過程中，需先決定 r 和 q 兩個參數，其中參數 r 用來決定兩節點間徑路長度的計算方式，其 範圍從 1 至∞，參數 q 用來限制徑路間聯結鏈的數目，其範圍從 2 到 n-1 之間，n 表示節點數量，所以參數 r 和 q 不同，其形成的徑路搜尋網路亦 不同，當 r =∞, q=n-1 時，表示探測所有不同的節點聯結路徑，並產生最 少徑路的徑路搜尋網路圖(余民寧、林曉芳，2001；涂金堂，2000；許淑 貞，2003；黃湃翔，2004)。此外在徑路搜尋量尺化的算則中，僅會保留 權重總和最小的聯結鏈，也就是保留「最短長度的徑路」 ，因此徑路搜尋 網路的聯結方式有直接鏈(direct link)與非直接鏈(indirect link)兩種。例如 在圖 2-2-1 中，概念 A 與概念 C 間之鏈結方式，可能為直接鏈或非直接 鏈，由接近性矩陣可看出知，當 r =∞, q=4 時，直接鏈 A-C 權重為 3，而 非直接鏈 A-B-C 權重為 1，所以保留非直接鏈 A-B-C(涂金堂，2000；黃 湃翔，2004)。. 25.
(36) 接近性矩陣 A B C D E. A. 距離矩陣 B C D E. A. 0. 1. 1. 2. 3. B. 1. 0. 1. 2. 3. A 0. 1. 3 2. 3. B 1. 0. 1 4. 6. C 3. 1. 0 5. 5. C. 1. 1. 0. 2. 3. D 2. 4. 5 0. 4. D. 2. 2. 2. 0. 3. E 3. 6. 5 4. 0. 3 3 3 3 徑路搜尋網路. 0. 最短距離. r , q =4. E. A B C. 圖 2-3-1. E D. 接近性矩陣與徑路搜尋網路. (引自 Goldsmith, Johnson & Acton, 1991). 三、徑路搜尋之評價知識結構 得到徑路搜尋網路後，將受試者之徑路搜尋網路與參照結構相互比 較，可得三個相似性指數（PFC 指數、GTD 指數、PRX 指數）以作為量 化數值評估依據，且其值域均介於 0 與 1 之間，值愈小表示受試者與參 照結構愈不相似，反之則表示愈相似。以下將以圖 2-3-2 之網路一、網 路二及網路三為例，解釋三個相似性指數及其計算過程。. 26.
(37) 網路一 A B PFC = .43 GTD = .79. D. E. F. G. 網路二. 網路三. A. A B. D. PFC = .74 GTD = .42. C. E. C F. 圖 2-3-2. B G. D. E. C F. G. 徑路搜尋網路之 PFC 值及 GTD 值. (引自 Goldsmith, Johnson & Acton, 1991) (一)GTD 指數 又 稱 為 圖 解 理 論 距 離 指 數 （ graphical theoretic distance ， 簡 稱 GTD） ，是指兩個徑路搜尋網路中其圖解理論距離的相關性。圖解理論 距離的算則是以節點間所經過的鏈結數目來計算，而節點與節點之間 的連結距離為 1，求其相關係數，範圍從 0 至 1，值越大表示兩個網路 越相似。在圖 2-3-2 中，網路一及網路二之所有節點間的圖解理論距離 值如表 2-3-1 所示，而兩個圖解理論距離矩陣對應值之相關係數，即 GTD 指數為 .79。. 27.
(38) 表 2-3-1. 由圖 2-3-1 計算所得之 GTD 指數 節 C. 點 D. 節點 A B 網路一 A － 1 1 2 B － 2 1 C － 3 D － E F G 網路二 A － 1 2 1 B － 1 2 C － 3 D － E F G GTD 指數為 .79 （引自 Goldsmith et.al,1991）. E. F. G. 2 1 3 2 －. 2 3 1 4 4 －. 2 3 1 4 4 2 －. 1 2 3 2 －. 3 2 1 4 4 －. 3 2 1 4 4 2 －. (二)PFC 指數 PFC 指數或稱 C 指數(closeness index)係利用集合理論(set theory) 計算兩個網路共有的節點組，再以其鄰近節點的交集與聯集之平均比 率。表示知識結構圖中，兩個網路的每個節點周圍所銜接其他節點的 相似程度，範圍從 0 至 1，值越大表示兩個網路越相近。算法如表 2-3-2 所示。. 28.
(39) 表 2-3-2 根據圖 2-3-2 之網路一與網路二計算所得之 PFC 指數 共 有 節 鄰近節點. 節點交集. 點. 網路一. 網路二. A. {B,C}. {B,D,E} {B}. B. {A,D,E} {A,C}. 集合. 節點聯集. 大小 集合. 大小. 比率. 1. {B,C,D,E} 4. 1/4. 1. {A,C,D,E} 4. 1/4. C. {A,F,G} {B,F,G} {F,G} 2. {A,B,F,G} 4. 2/4. D. {B}. {A}. U. 0. {A,B}. 2. 0/2. E. {B}. {A}. U. 0. {A,B}. 2. 0/2. F. {C}. {B}. {C}. 1. {C}. 1. 1/1. G. {C}. {B}. {C}. 1. {C}. 1. 1/1. {A}. 比率總和為 3，PFC＝3/7＝.43，U 表示空集合。 (引自 Goldsmith et.al ,1991) (三)PRX 指數 PRX 指數(proximity data matrix)又稱為接近性指數。算法是直接由 評定量尺所獲得的接近性矩陣(proximity matrix)，求兩網路接近性矩陣 對應值元素的相關係數，範圍為-1 至 1，值越大表示兩個網路越相近。 舉例如表 2-3-3 與表 2-3-4，求出兩網路接近性矩陣對應值元素的相關 係數的值，即為接近性指數的值。 表 2-3-3 根據圖 2-3-2 之網路一的接近性矩陣 節點. A. B. C. D. E. F. G. A B. a₁ ₁ a₂ ₁. a₁₂ a₂₂. a₁ ₃ a₂ ₃. a₁₄ a₂₄. a₁ ₅ a₂ ₅. a₁₆ a₂₆. a₁₇ a₂₇ ₇. C. a₃ ₁. a₃₂. a₃ ₃. a₃₄. a₃ ₅. a₃₆. a₃₇. D. a₄ ₁. a₄₂. a₄ ₃. a₄₄. a₄ ₅. a₄₆. a₄₇. E. a₅ ₁. a₅₂. a₅ ₃. a₅₄. a₅ ₅. a₅₆. a₅₇. F. a₆ ₁. a₆₂. a₆ ₃. a₆₄. a₆ ₅. a₆₆. a₆₇. G. a₇ ₁. a₇₂. a₇ ₃. a₇₄. a₇ ₅. a₇₆. a₇₇. 29.
(40) 表 2-3-4 根據圖 2-3-2 之網路二的接近性矩陣 節點. A. B. C. D. E. F. G. A. b₁₁. b₁₂. b₁ ₃. b₁ ₄. b₁₅. b₁₆. b₁ ₇. B. b₂₁. b₂₂. b₂ ₃. b₂ ₄. b₂₅. b₂₆. b₂ ₇. C. b₃₁. b₃₂. b₃ ₃. b₃ ₄. b₃₅. b₃₆. b₃ ₇. D. b₄₁. b₄₂. b₄ ₃. b₄ ₄. b₄₅. b₄₆. b₄ ₇. E. b₅₁. b₅₂. b₅ ₃. b₅ ₄. b₅₅. b₅₆. b₅ ₇. F. b₆₁. b₆₂. b₆ ₃. b₆ ₄. b₆₅. b₆₆. b₆ ₇. G. b₇₁. b₇₂. b₇ ₃. b₇ ₄. b₇₅. b₇₆. b₇ ₇. 参、徑路搜尋的相關研究 一、與學習表現關係之相關研究 近年來徑路搜尋的研究愈來愈受重視，而在一些徑路搜尋的研究 中，經常都使用 GTD、PFC、PRX 三種相似性指數來預測學習的表現。 最早實際應用到心理學的為 Goldsmith et.al(1991)，探討採用徑路搜 尋法和多向度量尺所測量的知識結構，對於大學生在心理學研究法學期 成績的預測力。研究結果發現，徑路搜尋計算所得的 PFC 指數，較 GTD 指數、PRX 指數、多向度量尺計算所得的指數有更好的預測力。 Gomez & Housner(1992)以物理準教師為對象，採用徑路搜尋法探討 受試者的物理教學知識結構與其學期成績表現的關係。研究結果顯示， 三種相似性指數皆與學期成績有顯著的相關，預測力最高的為 PRX 指 數，其次為 PFC 指數，最低的是 GTD 指數。 Action, Johnson & Goldsmith (1994)則採用評定 24 個電腦程式概念 間相關程度，來研究 61 位修習電腦課程學生知識結構與學業表現的關 係，並建立九種參照結構，研究結果發現，採用不同參照結構，所計算 出來的 PFC 指數，預測學習表現效果最佳。 江淑卿(1997)以徑路搜尋法探討國小學童自然科知識結構與科學文. 30.
(41) 章理解能力的關係，研究結果顯示，預測力最高的為 GTD，其次為 PFC， 最低的為 PRX，而在知識結構中以高成就組學生與參照結構最相似，其 次為中成就，低成就組差異最大。 涂金堂(2001)以 216 名國小六年級學生為對象，探討不同數學能力 學生其數學文字題問題結構的差異情形。結果發現，不同數學能力學生 的數學文字題問題結構有差異，且高數學能力學生的 PRX 指數值顯著高 於中數學能力學生。 許淑貞(2003)針對數學幾何三角形概念，將圖形概念測驗所得之結 果運用試題反應理論與模糊認知結構，求出學生之概念矩陣，探討學生 之幾何概念，結果顯示量化結構指數能有效預測能力值，其中以 PFC 指 數具有最佳的預測力。 黃湃翔(2004)探究高中學生物理學科的知識結構和學習表現的關 係，研究結果發現知識結構量化指數中以 PFC 指數對於高成就組與全體 學生之力學學習成就預估效力最高。 黃美盼(2004)在整數加減法文字題知識結構與認知型式關係之研究 中，發現知識結構量化指數中以 GTD 指數具有最佳的預測力。 鐘世帆(2004)於國小學童整數乘除概念知識結構與認知型式相關之 探討，發現在高乘除能力組中，以 PFC 指數最佳；在中乘除能力組中， 以 PRX 指數最佳；在低乘除能力組中，以 GTD 指數最佳；在全體學生 中，以 PRX 指數最佳。 綜合上述研究發現，以徑路搜尋網路分析計算出的三種相似性指數 GTD、PFC、PRX 與學習表現的關係，在不同的特定學習領域，三種相 似性指數皆能有效預測學習的表現，但哪一指數預測力最佳則尚無定 見。. 31.
(42) 二、專家與生手差異性之相關研究 在知識結構差異性的相關研究中，其基本假設是專家與生手的知識 結構組織和關係有所不同。為了瞭解個別差異，許多研究進行了專家與 生手的比較。 Schvaneveldt, Durso, Goldsmith, Breen, Cooke, Tucker & Maio (1985) 比較飛行專家與生手有關飛行的知識結構。結果發現，徑路搜尋與多向 度量尺都能預測及區辨專家與生手的知識結構。 Goldsmith 等學者(1991)依據考試成績將學生分為四種能力組，透過 徑路搜尋測量知識結構。結果顯示，能力較佳學生的知識結構與參照結 構愈相似。 國內研究者蔡佳燕（2000）探討國小學生數學學科知識評量之情形。 研究發現知識結構評量結果可明顯區別出數學成就差異。 余民寧、林曉芳、蔡佳燕(2001)利用徑路搜尋為評量方法，並使用 量尺化程序分析學生的知識結構，發現不同學力程度學生的知識結構不 盡相同，學力程度愈高學生的知識結構愈接近所期望的學習成果。 林曉芳、余民寧(2001)利用徑路搜尋方法，分析國中學生二元一次 方程式課程的知識結構與學業成就之關聯。研究發現(一)、低成就學生 的概念結構圖與教師的概念結構圖差異甚大；中學習成就學生次之；高 成就學生在代數上的理解情形近似於教師，尤其數學學習成就較佳的學 生，其學習的表現與教師相同。(二)、低成就學生的概念結構圖大多相 仿，且與高成就學生的概念結構圖有明顯的差異存在。 黃美盼(2005)以徑路搜尋測量有關加減法文字題的知識結構。研究 發現高能力值組知識結構圖與標準參照知識結構圖較為相似，中低能力 值組知識結構圖與標準參照知識結構圖較不相似。 由上述有關知識結構的差異性研究結果可知，不同特定領域的專家. 32.
(43) 和生手在知識結構存在顯著的差異，不同能力者的知識結構有所不同。 三、結合試題反應理論的徑路搜尋網路分析 近來，許淑貞（2003）結合試題反應理論及模糊化認知結構改進徑 路搜尋方法，並將之應用在幾何概念領域。研究結果發現(一)、學生能 力較低者，知識結構圖中與 A1（三角形基本辨識）連接的概念數多於能 力值較高者，且能力值愈相近，其知識結構圖就愈相似。(二)、三個相 似性指數與能力值之間均呈現高度相關，且以 PFC 指數具有最佳預測力。 周先祝（2003）則改良山下等人的類似係數融入試題反應理論，做 為徑路搜尋近似資料的值，並以 Van Hiele 幾何思考層次的理論為基礎， 將此方法運用在國小六年級學童四邊形幾何概念的知識結構分析上。研 究結果顯示，在幾何思考層次順階層類型當中，各類型學童之間的相似 性指數 PFC 值及能力值均達到顯著的差異，且達到的幾何思考層次愈高 者，其知識結構圖的核心概念與標準參照知識結構圖的核心概念愈相似。 在徑路搜尋的應用方面，以試題反應理論與徑路搜尋結合運用在知 識結構的分析上是一個可行的方向。因此本研究欲使用試題反應理論， 就每位學生在每一題的答對機率，以及利用試題 i、j 之類似係數 sij ，以 做為進行徑路搜尋分析之資料基礎，分析學童不同步驟加減法文字題之 知識結構。 國內應用徑路搜尋認知診斷評量方法來探索各種學科領域知識結構 的研究，已如雨後春筍般的蓬勃發展，此為應用圖形表徵方式來呈現潛 藏的網路結構關係，可增加研究結果的說服力，教學者亦可藉此了解學 習者知識結構發展的情形(Royer, Cisero & Carlo,1993；涂金堂，2001)， 分析及診斷學生的錯誤概念，並針對學習缺陷提出適當的補救措施。. 33.
(44) 第四節. 試題反應理論. 雖然根據歷史學家 Dubois(1970)的描述，早在西元二千多年前科舉 時代的中國，即有能力測驗(科舉考試制度)的雛形產生，但是針對「測 驗」這門學問進行科學化、系統化、及量化的研究者，卻開始於歐美各 國，西風東漸後才又傳入中國（余民寧，2002）。 測驗理論(test theory)可分為兩大學派，一為古典測驗理論(classical test theory)—主要是以真實分數模式(true score model)為骨幹，依據弱假 定(weak assumption)而來；另一為現代測驗理論(modern test theory)—主 要是以試題反應理論為架構，所依據的為強假定(strong assumption)。本 節所要探討試題反應理論即為現代測驗理論的理論中心。. 壹、古典測驗理論與現代測驗理論之比較 古典測驗理論模式的發展已為時甚久，且具規模，所採用的計算公 式簡單明瞭，是目前心理計量學界應用最廣的測驗理論，但卻有些許缺 點；學者為改進古典測驗理論的缺失，於是發展了以試題反應理論為理 論 架 構 的 現 代 測 驗 理 論 ， 以 下 將 兩 種 測 驗 理 論 相 互 比 較其優缺點 （余民寧，1991，2002）。 一、抽樣變動 古 典 測 驗 理 論 所 採 用 的 指 標 ： 如 難 度 (difficulty) 、 鑑 別 度 (discrimination) 、 和 信 度 (reliability) 等 ， 都 是 一 種 樣 本 依 賴 (sample dependent)的指標；這些指標的獲得，會因接受測驗的受試者樣本不同而 有所不同，因此，不同潛在特質的樣本，同一試卷很難獲得一致的難度、 鑑別度、或信度等。 現代測驗理論所採用的試題參數(item paramter)（如：難度、鑑別度、 猜測度），是一種不受樣本影響(sample-free)的指標；也就是說，不會因 受試者不同而有所不同。. 34.
(45) 二、測量標準誤 古 典 測 驗 理 論 以 一 個 相 同 的 測 量 標 準 誤 (standard error of measurement)，作為每位受試者的潛在特質測量誤差指標，這種作法並 沒有完全考慮受試者能力的個別差異，對於高、低能力兩極端潛在特質 的受試者而言，這種指標極為不合理且不甚精確，致使理論模式的適當 性受到懷疑。 現代測驗理論能夠針對每位受試者，提供個別差異的誤差指標，因 此能夠精確推估受試者的能力估計值。 三、能力比較 古典測驗理論對於非複本(nonparallel)，但功能相同的測驗所測得的 分數之間，無法提供有意義的比較；有意義的比較僅侷限在相同測驗的 前後測或複本測驗分數之間。 現代測驗理論可測量估計出受試者個人能力，不受測驗的影響，並 且對於不同受試者間，亦可進行有意義的比較。 四、複本實施 因為古典測驗理論對信度的假設，是建立在複本(parallel forms)測量 的概念假設上，但是這種假設往往不存在於實際測驗情境裡，我們不可 能要求每位受試者接受同一份測驗無數次，而仍然假設每次測量都彼此 獨立不相關。 現代測驗理論以試題訊息量(item information)及試卷訊息量(test information)的概念，來做某個試題或整份試卷的測量準確性，作為評定 試卷內部一致性的指標。 另 外 現 代 測 驗 理 論 所 採 用 的 適 合 度 考 驗 值 (statistic of goodness-of-fit)，可以提供考驗模式與資料間之適合度、受試者的反應是 否為非尋常(unusual)之參考指標。. 35.
(46) 五、預測力 古典測驗理論忽視受試者的試題反應組型(item response pattern)所 代表意義，認為原始得分相同的受試者，其潛在特質（如能力）或試題 參數（如難度）必定相同。其實並不如此，即使原始得分相同的受試者， 其反應組型意義也不見得會完全一致，所以其潛在特質和試題參數估計 值應該會有所不同。 現代測驗理論同時考慮受試者的反應組型與試題參數等特性，因此 估計個人能力時，除了能夠提供一個精確的估計值外，對於原始分數相 同的受試者，也往往給予不同的能力估計值。 兩派測驗理論各有所長，也各有其限制。古典測驗理論雖不夠嚴謹， 但淺顯易懂，便於在實際測驗情境（尤其是小規模資料）實施；現代測 驗理論雖嚴謹，但艱深難懂，適用於大樣本測驗資料分析。. 貳、試題反應理論的理論基礎 一、基本假定 試題反應理論必須符合以下基本假設，試題反應模式方能被用來分 析測驗資料（余民寧，1992） (一)單向度 單向度(unidimensionality)是指測驗只測一個特質或能力。單向度 的意義雖然簡單，但實際上測驗時難免受其他因素影響，Hambleton 和 Swaminathan(1985)認為只要測驗資料有一個「主控」因素就算符 合，而這主控因素便是特質或能力。 (二)局部獨立性 局部獨立性(local independence)就是某受試者能力而言，項目間 無相關存在，也就是說一個題目不能為另一個題目提供線索。 (三)非速度測驗. 36.
(47) 非 速 度 測 驗 (nonspeedness) 是 假 設 測 驗 屬 於 難 度 測 驗 (power test)，施測時沒有時間限制，也就是說學生測驗成績不理想是因為能 力不足，而不是時間不夠答完所有試題所導致。 (四)知道-正確假設 知道-正確假設(know-correct assumption)是假設學生若知道某試 題的正確答案，就能答對該試題；若不知道某試題的正確答案，就會 答錯該題。 二、基本的試題反應模式 試題反應模式是對受試者能力與試題難易度、鑑別度及猜測度等參數間的 關係所做的數學陳述，用來描述潛在特質與正確反應機率關係。 常用的試題. 反應模式，有下列三種，每一種模式都依其採用的試題參數的數目的多 寡來命名(余民寧，1992b)。 (一)單參數對數模式(one-parameter logistic model) 這個模式的數學公式如下所示： 1 Pi () D ( b i ) 1 e. i 1,2, , n. (公式一). 其中， Pi () 表示任何一位能力值為 的考生答對試題 i 或在試題 i 上正確反應的機率； bi 表示試題難度(difficulty)參數； n 是測驗試題的 總數； D 為常數，模式中通常設為 1.7。 此參數模式假設試題之鑑別度都相等，且沒有猜題因素的存在， 僅有該題的難易度 bi 會影響受試者的測驗結果。理論上 bi 的範圍是介於 之間，但實際應用上只取於 3 之間，且其值愈大表示試題愈困難。. 當受試者的能力值等於試題難易度時，其答對該題的機率為.5，而受 試者的能力值大於試題難易度時，其答對該題的機率高於.5，反之， 其答對該題的機率則低於.5，因此試題難易度值愈大，受試者要答對. 37.
(48) 該題就必須具有更高的能力。 (二)雙參數對數形模式(two-parameter logistic model) 這個模式的數學公式如下所示： 1 Pi () Da i ( b i ) 1 e. i 1,2, , n. (公式二). 其中，各符號的定義與公式一相同，唯多了一個參數：試題鑑別 度(item discrimination) ai ，它的涵義與在古典測驗理論中的涵義相同， 同是用來描述試題 i 所具有鑑別力大小的特性。 此參數模式比單參數對數模式多了參數鑑別度 ai，並假設猜題因素 不存在。理論上 ai 的範圍是介於 之間，但實際應用範圍是介於 0 與 ＋2 之間，且其值愈大表示試題愈能區別不同能力的受試者。在單參數 對數模式中假設 ai 1 。 (三)三參數對數形模式(three-parameter logistic model) 這個模式的數學公式如下所示： Pi () c i (1 c i ). 1 1 e. Da i ( b i ). i 1,2, , n. (公式三). 其中，各符號的定義與公式二相同，唯多出一個參數：猜測參數 (pseudo-chance parameter) ci 。這個參數提供試題特徵曲線一個大於 零的下限，它代表著能力很低的考生答對某試題的機率。 此參數模式由雙參數對數模式所延伸，多了參數猜測度 ci ，是指能 力很低的受試者猜對該題的機率，且其值愈小表示猜測的因素愈小， 試題就愈理想，但在實際狀況下是很難避免的，而在單參數對數模式 及雙參數對數模式中，均假設 ci 0 。 綜合上述之分析，故本研究之工具採用三參數對數模式。. 38.
(49) 参、試題反應理論在評量上之相關研究 國內近來陸續將試題反應理論應用在成就測驗。吳裕益、張酒雄、 張玉茹（1998）應用在國中學生英文成就測驗的編製、分析與常模建立。 劉湘川、鄭富森、許天維、林原宏、施淑娟、施慶麟、蘇惠華（1998） 將之應用在中文研究生學術性向測驗之編製。吳裕益、林月仙（2000） 則應用在國小中低年級數學診斷測驗之編製及理論模式之驗證研究。 隨著電腦測驗軟體的發展與進步，應用試題反應理論所編製的適性 測驗亦是精益求精。何榮桂（1991）就運用試題反應理論於題庫中項目 參數分配型態對電腦化適性測驗選項的影響。吳裕益、陳英豪、洪碧霞、 楊家輝、劉秋明、丁振豐、葉玉綺（1991）則運用此種理論於國民小學 高年級數學能力電腦化適性測驗之研究。朱錦鳳（2002）也運用此種理 論來探討國中生物科適性測驗的建構歷程—IRT 理論的應用。 近來試題反應理論被應用在國家重大的考試上，如攸關全國三十萬 國中生多元入學依據的國中學生基本學力測驗，除了依照標準化測驗的 編製程序、施測流程之外，還有在測驗分數的計算與解釋上，也融入現 代測驗(IRT)的精神與方法，而國內外大學入學考皆使用IRT理論的評量 工具，如美國的SAT、瑞典的SweSAT，我國現行的學測等等，再再說明IRT 的重要性。. 39.
(50) 第三章 研究程序 本研究以筆試的方式蒐集資料，本章主要在說明研究設計與實施的方 式，內容共分為四節。第一節為研究設計、第二節為研究對象、第三節為研 究工具、第四節為資料處理，各節內容如下。. 第一節 研究設計 本研究依據研究目的、待答問題與文獻探討，提出研究架構如圖3-1-1： 確定研究主題 蒐集資料及閱讀相關文獻. 撰寫研究計畫. 專家修正試題. 發展研究工具 編製筆試試卷. 加減法理論 以 Fuson 為主 選擇預試對象. 實施試卷預試. 信效度分析及確定試題. 以預試學童的國語及 數學定期考察成績為 效標，檢驗筆試試卷的 效標關聯效度. 正試施測(團體) 知識結構之徑 路分析. 試卷資料分析 資料分析 撰寫研究報告. 圖3-1-1. 40. 研究架構圖. 統計套裝軟體.
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For consistent predictions or strongly ordinal costs, if g makes test error ∆ in the induced binary problem, then r g pays test cost at most ∆ in ordinal ranking. a one-step
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