第四章 結果與討論
第二節 徑路搜尋之知識結構分析
壹、不同步驟文字題知識結構與能力值之分析
一、相似性指數對能力值之預測三個相似性指數主要用來比較學生的知識結構圖與標準參照知識 結構圖的相似程度。由表4-2-1可知三個相似性指數與能力值有顯著相 關(p<.001)，且呈現正相關，說明學生能力值愈高，三個相似性指數 也愈高，亦即學生的知識結構圖與參照結構會隨著能力值高而相似性 增高，因此三個相似性指數應能解釋能力值之高低。
表4-2-1 三相似性指數與能力值之相關係數表
*** p<.001
而欲瞭解三個相似性指數預測學生能力值的情形，以學生能力值 為依變項，並同時以三個相似性指數為自變項，進行多元逐步迴歸分 析，其結果摘要如表4-2-2：
表4-2-2三個相似性指數與能力值之迴歸分析
模式 未標準化β 標準誤 標準化β 顯著性 t 檢定 常數 -2.579 .017 -153.440***
PFC .439 .062 .51 7.051***
GTD 2.384 .060 .434 39.790***
PRX 1.985 .033 .591 60.402***
Y=-2.579＋0.439X
PFC
＋2.384XGTD
＋1.985XPRX
*** p<.001
依變數Y：受試者能力值 R平方為.988 PFC GTD PRX 能力值θ PFC － .5479*** .362*** .502***
GTD － .785*** .925***
PRX － .950***
能力值θ －
由表4-2-2得到以受試者能力值為依變項，並同時以三個相似性指數 為自變項所得之迴歸線為Y=-2.579＋0.439X
PFC
＋2.384XGTD
＋1.985XPRX
， 解釋力高達98.8%，顯示三個相似性指數能有效預測能力值，而迴歸係數 次之，PFC指數較低，顯示係以GTD指數為最佳的預測變項。Knoebel et.al (1988)曾指出，GTD 重視概念之間的結構特質，能掌握概念的空間型態，而此測驗題共有三種不同步驟的題型，故其知識結構圖中因三種不同步 圖呈現於圖4-2-2 至圖4-2-4，以供比較。
表4-2-3 各組人數、能力值及指數值平均 高能力組 94 1.0593 .2314 .6813 .9645 15.7263 中能力組 147 0.0307 .1758 .4292 .7586 13.1419 低能力組 93 -1.1192 .1306 .3211 .3230 9.2340
⒈起始量未知(拿走型)
⒉改變量未知(添加型)
⒊全體量未知
⒋部分量未知
⒌參考量未知(較少型)
⒍比較量未知(較多型)
⒎比較量未知(添加型)
⒏差異量未知(拿走型)
⒐全體量未知(連加)或者 結果量未知(添加型)
⒑合併的部分量未知＋
比較的比較量未知(較少型)
⒒結果量未知混合型改變 (添加＋拿走)
⒓全體量未知的合併
＋等化的參考量未知(添加)
⒔差異量未知的等化(拿走)
＋改變量未知(添加)
⒕起始量未知(拿走)
＋參考量未知(較多型)
⒖合併的部分量未知
＋改變量未知(拿走型)
⒗混合的差異量比較(較多＋較少)
⒘差異量未知的等化(拿走)
＋起始量未知(拿走)
⒙比較的比較量未知(較多型)
＋參考量未知的等化(添加型)
圖4-2-1 標準參照之知識結構圖 (θ = 2.14057)
表 4-2-4 最接近該組能力值平均學生的實例
實例 編號 核心概念
(概念號碼)
能力值
θ PFC GTD PRX 高能力組 23,87,36,57,62,
236,238,247,253 2、15 1.0396 .172 .695 .969 中能力組 188,182,256 2 0.0512 .172 .41 .797 低能力組 158 2、4 -1.1155 .097 .32 .302
圖4-2-2 圖4-2-3
高能力組實例之知識結構圖 (θ =1.5674) 中能力組實例之知識結構圖 (θ =.0512) 例：46、63、69、84、151、252、272、315 例：188、182、256
圖4-2-4 低能力組實例之知識結構圖 (θ =-1.1155) 例：158
由表4-2-3及圖4-2-1 至圖4-2-4可知，顯然可見高、中、低能力組 識結構圖共計十二種不同圖示，舉例如圖4-2-5 至圖4-2-16。
表4-2-5 原始分數為十四之能力值及指數值實例
圖4-2-5 原始分數十四分實例一(29) 圖4-2-6 原始分數十四分實例二(24)
圖 4-2-7 原始分數十四分實例三(19) 圖 4-2-8 原始分數十四分實例四(250)
圖4-2-9 原始分數十四分實例五(26) 圖4-2-10 原始分數十四分實例六(61)
圖4-2-11 原始分數十四分實例七(118) 圖4-2-1 2原始分數十四分實例八(98)
圖4-2-13 原始分數十四分實例九(44) 圖4-2-14 原始分數十四分實例十(66)
圖4-2-15 原始分數十四分實例十一(88) 圖4-2-16 原始分數十四分實例十二(213)
由表4-2-6及圖4-2-5 至圖4-2-16及表
表4-2-5
可知，原始分數相 為.808，而 Bartlett 球形檢定具顯著性，解說變異量達 77%，然後進 行集群分析。集群分析部分採 SPSS10.0 版之 K 平均數法，其中試著嘗試分群數 個，考慮收斂及各群學生數目的合理，故以 K 平均數法將樣本分為七 個集群。各群的 PFC、GTD、PRX 平均值等資料如表 4-2-6。
表4-2-6集群分析的分類情況及相關資料分析 第一群 .3075 .7179 .9548 0.3075 16.125 40 12％
第二群 .1622 .4269 .6319 -0.1357 12.333 36 11％
第三群 .1324 .3169 .3357 -1.1272 9.0541 37 11％
第四群 .0857 .2722 .1692 -1.7882 6.6667 6 2％
第五群 .1633 .4694 .6415 -0.0969 12.7766 94 28％
第六群 .1339 .3546 .4597 -0.7630 10.5 10 3％
第七群 .1754 .4675 .8296 0.2470 13.8468 111 33％
欲探討各群的三個相似性指數值是否達到顯著的差異，針對三指數
***p<.001
由表4-2-7得知，不同群學生的PFC 值、GTD 值、PRX 值皆達顯著 差異(p<.001)，再進行Scheffe 法之事後比較，分析如表4-2-8 至表 4-2-10。
表4-2-8 各群PFC 指數之Scheffe 事後比較摘要表
***p<.001 **p<.01 *p<.05 n.s. p ≥ .05
--表4-2-9 各群GTD 指數之Scheffe 事後比較摘要表
***p<.001 **p<.01 *p<.05 n.s. p ≥ .05
表 4-2-10 各群 PRX 指數之 Scheffe 事後比較摘要表
第一群 第二群 第三群 第四群 第五群 第六群 第七群 第一群.96 － .27*** .62*** .79*** .32*** .50*** .13 ns 第二群.63 － .35*** .51*** .05 ns .22 ns -.15*
第三群.34 － .17* -.3*** -.12 ns -.5***
第四群.17 － -.46*** -.29 ns -.66***
第五群.64 － .17 ns -.2**
第六群.46 － -.37***
第七群.83 －
***p<.001 **p<.01 *p<.05 n.s. p ≥ .05
由表4-2-8 至表4-2-10以及參照各群在PFC、GTD、PRX 指數差異之事 後比較發現，PFC 指數除第一群外，其餘並無顯著差異，而各項指數得分 最高皆為第一群；第二群、第五群和第七群指數差異不大，故在中等表現 中選出第二群來做討論；而第三群、第四群和第六群指數差異不大，故低 表現選出第四群為代表。
第一群 第二群 第三群 第四群 第五群 第六群 第七群 第一群.72 － .29*** .40*** .45*** .25*** .36*** .25***
第二群.43 － .11* .15 ns -.04 ns .07 ns -.04 ns 第三群.32 － .04 ns -.15*** -.04 ns -.15***
第四群.27 － -.2* -.08 ns -.2*
第五群.47 － .11 ns .00 ns
第六群.35 － -.11 ns
第七群.47 －
二、 集群分析與知識結構圖之分析
基於上述結果，比較第一群、第二群及第四群之知識結構圖特性。
(一)第一群
第一群在三個相似性指數是得分最高之一群，共有40人，其中GTD及 PRX平均值與專家非常相似，但PFC平均值卻只有.31，觀察各實例之知識 結構圖後，發現第一群與專家的知識結構圖差異頗大，故將此群分成三 類，其中第一類與第二類的知識結構較相似，故提出來比較。
1.第一類
第一類為標準參照知識結構圖，學童對於加減法的邏輯概念非常 清楚，幾乎都可稱之為專家，教學者可加強其高階的邏輯訓練，在教 室並可指派為數學小老師，以指導其不會的學生。
2.第二類
第二類與標準參照知識結構圖非常相似，
其核心概念不是13就 是17，看了其做答情形，大約都是只錯第十八題，不然就是錯一步驟 中的其中一題，可能是不夠細心，或因題目繁多而不夠冷靜思考造成 錯誤。這些小朋友對於加減法的邏輯概念已蠻清楚，教師除了加強其 高階的邏輯訓練外，還可加強學童專注力之訓練。第一類與第二類之知識結構圖如圖4-2-17 至圖4-2-20所示，其比 較說明如表4-2-11，雖然第二類的GTD和 PRX指數跟標準參照相關很 高，但 PFC指數卻相差很大，而且在知識結構圖上也有些許差異，故 比較第一群第一類和第二類各實例概念與概念之間的差異，其說明如 表4-2-12。
研究發現這二類的小朋友對算式的變通性已非常清楚，拿其原始 考卷來分析，發現大都是使用算式填充題的算法，則更加肯定算式填 充題對邏輯的增進是很重要的。
表4-2-11 第一群第一類與第二類各實例之核心概念、能力值及指數值 類別 實
例 編號 人
數 分 數
核心概念
概念號碼 PFC GTD PRX 能力值 第一類 一 1,135,164,
186,199 5 18 13、17 1 1 1 2.141 一
46,63,69,84,51 ,252,272, 315,327
9 17 13、16 .214 .868 .985 1.567 二 71 1 17 17 .36 .917 .994 1.831 第二類
三 277 1 16 13、2 .172 .825 .978 1.341
圖4-2-17 第一群第一類實例一 圖4-2-18 第一群第二類實例一
圖4-2-19 第一群第二類實例二 圖4-2-20 第一群第二類實例三
表4-2-12 第一群第一類與第二類各實例知識結構圖不同之處
第17題 第13題與第17題的第二步驟分別為改變量未知與起始 量未知，而由圖所知，改變量未知較起始量未知簡單，
第14題 第14題、第10題和第18題都為三步驟的題型，屬於此
份測驗最難的題型，應位於知識結構圖的最底層。 雜亂鏈結
3.第三類
第三類與第一、第二類之PFC及知識結構圖相差頗大，故單獨把此 類提出來分析，第三類之比較說明如表4-2-13，其知識結構圖如圖 4-2-21 至圖4-2-26所示，觀察各實例之知識結構圖，發現各實例間有 一些相似之處，可將此類知識結構圖中的十八個概念依其相似之處分 三 95,138,239,
274,40 5 14 2 .214 .511
圖4-2-21 第一群第三類實例一 圖4-2-22 第一群第三類實例二
圖4-2-23 第一群第三類實例三 圖4-2-24 第一群第三類實例四
圖4-2-25 第一群第三類實例五 圖4-2-26 第一群第三類實例六
由上可知，各實例之概念鏈結雖然沒有完全精確，但都位於該區，
13、15、17 11、7、5 9、6、1、2 3、4、8
概 說明如表4-2-15，及知識結構圖如圖4-2-27 至圖4-2-40所示，觀察其知 識結構圖，發現與第一群中的第三類各實例之間有非常大的相似之處，
可將此類知識結構圖中的十八個概念依其相似之處分成五區，第一、二 區與第一群第三類第一、二區一樣都為三步驟；第三區與第一群第三類 第三區一樣都為二步驟；但剩下的概念卻與第一群第三類不同只能分出 二區，第四區為概念11、7、5、1、2；第五區為概念9、6、3、4、8。
表4-2-15 第二群各實例之核心概念、能力值及指數值 十二 175,319,44,
77,163,198 6 13 2 .172 .478
.881 十三 20,162,171,
177,204,242 6 14 2 .214 .511 .933 0.5054 十四 213 1 16 2 .172 .534 .941 0.5599
圖4-2-27 第二群實例一 圖4-2-28 第二群實例二
圖4-2-29 第二群實例三 圖4-2-30 第二群實例四
圖4-2-31 第二群實例五 圖4-2-32 第二群實例六
圖4-2-33 第二群實例七 圖4-2-34 第二群實例八
圖4-2-35 第二群實例九 圖4-2-36 第二群實例十
圖4-2-37 第二群實例十一 圖4-2-38 第二群實例十二
圖4-2-39 第二群實例十三 圖4-2-40 第二群實例十四
由以上分區可看出此群學童的基礎知識結構與第一群第三類學童的知識 4-2-19，及知識結構圖如圖4-2-41 至圖4-2-43所示：
表4-2-17 第四群各實例之核心概念、能力值及指數值
區域 第四區 第五區
編號 11、7、5、1、2 9、6、3、4、8 概念 第11題為二步驟的混合型改變
圖4-2-41 第四群實例一 圖4-2-42 第四群實例二
圖4-2-43 第四群實例三
觀察此群各實例知識結構圖，發現概念14幾乎都在頂端，而概念14為三 步驟的問題類型，答對率只有.1866。而概念3、6、1、9、8、4、11、5、2 都在固定位置，發現這些概念皆為不同類型，並無直接鏈結關係，且相距甚 遠，算式混亂，所以此群集學童可能習得表面知識結構而無深層知識結構。
涂金堂(2002)指出，生手知識結構是以表面結構特徵所形成的，生手的知識 結構是缺乏系統與組織的結構，而專家具有較系統與組織的知識結構。對照 原始作答情形，此群平均答對率為.37，作答情形極為不理想，推測學童可 能對加減法文字題概念不甚了解，針對此群學童教師須利用課外的時間，進 行加減法文字題的補救教學。