4.2 卷 5 內容分析
4.2.8 球率
2 3
0.785 3 0.524 1244.592
V = x ⋅ + + x x =
3 2 3
0.785 3 0.785 1244.592
2375.17538 0.524x 0.524⋅ x x 0.524
⇒ + + = ≈
3 2
2.4980916x 4.4942748x 2375.17538
⇒
+ =12
⇒
x≈第一題還是榨形的問題，不過比卷 4 的處理更為巧妙，可以看出村松運算數 字的微妙，第二題則是榨形的切割，需用到比例概念與帶縱開立概念，而第三題 即是方台容方錐問題，而最後一題村松提了卵形的體積問題，此題使用的球法 0.524 在下一節球率有介紹。
4.2.8 球率 球率 球率 球率
本節村松僅對球的體積算法做說明，如下：
球率者事繁，難委細記之。如平圓，將串一尺之球，(削成)幾片薄片為 各圓台，疊其坪數，作寸坪五百二十四之定法也。
今貫一尺之球大凡削百片，有各貫一分之圓台百片，雖各廣徑、狹徑有 之，然以狹徑與廣徑同寸之圓豎而合積坪時，比五百六十二坪少，又以廣徑 與狹徑同寸之圓豎而積坪時，合百片，比四百九十三坪零四多，以此可知球 法邪正之大凡。
137
村松提及削片與外徑所形成的圓柱推疊與內徑形成的圓柱推疊，而所求的球 體積即夾在此中。略作其示意圖，如圖 112 與圖 113：
圖 112 外切形成的圓柱示意圖 圖 113 內接形成的圓柱示意圖
村松將直徑一尺的球分成 100 片外切圓柱所形的體積 562 寸坪而內接圓柱體 積為 493 寸坪，村松並沒有說為何取 524 寸坪當作球體積，但我們以球體積正確 公式來看
4
34 ( ) 2
31 3.14
20.523
33 3 8 6
V = π r = π r ≈ ⋅ ⋅ d = ⋅ d
⋅
(其中 r 為球體半徑，d 為球體直徑)，當
d =
10代入時V =
523.33...而村松取的 524 是相當接近的。故村松 取 0.524 當作已知球體直徑求球體積的定法。4.2.9 步 步 步交帶縱 步 交帶縱 交帶縱開立方 交帶縱 開立方 開立方 開立方
村松並沒有解釋步交帶縱開立方的意思，依題目的意思，大概是要計算
3 2
ax + bx + + = cx d e
的解，但村松並沒有詳細說明他如何求解這些三次方程式，本節一共 9 題，茲舉 2 題說明，如表 60：
表 60 《算爼》卷 5.9 步交帶縱開立方 例題
原文 現代算式與說明
卷 5.9.113
今有立圓、平圓，共積九百二十八八 步坪交，只云平圓徑比球徑短三寸，問 各徑幾何？
答曰：古法立圓者五分，平圓者八分 用之立圓徑一尺二寸平圓徑九寸 。 術曰：置積，以球法五分除之，為實，
一球的體積與一圓面積總和是 928.8 而圓的直徑比球的直徑短 3 寸，則球的 直徑與圓的直徑各多少？
答：以古法球法 0.5，圓法 0.8 可得球 直徑 1.2 尺，圓直徑 9 寸。
令圓的直徑 x 寸
138
10.6 27 27 1857.6
x x x
139
江戶本町三丁目 西村又右衛門開板
村松說明五卷的內容繁多，雖然已經努力寫到容易理解了但是可能還是有困 難之處，希望讀者能漸漸融會貫通。
4.2.11 卷 卷 卷 卷 5 結語 結語 結語 結語
村松延續前四卷將同樣的主題放入變化的問題對該主題再次討論，在差分上 做了分組類型的等差數列，聯立方程則解決了四元聯立方程式，而在勾股弦上則 持續利用帶縱相應處理兩邊一起被截的直角三角形，而在弧矢弦上持續應用近似 公式去求兩圓相交所衍生出的問題，而在面積問題上也是利用弧矢弦討論扇形的 邊長關係，而且討論了正方形邊長成等差時，其總和與面積和的關係，甚至也有 正三角形、正方形、圓形三者間的面積問題，而且也出現方容圓與其他邊形的互 容問題，相對應的在體積上則有榨形的截塊問題與方台容方錐等問題，再再顯示 村松的巧思與延拓問題的能力。
本節最後的步交帶縱開立方應與《算學啟蒙》「開方釋鎖門」有關，不過村 松在其《算爼》的寫法為算術寫法與朱世傑在《算學啟蒙》利用天元術的寫法不 大一致，朱世傑有使用到籌式，但村松沒有，這方面並無法推敲出村松是利用哪 種想法所計算得到，筆者也僅列出現代符號對應，無從判斷其是否真的知道天元 術。
至於本卷最重要的球體積近似公式村松並無畫圖說明其如何推算，只有書寫 說將球直徑平分成 100 段求其外接圓柱體積與內切圓柱體積去夾住球體體積，估 算其直徑 3 次方與球體積的比率，不過其採用的數值 0.524 與現代若代圓周率為 3.14 可計算出來的數值 0.5233…相比是相當接近的，比之前的古法 0.5 或 0.51 都 還要精確。
140
第 第 第
第 5 章 章 章 章 結論 結論 結論 結論
藉由 3, 4 章的內容分析後，我們將在底下對《算爼》本書做最後的評論。
5.1 《 《 《 《算爼 算爼 算爼 算爼》 》 》 》的 的 的 的體例 體例 體例 體例與 與 與 與數學 數學 數學知識關係 數學 知識關係 知識關係 知識關係
《算爼》的編排方式仍是與和算前期的書目編排法一致，採用中算的「問─
答─術」的體例，與較早期的《塵劫記》一樣都有先介紹算術幾本常識即基數、
大數小數近位制、度量衡、九九乘法等，較為特別的是《算爼》多了介紹「用字」
即介紹專有名詞之意，此是和算書中較為特殊的地方。而其章節的編排上除了第 1 卷與中算中常用的九章(方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程、
勾股)編排順序上類似外(不過卷 1 只有提到面積、比例、差分、盈朒，即方田、
粟米、衰分、盈不足)，其他卷則是稍微不同的。
由於《算爼》的編排方式是由淺入深的，因此由卷 4 與卷 5，可以知道《算 爼》所涵蓋的數學知識如下，首先在算術上：等差數列已經可以計算級數和與其 求項數或是求公差的能力，且有運算子數列的能力。在解聯立方程式上，則可以 解到四元一次聯立方程式，而若每個聯立式指討論兩兩一組的，則可以解到八元 一次聯立方程式。而在幾何方面上：勾股弦、弧矢弦、面積切割與相容都做了相 關討論，在立體圖形上則對錐台類體積計算與切割有詳細的論述，對於圓周率與 球體積及球冠體積也有討論。可以說《算爼》討論的內容非常豐富。限於篇幅之 故，筆者將各卷的數學知識關係，列於附錄的表 61。
而由第 3、4 章的討論，可以清楚知道村松在編寫《算爼》時，其脈絡是一 層一層堆疊起來的，對於同一主題，村松也是一再的討論，將題目由淺入深慢慢 引入，例如由卷 2 的二元一次聯立方程式，一路進步到卷 5 的四元一次聯立方程 式，或是，在卷 3 村松教了雙弦股，到了卷 4 的步積就來使用此方法，這樣也呼 應著村松在卷 5 的跋文，他是希望這本《算爼》是可以在教學上使用。礙於篇幅 之故，筆者將各卷中相同的章節名稱或類似的數學知識作縱向分析，列於附錄的 表 62。
5.2 《 《 《 《算爼 算爼 算爼 算爼》 》 》 》在數學內容上與 在數學內容上與 在數學內容上與 在數學內容上與《 《 《豎亥錄 《 豎亥錄 豎亥錄 豎亥錄》 》 》的 》 的 的比較 的 比較 比較 比較
由第 3、4 章的討論，可以發現《算爼》在弧矢弦上採用了《豎亥錄》的進
141
路，改良了弧矢弦公式從《豎亥錄》的弧長公式
( ) 4
2 p
d h
h
=
+
，(d 為直徑，
h 為矢)，變成 ( ) 4
2.1495
p
d h
h
=
+
。在角法的研究上，《算爼》比《豎亥錄》
多討論了正十一邊形到正十六邊形。而在圓周率的選擇上，《算爼》是採用 3.14 比《豎亥錄》的 3.162 精確，在球體積的估算上《算爼》採用
V =
0.524d
3，(V 是球體積，d 是球直徑)，《豎亥錄》則是V =
0.51d
3。最後在球冠近似公式上《算爼》沿著《豎亥錄》想法提出重要的數學成就提出 2
5.9 2.95
ap d h V apd
−
= −
，(球直徑為 d，弦長 a，矢 h，弧長 p)，比《豎亥錄》的 2
6.2 3.1
ap d h V apd
−
= −
，還要準確。由此可知村松雖然也是以今村知商的進路。但在《算爼》上村松仍作了一些 進步，而非僅是照本宣科。
5.3 《 《 《 《算爼 算爼 算爼 算爼》 》 》 》的重要 的重要 的重要 的重要數學 數學 數學 數學成就 成就 成就 成就
村松在圓周率的貢獻是比當時代和算界還要進步的，可參閱第 115 頁中對圓 周率的討論，且藉由圓周率取 3.14 在計算跟圓有關的問題將獲得較為精確的答 案。不過由於其割圓術，割到圓內接正 32768 邊形時，其精確度也才到小數點後 第 7 位。因此，之後的和算家，將以其他種方法來估算圓周率，220只能說村松當 時費了很多功夫去估算圓周率。
村松在球體積的估計上提出消片疊加的方法，提供後代和算家計算球體積的 一個方法，例如：關孝和在其《括要算法》貞卷的求立圓積術裡，與村松的消片 法如出一轍，關孝和做了切 50 等分與 100 等分及 200 等分的計算。
《算爼》整體而言，並沒有太大的創新，但是我們從村松在此書的編排上看 見其用心，首先在其問題數目上，540 問，已可以說是囊括當時可以看見的題目 了，成為當時的題典或是數學百科全書也不為過，再來，《算爼》由淺入深的編 排且有螺旋式的安排，對於自學者或初學者而言，都易於掌握。在題目的選擇上 村松以實用數學為主軸搭派日文書寫，可以成為當時一部良好的和算教材。
220 參閱建部賢弘所著的《方圓算經》。
142
5.4 《 《 《 《算爼 算爼 算爼 算爼》 》 》 》在教學上的省思 在教學上的省思 在教學上的省思 在教學上的省思
由數學教育的觀點來說，村松在自序中以教導數學初學者為出發點，寫下《算 爼》本書。既然要做到是給初學者所參考的書籍則基礎的算學知識便不可不談(見 卷 1)，而其之後所編寫的中由淺入深的方式與縱向與橫向性的連結，均是給中學 教師們若要自編教材時一份好的借鏡。
村松在選擇題目上除了有數學知識的傳承外也有知識體系的創新，在題材上 有《塵劫記》討論過的問題，也有村松自行延展的問題，且村松在弧矢弦與球圈 之公式上也對今村知商做了改良。在圓周率的選擇上也是一大進步，成為數學史 料的重要見證，而《算爼》的章節安排上也頗為特別，村松跳脫中算裡九章固定 順序，依數學知識的需要而在每一卷中做適當的編排。提醒中學教師在平日授課 時應當留意數學知識的連結性與教材的脈絡上。
最後，筆者認為仍有部分工作是未能在本論文中完成的，有待日後努力的有 以下三方面：其一是《算爼》的內容豐富，要討論的議題無法在本文中一一介紹，
甚為遺憾。其二是對於村松所處時代的文化與學術背景未能全盤理解，若能夠更 貼近其中心思想，對於當時和算的重現，將有莫大的助益。其三是期望能有機會 對於和《算爼》處於同一時代的和算著作一比較，礒村吉德所著的《算法闕疑抄》
是考慮的對象之一，但礙於筆者日文不夠熟習，因此在本文作罷。藉由此三方面 的研究，期盼能對《算爼》的內涵有深一層的認識，並對於數學教學上能提供更 多的助益。
143
附錄 附錄 附錄 附錄
表 61 《算爼》數學知識列表
卷數 章節名稱 數學內容
卷 1
數之類 算學常識
因乘、歸除 九九乘法、珠算除法 乘直、歸直 一次乘除法
因乘、歸除 九九乘法、珠算除法 乘直、歸直 一次乘除法