開立方

在開立方此節村松一開始給再自因(三次方)的表(表 25)，與判斷位數的表 (表 26)：

再自因

表 25 再自因(三次方)的表

一一 一 二二 八 三三 二十七

四四 六十四 五五 百二十五 六六 二百十六 七七 三百四十三 八八 五百十二 九九 七百二十九

表 26 開立方判斷位數的表

一 千 兆 秭 澗 溝 此種者一位 十 萬 京 穰 正 此種者十位 百 億 亥 溝 載 此種者百位

坪數

有一坪 商置一 一一之一坪減也 有十坪 商置二 二二之八坪減也 有百坪 商置四 四四之六十四坪減也

坪數

有九坪 商置二 二二之八坪減也 有九十坪 商置四 四四之六十四坪減也 有九百坪 商置九 九九七百二十九坪減也

坪數有千時，同一坪；又萬坪同十坪，億同百，兆又同一坪，階階如此，故 定為一位、十位、百位也。若干之數也。看做本一以上、千以下也。所謂大數與 小數，乃視位而慢，故大數退下、小數進上，視為中數也。以書面計，無口傳者，

不及于初心自學乎？¹⁵⁰

在此村松應是提醒待會在開立方時需要三位三位一數即千進位。這裡村松除 了介紹開立方術還介紹了相應開立與帶縱開立，本節共 3 題如表 27：

150 引自引自徐澤林，《和算選粹補編》，p.102。

57

表 27 《算爼》卷 2.9 開立方 例題

原文 現代算式與說明

卷 2.9.63

圖 31 卷 2.9.63

今寸一萬五干六百二十五坪，以是作 六面同寸，問方各幾何？

答曰：二尺五寸。

術曰：積為實，視位而十位也。商置二 尺^二二八千坪減，有余實七千六百二五，

又商二尺自因^四百步 ，是乘三面^千二百步，以之一 位除時，為第二商五寸。又二商自因

二十

五步，乘第一商二尺^五百坪 ，是乘三廉，千五 百坪減，又隅^五五百二十五坪減，得商二 尺五寸也。

可參看圖 31 卷 2.9.63

(

^{3 2 2 3}

)

15625− 20 +20 × × + × × +3 5 5 20 3 5 =0 得邊長 25 寸

卷 2.9.64 相應開立

今寸坪二千六百八十八坪，是用厚六 寸、幅七寸、豎八寸之相應，問豎寸幾 何？

答曰：一尺六寸。¹⁵¹

術曰：置坪數，別相應之豎八寸再自因

五百十

二坪 ，是乘積^{百三十七萬六千}二百五十六坪 ，為實，別相應之 厚與幅、豎再相因^三百三十六坪，是為法，除實，

得四千零九十六坪，是開立方法除，合 答。

又求厚、幅亦同也。

體積 2688 寸坪，若以長 7 寸、寬 6 寸、

高 8 寸的比例做長方體，請問高多少？

答：高 16 寸。

8

3

= 512

， 2688 512 1376256

× =

， 6 7 8

× × =

336，1376256 336 4096

÷ =

3

4096 = 16

卷 2.9.65 體積 37888 寸步，長與寬同長，高比長

151 徐澤林錯字成六尺一寸，今改為一尺六寸。

58

帶縱開立

今寸三萬七千八百八十八坪，將其厚 幅同寸，豎長五寸長，問各幾寸？

答曰：豎三尺七寸。

術曰：積為實，視位而十位也。商置三 尺，^三三二萬七千減，又差五寸二度乘商 三尺，四千五百坪減，實有余六千三百 八十八坪。又商自因^九百步 ，乘三面^二千七百步 ， 為法，別商三尺與差五相乘^百五十步，是乘二 面^三百步 ，加法，共三千步，以一位除，商 二寸。又廉二寸自乘^四步，是乘一商三尺

百二

十坪，又乘三面，三百六十坪減，又隅^二二之 八坪減，又差五寸二度乘以商，二十坪 減，商得三尺二寸，是厚幅也，是加差 五寸，三尺七寸，是則豎寸也。

還長 5 寸，求高幾寸？

答：高 37 寸

求解

^x

²

( ^{x + =}

⁵

)

³⁷⁸⁸⁸

37888 30 −

3

= 10888

^，

30

²

× = 5 4500

10888 4500

− =

6388

(

^{2 2}

)

6388 − × 3 30 × + × × 2 3 30 2 = 628

(

²

)

³

628 − × × × +



5 2 30 2 2 + 2



= 0

得長與寬 32 寸，高為 32 5 37

+ =

寸

開立方術即一般的開立方的法，村松也附了一個正立方圖形供參考，而相應 開立僅是對長、寬、高設定比例再去計算，最後的帶縱開立提供議得方式求得。

3.2.10 卷 卷 卷 卷 2 跋文 跋文 跋文 跋文

閱近年開板之算書，以自勘將難解之算法號曰法之則，記問計、不注答，

待他家注法之板行，不正而謂正矣。問意深淵者，而正法注之者鮮矣。粗學 者凝然不達。或人謂予曰：為何附法不利人乎？故測予昔惑不得止而附法，

并括其式理于象形也。夫如《算學啟蒙》之法式唯有之，異朝之法者，故不 浹洽倭朝之風俗，而學者非可及也。依之效于倭俗，間以予之新術無少交加 之，於三、四、五卷中記之也。或有以術自炫者，采摭此法律，花言巧語(稱) 篤自遍日知之，誑初學者而教邪法，(相)對于(此)，此各條之法理探問之，

則顯晦分明矣，善通達之士委細講說時，則以成善師哉。

由前段跋文可看出村松對於當時在著作後遺留題目而未做解答的書籍，採取 批評的態度，認為此事是不正確的態度。對於想要求學的初學者而言，若不給題 目的作法又如何學習？並說《算學啟蒙》雖然是好書但因不符合日本人的習慣因 此村松在卷 3、卷 4、卷 5 盡其能力來詳加解說，並以此勉勵若能詳細說明算法 者就成為好的老師了。

59

3.2.11 卷 卷 卷 卷 2 結語 結語 結語 結語

由卷 2 開始，村松就開始以同樣的主題放入較深的問題作該主題的二次探討，

亦即在學習上的螺旋課程，¹⁵²以此安排較容易學習。卷 2 開始學習二元一次聯立 方程與等差數列的問題，也出現角法的數據以供之後的卷所使用，卷 2 有討論簡 單的堆垛問題與其轉化為面積的看法處理，本節開始介紹錐台類型的體積公式的，

還有球體的近似公式，而最後的開平方、開立方法也是為之後的其他卷做準備，

縱觀卷 2 可以發現，從者這邊開始其所討論的數學已經較為偏離平常會使用到的 數學了。因此卷 2 之後，村松即開始放入較為困難的數學問題。

3.3 卷 卷 卷 卷 3 內容分析 內容分析 內容分析 內容分析

為方便讀者查閱，筆者將卷 3 的數學知識列表如表 28：

表 28 卷 3 數學知識

卷數 卷數卷數

卷數 章章章章節名稱節名稱節名稱節名稱 數學知識數學知識數學知識數學知識

卷 3

勾股弦 勾股差與弦求三邊，任意三角形三邊求某邊高(雙弦股) 積直 平方垛、繼子立、魔方陣

相應 4 組前後項比例不同、喝酒倒酒問題、3 樣東西按比例分給 3

個人

差分 等差數列分向前與向後兩個方向，末項與首相有關之等差問 題

雜分 等差與比例相關的綜合問題

盈朒 解三~八元一次聯立方程式(每個聯立式中僅放入 2 種未知數) 弧矢弦 徑矢弦公式(正確)、弧矢弦公式(近似)、弓形面積公式(近似) 步積 三角容三角、土地分割、面積增加、勾容圓、勾容方、環形

面積

坪積 錐台類給某邊長或高與體積，求另一邊或高、球冠公式(近 似)、球表面積公式(近似)

《算爼》卷 3 的目錄如表 29：¹⁵³

152 螺旋課程，由 Jerome S. Bruner, (1915~)於 1966 年出版《教學理論之建構》提出螺旋課程(spiral curriculum)的構想；將課程內容隨年級上升而做多次循環，藉以增加其結構性，而有利於學生 學習。引自張春興，《教育心理學：三化取向的理論與實踐》，p.217。

153 因排版之便筆者將其作為表格並橫向排列且數字採用阿拉伯數字，原文數字為漢字。

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表 29 《算爼》卷 3 目錄

勾股弦 積直 相應 差分 雜分 盈朒 弧矢弦 步積 坪積 目錄終 7 問 14 問 9 問 13 問 3 問 7 問 13 問 35 問 40 問¹⁵⁴ 合 141 問¹⁵⁵

3.3.1 勾股弦 勾股弦 勾股弦 勾股弦

在卷 3 的勾股弦此節中再次對直角三角形的問題做討論，而本節最重要的問 題是提出「雙弦股」的計算，「雙弦股」在討論給定三角形的三邊做一邊的高求 此高或被這個高所截的邊長，這個算法在後面的問題會一再出現。本節共收錄 7 題，包含一開始介紹勾股弦三邊長的比例關係、給兩邊求第三邊、給勾股差與弦 求勾、給勾弦和與股求勾、給股弦和與勾求股、及雙弦股問題。茲舉 3 個例題如 表 30：

表 30 《算爼》卷 3.1 勾股弦 例題

原文 現代算式與說明

154 經筆者計算坪積此類問題實際上有 40 題。

155 由註解 154 可得卷 3 合 141 問，註解 154、155 均已參閱佐藤健一，《算爼―現代訳と解説》

與日本東北大學附屬圖書館和算資料データベース網頁《算爼》電子圖檔查證。

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63

64

65 圖 37 卷 3.2.13

個、桂 4 個、銀 4 個、金 4 個、角 2 個、飛 2 個、玉 1 個、王 1 個，共 40 個，按照圖所排，逢十去一，則去掉的 順序是步 9 個、香 2 個、桂 2 個、銀 2 個、金 2 個、角 1 個、飛 1 個、玉 1 個，再步 9 個、香 2 個、桂 2 個、銀 2 個、金 2 個、角 1 個、飛 1 個，剩下王。

加 留 田 十 落

馬 二 五 九 五 六 八 七 三 虫 腰 四 如前

，列 圓形 亦同

158

二 八 七 腰 馬 六 五 虫 十 三 九 二 六 四 十 十 十 虫 八 八 七 三 二 五 六 馬 四 虫 馬 九 七 九 腰 三 四 腰

圖 38 加留田十落

加留田十落如圖 30，其玩法是由馬、二、五、九、¹⁵⁹….的順序念下去到第 一列唸到四的時候轉成二、八、七、…依序到第四列最後一個腰字再接回馬，一 樣也是逢十去一，則文字消掉的順序為 4 個虫再 4 個二、三、四、…、九，再 4 個馬、4 個腰。

分野所司之圖

圖 39 三階魔方陣

洛書者，云列幾連。

調行如四行，半行如三行也。

圖 40 四階魔方陣

縱之四數各三十四 橫之四數各三十四 隅至隅亦各三十四

158 《算爼》原表格是畫直的，今為了排版方便，改成橫的。

159 加留田是日本紙牌有「虫」、「二」、「三」、「四」、「五」、「六」、「七」、「八」、「九」、「腰」、「馬」

個 4 張，共 44 張，是當時流行的南蠻紙牌，這是日本國採取封閉政策時流行的紙牌。引自平 山諦著，代欽譯，《通俗名著譯叢─東西數學物語》，p.18。

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魔方陣請參考圖 39 與圖 40。分別是三階魔方陣與四階魔方陣。

在積直本節首先我們注意到一開始收錄的方錐並與三方錐並的問題，在卷 2 是收錄平面型態的三方並，而且是放在步積此節，但轉成立體的錐並時，村松將 此類問題改成積直，且不是坪積此單元。倒是第三個問題卷 3.2.10 這一題與卷 1.5.47 飛腳追道行人的題目與卷 2.1.4 砲彈消耗問題，其本質就比較相似。之後 村松就收錄了十落的問題，十落因是取其「逢十去一」的意思，在圖 35 卷 3.2.11 中有出現《塵劫記》「繼子立」這幾個字，其圖形可以與《塵劫記》的「繼子立」

問題對應，剩下的問題就是村松自己創造的新玩法。例如：增加五與六點、日本 象棋的擺法、加留田十落問題。關於村松的十落問題，筆者參閱平山諦所著的《東 西數學物語》中的解說才理解村松畫這些圖的意思。¹⁶⁰本節最後村松討論了魔方 陣的問題，村松稱之為分野所司之圖，由 3 3

×

階的圖形中，就如同一般定義的魔 方陣要求列、行、斜相加總和都要一致，之後 4 4

×

階的圖形也是一樣，村松還有 收錄19 19

×

階的魔方陣。

3.3.3 相應 相應 相應 相應

在卷 3 的相應此節依然是計算比例相關問題。本節共 9 題，內容包含了銀分 給四組人各組錢的比例不同、利息不同合本利、由兩人分貸利息不同年份不同求

在卷 3 的相應此節依然是計算比例相關問題。本節共 9 題，內容包含了銀分 給四組人各組錢的比例不同、利息不同合本利、由兩人分貸利息不同年份不同求

在文檔中 村松茂清《算爼》之內容分析 (頁 68-0)