因歸直

村松沒有在《算爼》中介紹何謂因歸直，可能此術語在當時候已經是大家皆 知曉的說法了，又或是其師祖今村知商在《豎亥錄》中已經解釋了，故村松不再 說明。在《豎亥錄》中因歸直的解釋為「以間數與某間之尺數相因乘，而得步數 為實，直間之尺數為法^間_位，歸除則得幾間幾尺，為商也。⁷⁹」是指將大單位轉換成 小單位，再將小單位轉換成另一大單位；或是小單位轉換成大單位，再將大單位 轉換成另一小單位。亦即乘直與除直的應用。本節題目只有 19 問而非目錄的 27 問。本節題目內容包含了間與尺轉換、布長度與價格轉換、松木與杉木價格轉換、

畝與反及石的轉換、谷與銀的轉換、本金與利息之關係、人數與日數及米量之關 係、金與貫文之轉換，及幾何題：計算縱橫田、勾股田、⁸⁰山形、⁸¹菱形、⁸²片狹 田的面積與邊長的關係、⁸³平圓的直徑與周長還有面積關係、⁸⁴圓縱橫的長與寬 還有面積關係、⁸⁵最後討論面積用十進制邊長換算時會變成百進位、及體積用十 進制邊長換算時會變成千進位的論述。茲舉 4 個例題如表 8：

表 8 《算爼》卷 1.3 因歸直 例題

原文 現代算式與說明

卷 1.3.19

今布一端，長二丈五尺，價銀五匁也。

應此價，銀二匁五分，問布幾尺？

答曰：一丈二尺五寸。

術曰：置二丈五尺，乘二匁五分，以五 匁除，合荅。

長 2 丈 5 尺的布賣 5 匁，則有 2 匁 5 分可買多少布？

答：1 丈 2 尺 5 寸

2.5 丈 2.5

×

匁 5

÷

匁=1.25 丈 卷 1.3.31

平圓

已知圓的直徑長求圓周長？或已知圓 的圓周長求直徑長？

答：如圖

79 引自徐澤林，〈豎亥錄》，《和算選粹補編》，p.9。

80 勾股田指的是直角三角形的田。

81 山形指的是三角形。在《算法統宗》稱為圭形，在《九章算術》稱為圭田。

82 菱形即現在所指稱的四邊等長的四邊形。在《算法統宗》稱為梭形。

83 片狹田即一邊有直角的梯形。在《算法統宗》稱為斜形，在《九章算術》稱為邪田。

84 平圓即是圓形。在《算法統宗》與《九章算術》均稱為圓田。

85 圓縱橫是一個長方形在其寬或長的兩邊各自接上一個半圓，類似現在操場的形狀。在《算法 統宗》稱為欖形。

22

23

24

如何得到的，筆者採用村松的師祖今村知商在《豎亥錄》的圓面積求法「以徑知 尺數與周之尺數相因乘而得步數，四歸之，則得步數，是寸步也。⁹²」此即《算 法統宗》之歌訣「周徑相乘四歸是。⁹³」因此若令直徑為 D，圓周長為 C，圓面 積為 A，圓周率為 3.14，則術文中的法是依下面方式求得的

( )

^{2 2}

1 1 3.14

3.14 0.785

4 4 4

A = DC = D D = D = D

2 2

1 1 1

0.07962

4 4 3.14 4 3.14

A DC



C



C C C

= =

 

= × ≈

由最後兩個例題，村松除了瞭解在面積的計算上間與尺的互換外，也知道在 10 進位制的換算上面積是邊長的平方倍即 100 倍，而體積的換算上體積是邊長 的立方倍即 1000 倍。在因歸直本節中村松在幾何的問題上，適當的放了圖形以 供讀者了解基本圖形：縱橫田、勾股田、山形、菱形、片狹田、平圓、圓縱橫的 面積計算與邊長關係。

3.1.4 次第 次第 次第位直 次第 位直 位直 位直

由於村松並無解釋次第位直的意思，《塵劫記》、《豎亥錄》也無相關的名詞 記載，筆者僅就《算爼》中題目的意思進行解釋，大致上是指 A 物品用了兩個以 上的單位(例如：6 里 13 町)而想將 A 物品的單位轉換成 B 的單位計算(例如：換 成錢或重量)。本節題目共 8 題，包含了間與尺之轉換再轉成人數、貫文換銀、

鉛與錢的換算、金一分可買沉香多少、銀一枚可買伽羅多少、⁹⁴一俵換算金、銀、

錢，花多少錢買米、給谷與金跟金與銀的關係問銀可以買多少。茲舉 2 個例題如 表 9：

表 9 《算爼》卷 1.4 次第位直 例題

原文 現代算式與說明

卷 1.4.37

今道里六里十三町四十八間三尺，每 五尺間各置一人，問立幾人。

答曰：一萬七千九百二十五人。

術曰：置里町間尺，六里乘三十六町^二百二十九 町，四十

八間三尺，又町以上乘六十間^{一萬三千七百}八十八間三尺，又間

道里 6 里 13 町 48 間 3 尺，每 5 尺設置 1 人，可設置多少人。

答：17925 人

6 36 13

× + =

229町 ⇒ 229 町 48 間 3 尺 229 60 48 13788

× + =

間 ⇒ 13788 間 3 尺 13788 6.5 3

× + =

89625尺，

92 引自徐澤林，〈豎亥錄》，《和算選粹補編》，p.27。

93 引自梅榮照、李兆華，《算法統宗校釋》，p.226。

94 「伽羅」是梵語「tagara」的略語，也是沉香。引自徐澤林，《和算選粹補編》，p.79。

25

以上乘六尺五寸^{八千九百六}十二丈五尺，是以五尺除，

如答。

89625 5 17925

÷ =

人

卷 1.4.40

今沉香三十一匁五分，價金三分三 銖，買時金每一分，問買沉香幾何？

答曰：八匁四分。

術曰：置三分三銖，銖以下以四分除，

得三分七五，以其除香，合答。

沉香 31 匁 5 分，價金 3 分 3 銖，則金 一分時，問可買沉香多少？

答：8 匁 4 分

3 銖 4

÷ =

0.75分 ⇒ 3 分 3 銖=3.75 分 31.5 3.75

÷ =

8.4(8 匁 4 分)

第一道問題也是村松在次第位直這一節擺放的第一題，6 里 13 町 48 間 3 尺 的單位一共要轉換三次之後再用除法把答案算出來。第二道題目則說明當轉換成 另一單位時，最主要的是化為以一個為單位，例如本題的金一分買多少沉香，這 樣的問法佔次第位直中大多數的題目。

3.1.5 積直 積直 積直 積直

村松在《算爼》中並沒有介紹何謂積直，但今村知商在《豎亥錄》中有說明 積直為「以有萡方之寸數自因乘而得步教，⁹⁵于是用枚數因乘，而得步數為實，

以直萡方之寸數自因乘，而得步數為法^枚_位，歸除，則得幾枚幾步，為商也⁹⁶。」是 指大面積轉換成小面積時，小面積需要用到多少。但是實際上村松安排的題目不 一定都是面積間的轉換，仍有包含一次式的轉換與體積間的轉換。本節題目共有

10 問，內容有窗戶間隔、飛腳追道行人、⁹⁷3 寸箔改 4 寸箔、5 尺屏風貼 4 寸箔、

周 3 尺之把綑成周 4 尺、35 步屋頂以幅 2.5 寸板 2 寸去鋪、縱 120 間─橫 90 間 的庭院以方 1.3 尺草坪鋪、縱 1.2 尺─橫 5 寸─高 5 寸的箱子以方 4.9 寸─深 2.7 寸盛、一根厚 8 寸─幅 1.2 尺寸─長 1.6 丈的木頭改長 1.2 丈的 4 寸角。茲舉 4 個例題如表 10：

表 10 《算爼》卷 1.5 積直 例題

原文 現代算式與說明

卷 1.5.47

今道行人，每一日行八里半也，此者二

道行人 1 日可走 8.5 里，若比飛腳早 24 天出發，而飛腳 1 日可走 42.5 里，則飛

95 萡，同「箔」，蓆箔、葦箔的意思。引自徐澤林，《和算選粹補編》，p.52。其中葦箔是指以蘆 葦為原料織成的簾子。

96 引自徐澤林，〈豎亥錄〉，《和算選粹補編》，p.9。

97 飛腳，江戶時代運送郵物的人。一般人對「飛腳」的印象大多是揹著「状箱」(裝書信的箱子) 趕路。其實以馬匹載馱書信或行李，騎著馬慢慢行進的「宰領」(さいりょう；負責整頓)，也 是「飛腳」的一種。引自山本博文，《回到江戶過生活──比現代東京有趣 100 倍的美好時代》，

p.137。

26

27

盛幾升。

答曰：七升四合零四抄三撮二。

術曰：將箱積化為斗寸四百八十坪為 實，別升方四寸九分自乘^二十四步零一，又乘深二 寸七分^{六十四坪八}分二厘七毫，是為一升之法，除實，合 答。

答：7 升 4 合 4 抄 3 撮 2

12 5 8

× × =

480坪，

4.9

²

= 24.01

^， 24.01 2.7

× =

64.827

480 64.827

÷ =

7.40432227...

≈

7.40432

第一道追人問題是日常生活常有的問題，再度說明《算爼》確為實用數學。

其討論的是一維空間問題。而第二道問題恰好就是《豎亥錄》所說的萡的轉換，

由此也說明像《豎亥錄》只給術文的書籍，在說明「術」時仍需以日常生活的事 物當作介紹。第三道問題是延續第二道的應用問題，在鋪地毯時如果材料不夠的 話，可以問是縱向鋪還是橫向鋪。至於第四道題目，筆者想點出村松在此仍有放 進立體的物品去計算，不像《豎亥錄》的介紹，僅介紹面積的換算。

3.1.6 相應 相應 相應 相應

村松在相應的標題之後馬上做補充：

相應 相應 相應

相應 和利也¹⁰²

假令云外幾和利、內幾和利，外二和利時，置一個，加和利二份，一個二分，

是外二和利之法也。問內二和利，置一個，減和利二分，餘八分，是內和利 之法也。數位共云，¹⁰³三和利、四和利亦如此也。¹⁰⁴

意思是說要算外二和利時，即是計算1 0.2 1.2

+ =

再按照題意去做乘或除法，

而碰到內二和利時，則計算1 0.2 0.8

− =

再依題意做乘除法運算，而相應就在計算 比例相關問題。本節題目共有 8 題，內容有銀元的外和利增減、內和利增減、中 矢佔總矢的比例、工程分配兩郡所出人力、行李運送分配人力等問題。茲舉 4 個 例題如表 11：

表 11 《算爼》卷 1.6 相應 例題

原文 現代算式與說明

卷 1.6.55

今銀百二十三匁，是以外二和利半

銀 123 匁，以外二和利半增，銀變多 少？

102 和利，又寫成「割り」，即日語「割り」的漢字表記，是漢語「比率」、「比例」、「利率」、「打 折」的意思。引自徐澤林，《和算選粹補編》，p.104。

103 原文為「目安共云」，目安，即做珠算乘除法時，作為基准而立的數。或者是算盤橫梁上標識 數位的文字。引自徐澤林，《和算選粹補編》，p.79。

104 引自徐澤林，《和算選粹補編》，p.75。

28

29

指¹⁰⁰

^{× −} (

^{1 0.2}

) ⁼

^{80，即外和利即是1 r}

⁺

而增就是用乘法、衰就是用除法，相對

於內和利是1 r

−

增就是用除法、衰就是用乘法，也就是不論外還是內和利增必定 增加、衰必定減少。

雖然村松在卷 1.6.60 此題並沒有說是命中率，但也利用相應概念提出命中狀 況了。至於最後一道卷 1.6.61 問題除了給出術文外，村松在解答完後，還特意以 小字做本題的評論「又云：以八千四百，除六百七十二，得每百石量八人，是乘 各郡之量，人數知也。此術雖為算師所嫌，是根本也。只要十分得心於此利，於 因歸自足也。」村松提供了另一個作法，即先算出每 100 石要花多少人，再看各 郡有多少 100 石，就知道要出多少人力了，不過村松說此數被算師所嫌棄，筆者 就其計算思路，也許是因為先算出每一單位要花多少人，可能常會算出除不盡的 狀況。但村松說這樣的算法是根本也，筆者同意他的看法，原因是只要知道一單 位多少人時，之後再多的單位只要乘上去就可以算出來。

3.1.7 差分 差分 差分 差分

村松沒有解釋何謂差分。而今村知商在《豎亥錄》中解釋差分為「以每間^六尺五寸 _{六 尺} 之間幾間並合而有間數，於是用六尺五寸因乘，而得尺數，內減去有間數之尺數，

而止於之尺數為實，六尺五寸之內減去六尺，而止於之寸數為法，歸則得六尺之 間數，為商也。¹⁰⁸」，而在程大位的《算法統宗》中衰分的意思如下，¹⁰⁹「衰者，

等也。物之混者求其等而分之，以物之多寡求之出稅，以入戶等第求之差徭，以

等也。物之混者求其等而分之，以物之多寡求之出稅，以入戶等第求之差徭，以

在文檔中 村松茂清《算爼》之內容分析 (頁 33-0)