盈朒

村松沒有解釋何謂盈朒。今村知商在《豎亥錄》中解釋盈朒為「盈朒之式者，

不依有品品驗也，¹¹¹並、互因乘而知多少，而多之內減去少，而止於之數為實，

法亦仿之，歸除而為商。又或互因乘而知多少，而多少合而為實，亦多之內減去 少，而止於之數為法，歸除而為商也，然何於物物有式之違哉？¹¹²」而在程大位

111 品品，為日語，各式各樣、形形色色的意思。引自徐澤林，〈豎亥錄〉，《和算選粹補編》，p.52。

112 引自徐澤林，〈豎亥錄〉，《和算選粹補編》，p.13。

31 式表出。盈不足術在西方數學中有契丹算法之稱，見於 Leonado Fibonacci 所著《算盤書》(Liber Abaci, 1202)，意譯則為疊借術，增損術，見 D.E.Smith, History of Mathematics, Vol.2, P441。

但從西文數學史著作所見，在中世紀，西方應用這一方法主要用於解決非盈虧類問題，與中

32

33

盈適足、不足適足，而從《九章算術》與《算法統宗》皆可看到這樣的編排但在

《算爼》卷 1 盈朒這一節中我們只看到盈不足與兩盈、兩不足這兩類題目，恰好 就是卷 1.8.65，卷 1.8.66，卷 1.8.67 這三道問題，有可能是村松知道在算適足時 可以看成前兩類問題的特例來處理，因此就不收入適足的問題了，按此推論，村 松確實了解盈不足術的內涵而編寫《算爼》。

3.1.9 卷 卷 卷 1 結 卷 結 結語 結 語 語 語

卷 1 大抵上是介紹基本記數規則，與簡單的數學計算。比較特別的在小數的 部分與中算略有差異，並且在本節就使用圓周率為 3.14 以供題目所用。而由卷 1 的編排，可以對應《算法統宗》與《豎亥錄》都是以計數規則開始。並從本節所 介紹的數學知識：介紹單位名稱、一次乘法除法、單位換算、邊長、面積、體積 的關係，在介紹簡單的面積計算與比例關係，還有簡單的利息計算跟盈不足術，

可以發現這些都非常適合日常生活應用，對於只是要簡單計算的平常人熟讀卷 1 應足於應付了。

3.2 卷 卷 卷 卷 2 內容分析 內容分析 內容分析 內容分析

為方便讀者查閱，筆者將卷 2 的數學知識列表如表 14：

表 14 卷 2 數學知識

卷數 卷數卷數

卷數 章章章章節名稱節名稱節名稱節名稱 數學知識數學知識數學知識數學知識

卷 2

積直 面積或體積換算

相應 比例計算、直角三角形的邊長比。

差分 三樣物品等差數列 盈朒 解二元一次聯立方程式

角法 圓內接正 3 邊形~正 16 邊形邊長與半徑及面積關係 步積 圓面積所截問題三方並、圓箭問題

簡單的堆垛問題

坪積 錐台類體積公式、正四面體、切籠形、球體積 開平方 開平方、相應開平、帶縱開平

開立方 開立方、相應開立、帶縱開立

《算爼》卷 2 的目錄如表 15：¹¹⁵

115 因排版之便筆者將其作為表格並橫向排列且數字採用阿拉伯數字，原文數字為漢字。

34 357175 7020

÷ =

50...6175

6175 36 171.527... 171.5

÷ = ≈

35

橫乘深，八十步，以之除實，知五十間 也。又自南埋平地時，溝之縱乘深，四 百步，以之除實，埋十間也。

20 4

× =

80步， 4000 80 50

÷ =

間 而由南開始填時

100 4

× =

400， 4000 400 10

÷ =

間 卷 2.1.4

今城中有鐵炮丸二百二十萬，每日拋 去十二萬五干，每日鑄加八萬五千也，

問幾日丸盡？

答曰：五十五日丸盡也。

術曰：以二百二十萬為實，別十二萬五 千內減八萬五干，以餘四萬除實，合 答。

城中有鐵炮共 220 萬顆，每日拋去 125000 顆，且每日會鑄造增加 85000 顆，問幾天會用盡鐵炮？

答：55 日

125000 85000

− =

40000， 2200000 40000

÷ =

55天

第一道問題圓木棍轉換成方木棍，此題在《塵劫記》已有類似的問題，而村 松在計算的過程中用到卷 1 圓面積的法，給定直徑求圓面積，即直徑平方乘 0.785，

0.785 3.14

= 4

，且也用到 1 間為 6 尺 5 寸的定數，這些隱藏在題目背後的比率，

村松假定讀者閱讀完卷 1 後已能知曉，故在術文中就不再說明。而第二道問題恰 在卷 1.5.52 題是類似的，其中的差異在於卷 1.5.52 這道題目是計算平面的，而卷 2.1.3 則是計算立體的，即除了長、寬外還可以計算深度，無獨有偶的第三道問 題與卷 1.5.47 的飛腳追道行人的問題本質上是類似的，在卷 2.1.4 的題目上是炮 彈消耗跟補充的計算。由後面兩道問題也呼應卷 1 所學的積直，在卷 2 繼續推廣 加深。

3.2.2 相應 相應 相應 相應

在卷 2 的相應此節中仍計算比例相關問題。本節題目共有 17 題，內容有計 算 3 年複利、由 3 年複利求本金、3 人按比例不同分配金錢、3 年複利求本來的 米量、每月還貸金求幾成利、有 1 年貸金算 1 個月得多少利、按比例分配 8 人土 地、4 人分按次第分黃金、利用配方調出薰香、勾股弦的邊長比及其他應用。茲 舉 6 個例題如表 17：

表 17 《算爼》卷 2.2 相應 例題

原文 現代算式與說明

卷 2.2.6

今銀一貫六百目，每年利加利，為外

有銀 1600 目，每年利滾利，為外二成 半，問三年本利和多少？

36

37

38

較多的黃金，並且按照次序由低至高分配黃金，就其術文，村松所指的次序應是 變成 1200、1500、1800、2100 這般，恰好是前面石配額差額的相加，即之前依 300 石遞減，分配黃金的比例時就按照 300 遞增。也就是將

1200 1500 1800 2100

+ + + =

6600當分母，分別將 1200、1500、1800、2100 當分 子，再分別與黃金 3300 兩相乘求得各知行高所可以領取的黃金。

卷 2 相應後面放了 8 題勾股弦問題，這裡比較特別的是在之後的卷，勾股弦 問題村松將它們獨立成勾股弦節，但是在卷 2 卻是收錄在相應裡，或許村松是取 其邊長比例為由，收錄在相應裡。由後面兩題，第一個是已知 3:4:5 的邊長關係，

計算勾 6 時，股多少；另一個則是若發生直角三角形被切開時，截口長度仍與原 來直角三角形有比例關係。

3.2.3 差分 差分 差分 差分

村松在卷 2 的差分延續配分比例概念不過比較的物品超過了兩個以上，村松 在此一共放了 5 道題目，茲列舉 4 道題目如表 18：

表 18 《算爼》卷 2.3 差分 例題

原文 現代算式與說明

卷 2.3.23

今銀三百目，其四分而次第十二匁 衰，問頭一份之銀。

答曰：九十三匁。

術曰：三百目為實，¹²⁵別置一、二、三，

疊成六個，此乘差十二匁^七十二匁，加實^三百七十二匁， 以四除，合答^此數亦稱幾衰也 。

有銀 300 目，分四份每份差 12 匁，問 頭一份多少？

答：93 匁。

1 2 3

+ + =

6，6 12 72

× =

，300 72 372

+ =

372 4

÷ =

93

卷 2.3.24

今三百個，其四分之，第一定九十個，

次第同衰，問其衰數。

答曰：衰差十個^{自第一起減，自}_{第四起增之法也}。

術曰：置九十個，乘分四^三百六_十個 ，內減三 百個，止余六十個，為實，別合一、二、

三，六個，以除實，合答置疊一、二、三者，分為四，

故置疊至三也。分為十，則置 疊至

九也。

有 300 個物品，分四份，第一份定 90 個，其他同衰，問衰數？

答：衰差 10 個。

90 4

× =

360， 360 300 60

− =

， 1 2 3

+ + =

6， 60 6 10

÷ =

卷 2.3.26

今馬三百匹，配於六人，第一定八十

馬 300 匹，配給 6 人，第一人定 80 匹，

第六人定 20 匹，且同衰，問差數

125 徐澤林錯字成三百目為時，今更正為三百目為實。

39

匹，第六定二十匹，第一至末同衰，問 差數。

答曰：差十二匹。

術曰：八十匹內減二十匹，餘六十匹為 實，別六人內減定法一人，余五人，以 除實，合答。

答：差 12 匹。

80 20

− =

60， 6 1 5

− =

， 60 5 12

÷ =

卷 2.3.27

今谷三斗七升裝者與四斗二升裝者合 五百俵，此石二百零一石五斗也，¹²⁶問 各俵數幾何？

答曰：四斗二升裝者三百三十俵，三斗 七升裝者百七十俵。

術曰：置五百，乘四斗二升，得二百十 石，此內減本石，止余八石五斗為實，

別以三斗七升減四斗二升，余五升為 法，除實，合答。

有 3 斗 7 升與 4 斗 2 升的容器共 500 俵，且共 201 石 5 斗，問個容器有幾俵？

答：4 斗 2 升裝者 330 俵，3 斗 7 升裝 者 170 俵。

500 0.42

× =

210石，210 201.5 8.5

− =

石 0.42 0.37

− =

0.05，8.5 0.05 170

÷ =

由上面的題目看來，村松的差分偏向等差數列的求首項與公差的問題，像第 一題就是給總和與公差及項數求首項，第二題則給總和與首項及項數求公差，至 於第三題則是給總和也給第一與第六項及項數求公差。而最後一題就其本意其實 與雞兔同籠是同樣的概念，雖然雞兔同籠在日本對應的應是龜鶴算，但是《算爼》

並沒有出現龜鶴算的問題，取而代之的問題即是本題討論給定總俵數與總容量，

而去算出不同容器的俵數。

3.2.4 盈朒 盈朒 盈朒 盈朒

村松在卷 2 的盈朒節已不討論盈不足術，反而進一步討論中算的方程，在程

126 徐澤林錯字成二百零一十五斗，今更正為二百零一石五斗。

40

150 15 25 13350 135 25 15 12075

x y

41

42

且未用書寫的方式記錄。

除此之外，第二題與第一題的解法其實不太一樣，第二題村松想將(檜 y)消 去，但採用的方法不是第一二式互乘(檜 y)係數，而是先將第一式的(檜 y)係數變 為 1 再乘以第二式(檜 y)係數，這樣第一二式係數就一致了，而採用這個方法的 好處在於求出(松 x)價錢後，可利用之前將(檜 y)係數變為 1 的式子馬上得到(檜

y)價錢。由這兩個解法，可看出村松確實是掌握了解二元聯立方程組的技術。

3.2.5 角法 角法 角法 角法

村松沒有說明角法是什麼，筆者引《和算選粹》(徐澤林, 2009)對關孝和所 著《括要算法》中利卷對角術的說明「角術即給定正多邊形(稱為角形)的邊長

a(稱為面)，尋找邊長 a 與外接圓半徑 R(稱為角中徑)、內切圓半徑 r(稱為平中

徑)之間的關係。¹³⁰」但在《算爼》中的角法裡村松給定的是固定半徑的圓內接 正多邊形，並去尋找正多邊形的邊長與勾(內切圓半徑+半徑)的關係及正多邊形 的面積，在《算爼》中村松從正三角形、正五邊形一路討論到正十六邊形的關係，

比今村知商的《豎亥錄》從正三角形到正十邊形還要多。但是村松與今村知商一 樣，對於邊長與勾還有面積的關係只給了法(比例)，沒有推論過程，故難以了解 當時是如何得到這些比例的，雖然村松於介紹完正十六邊形時說「右作角法，當 以規矩求，矩者，勾股弦也，規者，弧矢弦，其本卒也。以弧矢弦作角法，雖術 在四卷目八角十五角，然弧矢弦之法，大凡也，¹³¹故角法亦同前。¹³²」筆者試著 以村松所謂的勾股弦與弧矢弦推導，發現難度頗高，因此筆者將對正三角形與正 六邊形稍作解釋，並嘗試推導正五邊形的邊長與勾的關係。請參考表 20：

表 20 《算爼》卷 2.5 角法 例題

原文 現代算式與說明

卷 2.5.30

圖 10 卷 2.5.30

勾配= 0.5

= 0.57736

3 2 勾

≈

股

中勾= 3

0.866

2

≈

尺=8.66 寸 面積=

1

2 × ×

方 中勾

130 引自徐澤林，《和算選粹》，p.149。

131 大凡，大概的意思。

132 引自徐澤林，《和算選粹補編》，p.94。

43

44

45

46

3.2.6 步積 步積 步積 步積

村松解釋步積為「縱橫乘，和平方者，言步也，言坪者，誤也。¹³⁵」即在計 算平面圖形的面積，不過在卷 1 的因歸直此節有收錄較簡單的平面圖形面積，本 節則是比較複雜的圖形面積，共有 8 題，包含有給正方形邊長換算圓面積、給圓 求圓內接正方形、三圓相切求中間面積、四圓相切求中間面積、給正方形外周長

村松解釋步積為「縱橫乘，和平方者，言步也，言坪者，誤也。¹³⁵」即在計 算平面圖形的面積，不過在卷 1 的因歸直此節有收錄較簡單的平面圖形面積，本 節則是比較複雜的圖形面積，共有 8 題，包含有給正方形邊長換算圓面積、給圓 求圓內接正方形、三圓相切求中間面積、四圓相切求中間面積、給正方形外周長

在文檔中 村松茂清《算爼》之內容分析 (頁 42-0)