坪積

村松解釋坪積為「縱、橫、豎合乘，將方六面之物稱坪也。¹⁴¹」即在計算立 體圖形的體積，不過在卷 1 的因歸直此節有收錄長方體體積換算，本節則是收錄 比較複雜的立體圖形，共有 8 題，包含有方錐、方台、厚幅錐、榨形、¹⁴²厚幅台、

143蕎麥形、¹⁴⁴切籠形、¹⁴⁵丸。¹⁴⁶由於這些圖形的體積公式在後面的卷仍會使用，

故將他們都列出來如表 22：

表 22 《算爼》卷 2.7 坪積 例題

原文 現代算式與說明

卷 2.7.51

圖 19 方錐 卷 2.7.51

今方錐之方五寸，貫一尺二寸，問坪 數。

答曰：百寸坪。

令底邊長為 a，高 h，體積 V

1

2

V = 3 a h 1

2

5 12 100 3 × × =

141 引自徐澤林，《和算選粹補編》，p.95。

142 榨形，即《九章算術》中所指的芻甍。

143 厚幅台，即《九章算術》中所指的芻童、盤池、冥谷。

144 蕎麥形，即正四面體。

145 切籠形，即正立方體由各邊中點切 8 角，所剩下圖形，像燈籠狀。

146 丸，即球體。

49

術曰：方五寸自因，二十五步，乘貫一 尺二寸，三百坪，是以定法三除，合答。

卷 2.7.52

圖 20 方台 卷 2.7.52

今方台之狹方八寸，廣方一尺，貫九 寸，問坪數。

答曰：七百三十二坪。

術曰：狹方自因^六十四步廣方自因，百步，又 廣狹相因，八十步，三者合為二百四十 四步，是乘貫九寸，二千百九十六坪，

是以錐法三除，合答。

令下底邊長為 a，上邊長 b，高 h，體積

V

(

^{2 2}

)

1

V = 3 a + ab b + h

(

^{2 2}

)

1 8 8 10 10 9 732

3

× + × + × =

卷 2.7.53

圖 21 厚幅錐 卷 2.7.53

今厚四寸、幅六寸、串一尺二寸之厚幅 錐，問坪數。

答曰：九十六坪。

術曰：厚、幅相因，二十四步，乘豎一 尺二寸^二百八十坪 ，以錐法三除，合答。

令底邊長為 a，底邊寬 b，高 h，體積 V

1

V = 3 abh

1 4 6 12 96

3 × × × =

50

51

台等，也稱作積。用方錐、方台之術，

乘某某之步法，知坪數。

卷 2.7.56

圖 24 蕎麥形 卷 2.7.56

今四面之鱗形，六處各一尺，問坪數幾 許？

答曰：百十七坪八分三厘餘。

術曰：一尺自因，乘貫八寸一分六，又 乘步法四分三三，以錐法除，合答。是 三方錐之術也。又法，一尺再自因，乘 定法一分一七八三，合答。

正四面體邊長為 1 尺時，體積多少？

答 117.83…寸坪 正四面體的高為

3 2 2 6

1 0.816

2 3 3

× × = ≈

底邊正三角形面積為

2 3

1 0.433

×

4

≈

1 43.3 8.16 117.776

V = ×

3

× =

若採 2 ³

10 117.851

V =

12

× ≈

卷 2.7.57

圖 25 切籠形 卷 2.7.57-1

利用邊長 1 尺的正立方體做的切籠形體 積多少？

答 833.333 寸坪

切籠形是正立方體切掉 8 個角所形成，

這 8 個角體積一樣為

1 1 125

5 5 5

3 2 6

V = × × × × =

則可得切籠形體積為

3

125

10 8 833.333

V = − × 6 =

若知道蕎麥形、切籠形的球積可以用開 立方術求邊長

52 圖 26 正立方體的一角 卷 2.7.57-2

今切籠形之方豎一尺，問坪數。

答曰：八百三十三坪三三三。

△方平勾寸法一寸四分一四二

△方豎寸法同

△方再自因坪法二坪三五七

△豎再自因坪法八分三三三

術曰：置方豎之寸，再自因，乘坪法二 坪三五七、八分三三三，合答。

以一尺立方作切籠時，自八隅如此切落 三方錐八個也。以此坪數減千坪，余所 切籠之坪數也。

右有蕎麥形、切籠形之坪數而求方求豎 者，置坪數，以各坪法除，用開立術也。

卷 2.7.58

圖 27 丸(球) 卷 2.7.58

今丸^貫周，問坪數。

答曰：五百二十四坪七分三厘。

有球的直徑或大圓的周長，求體積。

=

3.14 周 貫

3

=

0.52473 球球積

貫

( )

³

3

= 3.14

×

球球積 球球積

周 貫

3

0.52473

= 0.0169491

3.14 ≈

53

△貫周之寸法 三一四

△貫再自因之坪法 五分二四七三

△周再自因之坪法 一厘六九四九一 術曰：置^貫周寸，再自因，乘^貫周坪法，合答。

有右之丸坪數，言^貫周時，置積，以各法 除，開立方法除，得商也。

本節所提到的圖形今村知商在《豎亥錄》都有提出，不過《豎亥錄》只有提 公式，但沒有實際的數字運算，村松則提供了實際的題目，但對於體積公式的證 明在《豎亥錄》與《算爼》兩本都沒有說明，可能是都接受了中算的公式，至於 立體圖形的名稱，和算有自己的稱呼方式與中算不同，而最後一個球體體積村松 並沒有說明公式為何，只給了直徑與體積之間的比例關係，這在卷 5 的球率中村 松會說明他的比例是如何求得的。

在文檔中 村松茂清《算爼》之內容分析 (頁 60-65)