村松茂清《算爼》之內容分析

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(1)國立臺灣師範大學數學系教學碩士班碩士論文. 指導教授：洪萬生博士左台益博士. 村松茂清《算爼》之內容分析. 研究生：廖傑成撰. 中華民國一○二年七月.

(2) 誌謝首先要感謝我在碩士班的指導教授洪萬生老師，老師在授課時旁徵博引各個時代、各個地方的數學典故，對於數學史觀也結合社會學的角度，使我們看到不一樣的切入點，使得數學史的學習成為有脈絡，立體式的觀點，而且也不時提出中學教師在教學上該注意的細節，另外每次上課時，老師似乎都有介紹不完的閱讀資料，不論是科普書籍還是上乘的論文著作，再再都灌輸我們還有許多可以閱讀研究的方向，而三年的時間不知不覺就過了，若沒有老師的指導，這篇論文也難以如期完成，真的非常感謝洪萬生老師。再來是感謝口試委員左台益教授與林炎全教授，謝謝您們不辭辛勞的於炎炎夏日來替我們指導，給予我們建議。還有要感謝在教學碩士班認真為我們授課的老師們：洪有情主任、李恭晴教授、趙文敏教授、陳創義教授、謝豐瑞教授、曹博盛教授、黃文達教授、蔡容青教授、楊凱琳教授、郭君逸教授、呂翠珊教授，感謝您們的教導讓我們對教學上又提升了知識與技能。接下來是感謝所有 HPM 的團隊，特別是博士班的俊瑋學長(同學)，沒有您的指導我可能不知道如何踏入和算研究，還有耀仁、建宏、美杏、裕仁、美倫、佳維同學，有您們一起努力與打氣，讓我們可以一起畢業，家銘學長、俊鴻學長、宜瑾同學有了你們的分享與建言讓我們成長不少。之後我要感謝錦和高中的數學科同事們錫璁老師、姿妙老師、禾凱老師、家玉老師、貞慈老師，在三個暑假替我上暑期輔導，讓我無後顧之憂，文偉組長與孟秀組長在課務上的安排也讓我能安心的進修，感激錦和團隊。最後我要感謝我的家人，特別是我的太太素卿，我們在碩班最後一年結婚，而且也在今年六月產下漂亮的寶貝，最後這一個月我幾乎沒幫到什麼忙，看著你每次都是一個人睡兩三個小時就要起來餵奶，才真的感受到母愛的偉大。感謝您與家人的協助，讓我能毫無憂慮的專心寫作，再多的謝辭都無法表達我內心的愧疚，真的謝謝您，素卿。. i.

(3) 摘要《算爼》於 1663 年成書，當時日本社會處於確立德川幕府的根基時代，在第三代將軍德川家光(1623~1651)領導之下，從幕府的組織制度開始，將統治機構和各項制度建置完成，參勤交替制度、鎖國制度，一切的作為均是為了日後幕府的穩定政權做準備。此時和算仍受中算影響較深，其內容仍以實用數學為主，仔細分析《算爼》後，發現有其獨特的風格。村松茂清(Muramatsu Shigekiyo, 1608~1695)屬江戶初期的和算家，是今村之商的徒孫，《算爼》的內容有不少是沿襲今村之商的著作《豎亥錄》加以說明的。或許是當時可以取得的數學知識來源較少，經筆者分析後，發現《算爼》受早期和算《塵劫記》，中算《算法統宗》、《算學啟蒙》影響頗深。仔細分析後，村松茂清仍在《算爼》裡整理了當時的數學，還利用割圓術發現了圓內接正 32768 邊形逼近的圓周率近似值 3.141592648777698869248。雖然，這個精確度只到達小數點後第 7 位 3.1415926，但村松使用 3.14 作為其圓周率的近似值，是當時和算界的一大進步。村松在弧矢弦問題與球冠問題上也採用比《豎亥錄》中更為近似的數據，《算爼》在選題上可以說是網羅了當時可以見到的和算書與自己所延伸的問題，因此成為一部 540 問的鉅作，可以說村松在承襲前人與數學創新上都有自己一套的成果。分析《算爼》後，發現除了可以給初學者使用的參考書外，亦可作為當時的一部數學辭典。關鍵字：關鍵字：村松茂清、村松茂清、算爼、算爼、圓率. ii.

(4) 目錄. 誌謝......................................................................................................................... i 摘要........................................................................................................................ii 目錄.......................................................................................................................iii 表目錄................................................................................................................... vi 圖目錄.................................................................................................................viii 第 1 章緒論.......................................................................................................... 1 1.1 研究動機 ................................................................................................................ 1 1.2 研究問題 ................................................................................................................ 2 1.3 文獻探討 ................................................................................................................ 2 1.4 研究方法 ................................................................................................................ 3. 第 2 章村松茂清與《算爼》的歷史脈絡.......................................................... 4 2.1 《算爼》成書時代背景 ........................................................................................ 4. 2.1.1 政治經濟背景.............................................................................. 4 2.1.2 社會文化背景.............................................................................. 5 2.1.3 數學知識發展背景...................................................................... 6 2.2 《算爼》的作者村松茂清介紹 ............................................................................ 9. 2.2.1 村松茂清的師承........................................................................ 10 2.2.2 村松茂清的數學成就................................................................ 11 2.3 《算爼》的簡介與重要性 .................................................................................. 12. 第 3 章《算爼》內容分析(上) ......................................................................... 15 3.1 卷 1 內容分析 ...................................................................................................... 15. 3.1.1 用字與數字類............................................................................ 17 3.1.2 乘直、除直................................................................................ 19 3.1.3 因歸直........................................................................................ 21 3.1.4 次第位直.................................................................................... 24 3.1.5 積直............................................................................................ 25 3.1.6 相應............................................................................................ 27 3.1.7 差分............................................................................................ 29 3.1.8 盈朒............................................................................................ 30 iii.

(5) 3.1.9 卷 1 結語.................................................................................... 33 3.2 卷 2 內容分析 ...................................................................................................... 33. 3.2.1 積直............................................................................................ 34 3.2.2 相應............................................................................................ 35 3.2.3 3.2.4 3.2.5 3.2.6. 差分............................................................................................ 38 盈朒............................................................................................ 39 角法............................................................................................ 42 步積............................................................................................ 46. 3.2.7 坪積............................................................................................ 48 3.2.8 開平方........................................................................................ 53 3.2.9 開立方........................................................................................ 56 3.2.10 卷 2 跋文.................................................................................. 58 3.2.11 卷 2 結語 .................................................................................. 59 3.3 卷 3 內容分析 ...................................................................................................... 59. 3.3.1 勾股弦........................................................................................ 60 3.3.2 積直............................................................................................ 63 3.3.3 3.3.4 3.3.5 3.3.6. 相應............................................................................................ 66 差分............................................................................................ 68 雜分............................................................................................ 71 盈朒............................................................................................ 73. 3.3.7 弧矢弦........................................................................................ 75 3.3.8 步積............................................................................................ 80 3.3.9 坪積............................................................................................ 84 3.3.10 卷 3 跋文.................................................................................. 90 3.3.11 卷 3 結語 .................................................................................. 91 第 4 章《算爼》內容分析(下) ......................................................................... 92 4.1 卷 4 內容分析 ...................................................................................................... 92. 4.1.1 積直............................................................................................ 93 4.1.2 差分............................................................................................ 94 4.1.3 雜分............................................................................................ 98 4.1.4 盈朒.......................................................................................... 100 4.1.5 步積.......................................................................................... 103 4.1.6 勾股弦...................................................................................... 108 4.1.7 帶縱相應.................................................................................. 111 4.1.8 圓率.......................................................................................... 112 4.1.9 坪積.......................................................................................... 115 4.1.10 卷 4 跋文................................................................................ 118 iv.

(6) 4.1.11 卷 4 結語 ................................................................................ 118 4.2 卷 5 內容分析 .................................................................................................... 119. 4.2.1 差分.......................................................................................... 120 4.2.2 差應.......................................................................................... 121 4.2.3 4.2.4 4.2.5 4.2.6. 盈朒.......................................................................................... 122 勾股弦...................................................................................... 125 弧矢弦...................................................................................... 127 步積.......................................................................................... 128. 4.2.7 坪積.......................................................................................... 134 4.2.8 球率.......................................................................................... 136 4.2.9 步交帶縱開立方...................................................................... 137 4.2.10 卷 5 跋文................................................................................ 138 4.2.11 卷 5 結語 ................................................................................ 139 第 5 章結論...................................................................................................... 140 5.1 《算爼》的球例與數學知識關係 .................................................................... 140 5.2 《算爼》在數學內容上與《豎亥錄》的比較 ................................................ 140 5.3 《算爼》的重要數學成就 ................................................................................ 141 5.4 《算爼》在教學上的省思 ................................................................................ 142. 附錄.................................................................................................................... 143 參考文獻............................................................................................................ 148 1. 史料 ...................................................................................................................... 148 2. 著作 ...................................................................................................................... 148 3. 期刊論文 .............................................................................................................. 149 4. 博、碩士論文 ...................................................................................................... 149 5. 網路資源 .............................................................................................................. 150. v.

(7) 表目錄表 1 幕府體制.............................................................................................. 4 表表表表. 2 3 4 5. 《豎亥錄》與《算爼》的勾股弦比較............................................ 12 卷 1 數學知識.................................................................................... 16 《算爼》卷 1 目錄............................................................................ 16 《算爼》總目錄................................................................................ 16. 表表表表. 6 7 8 9. 《算爼》、《算法統宗》、《塵劫記》、《豎亥錄》小數表示比較.... 18 《算爼》卷 1.2 乘直、除直例題.................................................. 20 《算爼》卷 1.3 因歸直例題.......................................................... 21 《算爼》卷 1.4 次第位直例題...................................................... 24. 表 10 《算爼》卷 1.5 積直例題............................................................ 25 表 11 《算爼》卷 1.6 相應例題 ............................................................ 27 表 12 《算爼》卷 1.7 差分例題............................................................ 29 表表表表. 13 14 15 16. 《算爼》卷 1.8 盈朒例題............................................................ 31 卷 2 數學知識.................................................................................. 33 《算爼》卷 2 目錄......................................................................... 34 《算爼》卷 2.1 積直例題............................................................ 34. 表表表表表表. 17 18 19 20 21 22. 《算爼》卷 2.2 《算爼》卷 2.3 《算爼》卷 2.4 《算爼》卷 2.5 《算爼》卷 2.6 《算爼》卷 2.7. 相應差分盈朒角法步積坪積. 例題............................................................ 35 例題............................................................ 38 例題............................................................ 40 例題............................................................ 42 例題............................................................ 46 例題............................................................ 48. 表 23 開平方位數判斷表.......................................................................... 53 表表表表表表表. 24 《算爼》卷 2.8 開平方例題........................................................ 53 25 再自因(三次方)的表 ....................................................................... 56 26 27 28 29 30. 開立方判斷位數的表...................................................................... 56 《算爼》卷 2.9 開立方例題........................................................ 57 卷 3 數學知識.................................................................................. 59 《算爼》卷 3 目錄......................................................................... 60 《算爼》卷 3.1 勾股弦例題........................................................ 60. 表 31 《算爼》卷 3.2 表 32 《算爼》卷 3.3 表 33 《算爼》卷 3.4 表 34 《算爼》卷 3.5. 積直相應差分雜分. 例題............................................................ 63 例題............................................................ 66 例題............................................................ 69 例題............................................................ 71 vi.

(8) 表 35 《算爼》卷 3.6 盈朒例題............................................................ 73 表表表表. 36 37 38 39. 《算爼》卷 3.7 弧矢弦例題........................................................ 78 《算爼》卷 3.8 步積例題............................................................ 80 《算爼》卷 3.9 坪積例題............................................................ 84 卷 4 數學知識.................................................................................. 92. 表表表表. 40 41 42 43. 《算爼》卷 4 目錄......................................................................... 92 《算爼》卷 4.1 積直例題............................................................ 93 《算爼》卷 4.2 差分例題-1 ........................................................ 94 《算爼》卷 4.2 差分例題-2 ........................................................ 96. 表表表表. 44 45 46 47. 《算爼》卷 4.3 《算爼》卷 4.4 《算爼》卷 4.5 《算爼》卷 4.6. 雜分例題............................................................ 98 盈朒例題.......................................................... 100 步積例題.......................................................... 103 勾股弦例題...................................................... 108. 表 48 《算爼》卷 4.7 帶縱相應例題.................................................. 111 表 49 和算著作中的圓周率紀錄............................................................ 115 表 50 《算爼》卷 4.9 坪積例題.......................................................... 115 表表表表. 51 52 53 54. 卷 5 數學知識................................................................................ 119 《算爼》卷 5 目錄........................................................................ 120 《算爼》卷 5.1 差分例題.......................................................... 120 《算爼》卷 5.2 差應例題.......................................................... 121. 表表表表表表. 55 56 57 58 59 60. 《算爼》卷 5.3 《算爼》卷 5.4 《算爼》卷 5.5 《算爼》卷 5.6 《算爼》卷 5.7 《算爼》卷 5.9. 盈朒例題.......................................................... 123 勾股弦例題...................................................... 126 弧矢弦例題...................................................... 127 步積例題.......................................................... 128 坪積例題.......................................................... 134 步交帶縱開立方例題...................................... 137. 表 61 《算爼》數學知識列表................................................................ 143 表 62 《算爼》數學知識之縱向分析.................................................... 144 表 63 《算爼》的重要數學成就............................................................ 146. vii.

(9) 圖目錄圖 1 江戶初期和算家師承系譜................................................................ 10 圖 2 卷 1.3.31............................................................................................. 22 圖 3 卷 1.3.34............................................................................................. 22 圖 4 卷 1.5.52-1 ......................................................................................... 26 圖 5 卷 1.5.52-2 ......................................................................................... 26 圖圖圖圖. 6 7 8 9. 卷 2.2.15............................................................................................. 37 卷 2.2.21 示意圖............................................................................... 37 卷 2.4.28............................................................................................. 40 卷 2.4.29............................................................................................. 41. 圖 10 卷 2.5.30........................................................................................... 42 圖 11 卷 2.5.31 ........................................................................................... 43 圖 12 卷 2.5.32........................................................................................... 44 圖圖圖圖. 13 14 15 16. 五角示意圖卷 2.5.31..................................................................... 45 卷 2.6.43........................................................................................... 46 卷 2.6.46........................................................................................... 46 卷 2.6.48-1 ....................................................................................... 47. 圖圖圖圖. 17 18 19 20. 卷 2.6.48-2 ....................................................................................... 47 卷 2.6.50........................................................................................... 47 方錐卷 2.7.51................................................................................. 48 方台卷 2.7.52................................................................................. 49. 21 22 23 24 25 圖 26 圖 27 圖 28 圖 29. 厚幅錐卷 2.7.53............................................................................. 49 榨形卷 2.7.54................................................................................. 50 厚幅台卷 2.7.55............................................................................. 50 蕎麥形卷 2.7.56............................................................................. 51 切籠形卷 2.7.57-1 ......................................................................... 51 正立方體的一角卷 2.7.57-2 ......................................................... 52. 圖圖圖圖圖. 卷 2.8.62-2 ....................................................................................... 56 卷 2.9.63........................................................................................... 57 卷 3 勾股弦圖................................................................................. 61 卷 3.1.7............................................................................................. 62 雙弦股示意圖.................................................................................. 62 卷 3.2.11 ........................................................................................... 64. 圖圖圖圖圖. 30 31 32 33 34 圖 35. 丸(球) 卷 2.7.58 .............................................................................. 52 卷 2.8.59........................................................................................... 54 卷 2.8.62-1 ....................................................................................... 55. viii.

(10) 圖 36 卷 3.2.12........................................................................................... 64 圖圖圖圖. 37 38 39 40. 卷 3.2.13........................................................................................... 65 加留田十落...................................................................................... 65 三階魔方陣...................................................................................... 65 四階魔方陣...................................................................................... 65. 圖圖圖圖. 41 42 43 44. 卷 3.3.27........................................................................................... 67 卷 3.4.31........................................................................................... 69 卷 3.5.45-1 ....................................................................................... 72 卷 3.5.45-2 ....................................................................................... 72. 圖圖圖圖. 45 46 47 48. 卷 3.6.47........................................................................................... 73 卷 3.6.48........................................................................................... 74 《豎亥錄》弧矢弦之圖.................................................................. 76 《算爼》弧矢弦之圖...................................................................... 77. 圖 49 卷 3.8.70........................................................................................... 80 圖 50 卷 3.8.72........................................................................................... 81 圖 51 卷 3.8.78........................................................................................... 81 圖圖圖圖. 52 53 54 55. 卷 3.8.85........................................................................................... 82 卷 3.8.95........................................................................................... 82 卷 3.8.97........................................................................................... 83 卷 3.8.99........................................................................................... 83. 圖圖圖圖圖圖. 56 57 58 59 60 61. 卷 3.9.103......................................................................................... 85 卷 3.9.109......................................................................................... 85 卷 3.9.119 ......................................................................................... 86 卷 3.9.130......................................................................................... 87 卷 3.9.136......................................................................................... 87 卷 3.9.137......................................................................................... 88. 圖 62 卷 3.9.138......................................................................................... 89 圖圖圖圖圖圖圖. 63 《豎亥錄》球闕圖.......................................................................... 89 64 卷 4.2.16........................................................................................... 96 65 66 67 68 69. 卷 4.2.17........................................................................................... 97 卷 4.3.21-1 ....................................................................................... 99 卷 4.3.21-2 ....................................................................................... 99 卷 4.4.23......................................................................................... 101 卷 4.4.23......................................................................................... 102. 圖 70 卷 4.5.37......................................................................................... 103 圖 71 卷 4.5.37 示意圖............................................................................ 103 圖 72 卷 4.5.57......................................................................................... 104 圖 73 卷 4.5.57 解 1................................................................................. 104 ix.

(11) 圖 74 卷 4.5.57 解 2................................................................................. 104 圖圖圖圖. 75 76 77 78. 卷 4.5.60......................................................................................... 105 卷 4.5.60 示意圖............................................................................ 104 卷 4.5.69......................................................................................... 105 卷 4.5.70......................................................................................... 106. 圖圖圖圖. 79 80 81 82. 卷 4.5.70 示意圖............................................................................ 106 卷 4.5.82......................................................................................... 107 卷 4.6.86......................................................................................... 109 卷 4.6.98......................................................................................... 110. 圖圖圖圖. 83 84 85 86. 卷 4.7.112 ....................................................................................... 111 卷 4.7.115 ....................................................................................... 111 卷 4.7.119 ....................................................................................... 112 《算爼》割圓圖............................................................................ 113. 圖 87 割圓圖的示意圖............................................................................ 113 圖 88 內接正 8 邊形的某一角................................................................ 114 圖 89 內接正 32768 邊形的某一角........................................................ 114 圖圖圖圖. 90 91 92 93. 卷 4.9.126....................................................................................... 116 卷 4.9.128....................................................................................... 116 卷 4.9.142....................................................................................... 117 卷 5.1.2........................................................................................... 121. 圖圖圖圖圖圖. 94 95 96 97 98 99. 卷 5.3.10......................................................................................... 123 卷 5.3.12-1 ..................................................................................... 124 卷 5.3.12-2 ..................................................................................... 125 卷 5.4.21......................................................................................... 126 卷 5.5.32......................................................................................... 127 卷 5.5.33......................................................................................... 127. 圖 100 卷 5.6.37....................................................................................... 128 圖圖圖圖圖圖圖. 101 卷 5.6.44-1 ................................................................................... 129 102 卷 5.6.44-2 ................................................................................... 129 103 104 105 106 107. 卷 5.6.44-3 ................................................................................... 129 卷 5.6.54....................................................................................... 130 卷 5.6.76....................................................................................... 132 卷 5.6.77....................................................................................... 132 卷 5.6.87....................................................................................... 133. 圖 108 卷 5.7.94....................................................................................... 134 圖 109 卷 5.7.99....................................................................................... 135 圖 110 卷 5.7.100 ..................................................................................... 135 圖 111 卷 5.7.106 ..................................................................................... 136 x.

(12) 圖 112 外切形成的圓柱示意圖 .............................................................. 137 圖 113 內接形成的圓柱示意圖 .............................................................. 137. xi.

(13) 第 1 章緒論 1.1 研究動機江戶時代(1603 年~1867 年)是日本一段輝煌的時代，在德川幕府的封建制度下，安和地經歷過三大文化盛世。江戶初期幕府大興土木，實行檢地，統一度量衡，實施人口普查，落實年貢負擔，開墾良田等，再再都需要數學方面的人才，村松茂清(Muramatus Shigekiyo, 1608~1695)即是誕生在江戶初期實用數學極為發達的年代。從 1622 年毛利重能的《割算書》問世，其刊刻約 1000 本之多 (平山諦， 1962)，其內容主要為錢糧、粟布、借貸、買賣、檢地、工程、人夫和測量等問題，反映了當時代對實用數學的需求，之後吉田光由於 1627 年刊刻《塵劫記》，以日用算法為主，通俗易懂，將實用數學再次推廣，1一直要到 1639 年今村知商的著作《豎亥錄》出版才使得和算第一次由實用數學轉變成較為學術性的數學，《豎亥錄》整篇以漢文書寫且僅提供術而不附實際數字的例題。做為今村知商(Imamura Chishyo, 1591 ~ 1668)的徒孫，村松茂清將以實用數學的方法來研究數學？還是會以今村知商的學術性來看待數學？而村松其著作《算爼》又呈現哪種編排與體例都是值得探討的。當時幕府對西方實行鎖國制度的，其對外文化主要吸收依賴於漢文化。村松在接受中算的影響下是否有發展出自己不一樣的看法，這一點也是值得研究的。村松的《算爼》由 5 卷所構成，第 1 卷是基本的計算，從第 2 卷開始循序漸進列出村松的數學知識，而第 5 卷則是較為挑戰性的問題，是綜合前 3 卷的知識所變化的問題。全書收入的問題相當廣泛，除了一般的數學問題外，甚至連繼子立、2魔方陣等數學遊戲也有收錄，當然也包含和算的特有角法，弧矢弦，還有球冠近似公式。. 1 2. 引自烏云其其格，《和算的發生─東方學術的藝道化發展模式》，p.67。繼子立，即 Josephus’ Problem，在日本又稱為「算脫」，1687 年，關孝和出版《算脫之法》深入探討此類問題。繼子立問題大意是說有 30 個孩子，其中 15 個孩子是前妻所生，另外 15 個是繼子，將這 30 人圍成一圈，從某個小孩子開始數，每數到 10 就去掉這個小孩，一直按照這個方法去掉 29 個小孩，剩下最後一個就讓他繼承財產。 1.

(14) 1.2 研究問題綜合 1.1 節的論述，筆者希望在本篇碩士論文能討論以下問題： (1) 《算爼》以哪種編排方式？體例的呈現是哪種樣式？ (2) 在今村知商的基礎上，村松茂清對其弧矢弦、球冠近似公式有哪些改良？ (3) 《算爼》在圓周率上有什麼貢獻？村松的數學成果為何？. 1.3 文獻探討關於村松茂清的生平事蹟研究不多，大部分提到的皆是討論其圓周率的計算位值，以下僅就能收集到的文章概略作說明： 1. 徐澤林，《和算選粹補編》，北京：北京科學技術出版社，2009。 2. 徐澤林，《和算選粹》，北京：科學出版社，2008。 3. 佐藤健一，《算爼―現代訳と解説》，東京：研成社，1987。 4. 烏云其其格，《和算的發生：東方學術的藝道化發展模式》，上海：上海辭書出版社，2009。 5. 馮立昇，《中日數學關係史》，山東：山東教育出版社，2009。 6. Annick Horiuchi, Japanese Mathematics in the Edo Period﹝1600-1868﹞, Paris, Librairie Philosophique J. VRIN, 1994. 7. 郭世榮，〈方中通《數度衍》中所見的約瑟夫斯問題〉，《自然科學史研究》第 21 卷第 1 期，2002，49~55。 8. 徐澤林，〈《豎亥錄》中的圓型平面圖形問題〉，李迪主編《數學史研究文集(第三輯)》，呼和浩特市：內蒙古大學出版社，1992。 9. 李儼、錢寶琮，〈從中算家的割圓術看和算家的圓理和角術〉，《李儼、錢寶琮科學史全集第十卷》，瀋陽：遼寧教育出版社，1998。 10. 沈康身，〈關孝和列和解高次方程典型算例賞析〉，李迪主編《數學史研究文集(第四輯)》，呼和浩特市：內蒙古大學出版社，1993。徐澤林的《和算選粹補編》收錄了《算爼》的簡體翻譯，筆者以本書當作本篇論文的底本，不過，由於《和算選粹補編》常有錯字或脫字，故一併參考佐藤健一的《算爼―現代訳と解説》做為比對。《算爼―現代訳と解説》裡面的簡略數學解說，對筆者帶來莫大的助益。徐澤林的《和算選粹》則介紹了和算的發展與中算對和算的影響，為筆者在本論文中的文化背景部分潤色不少。烏云其其格的《和算的發生：東方學術的藝道化發展模式》則詳細介紹了和算如何形成與和 2.

(15) 算特有的文化特徵：「遺題承繼」、「算額奉納」，並介紹和算的藝道化，因此，添加了筆者在和算的背景知識。在馮立昇的《中日數學關係史》裡，筆者參考中算：《算法統宗》、《算學啟蒙》、《楊輝算法》對和算的影響，了解村松所受到的中算思維。Annick Horiuchi 的 Japanese Mathematics in the Edo Period﹝1600-1868﹞，則提供村松研究圓周率在數學史上的佐證之一。郭世榮的〈方中通《數度衍》中所見的約瑟夫斯問題〉則提醒筆者在繼子立的問題上確實和算先於中算的。關於弧矢弦筆者參考徐澤林的〈《豎亥錄》中的圓型平面圖形問題〉中的解說，使筆者了解其弧矢弦的近似公式是如何得到的。李儼、錢寶琮的〈從中算家的割圓術看和算家的圓理和角術〉與沈康身的〈關孝和列和解高次方程典型算例賞析〉中則對角術有詳細的討論。. 1.4 研究方法研究方法在本論文中，筆者全面且深入的探討村松茂清的《算爼》以期可以完成底下 3 點： (1) 用現代數學符號清楚地呈現文本術文內容，展現《算爼》的數學成果。 (2) 以當時的數學工具探討《算爼》的數學內容以期與歷史脈絡作結合。 (3) 探討《算爼》編寫的特色與其特殊性。筆者以當時流傳到日本的中算與村松所能接觸到的和算書，來切入村松對數學的思想。雖然不能保證能完全還原當時村松的做法，但比僅用現代數學觀點來分析《算爼》，較為貼近其想法。另外，藉由現代數學的高觀點，去理解村松的想法，雖不盡符合事實，但能讓我們更了解村松茂清的數學思維。在全面分析《算爼》與貼近當時的數學工具及歷史脈絡後，希望本論文能對和算的發展史有些微的貢獻。本書各章節的安排如下：第 2 章介紹《算爼》的成書背景及村松茂清的簡介，介紹完當時的數學知識發展後，第 3、4 章則詳細分析《算爼》全書，3.1 節《算爼》的卷 1，包含基本記數與簡單的計算及盈不足術。3.2 節針對卷 2，包含簡單的比例問題、等差數列、二元一次聯立方程式、和算特有的角法、開平方與開立方。3.3 節則有關卷 3，包含勾股弦、堆垛、繼子立、魔方陣、三元~八元一次聯立方程(每個式子兩個未知數)、還有和算特別的弧矢弦。4.1 節討論卷 4，大部分皆與前面相似但是題目變得較難，例如面積與體積的計算就變得困難，且本卷最重要的圓率，即圓周率的計算也收錄在本節。4.2 節討論卷 5，整體而言是前三卷的綜合應用，本卷村松較少給算法而比較多給說明，題目方面則更為困難，並且在本卷中，村松提出較為準確的球率，即球體積公式。最後，第 5 章則是本論文的結論。 3.

(16) 第 2 章村松茂清與村松茂清與《算爼》算爼》的歷史脈絡村松茂清(Muramatsu Shigekiyo, 1608~1695)所處的年代恰為江戶時代初期。3 我們要在第 2.1 節討論《算爼》成書時代背景，第 2.2 節討論《算爼》的作者村松茂清，並從多元的文化觀來了解歷史脈絡，第 2.3 節則簡介《算爼》的重要性。. 2.1 《算爼》算爼》成書時代背景《算爼》成書於寬文 3 年，即西元 1663 年。底下即從當時的政治經濟與社會文化背景等歷史脈絡來了解和算的發展情形。. 2.1.1 政治經濟政治經濟背景經濟背景 1600 年，因關原之戰掌握霸權的德川家康，於 1603 年被朝廷任命為征夷大將軍，在江戶建立了幕府，開啟了長達 260 年的德川幕府統治時代。為維持長期的政權幕府以全面性統治來強化支配的力量，直到第三任將軍德川家光主政時，幕府的組織制度才算完備，對外鎖國體制亦已鞏固，形成江戶幕府的統治體制(幕藩體制) (林明德，2006)。4底下表 1 是幕府的組織：表 1 幕府體制5. 大老老中. 中央 3 4 5. 大目付. 臨時性的最高職位，遇有必要時才任命，由譜代的名門、土井、堀田、井伊諸家擔任，員額一人。由祿額二萬五千石以上的譜代大名中避選，員額五至六人，指揮三奉行，職司一般政務。老中的耳日，監察各職官的作為。. 寺社奉行. 管理寺社及寺社領地，裁判關東以外地方幕府直轄地的訴訟。. 江戶町奉行. 分南北兩奉行，管理江戶市區及負責裁判、檢察、保安等。. 勘定奉行. 勝手方：統轄郡代、代官，職司租稅的收納及會計工作。公事方：裁決幕府關東直轄領內的訴訟問題。. 若年寄. 由譜代大名遴選三至五名，管理旗本、御家人及職司江戶城中的事務。. 江戶時代是指西元 1603 年至西元 1867 年。林明德，《日本通史》，98-99。轉引自鄭樑生，《日本史─現代化的東方文明國家》，108-109。 4.

(17) 目付地方遠(國官員. 遠國奉行. 遠國代官. 隸屬若年寄，監察旗本、御家人的行為。京都所司代、大阪城代、駿府城代、甲府城番支配、伏見、長崎、佐渡、奈良、山田、新潟、下田、浦賀、堺、日光之各奉行等。郡代(管理範圍廣大的天領)：如關東郡代、美濃郡代、飛驛郡代等。. ). 代官(管理範圍狹小的天領)。. 後繼的兩代將軍德川秀中與德川家光利用統治的手法，罩住所有對德川政權的危險因子，例如：對諸大名施行《武家諸法度》、對朝廷施行《禁中並公家諸法度》、對寺院施行《諸宗寺院諸法度》、對農民施行「五人組制度」、對基督徒施行《禁教令》、《鎖國令》。6也就是利用種種的法令限制人民，避免其逾權。之後，秀忠與家光也嚴格的攻擊牴觸《武家諸法度》的大名們，對朝廷則禁止進行政治活動而將之關入學問的世界，對寺院施行的《諸宗寺院諸法度》則是剝奪寺院所擁有的「聖功」，7而將佛教貶為專司喪禮的宗教。此外「五人組制度」則獎勵農民互相監視及告密，防範農民起義，而取締基督徒則為巧妙利用人心的手段。也因為這樣在三代德川將軍的統治之下，江戶幕府得以維持長期政權。8 為維持及經營政權需要龐大的資金，江戶幕府的財源大半來自領地內農民的年貢，而幕府的直轄土地廣達四百萬石，占全國的 13%，雖然如此，只有年貢仍無法滿足財政需求，因此，幕府也另闢財源。在江戶初期幕府主要財源是來自礦山開採金、銀、銅等礦產及長期貿易所得的收益，雖然這些都是獨占生意，但後來開採量下滑，加上限制貿易額的政策，幕府的財政也就越來越吃緊了，因此之後，不惜減少貨幣中的金銀含量來賺取差額的利益。9. 2.1.2 社會文化社會文化背景文化背景江戶時代的文化風氣興盛期大致可分為三個時期。十七世紀前半期是「寬永文化」，十七世紀末則是「元祿文化」，十九世紀前半期是「化政文化」，三個文化合稱「江戶三文化」。10 而這三個文化的發展重心和主要階層都各有不同。「寬永文化」的主要階層是位於京都的朝廷、町眾及武士。11這個文化是繼承桃山文化而來，只是由於戰 6. 「法度」為武家時代的法令。「聖功」為古老的司法概念，認為宗教有權保護被控犯罪或受到迫害的人。 8 參考河合敦，《圖解江戶時代》，p.22。 9 參考河合敦，《圖解江戶時代》，p.58。 10 參考河合敦，《圖解江戶時代》，p.32。 11 「町眾」為住在京都的富裕商人；「町人」為城市裡的商人或工匠，兩者不一樣。 5 7.

(18) 國亂世結束，所以，朝廷再次參與並主導文化發展。而且由於此時處於幕府剛成立時期，許多作品皆可見到迎向幕府的傾向。而「元祿文化」則是由於京都一帶的富商贊助誕生了許多優秀的藝術和文藝作品。至於「化政文化」則是江戶地區開花結果的文化，由於有寺子屋使庶民識字率大幅上升，12而使町人在此時期與其作品能夠大幅流傳。江戶時代的人對學問非常感興趣，也許是因為戰國亂世結束，人民擺脫戰爭與死亡的恐懼，有了多餘的時間來追求學問。而在江戶時代的學問首推「儒學」，但此時的「儒學」又分為三種類別即朱子學、陽明學和古學，而以朱子學為主流。由於朱子學重視禮儀和階級制度，非常適合封建制度的幕府，因此幕府致力於保護朱子學成為官學。而陽明學倡導「知行合一」，古學則直接學習孔子與孟子的原典。在江戶中期則稱為「國學」的興起。所謂「國學」是研究佛教和儒教傳入前的古典史籍和歷史，以探究日本人的自我民族的學問，想要依此脫離對中國膚淺崇拜的意念。而在第八代將軍德川吉宗將翻譯成日文漢字的洋書解禁後，促使人們對西方產生莫大的興趣，「蘭學」也就跟著急速的擴展開來，13其內容包含了醫學、天文學、地理學、化學等。其他如「歷史學」、「本草學」、「農學」、「和算」， 14 也有相當高的成就。. 2.1.3 數學知識發展背景數學知識發展背景豐臣秀吉與德川家康時期，日本政府大興土木，實行檢地，統一度量衡，實施人口普查，落實年貢負擔，開墾良田，興修水利、道路、橋梁，製造火藥等，這些工作都需要一定的數學知識。這兩次的大規模工程建設以及檢地政策，都對日本實用數學的發展產稱了很大的刺激。江戶初期的許多和算家也曾經參與或主持水利工程，例如礒村吉德(Isomura Yoshitoku, ? ~ 1711)曾是二本松丹羽氏霞城的水路開鑿設計者。今村知商(Imamura Chishyo, 1591 ~ 1668)仕於磐城平番奉行， 15 ，也曾受命於調查從常陸國那賀湊至涸沼川、利根川的運輸水路。16 從 1622 年毛利重能的《割算書》問世，內容主要為錢糧、粟布、借貸、買賣、檢地、工程、人夫和測量等問題，17反映了當時對實用數學的需求，吉田光 12 13 14 15 16 17. 「寺子屋」為民間以庶民為對象的初級教育機構。「蘭學」研究以荷蘭文撰寫的西洋學術、文化、技術的學問。參考河合敦，《圖解江戶時代》，p.34。「奉行」武家職業名，分掌某部門或某地方的政務。引自徐澤林，《和算選粹》，p.16。引自烏云其其格，《和算的發生：東方學術的藝道化發展模式》，p.67。 6.

(19) 由於 1627 年刊刻《塵劫記》則將實用數學再次推廣，直到 1639 年今村知商的著作《豎亥錄》出版使成為和算中第一部學術性著作，因《豎亥錄》整篇以漢文書寫，僅給術而不附實際數字的例題。18 和算的發展過程中有兩種現象是其他國家在數學發展上所沒有的獨特現象，即是「遺題承繼」與「算額奉納」。底下我們就來討論這兩種現象：. 2.1.3.1 遺題承繼遺題承繼一詞是和算家對江戶時代數學中的「好問」提出回答或繼續提出的描述，因此遺題承繼是對於遺留問題的解決或新問題的繼續提出。遺題承繼始於吉田光由於 1641 年出版附有遺題的《新編塵劫記》開始，裡面附了 12 道沒有給出解法和答案的問題，《新編塵劫記》下卷開頭說「所謂勘之達者理應受到國家之器重，世間名為『算勘達者』之人雖多，然不入其道，常人所不知勘者之位也，是人多以為『勘者』以計算速度和巧妙性而得名，今為區別『勘者』於普通人，舉題十二問，未有答術，以求『勘者』之答」。遺題承繼活動前後延續達 170 多年，此對和算的學術追求上帶有一股極大的推動力，對和算各流派之間有學術競爭的意味在，也因如此，這 170 多年正是和算發展的鼎盛時期。19. 2.1.3.2 算額奉納就在遺題承繼發展的同時，將解題方法刻在匾額上在奉獻給神社、寺院的做法也於寬文年間開始盛行，這種做法就是算額奉納。根據王燕華的論文，20早期日本人信仰虔誠，他們會對神社或寺廟獻上馬匹表示崇敬，但馬匹昂貴，他們以畫有馬隻的畫板代替，也就是所謂的「繪馬」。繪馬背面會寫上奉納者姓名、地址、心願等訊息。所畫的對象由馬匹延伸到其他物件，如果把數學問題和答案用漢字寫在畫板上，這種還願酬神的書板就叫做「算額」。奉納算額大概有三種意義，分別是(一)感謝神佛地恩謝；(二)表示對和算教師的尊崇；(三)展示研究的成果。當時日本人信仰虔誠，神社或寺廟就變成一個交流的絕佳場所。另外我們在前面有提到神社或寺廟有教育的功能，因此和算家常把算額放在寺廟中增加曝光機會，呈現研究成果，引起許多有志之士的討論和演練。學習和算的師生們也會藉著算額指出其他流派的錯誤，提出更正確、更簡易的解答。這種「算額奉納」烏云其其格認為是「遺題承繼」的一種變形。21 18 19 20 21. 《豎亥錄》在開平方與開立方的地方有使用實際數字。參考烏云其其格，《和算的發生：東方學術的藝道化發展模式》，150-152。王燕華，〈松永良弼《方圓算經》之內容分析〉，15-17。烏云其其格，《和算的發生：東方學術的藝道化發展模式》，p.158。 7.

(20) 2.1.3.3 算學藝道化數學史家小倉金之助認為：正當歐洲的學者在大學、學會從事科學研究時，和算家卻沒有與之匹敵的學堂，他們只有一種行會性質的組織，他們的生活模式與圍棋、象棋匠師等的生活模式相同，這樣的生活必然導致他們追求數學解題過程中的巧妙性而不是數學發展的理論化、結構化，與其說和算是一種學術，倒不如說它是作為一種藝術繁榮起來，這是封建時代和算的特質。22 江戶時期各種學藝臻於成熟並普及到社會各階層，如茶道、花道、劍道、武道、圍棋等，各式各樣的藝道，集消遣、娛樂、智慧、藝術為一體，是上層社會與下層庶民文化生活共通的享受之道，和算也以藝道的形式生存與發展，當時和算被視為一門游藝，稱作「算道」。23 2.1.3.4 當時和算的發展知識在 206 餘年歷史的江戶時代，對西方實行鎖國制度的封建文化社會，其對外文化主要吸收依賴於漢文化。從 16 世紀下半葉到十七世紀上半葉，中國元代與明代的算學書籍主要通過海上走私貿易以及日本侵占朝鮮而流入日本。24而中算影響和算較多的為《算法統宗》、《算學啟蒙》、《楊輝算法》。25 明代的《算法統宗》內容偏向實用性與商用性對幕府初期的建設工程有很大的幫助，也因此吉田光由於 1627 年出版《塵劫記》受到很大的迴響，原因即是吉田光由在讀過《算法統宗》後藉由內化書寫出屬於日本人易懂的算學書供當時代的人使用，在《塵劫記》中由題目上多少可以看到《算法統宗》的影子，可以說《算法統宗》在日本數學系統化的過程中扮演一個重要的角色。《算學啟蒙》的重要作用在於為和算輸入天元術這種先進的數學方法。《算學啟蒙》傳入日本的具體年代已不可祥考，在日本最早翻刻《算學啟蒙》是在萬治元年(1658 年)，而著名的和算家建部賢弘的《算學啟蒙諺解大全》(1690 年) 是在深入研究《算學啟蒙》後所完成。建部的《算學啟蒙諺解大全》在天元術與線性方程組的解法在日本傳播起了很大的作用。17 世紀後期以來，隨著和算的 22 23 24 25. 引自徐澤林，《和算選粹》，p.52。引自徐澤林，《和算選粹》，p.52。引自徐澤林，《和算選粹》，p.13。參考林典蔚，〈關孝和《三部抄》之內容分析〉，17-21。 8.

(21) 發展，和算家關注的方向也從明代數學轉向宋元數學，這從當時對《算學啟蒙》有多種訓點本、註解本而《算法統宗》的訓點本只有一本，可以得知當時和算家對《算學啟蒙》的重視。《楊輝算法》是指南宋數學家楊輝(1220~1280)所寫的三本著作的統稱，包括《乘除通變本末》、《續古摘奇算法》、《田畝比類乘除捷法》。而在《田畝比類乘除捷法》中介紹了 22 個二次方程與 1 個四次方程，其所用的增乘開方法是解三次以上高次方程的最早例子，《楊輝算法》大約與《算學啟蒙》同時傳入日本，和算家對重差術的吸收與《楊輝算法》有密切關係。. 2.2 《算爼》算爼》的作者村松茂清的作者村松茂清介紹村松茂清介紹村松茂清(Muramatus Shigekiyo, 1608~1695)，慶長十三年(1608)出生于茨城縣那珂郡村松村(今東海村附近)，為水戶人平賀保秀的門人，曾仕于后播州赤穗藩(今兵庫縣赤穗市)藩主淺野內匠頭。另外，他也在江戶開算學私塾，其弟子中文獻有記錄者僅矢部定玄、樋口兼次、片岡丰忠、湯淺得之等四人，但應不止於這些門人。村松無子，僅一女，招贅喜兵衛秀直為婿養子，村松喜兵衛秀直及其子村松三太夫高直，是赤穗四十七士中的兩義士，參與赤穗藩義士復仇事件，后被幕府勒令切腹而亡。26 關於赤穗四十七士的始末如下，1701 年 3 月 14 日的上午 11 時左右，赤穗藩主淺野長矩在江戶城松之廊舉起短刀大吼「上次的宿怨還記得吧！」向吉良上野介砍去，吉良上野介的額頭及背部被砍傷，幸虧週遭的人趕緊抱住淺野長矩，他才逃過一劫。而這一天，江戶城正準備舉行德川綱吉將軍接見京都前來的敕使的奉答儀式，27淺野長矩負責接待敕使，吉良上野介則負責指導淺野長矩。不過，事情的真相已經無從得知，因為德川綱吉對於儀式被破壞大為震怒，下令收回赤穗藩，並命令淺野長矩當日切腹。另一方面，吉良上野介則是被無罪釋回。若是因為糾紛，按規定必須雙方都處罰，因此赤穗的浪士們認為德川綱吉的裁決明顯不公，屢次請求幕府允許讓淺野長矩的弟弟淺野大學恢復家門並處罰吉良上野介。但是，幕府不但將淺野大學降為浪人，斷絕了淺野家再起的機會，也沒有懲處吉良上野介。. 26 27. 引自徐澤林，《和算選粹補編》p.54。「奉答」為對敕使宣讀的聖旨內容做回答。 9.

(22) 而有一群罕見的、堅守武士道精神的浪士對於幕府的裁決感到憤怒不平，他們就是大石內藏助等四十七位浪士。他們決定，既然幕府不處罰吉良上野介，麼就自己動手處以私刑。於是在 1702 年 12 月 15 日凌晨，浪士一群人衝進吉良上野介的宅邸，取下他的首級，這便是元祿時期的太平盛世中突然發生的赤穗浪士襲擊事件。最後，幕府將他們處以對武士而言是為榮譽的切腹之刑，事件才終於落幕。28. 2.2.1 村松茂清的師承村松茂清的師承據松永良弼(Matsunaga Yoshisuke, ?~1744)的《荒木先生茶談》描述，江戶初期和算家師承系譜如下圖 1 所示：內藤治兵衛高原吉種毛利重能. 礒村吉德. 村瀨義益佐藤五郎兵衛. 關孝和 → 建部賢弘 → 中跟元圭隅田江云. 今村知商. 安藤有益. 平賀保秀 → 村松茂清. 吉田光由 → 橫川玄悅 → 星野實宣. 圖 1 江戶初期和算家師承系譜29. 由此可知村松茂清應有受到毛利重能於 1622 年所著《割算書》與 1627 年吉田光由所著的《塵劫記》有所影響，而在 1639 年其師祖今村知商所著的《豎亥錄》對其也有所影響。在此，必須說明在江戶初期《塵劫記》為實用數學代表，而《豎亥錄》為學術性數學代表。村松茂清承繼這兩種類型的數學後，在其著作《算爼》也或多或少呈現出來，例如：一些題目是詳細的計算說明，一些術則如同《豎亥錄》一般是用說明式的而不計算。. 28 29. 引自河合敦，《圖解江戶時代》，p.22。引自徐澤林，《和算選粹》p.17。 10.

(23) 2.2.2 村松茂清的數學成就村松茂清的數學成就. 2.2.2.1 圓周率村松茂清在求圓周率時，利用割圓術求到圓內接正 32768 邊形，得到近似周長 3.14159268777698869248。雖只精確到 3.1415926。即只精確到小數點後第 7 位，其所選擇的圓周率 3.14 比當時和算家選擇 3.16 或 10 ≈ 3.162 來的準確。. 2.2.2.2 球率類似地，村松茂清利用削片法，切割直徑 1 尺球體於 100 片，利用外接圓柱與內接圓柱將球體夾在內部，估算其體積得到球體積公式 V = 0.524 × 直徑3 ，比過去採用 0.5 或是今村知商採用 0.51 還要接近現代的數值，而對比現代的算式，也可以發現其非常接近，現代算式如下：. 4 4 1 V = π r 3 ≈ × 3.14 × × 直徑3 = 0.523 × 直徑3 。 3 3 8. 2.2.2.3 角法角法(角術)是和算特有的數學知識，其探討的是圓內接正多邊形其邊長與圓半徑間的關係，在今村知商的《豎亥錄》中已有出現。村松與今村知商一樣只給了數值資料而未作出證明，但在《算爼》中的數值資料較為準確。. 2.2.2.4 弧矢弦弧矢弦也是和算特別的數學知識，和算的弧矢弦與中算採用不同進路，30由今村知商所先提出，村松承繼今村知商的《豎亥錄》中對圓的弧長、直徑、矢、弦、面積的關係，再給出另一個比今村知商更為精確的近似公式，. 30. 徐澤林，〈《豎亥錄》中的圓型平面圖形問題〉，《數學史研究文集(第三輯)》 11.

(24) 2.2.2.5 球冠近似公式相對於平面的弧矢弦，在空間中球冠體積，村松也承繼今村知商的球冠近似公式作了數值上的改良。. 2.3 《算爼》算爼》的簡介與重要性《算爼》是一部重要的和算著作，特別是，作者村松以螺旋方式編排，循序漸進，方便老師教學與讀者自修。該書承襲中算的體例書寫，即「問─答─術」的方式安排，並仿今村知商所著的《豎亥錄》安排各章節的順序。由於《豎亥錄》僅提供「術」而沒有完整的題目與答案，《算爼》就像是要補足《豎亥錄》的不足提供了題目與答案。茲舉《豎亥錄》與《算爼》的勾股弦說明，如表 2：31 表 2 《豎亥錄》與《算爼》的勾股弦比較. 《豎亥錄》例題. 《算爼》例題弦. 勾. 弦勾. 股. 股. 知勾股弦之弦式者，以勾之尺數自因乘今勾三寸、股四寸，問弦幾何？而得步數，又股之尺數自因乘而得步答曰：弦五寸。數，又勾、股之步數并合而為實，用開術曰：勾自因九步，股自因十六步，合而二十平之式，則得尺數，是弦也。. 五步，開平方除之，合答。. 在「表 2 《豎亥錄》與《算爼》的勾股弦比較」中《豎亥錄》的術文是說將勾平方與股平方相加，再將其開方即可得弦，即勾2 + 股 2 =弦，《算爼》則給定勾 3 寸、股 4 寸，計算 32 + 42 = 5 為弦，使讀者除了知道勾股弦之術外還有實際的問題練習。《算爼》全書以算學基本常識開始，之後利用主題式的方式討論數學問題，而後面的卷會應用前面卷的方法解題，題目循序漸進漸深漸難，題目數也越來越多。值得一提的是和算從吉田光由於寬永 11 年(1641 年)《新編塵劫記》開始於. 31. 徐澤林，〈豎亥錄〉，〈算爼〉，《和算選粹補編》p.18, p.106。 12.

(25) 書末放入一些難題向讀者征求解答，32而《算爼》並沒有放入遺題，反而是收入《塵劫記》、《算法闕疑抄》的部分題目供解答及學習之用。33 整部《算爼》共 5 卷題目量達 540 問之多，34所涵蓋的內容也堪稱廣泛。其中卷 1 從認識算學基本名稱開始，包括用字、基數、小乘大數、大乘大數、小數、度數、量數、衡數、產數、諸輕重、因乘定法、歸除定法，這些用字在《豎亥錄》中沒解釋清楚的部分村松在《算爼》中做了解釋，並被以後的和算書所遵循。35 之後各卷數學內容的分類方式比較特別，與之前的和算書不同，也與傳統中算《算法統宗》按照《九章算術》的章節安排不太相同，茲列舉如下： 1. 乘直、歸直(卷 1 共 17 問)。 2. 因歸直(卷 1 共 19 問)。 36 3. 次第位直(卷 1 共 8 問)。 4. 積直(卷 1 共 10 問，卷 2 共 5 問，卷 3 共 14 問，卷 4 共 7 問)。37 5. 相應(卷 1 共 8 問，卷 2 共 17 問，卷 3 共 9 問)。 6. 帶縱相應(卷 4 共 8 問)。 7. 差分(卷 1 共 2 問，卷 2 共 5 問，卷 3 共 13 問，卷 4 共 13 問，卷 5 共 6 問)。 8. 差應(卷 5 共 3 問)。 9. 雜分(卷 3 共 3 問，卷 4 共 2 問)。 10. 盈朒(卷 1 共 3 問，卷 2 共 2 問，卷 3 共 7 問，卷 4 共 6 問，卷 5 共 4 問)。 11. 勾股弦(卷 3 共 7 問，卷 4 共 29 問，卷 5 共 18 問)。 12. 角法(卷 2 共 13 問)。 13. 弧矢弦(卷 3 共 13 問，卷 5 共 5 問)38 14. 步積(卷 2 共 8 問，卷 3 共 35 問，卷 4 共 55 問，卷 5 共 54 問)。39 15. 坪積(卷 2 共 8 問，卷 3 共 40 問，卷 4 共 28 問，卷 5 共 21 問)。40 16. 開平方(卷 2 共 4 問)。41 17. 開立方(卷 2 共 3 問)。 18. 圓率(卷 4)。 19. 球率(卷 5)。 20. 步交帶縱開立方(卷 5 共 9 問)。42 32. 33 34 35 36 37 38 39 40 41. 吉田光由(Yoshida Mitsuyoshi 1598~1672)於 1627 年出版《塵劫記》，於 1641 年出版附有遺題之《新編塵劫記》。礒村吉德於萬治 2 年(1659 年)出版《算法闕疑抄》。村松茂清在總目錄寫 566 問，但經筆者實際計算為 540 問。引自徐澤林，《和算選粹補編》，p.55。徐澤林在《和算選粹補編》計算為 18 問，但筆者計算應為 19 問，故改之。徐澤林在積直卷 1，寫 17 問，實際上為 10 問。徐澤林在弧矢弦卷 3，寫 17 問，實際上為 13 問。徐澤林在步積卷 5，寫 55 問，實際上為 54 問。徐澤林在坪積卷 3，寫 39 問，經筆者計算實際上為 40 問。徐澤林在開平方卷 2，寫 6 問，經筆者計算實際上為 4 問。 13.

(26) 若仔細計算《算爼》裡面所包含的題目可發現其算術代數類別與幾何類別的比例分配如下：卷 1(55 問/12 問)、卷 2(18 問/47 問)、卷 3(68 問/73 問)、卷 4(28 問/121 問)、卷 5(11 問/107 問)。即整部《算爼》的算術代數類別題目僅 180 問，而幾何相關類別為 360 問，算數問題約佔 33.33%而幾何問題約佔 66.67%，算數與幾何問題比例為 1:2。依數據看來《算爼》呼應著和算在幾何發展上的傳統。此外《算爼》對同類問題的難易程度是由淺入深地編排的，而在章節的安排方式，反映作者村松對數學的掌握是了解先後次序與邏輯推論的。. 42. 引自徐澤林，《和算選粹補編》，p.55。 14.

(27) 第 3 章《算爼》算爼》內容分析(上內容分析上) 本論文是以徐澤林教授翻譯寬永 3 年(1663 年)《算爼》的第一版為母本，在文獻分析的過程當中，筆者搭配日本東北大學附屬圖書館的和算資料データベース網頁裡面的《算爼》電子圖檔交互參照，43以期不失原意並避免因翻譯錯誤或脫字而造成分析的錯誤。《算爼》自序夫算者，意數之跡矣。蓋聞天地之至，數始于一，終於九焉。一者天，二者地，三者人，因而三之，三三者九，所以起於九，數之轉化也。愚意古今算工張教之說，千緒萬端，然不洞達者，不能得解，厥理也。故舉品題并圖及目錄，而纂記之矣。而亦諸算法有優劣二門也，雖精萃之法深遠而有難得其理，雖為迂劣之法，有易得其理，且亦難有所可取用於同式類例，而滯於異物名，或泥於異形像，惑之不果，故往往以同例法注之，或亦在於口，一、十、百、千、萬名目稱之，對算馬而恐有失目也，44可慎之矣。於此書，迂闊式、法數，多記之由，欲令初學者了其意義而自得，以之為本旨矣。予不量短見，雖深愧寡聞，為同志者豈小補乎？時寬文三年癸卯三月日45 村松九太夫茂清村松自序的前面直指算學千變萬化，怕讀者無法通達，故將舉了一些題目並將之寫下，而關於算法有優劣之分，有些方法精粹但不易了解，有些方法迂劣但易於接受，而有些題目則往往被名稱與數字之誤所以看不太懂。因此後半部告訴讀者，村松編《算爼》這本書的要旨就是要將算術仔細地教給初學者的，而且村松還謙虛的說明也許還見識不夠廣泛，難免有些疏失，尚請見諒。. 3.1 卷 1 內容分析為方便讀者查閱，筆者將卷 1 的數學知識列表，如表 3：. 43 44 45. 日本東北大學附屬圖書館的和算資料データベース http://dbr.library.tohoku.ac.jp。算馬，即籌碼、數碼的意思。引自徐澤林，《和算選粹補編》，p.78。寬文 3 年，即西曆 1663 年。 15.

(28) 表 3 卷 1 數學知識. 卷數. 章節名稱數之類. 數學知識算學常識. 因乘、歸除. 九九乘法、珠算除法. 乘直、歸直. 一次乘除法. 因歸直. 二次乘除法. 次第位直. 卷1. 單位換算. 積直. 面積或體積換算. 相應. 比例計算與複利. 差分. 兩樣物品的等差. 盈朒. 盈不足術. 《算爼》在村松自序之後即是卷 1 的目錄如表 4：46 表 4 《算爼》卷 1 目錄數字類. 因乘. 乘直. 歸除. 歸直. 定法. 17 問. 次第. 因歸直. 47. 19 問. 位直. 48. 8問. 積直. 相應. 差分. 盈朒. 目錄終. 10 問. 8問. 2問. 3問. 合 67 問. 49. 卷 1 目錄之後是《算爼》全書的總目錄如表 5：50 表 5 《算爼》總目錄一卷 67 問. 46 47 48 49. 50 51 52 53 54 55. 51. 二卷 65 問. 52. 三卷 141 問. 53. 四卷. 五卷. 149 問. 118 問. 54. 合 540 問. 55. 因排版之便筆者將其作為表格並橫向排列且數字採用阿拉伯數字，原文數字為漢字。村松茂清寫因乘、歸除此類問題為 31 問，經筆者計算實際上僅有 17 問。村松茂清寫因歸直此類問題為 27 問，經筆者計算實際上僅有 19 問。村松茂清寫卷 1 共 89 問，但由註解 47，48 的說明可知卷 1 合 67 問，註解 47，48 的修訂均已參閱佐藤健一，《算爼―現代訳と解説》與日本東北大學附屬圖書館和算資料データベース網頁《算爼》電子圖檔查證，筆者亦對照過《算爼》第二版於天和四年(1684 年, 同年改貞享元年)的《算法算爼》內容亦只有 67 題，但卷 1 目錄仍與第一版一致。因排版之便筆者將其作為表格並橫向排列且數字採用阿拉伯數字，原文數字為漢字。村松茂清寫卷 1 為 89 問，應為 67 問。村松茂清寫卷 2 為 67 問，應為 65 問。村松茂清寫卷 3 為 140 問，應為 141 問。村松茂清寫卷 5 為 120 問，應為 118 問。村松茂清寫 5 卷共為 566 問，應為 540 問。 16.

(29) 3.1.1 用字與數字類用字與數字類緊接著即是「用字」此一小節，「用字」選了因乘，歸除，相因，自因，再自因，冪，和，並，減去，止於，不盡，折半，零，殫，徑，方，立方，這 17 個用語另作解釋，值得一提的是，卷 1 目錄中「因乘」與「歸除」這兩個用字在村松早期的和算書中並未出現，56可能如此村松才特別說明，而卷 1 其他章名如「乘直」與「歸除」與《豎亥錄》對應的即是「因直」與「歸直」，其他章名則在《豎亥錄》中已經介紹過意思，所以村松並未再說明，倒是「自因」與「再自因」(即平方與立方)在《豎亥錄》中有介紹意思，但村松再次強調，應是之後的內容常常使用這類計算所以再次說明。這裡比較特別的地方是，比村松還要早期的和算書並沒有像《算爼》一般先特別介紹「用字」，57大部分的名詞介紹是跟在章名的底下說明的，就連《豎亥錄》也不例外。「用字」介紹完即是介紹算學基本常識，如同更早期的和算書《塵劫記》、《豎亥錄》、《算法闕疑抄》一樣介紹「基數」即一、二、三、四、五、六、七、八、九、十，之後是「大數小乘」與「大數大乘」即進位制，如：一、十、百、千、萬、億、兆、京、陔、秭、壤、溝、澗、正、載、極，要注意的是《算爼》不同於其他和算書，58村松在介紹完進位制後又附了一段說明，原文如下：「又曰：一、十、百、千、萬、十萬、百萬、千萬、萬萬曰億、萬萬億曰兆，萬萬兆曰京、萬萬京曰陔、萬萬陔曰秭、萬萬秭曰壤、萬萬壤曰溝、萬萬溝曰澗、萬萬澗曰正丶萬萬正曰載、萬萬載曰極、萬萬極曰恒河沙、萬萬恒河沙曰阿僧祗、萬萬阿僧祗曰那由他、萬萬那由他曰不可思議、如前呼之，一億、十億、百億、千億、萬億、千萬億、百萬億、千萬億、萬萬億曰兆是也，後仿此，更不繁說。. 萬萬不可思議曰無量數。」村松多做說明的理由或許是希望初學者能自行了解進位制而不被迷惑。之後如同其他和算書一般，59介紹小數(一以下或單位以下的數)，即分、厘、 56. 57 58 59. 此處所說的早期和算書包含《割算書》(1622)、《諸勘分物》(1622)、《塵劫記》(1627)、《密傳書》(1628) 、《新編塵劫記》(1634)、《豎亥錄》(1639) 、《因歸算歌》(1640)、《新編塵劫記》附遺題(1641)、《日月會和算法》(1641)、《萬用不求算》(1643)、《參兩錄》(1653)、《九數算法》 (1653)、《新編諸算記》(1655)、《円方四卷記》(1657)、《算元記》(1657)、《格致算書》(1657)、《算法闕疑抄》(1659)、《豎亥錄仮名抄》(1662)，上述書目均查閱自日本東北大學附屬圖書館和算資料データベース（旧:和算ポータル）網頁的電子圖檔 http://dbr.library.tohoku.ac.jp。同註解 56 所稱的和算書。此處和算書是指《塵劫記》、《豎亥錄》、《算法闕疑抄》。同註解 58 所稱的和算書。 17.

(30) 毫、絲、忽、微、纖、渺、塵、埃，次第十分。再來是度量衡，度數(長度單位)，即引十丈、丈十尺、尺十寸、寸十分、分十厘、厘十毫以下小數次第分。量數(容量單位)，即斛、斗、升、合、勺、抄、撮、圭、粟，次第十分。衡數(重量單位)，即一黍、一絫十黍、一銖十絫、一十五三十四和漢皆不同，分六銖、一兩四分、一斤十六。下一個是產數(面積單兩、一秤斤、一均斤、一碩均，用當規。十十三十六尺五寸以下小數次第十分一也，一畝之法古三位)，即町反反畝畝步步四方也十六步、今三十步，唐用二百四十步也。之後是諸輕重(物品間 60. 61. 62. 的重量轉換)，有金、銀、鉛、銅、錫、真鍮、鐵、砡、青石、檜、木栗、米、 63 水、栗石、砂、土。值得注意的是，小數的部分，《算爼》與《豎亥錄》相同是按照分、厘、毫、絲、忽、微、纖、渺、塵、埃這樣的次序，但《塵劫記》是將沙取代渺，形成分、厘、毫、絲、忽、微、纖、「沙」、塵、埃，而筆者繼續往《算法統宗》追查，得 64 到分、厘、毫、絲、忽、微、纖、沙、塵埃、渺、漠、模糊、逡巡、須臾、瞬息、彈指、剎那、六德、虛、空、清、淨。雖有此名而無實公私亦不用。《算法統宗》作者程大位認為「淨」至「塵」有名無實不標示進法，而由「塵」至「分」皆從十進，從這個表示法我們知道《塵劫記》作者吉田光由在參看《算法統宗》小數部分時是直接採納的，而之後不知怎樣的原因《豎亥錄》作者今村知商將後面的纖、沙、塵、埃、渺改成纖、渺、塵、埃。關於上面的討論筆者整理如表 6：表 6 《算爼》、《算法統宗》、《塵劫記》、《豎亥錄》小數表示比較. 著作. 中算 / 和算. 小數表示. 算法統宗. 中算. 分、厘、毫、絲、忽、微、纖、沙、塵. 塵劫記. 和算. 分、厘、毫、絲、忽、微、纖、沙、塵、埃. 豎亥錄. 和算. 分、厘、毫、絲、忽、微、纖、渺、塵、埃. 算爼. 和算. 分、厘、毫、絲、忽、微、纖、渺、塵、埃. 接下來是因乘定法即九九乘法，65《算爼》與《豎亥錄》相同是從「一一一、「一二二」開始一路計算到「九九八十一」，不過只做不大於後面的數在前面較的大數在後面的乘法，即只有「四五二十」而無「五四二十」，因此只列出 60 61 62 63 64. 65. 真鍮，黃銅。砡，同「玉」。木栗木栗，栗子樹。栗石，像板栗一樣的小石頭，如鵝卵石。程大位列小數的名稱與《算學啟蒙》相同但進法略有不同。《算學啟蒙》「小數之類」列出一以下小數名稱二十三個：分，釐，亳，絲，忽，微，纖，沙，塵，埃，渺，漠，模糊，逡巡，須臾，瞬息，彈指，剎那，六德，虛，空，清，淨。由淨至沙為萬萬進，由沙至一為十進。程大位以為「淨」至「塵」有名無實不標示進法，而由塵至分皆從十進。《算學啟蒙》之前，小數名稱尚未統一。如《太平御覽》卷七百五十引賈誼云：「十毫為髮，十髮為釐，十釐為分，十分為寸，十寸為尺」。劉徽《九章算術圓田術註多次用到分、釐、毫、秒、忽。《孫子算經》也用到小數的名稱，亦止於忽。《五曹算經》兵曹第九題，金曹第十題用到小數名稱分，釐。《數書九章》卷十二累收庫本題用到十三個小數名稱：分，釐，毫，絲，忽，微，塵，沙，渺，莽，輕，清，煙，皆從十進。引自梅榮照、李兆華，《算法統宗校釋》，105-106。在「用字」裡村松解釋「因乘，乘也，略為一字亦同。」 18.