弧矢弦

=

⇒ 



=



由前兩題可以發現本卷在處理多元聯立方程時，題目中的每個聯立式，要處 理的其實只有二元，即題目在敘述時只有說明兩兩一組的關係，以第一題為例，

村松在布置此題時，只說青錦與黃錦、黃錦與赤錦、赤錦與青錦的關係而沒有一 次給三種物品間的關係，本節其他更多元的聯立方程也是只處理一次兩兩一組的 式子，村松在處理這類一次給兩兩一組的聯立方程時，使用的技術是先把目標鎖 定在第一個未知數，因此要想辦法消掉後面的元，因此先將第一式乘後面關係式 中的其他未知數的係數，例如取第二式的 y 係數，第三式的 z 係數，第四式的 w 係數，依此類推；而將第二式去乘第一式的 y 係數，第三式的 z 係數，第四式的

w 係數，將第三式去乘第一式的 y 係數，第二式的 z 係數，第四式的 w 係數，依

此類推。如此完成後將奇數列的式子相加減去偶數列的式子，將只剩下與第一個 未知數有關的式子，也就獲得解答。

介紹完八色九種(八元聯立方程式)後，村松並沒有繼續往更多元的聯立方程 式介紹，他反而將前面介紹過的二組三品(二元聯立方程式)又再討論一次，主要 是在說明當碰到這類聯立方程式時，將其劃出圖(表)時就可以迎刃而解。就如同 第三題術曰中村松所說的

此術前有之，同于二組三品之術，雖盈朒問數多有之，布圖者為要也。

172

3.3.7 弧矢弦 弧矢弦 弧矢弦 弧矢弦

弧矢弦此節在卷 3 的內容上村松寫的是徑弧矢弦，而在目錄僅提弧矢弦，但 因為差別不大故仍採用目錄的寫法。本節也是第一次出現在《算爼》中的章節，

主要是在討論直徑、弧長、矢、弦的關係，不過在說明例題前，要先了解今村知 商在《豎亥錄》中對徑矢弦中所給的公式，茲引《豎亥錄》徑矢弦的說明：

172 引自徐澤林，《算爼》，《和算選粹補編》，p.124。

76

令圓的直徑為 d，弦長 a，矢 h，弧長 p，弓形面積 S

知徑矢弦之徑式者，以弦之尺數，自因乘 而得步數，于是用矢之尺數四因之而得尺數，

歸除而得尺數，于是加矢之尺數，俱是得尺數，

是徑圓也。¹⁷⁴

( )

2 2

2 2

4 4

2 4

a a

h d h a dh h d h

h

 

= −

⇒

= −

⇒

= +

 

 

知徑矢弦之矢式者，以圓徑之尺數，自因

乘而得步數，內減去弦之尺數自因乘而得步數而止，余之步數為實，用開平 之式而得尺數。又圓徑之尺數，內減去開平商之尺數而止，余之尺數，半之，

則得尺數，是矢也。¹⁷⁵

2 2 2 2

2 2 2 2 4 4

d d a d d a

h

   

h

− =

 

−

 ⇒

= − −

   

知弧矢弦之弧式，用知徑矢弦之徑式，知圓徑而圓徑之尺數，于是加矢 之尺數半之而得尺數，俱是得尺數，于是用矢之尺數四因之而得尺數因乘，

而得步數為實，用開平之式，則得尺數，是弧也。¹⁷⁶

( ) ⁴

2 p



d h



h

=



+



  ，此為今村知商猜測的弧長近似公式，若將第一式的直徑

公式代入，可推導出一個等價公式

p = a

²

+

6

h

² 。

知弧矢弦之弦式者，以弧之尺數自因乘而得步數，于是用矢之尺數四因 之而得尺數歸除，而得尺數內減去矢之尺數半之而得尺數而止，余之尺數^是圓_徑也 知圓徑，而用知徑矢弦之弦式，則得尺數，是弦也。¹⁷⁷

173 轉引自日本東北大學附屬圖書館和算資料データベース （旧:和算ポータル）《豎亥錄》電子 圖檔網址：http://dbr.library.tohoku.ac.jp。

174 引自徐澤林，〈豎亥錄〉，《和算選粹補編》，p.28。

175 引自徐澤林，〈豎亥錄〉，《和算選粹補編》，p.28。

176 引自徐澤林，〈豎亥錄〉，《和算選粹補編》，p.28。

177 引自徐澤林，〈豎亥錄〉，《和算選粹補編》，p.28。

圖 47 《豎亥錄》弧矢弦之圖¹⁷³

77

由前一個公式

( ) ⁴

²

2 4 2

h p h

p d h d

h

 

=



+

 ⇒

= −

  ^{又由第一個公式}

2

4

d a h

= h +

可 得

a

²

= p

²

− 6 h

²。

今圓闕之弧矢弦，知步式者，徑矢弦相因、^四_二歸、減

用知徑矢弦之徑式知圓徑，而圓徑之尺數與弧之尺數相因乘而得步數，

四歸之而得步數。又圓徑之尺數半之而得尺數，內減去矢之尺數，而止余之 尺數與弦之尺數相因乘而得步數，半之而得步數。

右徑弧相因，四歸之步數，內減去弦，止余相因半之步數，而止余之步 數，是寸步也。¹⁷⁸

1

4 2 2

pd d

S a



h



= − ⋅ ⋅



−



 ，此恰為扇形面積

1

4 2

pd = pr

(r 為圓半徑)減去三角形

面積得弓形面積，可知今村知商是給出扇形面積的第一人(徐澤林，1992)。¹⁷⁹

介紹完今村知商對弧矢弦的發現後，我們可以依此脈絡來參看在《算爼》卷 3 弧矢弦所討論的問題，本節一共有 13 題，茲舉 5 個例題做說明，如圖 48 與表 36：

圖 48 《算爼》弧矢弦之圖

徑矢弦者，委細合也。

弧矢弦者，算數繁，故記大凡也。

闕中之積四步一分七厘五毫。

178 引自徐澤林，〈豎亥錄〉，《和算選粹補編》，p.28。

179 轉引徐澤林，〈《豎亥錄》中的圓型平面圖形問題〉。

78

79

80

的圓周率為 3.14，得弧長

^{p = a}

²

⁺ (

^3.142

⁻

⁴

) ^h

²

^{≈ a}

²

⁺

^5.8609

^h

^{2 。但不論是哪}

一個進路，村松皆使弧長公式比今村知商的更為精準。

3.3.8 步積 步積 步積 步積

卷 3 的步積村松收錄了更多複雜的平面圖形問題，共有 35 題，包含有給正 三角形求中勾、三角容三角求內三角形、圓容圓求走道寬、長方形面積裁切合併、

直角三角形截一走道、梯形截一走道、做輔助三角形、給上下寬或給斜度及面積 求梯形的邊長、梯形容梯形求走道寬、直角三角形面積按比例分割、菱形給比例 求縱與橫、直角三角形容圓，等腰三角形容圓、直角三角形容方、等腰三角形容 方、求環形內徑等問題。茲舉 7 個例題如表 37：

表 37 《算爼》卷 3.8 步積 例題

原文 現代算式與說明

卷 3.8.70

圖 49 卷 3.8.70

今三角之中三角，外方一尺二寸，幅二 寸，問定內方幾何？

答曰：五寸零七一五。

術曰：列一尺二寸，以定法八分六六乘 之^一尺三分九厘二毫，別三倍二寸，六寸，以之減右，

止余^四寸三分九厘二毫，置之，以定法八分六六除 之，合答。

正三角形內包一個正三角形，若外面邊 長 12 寸，寬度 2 寸，則裡面正三角形 邊長多少？

答：5.715 寸。

高12 0.866 10.392

× =

，

3 2

× =

6(高的黑色部分)裡面正三角形

的高10.392 6 4.392

− =

， 4.392 0.866

÷ =

5.0715

81

卷 3.8.72

圖 50 卷 3.8.72

今如圖，¹⁸¹縱四十二間八分五厘七毫，

橫三十五間之地，只云分為三宅地，步 數等分，中間有幅五間之道，問縱橫幾 何？

答曰：二宅地之縱三十間，但如圖。

術曰：橫三十五間，內減道幅五間，余 折半^十五_間 ，乘三^四十_五間，加道幅^五十_間 ，以之除積 千五百步，得三十間，是左右宅地之縱 也。又視形鋪道時，橫乘道幅，以其步 減總積，余行右術也。

如圖，長 42.857 間，寬 35 間的地，要 分成三塊面一樣，中間有一個寬 5 間的 走道，問如何分？

答：兩塊長 30 間，但如圖。

(

^{35 5}

^{− ÷ =} )

^{2 15，}

15 3

× =

45， 45 5 50

+ =

，

42.857 35 1499.995 1500× = ≈

1500 50

÷ =

30間

卷 3.8.78

圖 51 卷 3.8.78

今片狹之廣橫四寸五分，狹橫三寸，股 四寸，問假延幾何？

梯形的下底 4.5 寸，上底 3 寸，高 4 寸，

問假延(從高延伸出去的長度)多少？

答：假延 8 寸 4.5 3 1.5

− =

， 1.5 4

÷ =

0.375(勾配)

3 0.375

÷ =

8

181 圖 50 卷 3.8.72

82

83

84

由這些選題中可看見，在卷 3 的步積此節，村松開始討論平面圖形的應用問 題了，即可能增加一些條件後，計算兩幾何物件的關係或是求邊長、面積等，第 一題就利用兩個正三角形的關係，去計算內部正角形邊長，第二題則給固定的面 積去做分割，這問題應跟日常生活中得切割土地有關係，再次應證《算爼》在實 用數學上有很大的關連，第三道問題則是將相應與直角三角形做結合，第四題則 提供了若面積向外延展，利用比例算出延展多少，第五題則是勾股容圓問題，第 六題則是勾股容方，最後一題則是環形區域問題。

3.3.9 坪積 坪積 坪積 坪積

在卷 3 的坪積村松繼續計算計算立體圖形相關問題，不過在卷 2 的坪積是介 紹各種體積的計算方式，本節則利用已知體積及其他長度，求高或求寬等問題，

因此會用到開平方法或開立方法來處理問題，本節共有 40 題，¹⁸²仍有方錐、方 台、厚幅錐、榨形、厚幅台等圖形，不過新增了球闕、¹⁸³球皮、¹⁸⁴圓台分截問題，

185茲舉 7 個例題，如表 38：

表 38 《算爼》卷 3.9 坪積 例題

原文 現代算式與說明

卷 3.9.103 底邊長 6 寸，高 1 尺的方錐，若將體積 平分成三段

問截口多長？斜面的長多少？

答：如圖。

6 3

÷ =

2寸(截口長)

斜面高(中勾)=

2

2 6

10 10.4403

2

+

  

≈

  截口弦=

( )

²

10.44032+ −3 2 ≈10.488

182 卷 3 目錄寫 39 問，但經筆者計算共 40 題。

183 原文為「玉闕」，即球體切一塊，形成球冠，在《九章算術》即是宛田。

184 原文為「玉皮」，即球體切一塊的表面積。

185 即直圓錐依等體積截成小塊的圓台與圓錐。

85 圖 56 卷 3.9.103

今方六寸，串一尺之方錐，只云坪等分 而三截，各問截口與弦之寸幾何？

答曰：如圖。

術曰：置方六寸，以三除之，得二寸，

是方之截口也。又求弦之截口者，串一 尺用作股，方半三寸為勾，以勾股弦術 得中勾一尺零四四零三。又中勾用作 股，方半三寸減二寸，余一寸為勾，以 勾股弦術以得一尺零四厘八八，是截口 之背之弦也。

卷 3.9.109

圖 57 卷 3.9.109

今方台積七百三十二寸坪，只云定廣方 一尺，狹方八寸，問串幾何？

答曰：串九寸。

術曰：置積，以三乘之^二千百九十六坪 ，為實，別 廣方自因^百步，狹方自因^六十四步，廣狹相乘^八十步 ， 三位并合得二百四十四步，為法，除 實，合答。

方台體積 732 寸坪，下底邊長 1 尺，上 底邊長 8 寸，問高多少？

答：高九 9 寸

令下底邊長為 a，上邊長 b，高 h，體積

V

(

^{2 2}

)

1

V = 3 a + ab b + h

(

^{2 2}

)

732 1 10 10 8 8

3 h

= + × +

9

⇒

h =

86

卷 3.9.119

圖 58 卷 3.9.119

今厚幅錐積九十六坪，只云定串一尺二 寸，受厚有一寸六分而幅有二寸四分之 相應，問幅幾寸？

答曰：幅六寸。

術曰：置坪數，以三乘之，以串除之^二十_四步， 乘相應之一寸六分，以幅二寸四分除之

十六

步 ，為實，以開平方法除之，得厚也。

是乘二寸四分，又除一寸六分，合幅。

厚幅錐體積 96 寸坪，高 1.2 尺，已知底 邊寬與長比例為 1.6 問寸與 2.4 寸，則 比邊長多長？

答：長 6 寸。

令底邊長為 a，底邊寬 b，高 h，體積 V

1

V = 3 abh

96 1 12 24

3 ab ab

= ×

⇒

=

24 1.6 2.4 16

× ÷ =

，

16 = 4

^(寬) 4 2.4 1.6

× ÷ =

6(長)

87

88

5.8609 5.8609 1

p a

89

卷 3.9.138 玉皮

圖 62 卷 3.9.138

今周三尺一寸四分之球皮，問步數幾 何？

答曰：二百四十六步四分九厘。

術曰：周自因^九百八十_五步九六，置之，以略法四除 之，合答。

周 3.14 尺的球皮，其表面積為多少？

答：246.49 寸步

令球表面積 S，下周長 a，表面直徑 d，

採用中算不準確的宛田公式

1

S = 4 ad

1 31.4 31.4 246.49 S = ×4 × =

(村松將其表面直徑當作 31.4)

在本節並不是只有這些例題，舉前兩題為例，除了在方台上求高外在方錐也 可以求高，筆者挑選這些問題僅僅是為了呈現村松討論方向的多樣性。由方錐上 可知道利用勾股弦來處理斜面高的關係，而在方台此例，可知由體積公式逆推求 高，在厚幅錐上則看到應用相應(比例)來求體積的長寬，在榨形的例子中，看到 村松在變換數字時的靈活，這個技巧在後面的卷也會出現，在厚幅台則同方台求

在本節並不是只有這些例題，舉前兩題為例，除了在方台上求高外在方錐也 可以求高，筆者挑選這些問題僅僅是為了呈現村松討論方向的多樣性。由方錐上 可知道利用勾股弦來處理斜面高的關係，而在方台此例，可知由體積公式逆推求 高，在厚幅錐上則看到應用相應(比例)來求體積的長寬，在榨形的例子中，看到 村松在變換數字時的靈活，這個技巧在後面的卷也會出現，在厚幅台則同方台求

在文檔中 村松茂清《算爼》之內容分析 (頁 87-0)