2 BD t m s
a = = ⋅ =
若假設月球所受之向心力是平方反比力，在讓月球逐漸下降至地表 時，其向心力或向心加速度將增強 3600 倍。令月球在地表的加速度
a’，即
( ) ( m s ) g
a
a ' = 3600 ⋅ = 3600 ⋅ 9 . 74 / 3600 = 9 . 74 /
2≅
g 即為重力原因所造成地表上的重力加速度，其理論值為
9.8(m/s2)。所以，當月球逐漸下降至地表時，其向心加速度等於重力加速度；亦 即，使月球運轉之向心力，和在地表上使物體下落之重力實屬同源，
也就是來自同一原因，屬於同一力量。由於概念的正確性，以及實際 值與理論值的一致性，牛頓才能說明其向心力理論的完整性，並從中 窺見萬有引力的端倪，繼而提出萬有引力理論。
第四節 第四節
第四節 第四節 面積律 面積律 面積律 面積律
縱使虎克刺激了牛頓對於做圓周運動物體的受力的觀點，將之從
「離心力」轉變成「向心力」，但是虎克的討論對象是天文學問題，
而不是牛頓一直著重的等速圓周運動，虎克並未針對等速圓周運動的 內容提出任何建言。而萬有引力中，行星繞行曲線軌道是受到「向心 力」而非「離心力」的概念，還包含一項很重要的轉變，就是向心力 與「面積律」的連結，牛頓經由《原理》第 1 卷的命題 1 證明若是受 到向心力，則物體運動軌跡必遵守面積律，再用命題 2（也就是命題 1 的反命題）證明，若是物體運動遵守面積律，則物體必受到向心力，
牛頓用這兩個命題推導向心力的存在與面積律兩者的緊密關係，而向 心力與面積律的關係是虎克一直沒有發現的，這純屬牛頓之創見。
科恩指出，在牛頓同時代，大多數人不太熟悉克卜勒的面積律，
而將之誤解為「行星的速度與其至太陽的距離成反比」，但是牛頓完 全瞭解克卜勒面積律，並指出一般人誤解的面積律不會在整個行星軌 道成立，但是虎克完全沒有發現自己的誤解，：
一般人所說的面積律，是沿橢圓軌道運動的物體，其速 度與距離成反比，可是虎克並未發現克卜勒的面積律無法應 用到整個行星軌道上，而只在有限的區域（近日點或遠日點 附近）才會成立。但牛頓發現並非如此，物體的速度應該是 與中心到行星軌道切線的距離成反比。因此，牛頓顯示了一 般人所說的克卜勒面積律只有在近日點或遠日點成立，而在 近日點或遠日點附近時，太陽到行星的距離與太陽到行星切 線的距離非常接近，則面積律也近似成立。（Cohen, 1980, p.
243）
牛頓以第一運動定律及第二運動定律為基礎，用命題 1 和命題
2，將克卜勒的面積律重建，轉變成更簡單清楚的形式，建立前所未
心力」。手拉著一端綁著物體的繩子並使物體旋轉，物體做圓周運動 需要向心力，此處的向心力由手作用於物體的拉力提供，物體所需要 的向心力會隨著其轉速愈大而增加，也就是手需要施的拉力愈大，至 於手感受到的拉力，就是物體作用於手的反作用力；人坐在轉彎的車 內，感受到自己偏向車轉彎的反方向，則是因為身體受到的向心力不 足，使得身體無法隨著車做圓周運動，而朝著原本的運動方向運動，
若是身體擠壓到車門，就能隨著車做圓周運動，此時，車門對身體的 作用力便提供身體做圓周運動的向心力，隨著轉彎的速度愈大，所需 要的向心力愈大，車門對身體的作用力就愈大，也就是車門與身體之 間壓得愈緊，所以人才會有似乎要被向外拋出的感覺。所以，可以將 離心力的概念視為在力學尚未發展成熟之前，人們試圖用力學與自身 經驗結合之後的錯覺。
第二，在推導物體改變運動方向所受力的方向，也就是運動改變 方向的過程中，牛頓第二運動定律是不可或缺的角色。牛頓第二運動 定律描述，物體的加速度方向與受力方向相同，而物體的加速度方向 與速度改變方向相同，速度的方向就是物體瞬間的運動方向，也就是 說，物體的加速度方向與運動改變方向相同，因此，物體運動改變的 方向與其受力方向便相同。牛頓先將其運動定律發展完成，接著便發 現，當物體沿著曲線軌道運動時，它不會受到指離中心的「離心力
（centrifugal force）」，相反地，而是受到指向中心的「向心力
（centripetal force）」。也就是說，做曲線軌道運動的物體受到向心力 的概念，必須建立在牛頓第二運動定律的基礎上，或者，至少需建立 在其雛形之上，也就是要先確定受力方向與運動方向的關係，才能確 定物體是受向心力而非離心力。