週期律 週期律 週期律 週期律

第四章

第四章 第四章 平方反比律 平方反比律 平方反比律 平方反比律

牛頓在《原理》第 1 卷當中完整建立力平方反比律及橢圓律的關 聯，因此，後人在講述平方反比律時，都普遍認為牛頓的靈感來自於 克卜勒的橢圓律，然而在檢驗《原理》第 3 卷之後，發現牛頓在論述 萬有引力的過程中，卻不是以橢圓律而是以正圓的週期律為依歸，在 本章中，將以《原理》一書的編排為基礎，重建平方反比律。

第一節 第一節

第一節 第一節 週期律 週期律 週期律 週期律

《原理》第 1 卷論物體的運動，主要是討論單一物體圍繞幾何力 心運動之純粹數學分析。該卷一開始便先給出質量、運動量、外力、

向心力等八個物理概念的定義，以及全書的論證基礎，也是大家所熟 悉的三個運動定律或公理，接著進入主題，從向心力問題的討論切 入。第 1 卷雖然有 98 個命題（或 50 個定理），然而牛頓在第 3 卷中 明顯提示，欲了解宇宙體系的讀者，只要仔細讀過第 1 卷中前面 17 個命題的內容，即已足夠。（牛頓，2005，p. 402）

其中命題 1 至 3，主要是陳述面積律：物體與某靜止點的連線在 相同時間掃過相等面積，與向心力的存在，完全等價同義（圖 4-1）。

圖

4-1

2009

《原理》命題 4 則甚為關鍵，此命題在歷史上首次出現在《物體 在軌道中之運動》（De Motu Corporum in Gyrum）的定理 2，牛頓運 用此命題，描述出圓周運動向心力的普遍數學表達式，以及一個相當

面積律 向心力的存在性

樣敘述，《原理》如此記載：

命題命題

命題命題 4 定理定理定理 4 定理

沿不同圓周等速運動的若干物體之向心力，指向各自圓 周的中心，它們之間的比，正比於等時間裡掠過的弧長的平 方，除以圓周的半徑。（牛頓，2005，p. 45）

其證明如下（Brackenridge，1995，pp. 85-90）：

F

S B

D C

f

s b

d c

圖

4-2

Brackenridge

1995

p. 86

兩個物體分別沿著兩個不同半徑的圓（圖 4-1）做等速率圓周運 動，其半徑分別為 SB 和 sb；線段 BC 和 bc 分別代表無外力作用時，

物體在時間 t 內之運動距離；弧 BD 和 bd 分別代表在向心力作用之 下，物體在時間 t 內之運動軌跡；則因為力作用而造成的物體在時間

t 內的運動偏移量分別為 CD 和 cd。

[A] 令同樣時間內，物體 B 和 b 分別繞行圓周畫出弧

BD 和 bd，另外，同樣時間內由於它們的固有力所畫出的切

F

S B

D C

圖

4-3

BC

BD

Brackenridge

1995

p. 87

若將切線 BC 繞著圓，則 C 點便會與 D 點重合，即 BC 線段長等於弧 長 BD，同理 bc 線段長等於弧長 bd（圖 4-3）。

[B] 向心力不斷地將物體從其切線拉回圓周，使得物體 分別畫出 CD 和 cd 線段。

令向心力分別為F^C和f^C，因此F^C / f^C =CD / cd。 依據歐幾里德的圓冪性質可得

CF BC CD= ²/

則兩向心力的比值可換成另外的形式

[C] 延 長 CD 、 cd 分 別 交 圓 周 於 F 、 f ， 因 此

最後，取極限值

[D] 考慮非常小的距離 BD 和 bd，因此(1/2)CF 和(1/2)cf 可以用半徑 SB 和 sb 代替。

F

S

B C D

A

圖

4-4

D

B

CF

2SB

Brackenridge

1995

p. 89

因為當 D 點非常接近 B 點時，CF 便趨近於 2SB（圖 4-4），所以 (1/2)CF 可以用半徑 SB 代換，即力與弧長平方除以圓周半徑成正比

( )

(

) (

( )

) (

) (

)

f

F_c/ _c = ²/12 / ²/1 2 = ²/ / ²/

此即為命題 4。而重要的推論如下，牛頓將命題 4 的結果與克卜勒週 期律結合，得到向心力與半徑平方成反比的結果。

命題 命題 命題

命題 4 推論推論推論 6 推論

如果週期正比於半徑的 3/2 次方，則向心力反比於半徑 的平方；反之亦然。（牛頓，2005，p. 46）

此處 「等時間裡掠過的弧長」 指的是速率 ，若圓半徑為 ，在

陽的運動中，也成立於衛星繞木星的運動中。類似的聲明也 出現在《原理》對於命題 4 的旁註中，牛頓說這個推論的情 況可以在天體中獲得。不過在《原理》中，還有一項附加說 明是沒有出現在《物體在軌道中之運動》中的：這是雷恩

（Christopher Wren，1632-1723）、哈雷（Edmond Halley，

1656-1742）、虎克已經分別觀察到的結果。在《物體在軌道 中之運動》中，寫道：上述的週期與半徑的關係已經被天文 學家所接受。而在《原理》中，牛頓的陳述更為簡明，既然 這個關係成立於天體，那麼他將要試圖詳細地探討距離平方 反比力。（Cohen, 1980, pp. 259-260）

第二節 第二節

第二節 第二節 橢圓律 橢圓律 橢圓律 橢圓律

虎克在 1666 年做的擺錘實驗，已經提供天體運動的模型，也就 是行星的橢圓軌道模型，而這也就是虎克一直試圖處理的問題：

用一根短繩把另一個擺球繫在這個金屬線的較低處，使 較小的球圍繞較大的球自由地作圓周或橢圓運動，而較大的 球則繞著第一個中心作圓周或橢圓運動。這是想說明月球圍 繞地球運動的方式。結果很清楚，無論是代表地球的大球，

還是代表月球的小球，都沒有沿著絕對的正圓或者橢圓運 動，不過兩球的重心似乎是沿著正圓或橢圓律運動，而兩個 球則繞著這一點沿小橢圓作著特殊的運動。（柯瓦雷，2003，

p. 179）

即便其受力與實際天體受力數學形式有著基本的不同，但虎克在 此實驗上的成就，不僅是提供可見的天體模型，他對於天體運動的描 述，也激發了當時代解決天體運行問題的一些靈感。

對於牛頓在吸引概念上的建立，不可否認虎克是啟發牛頓靈感的 角色，而虎克主要是為了行星運動的問題而希望與牛頓討論，而引起 牛頓對天文學的注意。牛頓與虎克對平方反比力的討論與接觸，開始 於 1679 年底，虎克當時任英國皇家學會秘書長，為帶動學會討論風 氣，且他也明白牛頓在科學上有許多重要貢獻，遂主動邀請他共同討 論，並以實驗檢視當時各種可能的自然科學想法與理論。

1680 年，相對於虎克一直熱衷於天文學，牛頓並沒有 直接回應虎克，而只是寄了一些與天體動力學的問題不相關 的實驗。也許是一開始牛頓沒有體認到虎克提出的問題的重 要性，或是當時他不認為這些問題是理解太陽系統的關鍵，

所以一開始牛頓並沒有認真解決這些問題。後來牛頓才證明 出在隨距離平方成反比變化的中心力（central force）以及物 體本身的慣性兩者共同作用之下，物體的運動軌道將會是橢 圓。再晚一點的時間，牛頓才承認自己在重力定律作用下的 天體運動學的主要第一步，是由於在 1679-1680 年間虎克的 刺激。（Cohen, 1980, p. 245）

虎克寫信向牛頓描述了近來的物理與數學訊息，其中含有笛卡兒 的渦漩理論，主張是天際裡的渦漩支撐並帶動著行星繞日運動，也提 到他本人對吸引力的猜想，及物體的彈性振盪。

1679 年，虎克寫了一封信給牛頓，希望他可以跟英國 皇家學會交換哲學思想，就此展開牛頓對於天文問題的強烈 注意力。信中，虎克提出「沿切線方向運動與朝向中心的吸 引（attractive motion towards the centrall body）之下的合成，

所造成的行星天體運動」問題。（Cohen, 1980, p. 242）

牛頓很快地回覆，除了建議虎克以實驗來檢驗哥白尼的地動說 外，還討論到：假想人在北極上方，可觀察到在赤道線的山頂或高塔 上，靜止釋放一重球，且假設當球要抵達地球表面時，在球前方均無 阻力，彷彿有一坑道可讓其持續運動，則其運動路徑會是如何？牛頓 本身認為此球將以螺旋形（spiral）運動，最後抵達地心，為了清楚起 見，他自己還將螺旋軌跡畫了出來（圖 4-6）。（Taton & Wilson，1989，

p. 241）

牛頓回應了另一問題「在地球每日運動的影響下，物體 的自由落體運動」，他認為在北極上方看赤道面，物體不會 撞到地球的情況下，將會沿螺旋線運動。（Cohen, 1980, p.

242）

圖

4-6

4-7

然而，虎克認為物體在地球內所受到的力是指向地心，並且與距 離成正比，這個力的形式跟彈力很接近，可稱為「虎克力」，並且猜 測物體在地球內部的運動軌道會近似橢圓（圖 4-7）：

而虎克很快地發現這個錯誤，所以他回應牛頓應該是橢 圓狀（近似橢圓）（ The curve would be “rather a kind of elleptueid”.）這個問題的重要性在於找出物體在自轉地球上 的自由落體運動軌跡，就是在數學上及物理上等價於找出行 星軌道；因為落體的運動就像是慣性運動與受到持續朝向中 心吸引力作用的合成運動。（Cohen, 1980, p. 242）

不過，虎克並沒有做數學計算以證明他的猜測。這個部分，由牛 頓後來在《原理》第 1 卷中的命題 10 證明出其反命題，命題 10 的敘 述如下：

命題 命題 命題 命題 10

一個質點沿橢圓環行時，指向該橢圓中心的向心力正比 於該質點到橢圓中心的距離。（牛頓，2005，pp. 69-70）

赤道

在處理完上述物體在地球內的運動後，虎克進一步於 1680 年 1 月給牛頓的回音中提到了下列重要敘述：

我的看法是吸引力永遠與至中心距離的平方成反比，…

在天體運動中，太陽，地球或中心物體是引力的來源，雖然 它們不能被假定為數學點，但可被視為物理的，且在足夠遠 處外，所受的引力可依據距離中心如前面所言（平方反比）

的比例來計算…。（Hall & Knight，1996，p. 205）

虎克還嘗試對受平方反比力之物體，尋找出其運動軌跡，並向牛 頓提供自己的看法，建議牛頓從事此計算，且相信以牛頓傑出的數學 方法，必可解決此問題，在同一封信中寫道：

吸引的大小與距離平方成反比，且速度與距離成反比。

因中心吸引力使得速度會偏離其原來的直線切線軌道，而畫 出適當的曲線軌道，且此中心吸引力與距離的平方成反比。

我毫無疑問，以你傑出的方法能夠輕易地找出這會是何種曲 線，並且提供此命題的物理原因。（Cohen, 1980, p. 244）

信中很清楚顯示出，平方反比力似乎是首先出現在虎克所言的吸 引力中，因此這段描述在歷史上被當成是虎克發現重力的平方反比律 的證據，然而，從信中也很清楚地看到，虎克並沒有說出在地球外的 物體運動軌跡會是橢圓。而牛頓為了支持自己才是第一個發現者的說 法，將自己年輕時所得出的圓周運動加速度定律（ ）導出平方反

信中很清楚顯示出，平方反比力似乎是首先出現在虎克所言的吸 引力中，因此這段描述在歷史上被當成是虎克發現重力的平方反比律 的證據，然而，從信中也很清楚地看到，虎克並沒有說出在地球外的 物體運動軌跡會是橢圓。而牛頓為了支持自己才是第一個發現者的說 法，將自己年輕時所得出的圓周運動加速度定律（ ）導出平方反