牛頓萬有引力的建立及其科學哲學觀的探討

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(1)國立台灣師範大學物理研究所碩士論文. 牛頓萬有引力的建立及其科學哲學觀的探討. 學. 生：田芷綾. 指導教授：姚. 珩. 中華民國九十八年六月 0.

(2) 致謝. 首先，感謝父母親在我就學期間全力的支持與鼓勵，給予我完全的尊重及信任，讓我得以依照自己的專長及興趣自由地發展，並完成研究所的專題研究。同時，感謝指導教授姚珩老師，在撰寫論文的期間，不遺餘力地給予指導，每當感到有疑問的時候，也毫不保留地傾囊相授，讓我的論文能夠如此順利完成。另外，感謝在研究所期間一直鼓勵我的朋友們，宜新和智豪等人。陪著我經歷了這段難忘的路程，創造了有價值的回憶，也希望大家的未來都能如願。最後，也要感謝台北市立教育大學特教系的廖仁祥同學，給予我最大的鼓勵及支持，並從很多方面協助我，使我能專心致力於論文、準備教師甄試及撰寫論文。. 1.

(3) 摘要. 萬有引力定律的結構，可分為三大部分。一是吸引力的概念，牛頓將離心力想法轉化成向心力觀點，並建立向心力與面積律的雙向關係，以得到萬物互相吸引的概念；二是距離平方反比律此數學描述，牛頓以自己所建立之正圓的向心力概念為主，行星週期律為輔，進行數學論述而得到此精確數學描述式；三是質量乘積之物理想法，是牛頓依其作用力與反作用力定律所獲得。萬有引力定律的建立過程，代表著牛頓承襲畢達哥拉斯傳統的數學觀及笛卡兒派的機械論，將兩者融合為其自成一格之科學哲學觀，牛頓的科學哲學觀將以往所統稱的自然哲學分為哲學與物理學兩門獨立的學問，並影響 17 世紀之後的科學，科學研究完全依照牛頓風格發展。. 2.

(4) 目錄致謝 ..................................................................................................... 1 摘要 ..................................................................................................... 2 第一章序言 ........................................................................................ 4 第二章歷史背景 ................................................................................ 8 第三章關鍵概念─向心力的形成 ................................................... 12 第一節. 正圓的離心律 ............................................................................................. 12. 第二節. 從碰撞到吸引 ............................................................................................. 20. 第三節. 地表與天上的結合—月球試驗 ................................................................. 23. 第四節. 面積律 ......................................................................................................... 31. 第四章. 平方反比律 .......................................................................... 34. 第一節. 週期律 ......................................................................................................... 34. 第二節. 橢圓律 ......................................................................................................... 40. 第三節. 天體運動現象 ............................................................................................. 48. 第四節. 牛頓的研究方法─牛頓風格 ..................................................................... 53. 第五章. 機械論與數學觀的整合 ....................................................... 57. 第一節. 數學觀的意義 ............................................................................................. 57. 第二節. 機械論的內涵 ............................................................................................. 68. 第三節. 機械論與數學觀的結合—牛頓第二運動定律 ......................................... 75. 第四節. 萬有引力形式的確認 ................................................................................. 80. 第六章. 牛頓的科學哲學觀點 ........................................................... 84. 第一節. 重力的原因 ................................................................................................. 84. 第二節. 重力的性質 ................................................................................................. 91. 第三節. 牛頓風格的啟示與重大影響 ..................................................................... 97. 第七章結論 .................................................................................... 100 參考文獻 ............................................................................................. 102 附錄 ................................................................................................. 104 一、平行四邊形定理.................................................................................................... 104 二、命題 1 及其證明.................................................................................................... 104 三、命題 11 及其證明.................................................................................................. 106. 3.

(5) 第一章. 序言. 牛頓（Isaac Newton, 1642-1727）被譽為古典物理的奠基者，多數人認為這是因為他提出了能夠描述普遍運動現象的「三大運動定律」以及解釋天體運行和自然現象的「萬有引力定律」。牛頓所建立的三大運動定律是物理學家進行研究的基本定律，第一定律描述「物體若不受合力或合力為零，靜者恆靜、動者恆作等速度運動」，其重要意義是確立物體的運動和靜止處於同樣地位，只是其狀態；而若觀察到物體沒有維持其狀態，一定處於受力情況之下，而要如何對於其受力進行數學討論，則依據力的定量描述式，即為第二定律「物體受力即為其動量的時變率」，如此一來，確立了科學的研究主題：物體的運動變化。一旦確定物體受力的數學描述式，就要尋求其受力來源，這是依據第三運動定律「作用力與反作用力同時存在，其大小相等方向相反」。「萬有引力定律」不但能用來解釋天體運行、地表潮汐等自然現象發生的原因，還能預測彗星週期及天文星存在，因此被稱作是自然運作的原理，這個定律和三大運動定律被記錄在牛頓花了兩年時間完成的《自然哲學之數學原理》（The Mathematical Principles of Natural Philosophy 或 Principia，以下簡稱為《原理》）。因此，若要瞭解古典物理的意涵，就必須要理解牛頓的想法，而欲理解牛頓的想法，則必須研讀《原理》一書，謹慎並仔細地檢視牛頓建立萬有引力定律的詳細過程，如此一來，便能重現牛頓理論及其概念。而本篇文章參考的主要文獻是由臺北市大塊文化出版的《自然哲學之數學原理》，這本書譯自莫特（Andrew Motte, 1696-1734）的英文譯本，其翻譯自 1713 年出版的《原理》拉丁文本第二版。我在研讀《原理》的過程中，漸漸發現一些問題，像是為何牛頓 4.

(6) 會想進行天文研究進而找尋背後原因？他所受到的刺激來自於誰？不能瞭解為何牛頓的證明都使用幾何學，也不懂為何他只提出了萬有引力的數學描述式，而不提出其最終原因，難道他只滿足於數學描述式，數學對他為何具有如此大的意義？在牛頓之前，是哥白尼（Nicolaus Copernicus, 1473-1543）在《天體運行論》（On the Revolutions of Heavenly Spheres）中提出「地動說」取代托勒密（Ptolemy, 約 100-170）的「地心說」，而後由克卜勒（Johannes Kepler, 1571-1630）進行繁雜的數學計算，奠定「日心說」的真實性，天體模型的確立也是在克卜勒的手中完成，牛頓的工作可以說是建立於克卜勒的行星三大運動律之上，有些觀點認為萬有引力定律由克卜勒定律演繹而成，若這種說法為真，那麼克卜勒的地位為何沒有高於牛頓？而在整個物理史上，提出定律的不只有牛頓，萬有引力定律也只能解釋宏觀的自然現象，然而在微小的尺度下，粒子受到靜電庫侖力的影響遠大於萬有引力；另外，牛頓的運動定律和萬有引力定律後來被發現在物體速度接近光速時，需要用愛因斯坦（Albert Einstein, 1879-1955）的相對論修正，牛頓的定律只能被視為在物體速度遠小於光速時的特例。若牛頓的貢獻只是提出三大運動定律及萬有引力定律，為何要說他是古典物理的奠基者？因此，我體認到，要瞭解古典物理的內涵，不能只研究牛頓的《原理》一書，還要探討整個西方科學的開端，一直漸漸發展到牛頓所處的 17 世紀，其中必定存在著對於牛頓的重要影響，這方面的探索記錄在本文中第二章的「歷史背景」，其中大致介紹科學革命時期前後，也就是 16 到 17 世紀的科學哲學發展，包括哥白尼、克卜勒、伽利略（Galileo Galilei, 1564-1642）、笛卡兒（René Descartes, 1596-1650），最後是牛頓等人的重要理論及貢獻。. 5.

(7) 在研究歷史發展的過程中，發現「物體作圓周運動受離心力作用」的錯誤概念也曾出現在牛頓的想法中。物體作圓周運動的受力形式 v 2/r，牛頓最初是從物體做圓周運動受到「離心力」和「軌道碰撞」所得到的，而離心力的概念也使得他早期提出錯誤的「月球試驗（moon test）」，雖然他在月球試驗中首度提出天體中的月球與地表物體具有關連性，也就是將哥白尼、克卜勒的天體運動學和伽利略的地表運動作了最初連結，但他將月球作圓周運動的原因用離心力述說。然而，牛頓之後卻將克卜勒的面積律和「向心力」建立連結，最終能提出在曲線軌道上運行的天體不是受到離心力，而是受到「萬有引力」的理論，在從感官經驗的離心力想法發展到最終的萬有引力過程中，將離心轉變到向心必定是一大轉捩點，因此，進行了本文第三章的研究「關鍵概念─向心力的形成」。萬有引力定律中的距離平方反比律，多數人普遍認為牛頓的靈感來自克卜勒的橢圓律，現行高中教科書也均如此記載，甚至有物理史學家認為平方反比律是虎克（Robert Hooke, 1635-1703）的創見。在詳細檢視《原理》一書之後，發現並非如此，牛頓是依據他早期完成的工作，正圓軌道的距離平方反比律，後來再結合克卜勒行星週期律而提出，這能從第 3 卷「宇宙體系」中，牛頓所描述的天文現象獲得證實。並且，也從這個探求過程中發現，牛頓建立平方反比律的方法也就是現代科學用的研究方法，後來也被近代的科學史家科恩（I. Bernard Cohen, 1914-2003）稱為「牛頓風格（Newtonian Style）」。這些研究工作紀錄在本文中的第四章「平方反比律」。在探討影響牛頓想法的歷史背景過程中，才深刻瞭解 17 世紀相當重要的兩派思想內涵及影響，即數學觀和機械論哲學。對於數學觀的探究，讓我明白為何哥白尼被稱為科學革命的開創者，他所著作的《天體運行論》不只是顛覆地心說傳統如此簡單，哥白尼的理論代表著科學中對於數學的追尋，科學要追求數學的簡單性即是他的創見，這樣的理念影響後來的科學發展。而物理學中總是考慮物體（body） 6.

(8) 的運動（motion），代表「物體」和「運動只是物質的狀態（state）」是兩個至為重要的概念，在研究過程中才發現此概念的建立源於笛卡兒及波以耳（Robert Boyle, 1627-1691）為代表的機械論，但是，機械論對於自然現象之「最終機械論原因」的追求，卻在某種程度上阻礙了科學的發展，這是因為在當時有許多學說無法提出最終的機械論原因，而被迫放棄發表。最後是牛頓承襲哥白尼為首的數學觀及吸納了機械論中的概念，在兩者間找到平衡點，並融合為自己的哲學思想，進而用於建立萬有引力的最終形式。這也是為何牛頓將其偉大著作的書名定為《自然哲學的數學原理》，因為他做的是對於哲學的探索，用的方法則是數學方法。這即是本文第五章「機械論與數學觀的整合」中所做的研究。最後，在研究 17 世紀哲學的過程中，才發現牛頓曾經進行過對於重力原因的探究，但最終形成的概念卻因無法符合他的哲學觀點而沒有在《原理》中提出。然而，牛頓這樣的做法在當時並沒有獲得普遍的認同，因此引起了一場哲學思想上的辯論，最終因牛頓堅定的態度將這場辯論平息，並使得物理學與哲學分道揚鑣，各自走上不同的道路，物理學的工作在於找出數學定律，最終原因的探討就歸於哲學，這也是「牛頓風格」所造成的影響。這部分的討論就安排在本文第六章的「科學哲學觀點」。牛頓的《原理》一書解決了自希臘以來世界體系的問題，並且說明了發展科學應遵循的步驟及應有的態度。因此，牛頓是「科學革命的集大成者」，並且是「物理學的奠基者」，對於這樣的稱譽他不但當之無愧，他的地位更是無可取代。. 7.

(9) 第二章. 歷史背景. 自希臘時期以來，人對於世界體系結構存在著疑問，並不斷地試圖尋找自然現象背後的原因或規律，亞里斯多德（Aristotle, 384 B.C.-322 B.C.）的「目的論」認為重物的自然運動是朝向地心，而輕物的目的是遠離地表，這個科學理念解釋了萬物背後的原因，並深刻地影響西方科學發展。在希臘發展了熱烈的哲學討論之後，西方世界經歷了從五世紀開始，到大約十五、十六世紀的中世紀時期，其中「唯名論」的影響使得人們對於真理不再那麼渴望，萬物背後沒有唯一的原因，沒有唯一的實體，所有解釋都只是一種假說、只是一個名詞，端看各人是否接受。直到「文藝復興」發生之後，西方世界開始嚮往希臘時期的思想，將注意力從瞬息萬變的塵世回歸到永恆不變的天上，對於天文學提出深刻研究。托勒密貫徹了亞里斯多德的目的論，提出了以地球為中心的數學天文學模型，即「地心說」，地球為宇宙不動中心，太陽、月亮、行星等分別位在不同大小的均輪、本輪上，托勒密的模型能夠解釋大多數的天文現象，遵照亞里斯多德的目的論，也能符合天主教義地球的特殊位置，故此天體模型從希臘時期一直流行到文藝復興結束，直到哥白尼提出不同的天體模型（圖 2-1）。有鑑於托勒密的天體模型太過複雜，加入了太多假設的大圓、小圓，有違哥白尼所信奉的數學簡單性，於是哥白尼出版《天體運行論》，企圖簡化天文系統，認為宇宙的中心應該放在太陽，而地球與各行星及月球則分別位於以太陽為中心，不同大小的同心圓上。雖然哥白尼地動說與托勒密地心說皆能說明天文現象，但哥白尼認為自己的模型比起托勒密模型更為「簡單、均勻、協調」（哥白尼，2001， p3-7），故「地動說」才是天體運動模型背後完美的真理。. 8.

(10) 圖 2-1：哥白尼天體模型，以太陽為中心，地球及恆星依次位於同心圓上（引自哥白尼，2001，p. 33）. 延續著哥白尼的學說，克卜勒踏上他的道路。克卜勒以其數學能力揚名，他對於天文學的興趣，促使他成為當時最著名的天文觀測學家第谷（Tycho Brahe, 1546-1601）的助手。第谷辭世後，克卜勒接收了他累積的大量的天文觀測數據，以哥白尼的地動說為基礎，並將自身對數學的信仰貫徹於其一生中，不斷地進行計算，建立與數據更一致的理論而更正確地描述行星運動，稱之為行星運動定律，最後終於出版《新天文學》（Astronomia Nova）和《世界的和諧》（Harmonices Mundi），並將著名的行星運動定律記錄在這兩本偉大的天文學著作中，確立了宇宙中心在太陽，而太陽位居行星橢圓軌道的其中一個焦點之上，確定「日心說」的世界體系。. 圖 2-2：克卜勒計算出行星軌道為橢圓，並遵守面積律（引自韋斯特福爾，2000，p. 6） 9.

(11) 至此，雖然哥白尼地動說及克卜勒日心說這一派的新理論不受天主教的認同，但仍有科學家承襲了他們的數學信仰，其中相當重要的繼承者即為伽利略。伽利略在 1632 年出版的《關於兩大世界體系的對話》（Dialogue Concerning the Two Chief World Systems），以虛構對話形式比較地心學說和日心學說的優劣，表達自己支持日心說的立場。. 圖 2-4：《自然哲學的數學原理》. 圖 2-3：《關於兩大世界體系的對話》. 哥白尼將地球列為行星後，推翻了托勒密模型，並由克卜勒確立日心說之後，引發哲學家就開始思考「是什麼原因使得地球和行星在它們的軌道上運動？」並提出了各種不同的答案，其中不乏玄靈的說法，而 17 世紀後半笛卡兒的渦漩理論中作出的解答則被普遍接受，因為渦漩說把行星的運動歸結為機械論的原因。伽利略出版的《關於兩大世界體系的對話》中，大力贊揚日心說，然而，他並沒有對於日心說提出數學定量的描述，他在物理中所做出與數學相關的貢獻是在於地表物理學的討論。亞里斯多德認為重物落得較快，而輕物落得較慢，但伽利略提出一項論證駁斥了這項說法：「若將重物與輕物綁在一起，那麼由於兩者綁在一起使得重量變大，而重物落得較快，因此會落下得更快；然而，若是輕物落得較慢，那 10.

(12) 麼兩者綁在一起並落下時，輕物會拖慢重物，因此會落下得更慢。這兩種結論是完全矛盾的，因此，重物與輕物應該落得一樣快。」但是，當有人反問其中原因時，伽利略無法回答，並說：「這問題的答案，應該等到之後更聰明的人解決。」天體和地表，在 17 世紀前被認為是不同層級的物理學，因此一直被分開討論，然而，在科學革命時期之末，有位才華出眾的科學家，將天上與地上結合，用統一的理論解釋不同的物理現象，奠定物理學的基礎。這位科學家便是牛頓，而此統一的理論即是萬有引力定律：牛頓在 1687 年出版的《原理》一書提出了萬有引力定律，不僅解釋落體運動及行星運動所遵循的規則，也將亞里斯多德的月上區物理及月下區物理統一，使支配宇宙的定律得到了驚人的簡化。（柯瓦雷，2003, p. 243）. 11.

(13) 第三章. 關鍵概念─ 關鍵概念─向心力的形成. 在 1660 年代，牛頓便已經將正圓的離心律與週期律結合，提出距離平方反比力的數學論證，無怪乎牛頓在面對虎克與他爭奪力平方反比律提出的優先權之時，他會述說自己早已完成，只是晚了二十年發表。但是在研究牛頓科學的過程中，發現力平方反比律的提出，只是數學描述式，但萬有「引力」的概念，並非一開始就存在於牛頓想法中，而本章的目的就在於分析牛頓建立引力概念的過程。. 第一節. 正圓的離心律. 至今，一般大眾普遍認為物體做圓周運動會受到「離心力」，這是因為與自身的經驗結合，比如說，用繩子綁著一顆球，手拉著繩子一端並使球做圓周運動旋轉，此時手會感受到來自於球的拉力，而且隨著球旋轉得愈快，手感受到的拉力愈大；或是人坐在轉彎的車內，會感受到自己偏向車轉彎的反方向，似乎將要被拋出。 1665 年牛頓證明出物體做等速率圓周運動所受離心力的數學形式，並寫在《雜記》（Waste Book）中（Brackenridge, pp. 42-54），至於物體做等速率圓周運動受到向心力而非離心力的概念，是在 1679 年後才成形。以下參考 Brackenridge 的著作《The Key to Newton’s Dynamics》，對於牛頓證明向心力數學形式的推導步驟進行分析。牛頓首先分析一個物體沿著正四邊形軌道做等速率運動（圖 3-1），當其改變方向時，需要「遠離中心的趨勢（endeavor [away] from the center）」，而這遠離中心的趨勢會導致軌道壁對物體的「反彈力（force of reflection）」（或反作用力），或稱為軌道壁對物體的壓縮或「碰撞（collide）」；再考慮物體本身的「運動力（force of the body’s motion）」，並得出反彈力與運動力的比值；接著，計算總反彈力大小 12.

(14) 與運動力的比值，就等於周長與正四邊形外接圓半徑的比值；然後，考慮正多邊形的情況（圖 3-2），求出總反彈力大小與運動力的比值，同樣等於其周長與正多邊形外接圓半徑的比值；再推廣為無窮正多邊形而趨近於正圓，就能得到總反彈力大小與運動力的比值，等於圓周長與半徑的比值；最後，取總反彈力大小的時間平均，而得到每一瞬間的反彈力大小，因此便能得到等速率圓周運動的向心力數學形式。以下，將其步驟詳細地再闡述一遍。步驟一：. 圖 3-1：物體在內接於正圓的正四邊形軌道上運行，論證其所受到的總反彈力（引自 Brackenridge，1995，p. 50）. 物體沿著 abcd 軌道運動，物體由 a 運行到 b，by 為物體依據其運動力（慣性力）所走的位移，但由於在 b 點受到某個反彈力，而使得物體改變方向走 bc 這段位移，因此，依據牛頓的平行四邊形定理， bc 可由 by 及 bd 兩段位移合成，而 bd 便可視為若物體在 b 點靜止時而受到反彈力將會走的位移。也就是說，物體實際的位移 bc，可視 13.

(15) 為物體因初始運動造成的虛位移 by 及物體因反彈力造成的虛位移 yc （與 bd 相等）兩者的合成。物體的運動力與速度成正比，因此運動力與位移 by（=ab）成正比；又物體所受到的反彈力與速度變化量成正比，因此與位移 yc （=2fa）成正比。再計算反彈力與運動力的比值，若以現代術語表示，運動力就是「動量（momentum）」（以下用 I0）代表，而反彈力則可以用「衝量（impulse）」（以下用 Ib）表示，所以物體在 b 點受到的反彈力與其運動力的比值可寫成 I b I 0 = 2 fa ab = ab fa ab 2 = fa 2 + fb 2 = 2 fa 2，2 fa 2 = ab 2. 步驟二：考慮物體沿著此正方形軌道繞一整圈，則其所受到的總反彈力為在四個角落分別受到的反彈力總和。因此總反彈力與運動力的比值可寫成. (ΣI b ). I 0 = 4ab fa. 也就是此正方形的周長與其外接圓半徑的比值。步驟三：推廣到正多邊形. 14.

(16) 圖 3-2：物體在內接於正圓的正多邊形軌道上運行，論證其所受的總反彈力（引自 Brackenridge，1995，p. 52）. 物體在內接於正圓的多邊形軌道上運動，物體在 a（b）點若沒有受到反彈力，其位移將是 ax（by），但由於受到反彈力，所以物體的運動軌道變成 ab（bc），而因為物體做等速率運動，現在考慮物體運行在 ax（by）上的時間等於其運行在 ab（bc）上的時間，因此 ax = ab（by = bc）。又，nb 平行於 yc，nb = nc 且 by = bc，所以 yc/bc = bc/nb。故物體在 b 點受到的反彈力與其運動力的比值可寫成 I b I 0 = yc by = yc bc = bc nb. 再次，考慮物體沿此正多邊形繞一整圈，則此物體所受到的總反彈力與運動力的比值可寫成. (ΣI b ). I 0 = (Σbc ) nb. 15.

(17) 也就是此多邊形的周長與其外接圓半徑的比值。步驟四：可將圓形視為無窮多邊的正多邊形，因此，物體沿著圓形軌道做等速率圓周運動時所需要的總反彈力與其運動力的比值等於圓周長除以其半徑。也就是. (ΣI b ). I 0 = 2π (na ) na = 2π. 則，物體在每一瞬間所受反彈力的大小即為總反彈力除以總時間（即等速率圓周運動的週期），也就是. Fc =. 2π mv 2π mv mv 2 = = 2π r T r v. 上式便是等速率圓周運動的向心力形式。等速率圓周運動的向心力形式，其地位就像是牛頓的三大運動定律一樣，是讀者要閱讀《原理》一書並理解其內容的基本知識。從牛頓的推導過程中，我做了以下五點分析。第一，此時物體改變方向的原因，還是建立在「碰撞」（或稱「接觸」）所造成的結果。笛卡兒認為物體做圓周運動時具有離心趨勢，而惠更斯（Christiaan Huygens, 1629-1695）則認為物體做圓周運動時受到離心力（centrifugal force）。而牛頓分析物體圓周運動的想法，則受到笛卡兒和惠更斯的影響，他描述物體做圓周運動時，因物體有向外運動的離心趨勢，所以會受到來自於外接圓壁的向內擠壓，最後物體在圓周軌道上運動，必定會受到軌道壁的推擠力。此處的推擠不能視為牛頓已經確定物體做圓周軌道運動則受到向心力，而應該是牛頓 16.

(18) 認為物體做圓周軌道運動的每個瞬間，會有一個朝著切線方向運動而遠離中心的趨勢，因此，此處的圓周運動，在物體試圖偏離軌道時，會對於軌道產生推擠，而軌道再向物體產生推擠，使得物體維持其圓周軌道，也就是說，物體做圓周運動是由於被動地受到軌道壁的「推擠」，而不是主動地向中心「吸引」，還是視為物體受到「離心力」而非「向心力」。正如惠更斯注意到的，「推動」或者「壓力」並不能與「引力」互換：前者並不「朝向」一個物體，也不會產生相互的作用力。（柯瓦雷，2003，p. 152）第二，牛頓並不是一開始就計算向心力的大小，而是計算碰撞造成的總壓力（pressure, 或以現代術語稱為總衝力 impulse）與物體本來的運動力（force of motion, 或以現代術語稱為初動量 momentum）的比值。也就是說，在牛頓進行這項運算時，考慮的時間間距是很長的，因此，他只能先計算衝量，到最後再把總時間除掉得到向心力數學形式的大小平均值。第三，還可以看到牛頓對於「力」這個名詞的堅持，或是當時的影響，在講到物體的初動量時，牛頓用到的名詞是「運動力（force of the motion）」而不是「動量（momentum）」。科學史家柯瓦雷（Alexandre Koyré, 1892-1964）也指出，在此時，牛頓已經知道動量的定義，但是為了讓當代其他人能夠瞭解，他只好用大家慣用的「力」來闡述他的想法，儘管他不接受笛卡兒關於世界中的運動守恆的觀點，但卻頑固地把動量當成一種力的量度，用以對抗惠更斯和萊布尼茲（Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646－1716）的「活力（vis viva）」概念。（柯瓦雷，2003，p. 70）. 17.

(19) 後來，他在《原理》一開頭的定義中，就對於物體的動量下了明確的定義。而牛頓對「力」這個名詞的堅持，則被指出在「慣性」的概念中也有同樣的情況：牛頓寫的「慣性」，把慣性當成物質內部的一種力，這是灌輸到物質內的一種概念，這是一種使得物體不活潑的力，牛頓將慣性力與強迫力明顯地區分，後者是改變物體狀態的力，而且在停止作用後，就不會繼續存在於物體內部。他寫下「物體因慣性而堅持每個新狀態」。牛頓提到三種不同強迫力的起源，衝擊、壓力或向心力：物體分別因短暫的接觸力，如衝擊力；持續作用的接觸力，如壓力；或是在一段距離之下推或拉物體朝向中心的力，如向心力。對於物體本身具有的特性「慣性」，和物體受到來自於外在欲使之發生變化的「外力」兩者而言，牛頓都用了同樣的詞語「力」來描述，但是牛頓本身並沒有混淆這兩種全然不同的作用模式。因為在牛頓所有的著作中，都沒有找到牛頓假設兩種力具有同樣種類或同樣作用的概念性錯誤。對於，而慣性，牛頓僅僅使用當時流行且傳統的描述「vis insita」為了指出這是物體本身具有的特性，牛頓才用了「inertia（不活潑性、習慣性）」這個詞。（Cohen, 1980, pp. 256-257）第四，當時「力」的量化方法尚未被完整建立，除了彈簧恢復力可用虎克定律量測以外，其它物體在運動過程中所受到的力，科學家都只能定性描述，而無法被確切量化，牛頓卻成功地計算出做圓周的物體所受到的力，他所用的方法便是將「力」的變化，用物體在同樣時間內所經過「長度」（就是速度大小）的變化表現，也就是說，牛頓用的幾何長度代表的是「速度的變化量」，此方法的原理是把抽象的「力」與「幾何學」結合。由於幾何學從希臘時期開始發展，到 17 世紀時期趨於成熟，因此，當時大多數科學家都對於幾何學相當熟悉，所以牛頓把物理中的「力」的概念與數學中的「幾何學」的概 18.

(20) 念結合，無疑是對當時量測力的方法做了一項很大的貢獻。另外，在牛頓論證的過程，已經用到「極限」的概念。由於可將正圓視為無窮正多邊形的極限，所以他一開始才會從有限的正多邊形著手計算，漸漸地增加邊數，最後得到物體沿正圓形軌道運動所受到的向心力。當然，最主要的關鍵，還是在於牛頓將「力」用「幾何長度」表示，才能有別於其他人，成功地得到「總作用力」與「單一作用力」的比值等同於「周長」與「外接圓半徑」的比值，這也顯示出牛頓物理概念與數學技巧的優異天賦，更重要的是他將物理與數學的結合。第五，在證明之中隱含了牛頓第一運動定律。首先，他提出若物體不受到外力，將沿著原本的運動方向做等速度直線運動，這便是慣性運動定律之中的一部分描述。. 19.

(21) 第二節. 從碰撞到吸引. 在上一節中，我們可以看到牛頓所闡述的，物體自直線運動偏離本來的運動軌跡而朝向曲線運動，是來自於物體與軌道壁的碰撞，而在什麼時候，這種造成物體朝向曲線運動的原因，從物體與軌道壁的碰撞轉變為軌道中心對物體吸引呢？就這方面，科學史家指出虎克給予牛頓相當大的靈感刺激。 1666 年 5 月 23 日。有一篇虎克先生的論文被宣讀，它說明一個直線運動是如何通過一種相伴隨的引力定律作用而變到曲線運動，而這一引力定律還有待發現。其中包含的論述是對一個實驗所作的介紹，用以顯示圓周運動由一種沿著切向的直線運動趨勢與一種朝向中心的趨勢複合而成。（柯瓦雷，2003，p. 178）虎克一直對於天體軌道為橢圓形的問題很有興趣，他曾試圖用「圓錐擺」闡明物體從直線偏折向曲線的運動原因，並說明可能得到橢圓軌道的情況，試圖與天體軌道做比較；圓錐擺的擺錘受力是依照虎克定律，也就是受力與其至擺中心的距離成正比，然而，重力是與距離平方成反比，因此，兩者之間力的基本數學形式就不同，不過，雖然圓錐擺與重力的運動規律之間有很大的不同，但依據文獻記載，虎克仍然用實驗的方法提供了地表與天體系統相當好的類比。在天花板上懸掛一個擺，擺的末端連著一顆木球；結果發現，如果開始時沿著切向趨勢的衝力強於朝向中心的趨勢，就會產生一個橢圓運動，其最長的直徑與物體在第一擊瞬間所具有的趨向平行；而如果衝力弱於趨向中心的趨勢，那麼此時將產生一種橢圓運動，其最短的直徑平行於物體在第一擊瞬間所具有的趨向；如果這兩者相等，那麼就會產生 20.

(22) 一個精確的圓周運動。（柯瓦雷，2003，p. 179）第一，虎克對於圓周運動的探討，並不是像牛頓一樣承襲於惠更斯，而是因為本身對於天文學的興趣，他只是試圖解釋為何行星會像克卜勒所描述的依橢圓軌道運行，並順帶引入圓周運動只是其中一種可能情況。不過，對於惠更斯、虎克或是牛頓而言，他們探討圓周運動的原因，可以說是為了研究被視為「對稱的、均勻的、完美的」運動，因為從希臘開始，哲學家便把「正圓運動」當做最對稱均勻的完美運動，這樣的觀點可以從托勒密以一連串的均輪、本輪等正圓軌道建立天體模型獲得證實，後來，延續到哥白尼的《天體運行論》，縱使哥白尼反對托勒密的地心說，而提出地動說，但他認為宇宙、地球都是球形的，而地球與其它行星皆以「正圓」軌道運行，如此才會是最完美的運動：首先，我們應當指出，宇宙是球形的。這是因為在一切形狀中球是最完美的，它不需要接口，並且是一個既不能增又不能減的全整體。大地也是球形的，因為它從各個方向向中心擠壓，…山和谷不會使大地的整個球形有多大改變。天體的運動是圓周運動，這是因為適合於一個球體的運動乃是在圓圈上旋轉。圓球正是用這樣的動作表示它具有最簡單物體的形狀，既無起點，也沒有終點，各點間無所區分。（哥白尼，2001，p12-16）第二，在 1666 年，虎克便認為圓周運動是由一種沿著切向的直線運動趨勢與一種「朝向中心的趨勢」複合而成，這時間比虎克與牛頓在 1679 年到 1680 年間通信還早了許多，姑且不論此處虎克所謂「朝向中心的趨勢」是來自何故，而我們在上一節看到牛頓 1665 年還把物體做圓周運動的力視為離心力，而牛頓很有可能是在 1679 年與虎克通信討論行星運動軌道問題之後，才從虎克身上得到物體沿曲線軌 21.

(23) 道運動，如圓周運動，是因受到中心「吸引」的這種觀點：虎克理論可以是對於牛頓的一個很大剌激，因為虎克把行星運動視為「沿切線的直線運動跟指向中心物體的吸引（attraction）運動的合成」。（Cohen, 1980, p251）就此說明，虎克確實刺激了牛頓更深一層地思考物體沿曲線軌道運動背後的動力學原因，也就是物體受到「向心力」，而非「離心力」。. 22.

(24) 第三節. 地表與天上的結合— 地表與天上的結合—月球試驗. 牛頓在 1665 年就以數學論證出圓周運動的離心律力，當時牛頓是以「遠離中心的趨勢（endeavor from the center）」來敘述，計算的結果是「切線速度平方與半徑的比值」，也就是「直徑與週期平方的比值」。若是將離心律力與牛頓所描述的克卜勒週期律（行星到太陽距離的立方正比於它們的週期平方）結合，則可以得到離心趨勢的距離平方反比律：若用 E 代表遠離中心的趨勢，D 代表直徑，而 T 代表週期，則 E 正比於 D/T 2 而且 T 2 正比於 D 3 因此 E 正比於 1/D 2。（Cohen, 1980, p. 230）上述的關係式在 1673 年才被惠更斯正式出版。根據文獻記錄，牛頓在晚年提出自述，以辯駁其他人對於他提出離心律力優先權及方法的爭議，牛頓述說自己提出離心律力的時間比惠更斯早，而且已經知道要應用克卜勒行星週期律：可能是 1666 年左右，我開始思考重力延伸到月球軌道，而且也找出如何估計運動質點在球面內運行撞擊至表面時所施的力：由克卜勒的行星週期律，我推算維持行星在它們各自軌道上的力必定與它們到圍繞中心距離平方成反比。」（Cohen, 1980, p. 230）上述提到的「開始思考重力延伸到月球軌道」，指的是牛頓大約在 1666 年考慮的「月球試驗（moon test）」（Cohen, 1980, p. 233），科學史家科恩認為有四點是牛頓先建立的假設或先備工作：第一，他將重力延伸至月球的軌道。第二，估計等速率 23.

(25) 圓周運動的離心趨勢。第三，對於克卜勒的行星定律（至少是第三定律）相當熟悉。第四，結合離心趨勢與克卜勒定律得到行星力是反比於其到圍繞中心的距離平方，很明顯地，在此處，他假設行星的繞行軌道是正圓，或至少接近正圓。（Cohen, 1980, p. 231）科恩分析牛頓 1666 年的月球試驗，他認為主要分為兩個步驟，第一，牛頓首先計算位於地表赤道上的物體因地球每日的自轉運動所造成的離心趨勢，並將此離心趨勢與重力比較：牛頓計算赤道上的物體在地球自轉一天的週期內，由於地球自轉而造成的離心趨勢，將使得物體每秒遠離地球約 5/9 英吋。而地球重力卻會使得物體在每秒內朝地心落下約 16 英尺，這大約是離心趨勢的 350 倍。重力是如此地大，因此地球自轉不會使得物體遠離地心並彈入空中。（Cohen, 1980, p. 238）以下將用現代的公制單位重新構造牛頓這部分的計算工作，已知地球的半徑 R 為 6400,000 公尺，地球自轉週期 T 為 86,400 秒，可將隨著地球自轉的地表物體視為做等速率圓周運動，因此，依照上述數據以及等速率圓周運動的公式，可得到物體做圓周運動的速率 v. v=. 2πR 2π × 6400,000 = ≅ 465 (m / s ) T 86,400. 再依照牛頓的圓周運動離心律力，計算其離心趨勢，此處用 E 代表離心趨勢，則. E=. v2 4652 = ≅ 0.34 m / s 2 R 6400,000. (. 24. ).

(26) 而地表之重力加速度 g 為 9.8(m/s2)，計算 g 與 E 的比值，可得 g 9. 8 = ≅ 290 E 0.034. 由於 g 的大小約為 E 的 290 倍。因此，在同樣的時間內，物體因重力影響而移動的距離約為物體因離心趨勢而移動距離的 290 倍，若考慮單位換算及重力加速度在不同時代的精確值，則與牛頓所述的 350 倍非常接近。接著是第二步驟，將月球與地表物體連結，他將月球作等速率圓周運動的離心趨勢與位於地表赤道上之物體的離心趨勢做比較，再由前述計算所得位於地表赤道上之物體的離心趨勢與地表重力加速度的大小比值，他得出「地表的重力加速度」約為月球「離心趨勢」的 4000 倍：牛頓將不同圓周運動的離心律力，即 v2/R 規則，用於計算月球從地心遠離的離心趨勢，並與位於地表赤道上之物體的離心趨勢比較，發現後者約為前者的 12 又 1/2 倍。因此，他做了結論：「地表的重力約為月球離心趨勢的 4000 倍。」實際上是 4375（=350 × 12.5）（Cohen, 1980, p. 239）同樣地，以現代的公制單位重建牛頓的計算，月球到地心的距離約為地球半徑的 60 倍，令月球繞地球旋轉的半徑為 R’，則 R’為 384,000,000 公尺，而月球繞地球運轉的週期為一個月，將一個月以 28 天計算，即月球運轉週期 T’為 2,332,800 秒，將月球繞行地球運動視為等速率圓周運動，則可計算月球做等速率圓周運動的速率 v’. v' =. 2πR' 2π × 384,000,000 = ≅ 997 (m / s ) T' 2,332,800 25.

(27) 依照牛頓所計算的離心律力，可得月球的離心趨勢 E’. E' =. v' 2 997 2 = ≅ 0.0026 m / s 2 R' 384,000,000. (. ). 前述已得位於地表赤道上物體的離心趨勢 E 之值為 0.034(m/s2)，計算 E 與 E’ 的比值為 E 0.034 = ≅ 13 E ' 0.0026. 即位於地表赤道上物體的離心趨勢 E 為月球之離心趨勢 E’ 的 13 倍。最後，由地表重力加速度 g 為地表赤道上物體的離心趨勢 E 的 290 倍，可間接得到 g 與 E’的比值 g g E = × = 290 × 13 = 3770 E' E E'. 此數值相當接近牛頓所計算的 4000 倍。已知月球的圓周軌道半徑約為地球半徑的 60 倍，故依照牛頓所述「離心趨勢與距離平方成反比」的理論，「地表重力加速度」應當是「月球離心趨勢」的 3600 倍，以當時的科學精確度而言，4000 倍與 3600 倍可以視為相近的數據；再者，牛頓當時所使用的數據是以義大利制為單位，若以英國制為單位，則數值便會相當接近。科恩指出，牛頓用此月球試驗辯稱早在與虎克通信之前，他就已經有物體互相作用力的概念，也暗示月球受到地球重力與維持行星在其軌道上的力兩者相類似，因此在晚年，牛頓說明自己在 1666 年對理論值與實際計算值的不一致感到不滿意，並且完全因為對於數據精確度的要求，使得他晚了二十年才將理論發表： 26.

(28) 牛頓宣稱他在 1666 年就分析過行星運動，只是在 20 年後才寫在《原理》上，… 。並且在 1660 年代中期，他就認為力是相互作用的：月球拉地球的力與從地球延伸到月球的力一樣大，行星也可能會拉太陽，這兩種力是相同種類的。（Cohen, 1980, p. 232）然而，即便計算值與理論值相當接近，也不能證明牛頓在當時已經完成月球與地表物體的初步正確連結，因為這項月球試驗的問題不是在於牛頓所用的單位，而是其基本概念的錯誤。科恩認為，牛頓在 1679 年到 1680 年間與虎克通信之前，都還是受到笛卡兒跟惠更斯的影響，認為做繞行運動的行星具有「遠離中心的趨勢」，此時根本沒有向心力的概念：在 1660 年代，牛頓還是受到笛卡兒的影響，尚未建立行星沿曲線運動是受到「向心力」而非「離心力」的概念，直到 1679 年跟虎克通信後，才被提醒要考慮向中心加速的運動與慣性運動的合成，而這就是「向心力」提出的關鍵。天體重力延伸至月球，且是向著中心，這就是為何行星跟月球受到向心力而持續不斷地偏離他們各自的慣性運動路徑。（Cohen, 1980, p. 231）重力是向著地球的向心力，而月球所受到的力是遠離地表之離心趨勢，牛頓在 1666 年沒有任何根據地將「離心趨勢」與「向心的重力加速度」兩個無關的概念進行比較，以致其工作無實質上的貢獻，這也足以說明他在此時的物理概念還是含糊不清，在向心力的概念確立之前，將兩者進行比較無法得到重要結果，對他人的質疑所提出的辯駁，也因此顯得脆弱無力。因此，有學者考證過後，發現牛頓的自述很有可能是杜撰的：在 1660 年代，在牛頓的手稿之中，都沒有發現明確的 27.

(29) 暗示說太陽作用在行星之上的力與天體作用在月球之上的力是同樣的。同時期，他認為行星有遠離的趨勢，而在 1679~1680 年代或是更晚，他認為行星受到向心力而連續地偏離行星的慣性軌跡，這兩者有很大的區別。也就是說，在 1665 年代，牛頓還沒有萬有引力的概念，那他說早有這樣的概念，只是晚了 20 年才發表，這樣的說法是沒有根據的。甚至在當時，他都還沒有月球會有力作用在地球上，或是行星會作用在太陽上的概念。（Cohen, 1980, p. 233）沒有向心力的概念，牛頓不可能提出「月球拉地球」的「引力」說法，也就無法得到月球所受引力與重力來自於相同形式的觀點；另外，牛頓在此時也沒有將月球與地球用數學的質點考慮，一直要到晚期，他將克卜勒的面積律與向心力結合，開始考慮數學力中心和質點的單一質點系統，接著將數學力中心再轉換成單一質點，建立兩質點的二體系統，因此有了點與點之間引力的概念，最後再將多個質點結合成具有大小，亦即佔有體積的物理實體替換，才慢慢發展成物理世界的萬有引力定律。換言之，在 1666 年，牛頓的「萬有引力」尚未成形：牛頓沒有使用點引力概念，仍舊侷限於傳統的機械論哲學思維框架；他沒有指出萬有引力，而只是指出後移的趨向。（韋斯特福爾，2000，p. 157）一直要到 1680 年代左右，在牛頓建立月球繞行圓周軌道受到向心力作用之正確概念之後，他才能提出正確的月球試驗，以計算月球因受向心力影響，所產生的下落距離（圖 3-3）中的 BD，其中月球為. A，地球為 C（姚珩，1998，p. 204-206）。他引用了幾個數據：（一）、月球至地球距離為 60 倍之地球半徑。（二）、地球之圓周長為 1.232 × 108 Paris feet = 4.0 × 107 m 或地球的半. 28.

(30) 徑為 R=4.0 × 107 /2. = 6.37 × 106 m。. （三）、月球環繞地球一週為 27 日 7 時 43 分= 39,343 分。（四）、每分鐘月球掃過之角度（弧度）為. =2 /39,343 radians。. A. B D. C. 圖 3-3：正確的「月球試驗」（引自姚珩，1998，p. 205）. 故每分鐘月球向地球下落之距離 BD 為. BD = AC ⋅ δθ ⋅ sin (δθ 2) ≅ 60 R ⋅ δθ ⋅ (δθ 2). (. ). = (1 2 ) ⋅ 60 ⋅ 6.37 × 10 6 ⋅ (2π / 39,343). 2. = 4.87 (m ). 另外，由伽利略之水平拋射公式，月球垂直（或向心）下落之距離 y 與向下（或向心）加速度 a 之關係為. 29.

(31) y = BD = (1 / 2)at 2. 則可求得 a = 2 BD / t 2 = 2 ⋅ (4.87 / 60 2 ) = 9.74 / 3600 (m / s 2 ). 若假設月球所受之向心力是平方反比力，在讓月球逐漸下降至地表時，其向心力或向心加速度將增強 3600 倍。令月球在地表的加速度 a’，即 a' = 3600 ⋅ a = 3600 ⋅ (9.74 / 3600) = 9.74 (m / s 2 ) ≅ g. g 即為重力原因所造成地表上的重力加速度，其理論值為 9.8(m/s2)。所以，當月球逐漸下降至地表時，其向心加速度等於重力加速度；亦即，使月球運轉之向心力，和在地表上使物體下落之重力實屬同源，也就是來自同一原因，屬於同一力量。由於概念的正確性，以及實際值與理論值的一致性，牛頓才能說明其向心力理論的完整性，並從中窺見萬有引力的端倪，繼而提出萬有引力理論。. 30.

(32) 第四節. 面積律. 縱使虎克刺激了牛頓對於做圓周運動物體的受力的觀點，將之從「離心力」轉變成「向心力」，但是虎克的討論對象是天文學問題，而不是牛頓一直著重的等速圓周運動，虎克並未針對等速圓周運動的內容提出任何建言。而萬有引力中，行星繞行曲線軌道是受到「向心力」而非「離心力」的概念，還包含一項很重要的轉變，就是向心力與「面積律」的連結，牛頓經由《原理》第 1 卷的命題 1 證明若是受到向心力，則物體運動軌跡必遵守面積律，再用命題 2（也就是命題 1 的反命題）證明，若是物體運動遵守面積律，則物體必受到向心力，牛頓用這兩個命題推導向心力的存在與面積律兩者的緊密關係，而向心力與面積律的關係是虎克一直沒有發現的，這純屬牛頓之創見。科恩指出，在牛頓同時代，大多數人不太熟悉克卜勒的面積律，而將之誤解為「行星的速度與其至太陽的距離成反比」，但是牛頓完全瞭解克卜勒面積律，並指出一般人誤解的面積律不會在整個行星軌道成立，但是虎克完全沒有發現自己的誤解，：一般人所說的面積律，是沿橢圓軌道運動的物體，其速度與距離成反比，可是虎克並未發現克卜勒的面積律無法應用到整個行星軌道上，而只在有限的區域（近日點或遠日點附近）才會成立。但牛頓發現並非如此，物體的速度應該是與中心到行星軌道切線的距離成反比。因此，牛頓顯示了一般人所說的克卜勒面積律只有在近日點或遠日點成立，而在近日點或遠日點附近時，太陽到行星的距離與太陽到行星切線的距離非常接近，則面積律也近似成立。（Cohen, 1980, p. 243）牛頓以第一運動定律及第二運動定律為基礎，用命題 1 和命題 31.

(33) 2，將克卜勒的面積律重建，轉變成更簡單清楚的形式，建立前所未見的面積律和向心力之等價關係。牛頓在《原理》的命題 1 寫下面積律的清楚敘述：首先考慮物體在沒有任何外力作用下進行慣性線性運動，再畫出運動直線上的任一點，而物體與那個點的連線在相同時間中掃過相同面積。這就是慣性律與面積律首次出現連結。接著，將切線慣性運動與朝向那個點的衝力合成，證明面積仍然守恆。這些在相同時距內掃出的連線會圍出一個多邊形，與中心點的連線可以畫出一個個相同面積的三角形，最後，取時間的很小極限，多邊形在向心力的不斷作用之下便會畫出曲線。而命題 2 便是命題 1 的反命題。由此可看出，面積律的轉變，是向心力的充分及必要條件。（Cohen, 1980, p. 251）牛頓本人對這兩個命題的描述如下：命題 1. 定理 1. 做環繞運動的物體，其指向力的不動中心的半徑所掠過的面積位於同一不動的平面上，而且正比於畫出該面積所用的時間。（牛頓，2005，p. 57）命題 2 定理 2 沿平面上任意曲線運動的物體，其半徑指向靜止的或做勻速直線運動的點，並且關於該點掠過的面積正比於時間，則該物體受到指向該點的向心力的作用。（牛頓，2005，p. 59）我們可以從牛頓的命題中看到兩個重要的結論，其一是概念上的重要轉變，其二是牛頓第二運動定律的重要性。第一，牛頓第二運動定律暗示著，可以將物體做圓周運動受到「離心力」的概念轉變為「向 32.

(34) 心力」。手拉著一端綁著物體的繩子並使物體旋轉，物體做圓周運動需要向心力，此處的向心力由手作用於物體的拉力提供，物體所需要的向心力會隨著其轉速愈大而增加，也就是手需要施的拉力愈大，至於手感受到的拉力，就是物體作用於手的反作用力；人坐在轉彎的車內，感受到自己偏向車轉彎的反方向，則是因為身體受到的向心力不足，使得身體無法隨著車做圓周運動，而朝著原本的運動方向運動，若是身體擠壓到車門，就能隨著車做圓周運動，此時，車門對身體的作用力便提供身體做圓周運動的向心力，隨著轉彎的速度愈大，所需要的向心力愈大，車門對身體的作用力就愈大，也就是車門與身體之間壓得愈緊，所以人才會有似乎要被向外拋出的感覺。所以，可以將離心力的概念視為在力學尚未發展成熟之前，人們試圖用力學與自身經驗結合之後的錯覺。第二，在推導物體改變運動方向所受力的方向，也就是運動改變方向的過程中，牛頓第二運動定律是不可或缺的角色。牛頓第二運動定律描述，物體的加速度方向與受力方向相同，而物體的加速度方向與速度改變方向相同，速度的方向就是物體瞬間的運動方向，也就是說，物體的加速度方向與運動改變方向相同，因此，物體運動改變的方向與其受力方向便相同。牛頓先將其運動定律發展完成，接著便發現，當物體沿著曲線軌道運動時，它不會受到指離中心的「離心力（centrifugal force）」，相反地，而是受到指向中心的「向心力（centripetal force）」。也就是說，做曲線軌道運動的物體受到向心力的概念，必須建立在牛頓第二運動定律的基礎上，或者，至少需建立在其雛形之上，也就是要先確定受力方向與運動方向的關係，才能確定物體是受向心力而非離心力。. 33.

(35) 第四章. 平方反比律. 牛頓在《原理》第 1 卷當中完整建立力平方反比律及橢圓律的關聯，因此，後人在講述平方反比律時，都普遍認為牛頓的靈感來自於克卜勒的橢圓律，然而在檢驗《原理》第 3 卷之後，發現牛頓在論述萬有引力的過程中，卻不是以橢圓律而是以正圓的週期律為依歸，在本章中，將以《原理》一書的編排為基礎，重建平方反比律。. 第一節. 週期律. 《原理》第 1 卷論物體的運動，主要是討論單一物體圍繞幾何力心運動之純粹數學分析。該卷一開始便先給出質量、運動量、外力、向心力等八個物理概念的定義，以及全書的論證基礎，也是大家所熟悉的三個運動定律或公理，接著進入主題，從向心力問題的討論切入。第 1 卷雖然有 98 個命題（或 50 個定理），然而牛頓在第 3 卷中明顯提示，欲了解宇宙體系的讀者，只要仔細讀過第 1 卷中前面 17 個命題的內容，即已足夠。（牛頓，2005，p. 402）其中命題 1 至 3，主要是陳述面積律：物體與某靜止點的連線在相同時間掃過相等面積，與向心力的存在，完全等價同義（圖 4-1）。. 面積律. 向心力的存在性. 圖 4-1：面積律與向心力的雙向關係（引自姚珩和田芷綾，2009）. 《原理》命題 4 則甚為關鍵，此命題在歷史上首次出現在《物體在軌道中之運動》（De Motu Corporum in Gyrum）的定理 2，牛頓運用此命題，描述出圓周運動向心力的普遍數學表達式，以及一個相當重要的推論。《原理》命題 4 與《物體在軌道中之運動》定理 2 為同 34.

(36) 樣敘述，《原理》如此記載：命題 4. 定理 4. 沿不同圓周等速運動的若干物體之向心力，指向各自圓周的中心，它們之間的比，正比於等時間裡掠過的弧長的平方，除以圓周的半徑。（牛頓，2005，p. 45）其證明如下（Brackenridge，1995，pp. 85-90）：. D. C d. c. F f S. s. B. b. 圖 4-2：兩個物體分別在不同半徑的圓上運動（引自 Brackenridge，1995，p. 86）. 兩個物體分別沿著兩個不同半徑的圓（圖 4-1）做等速率圓周運動，其半徑分別為 SB 和 sb；線段 BC 和 bc 分別代表無外力作用時，物體在時間 t 內之運動距離；弧 BD 和 bd 分別代表在向心力作用之下，物體在時間 t 內之運動軌跡；則因為力作用而造成的物體在時間 t 內的運動偏移量分別為 CD 和 cd。 [A] 令同樣時間內，物體 B 和 b 分別繞行圓周畫出弧 BD 和 bd，另外，同樣時間內由於它們的固有力所畫出的切線 BC 和 bc，其長度將與上述弧長相等。. 35.

(37) D. C. F. B S. 圖 4-3：切線 BC 與弧長 BD 相等（引自 Brackenridge，1995，p. 87）. 若將切線 BC 繞著圓，則 C 點便會與 D 點重合，即 BC 線段長等於弧長 BD，同理 bc 線段長等於弧長 bd（圖 4-3）。 [B] 向心力不斷地將物體從其切線拉回圓周，使得物體分別畫出 CD 和 cd 線段。令向心力分別為 FC 和 fC，因此 FC / fC =CD / cd。依據歐幾里德的圓冪性質可得 CD = BC 2 / CF. 則兩向心力的比值可換成另外的形式 [C] 延長 CD 、 cd 分別交圓周於 F 、 f ，因此. 36.

(38) 最後，取極限值 [D] 考慮非常小的距離 BD 和 bd，因此(1/2)CF 和(1/2)cf 可以用半徑 SB 和 sb 代替。. C D. F. B. A. S. 圖 4-4：當 D 點趨近於 B 點，則 CF 趨近於 2SB（引自 Brackenridge，1995，p. 89）. 因為當 D 點非常接近 B 點時，CF 便趨近於 2SB（圖 4-4），所以 (1/2)CF 可以用半徑 SB 代換，即力與弧長平方除以圓周半徑成正比. (. )(. ) (. )(. Fc / f c = BC 2 / (1 2 )CF / bc 2 / (1 2 )cf = BC 2 / SB / bc 2 / sb. ). 此即為命題 4。而重要的推論如下，牛頓將命題 4 的結果與克卜勒週期律結合，得到向心力與半徑平方成反比的結果。命題 4. 推論 6. 如果週期正比於半徑的 3/2 次方，則向心力反比於半徑的平方；反之亦然。（牛頓，2005，p. 46） 37.

(39) 此處「等時間裡掠過的弧長」指的是速率，若圓半徑為，在其上作等速率圓周運動的物體，以現今代數來表示命題 4 中物體所受之向心力 F 即為. F∝. v2 r. 故在一圓上作等速率運動物體所受的力大小為固定值。牛頓常藉著比較相同物體所受作用力的比值，來討論物體的現象與性質，如此可使質量不必出現在力關係式裡，而得到簡化。在不同圓周運動的物體滿足週期律 T 2 = kr 3，k 為常數，利用圓周速率 v=2 π r/T，可知 v 2 (2π r / T ) r r 3 1 4π 2 1 = = 4π 2 2 = 4π 2 2 ⋅ 2 = r r k r2 T T r 2. F∝. 因此物體所受之向心力反比於半徑平方，此即為推論 6。. 此命題描述任一物體在不同半徑的圓周上作等速率運動著, 符合週期律時，則圓周運動的週期律便等價於距離平方反比力。即. 正圓的週期律. 距離平方反比力. 圖 4-5：正圓的週期律與距離平方反比力的雙向關係（引自姚珩和田芷綾，2009）. 牛頓得到了這個結果之後，開始詳細地討論不同軌道的距離平方反比力關係，並且將此推論結果與天文觀測事實結合：牛頓注意到若是週期的平方與半徑的立方成正比，則向心力將會與半徑的平方成反比。在《物體在軌道中之運動》的定理 2 的旁註中，牛頓說明這個關係不僅成立於行星繞太 38.

(40) 陽的運動中，也成立於衛星繞木星的運動中。類似的聲明也出現在《原理》對於命題 4 的旁註中，牛頓說這個推論的情況可以在天體中獲得。不過在《原理》中，還有一項附加說明是沒有出現在《物體在軌道中之運動》中的：這是雷恩（Christopher Wren，1632-1723）、哈雷（Edmond Halley， 1656-1742）、虎克已經分別觀察到的結果。在《物體在軌道中之運動》中，寫道：上述的週期與半徑的關係已經被天文學家所接受。而在《原理》中，牛頓的陳述更為簡明，既然這個關係成立於天體，那麼他將要試圖詳細地探討距離平方反比力。（Cohen, 1980, pp. 259-260）. 39.

(41) 第二節. 橢圓律. 虎克在 1666 年做的擺錘實驗，已經提供天體運動的模型，也就是行星的橢圓軌道模型，而這也就是虎克一直試圖處理的問題：用一根短繩把另一個擺球繫在這個金屬線的較低處，使較小的球圍繞較大的球自由地作圓周或橢圓運動，而較大的球則繞著第一個中心作圓周或橢圓運動。這是想說明月球圍繞地球運動的方式。結果很清楚，無論是代表地球的大球，還是代表月球的小球，都沒有沿著絕對的正圓或者橢圓運動，不過兩球的重心似乎是沿著正圓或橢圓律運動，而兩個球則繞著這一點沿小橢圓作著特殊的運動。（柯瓦雷，2003， p. 179）即便其受力與實際天體受力數學形式有著基本的不同，但虎克在此實驗上的成就，不僅是提供可見的天體模型，他對於天體運動的描述，也激發了當時代解決天體運行問題的一些靈感。對於牛頓在吸引概念上的建立，不可否認虎克是啟發牛頓靈感的角色，而虎克主要是為了行星運動的問題而希望與牛頓討論，而引起牛頓對天文學的注意。牛頓與虎克對平方反比力的討論與接觸，開始於 1679 年底，虎克當時任英國皇家學會秘書長，為帶動學會討論風氣，且他也明白牛頓在科學上有許多重要貢獻，遂主動邀請他共同討論，並以實驗檢視當時各種可能的自然科學想法與理論。 1680 年，相對於虎克一直熱衷於天文學，牛頓並沒有直接回應虎克，而只是寄了一些與天體動力學的問題不相關的實驗。也許是一開始牛頓沒有體認到虎克提出的問題的重要性，或是當時他不認為這些問題是理解太陽系統的關鍵， 40.

(42) 所以一開始牛頓並沒有認真解決這些問題。後來牛頓才證明出在隨距離平方成反比變化的中心力（central force）以及物體本身的慣性兩者共同作用之下，物體的運動軌道將會是橢圓。再晚一點的時間，牛頓才承認自己在重力定律作用下的天體運動學的主要第一步，是由於在 1679-1680 年間虎克的刺激。（Cohen, 1980, p. 245）虎克寫信向牛頓描述了近來的物理與數學訊息，其中含有笛卡兒的渦漩理論，主張是天際裡的渦漩支撐並帶動著行星繞日運動，也提到他本人對吸引力的猜想，及物體的彈性振盪。 1679 年，虎克寫了一封信給牛頓，希望他可以跟英國皇家學會交換哲學思想，就此展開牛頓對於天文問題的強烈注意力。信中，虎克提出「沿切線方向運動與朝向中心的吸引（attractive motion towards the centrall body）之下的合成，所造成的行星天體運動」問題。（Cohen, 1980, p. 242）牛頓很快地回覆，除了建議虎克以實驗來檢驗哥白尼的地動說外，還討論到：假想人在北極上方，可觀察到在赤道線的山頂或高塔上，靜止釋放一重球，且假設當球要抵達地球表面時，在球前方均無阻力，彷彿有一坑道可讓其持續運動，則其運動路徑會是如何？牛頓本身認為此球將以螺旋形（spiral）運動，最後抵達地心，為了清楚起見，他自己還將螺旋軌跡畫了出來（圖 4-6）。（Taton & Wilson，1989， p. 241）牛頓回應了另一問題「在地球每日運動的影響下，物體的自由落體運動」，他認為在北極上方看赤道面，物體不會撞到地球的情況下，將會沿螺旋線運動。（Cohen, 1980, p. 242）. 41.

(43) 赤道. 圖 4-6：地球內牛頓所繪之螺旋線軌跡. 圖 4-7：地球內虎克所言之運動軌跡. 然而，虎克認為物體在地球內所受到的力是指向地心，並且與距離成正比，這個力的形式跟彈力很接近，可稱為「虎克力」，並且猜測物體在地球內部的運動軌道會近似橢圓（圖 4-7）：而虎克很快地發現這個錯誤，所以他回應牛頓應該是橢圓狀（近似橢圓）（ The curve would be “rather a kind of elleptueid”.）這個問題的重要性在於找出物體在自轉地球上的自由落體運動軌跡，就是在數學上及物理上等價於找出行星軌道；因為落體的運動就像是慣性運動與受到持續朝向中心吸引力作用的合成運動。（Cohen, 1980, p. 242）不過，虎克並沒有做數學計算以證明他的猜測。這個部分，由牛頓後來在《原理》第 1 卷中的命題 10 證明出其反命題，命題 10 的敘述如下：命題 10 一個質點沿橢圓環行時，指向該橢圓中心的向心力正比於該質點到橢圓中心的距離。（牛頓，2005，pp. 69-70） 42.

(44) 在處理完上述物體在地球內的運動後，虎克進一步於 1680 年 1 月給牛頓的回音中提到了下列重要敘述：我的看法是吸引力永遠與至中心距離的平方成反比，… 在天體運動中，太陽，地球或中心物體是引力的來源，雖然它們不能被假定為數學點，但可被視為物理的，且在足夠遠處外，所受的引力可依據距離中心如前面所言（平方反比）的比例來計算…。（Hall & Knight，1996，p. 205）虎克還嘗試對受平方反比力之物體，尋找出其運動軌跡，並向牛頓提供自己的看法，建議牛頓從事此計算，且相信以牛頓傑出的數學方法，必可解決此問題，在同一封信中寫道：吸引的大小與距離平方成反比，且速度與距離成反比。因中心吸引力使得速度會偏離其原來的直線切線軌道，而畫出適當的曲線軌道，且此中心吸引力與距離的平方成反比。我毫無疑問，以你傑出的方法能夠輕易地找出這會是何種曲線，並且提供此命題的物理原因。（Cohen, 1980, p. 244）信中很清楚顯示出，平方反比力似乎是首先出現在虎克所言的吸引力中，因此這段描述在歷史上被當成是虎克發現重力的平方反比律的證據，然而，從信中也很清楚地看到，虎克並沒有說出在地球外的物體運動軌跡會是橢圓。而牛頓為了支持自己才是第一個發現者的說法，將自己年輕時所得出的圓周運動加速度定律（. ）導出平方反. 比律的論證寄給哈雷，以證明自己不需藉由虎克的橢圓便已得到距離平方反比律。另外，牛頓為了駁倒虎克，後來又在《原理》第 1 卷的命題 16 證明虎克關於速度的描述是錯誤的： 43.

(45) 命題 16 定理 8 物體環繞曲線運動，向心力反比於其到該中心距離的平方，通過物體作軌道切線，再由焦點作切線的垂線，則物體的速度反比於該垂線。（牛頓，2005，p. 77）並且，在《原理》發行之後，將速度定律放在命題 1 的推論，就此說明虎克的錯誤。因此，如果牛頓的解釋是正確的，就暗示著虎克根本沒有提出平方反比律，因為他根本完全不懂。至於虎克在信中提到的曲線問題，由牛頓在《原理》第 1 卷命題 17（圖 4-8）中完成證明。不過命題 17 中指出，滿足距離平方反比力的運動軌跡必為圓錐曲線，而不必須為橢圓。命題 17. B. P R K. Q. S. C. H. D. 圖 4-8：命題 17（引自牛頓，2005，p. 79）. 設向心力反比於物體處所到中心的距離的平方，且該力的大小已知，若速率使得半正焦弦長小於. ，則圖. 形將是橢圓；若速率較大，使得半正焦弦長等於 44.

(46) ，則圖形將是拋物線；若速率更大，則圖形將是雙曲線。（牛頓，2005，p. 66）此處正焦弦為半短軸長與半長軸大小比值平方的兩倍。S、H 為兩焦點，P 為軌道上物體，K 為 S 至. 距離平方反比力. 之垂足，即. 橢圓、拋物線或雙曲線. 圖 4-9：由距離平方反比力推得圓錐曲線軌道（引自姚珩和田芷綾，2009）. ，敘述牛頓最終的確也證明出其反命題，即為命題 11（圖 4-10）運動物體的軌道橢圓性代表所受力滿足距離平方反比律，而一般未參照過《原理》第 3 卷的人也普遍用此命題說牛頓是依克卜勒的橢圓律提出平方反比律，以下是此命題的敘述：命題 11. P F. S. 圖 4-10：命題 11 示意圖. 物體沿橢圓運動，指向橢圓焦點的向心力反比於其到橢 45.

(47) 圓焦點距離的平方。（牛頓，2005，p. 57）細緻而言，意指作橢圓軌道運動之物體在橢圓上任意一點與焦點距離處，物體所受向心力（或向心加速度）的大小必定有. a = (4π 2 ). R3 1 T 2 r2. 其中 T 為週期，R 為半長軸長，此形式雖與正圓情形類似，但意義全然不同，此關係式強調對同一橢圓上物體所受之加速度幾乎處處不同。對固定之橢圓而言，T 與 R 皆為常數，則 a 與 r 2 成反比，即. 橢圓律. 距離平方反比力. 圖 4-11：由橢圓律可推得距離平方反比力（引自姚珩和田芷綾，2009）. 牛頓在《原理》第 1 卷命題 11 及命題 17 嚴謹地證明出橢圓律及力平方反比律的雙向關係，另外，牛頓的直屬學生亦曾首先主張：因為行星是以橢圓軌道運行，且太陽位於其中一個焦點上，牛頓便由此演繹出，行星所受的力強度與行星至太陽的距離平方成反比。（Pemberton，1728，pp. 172-174）因此，後人普遍認為牛頓得到萬有引力的距離平方反比律是來自於克卜勒的橢圓律，然而實情是否真是如此，另有學者指出：牛頓接受克卜勒的橢圓律為一個經驗律，並且從中導出重力的平方反比律的這種說法，不斷地被重覆，但這是不正確的。在重新檢視《原理》的第 3 卷，以及牛頓關於克卜勒行星律的各種不同陳述之後，顯示牛頓並未依靠這些由克卜 46.

(48) 勒所建立被視為精確的經驗律。他與克卜勒行星律間的關係比任何傳統上的說明描述皆更為複雜及微妙。（Wilson， 1974，pp. 232-233）對牛頓而言，重要的並不是由橢圓律論證得到的平方反比律，因為他在第 3 卷「宇宙體系」中用以說明天體現象依平方反比律的命題並非代表橢圓律的命題 11，而是正圓的週期律，也就是命題 4 推論 6。. 47.

(49) 第三節. 天體運動現象. 由於橢圓律與平方反比力之間關係的發展，引起了當時眾多一流科學家的注意與投入，牛頓發揮其過人的數學長才，在《原理》一書的第 1 卷命題 11 及命題 17，以嚴謹的數學演算，建立橢圓律與平方反比力的緊密關係，我們可將之視為「理論」的發展。當我們要探討萬有引力的建立過程時，應該由《原理》的第 3 卷下手，觀察牛頓運用的是第 1 卷的哪些命題，再進一步回頭找出這些數學命題，賦與其物理意義。實際上有物理意義的是第 3 卷，而他在第 3 卷中將天文的觀測結果（他稱之為「現象」）與第 1 卷中的數學命題結合，才形成萬有引力的完整架構。在《原理》第 1 卷之後的第 3 卷中，舉出的行星、衛星數據等「觀測數據」為了驗證理論的正確性，彷彿意謂著對於宇宙體系的探討及距離平方反比關係式的發現，橢圓律必定會扮演著重大的關鍵角色。然而在第 3 卷中，全部命題與定理以六個基本天文現象為基礎，這六個基本天文現象卻完全以圓周運動的週期律為基礎。現象一木星的衛星伸向木星中心的半徑所掠過的面積，正比於運行時間；且它們的週期正比於到其中心距離的 3/2 次方。（牛頓，2005，p. 352）牛頓列出了當時對四顆木星衛星的圓周運動週期及圓周軌道半徑的天文觀測數據，此處引用部分數據，並確認其週期平方正比於各自衛星到木星半徑的三次方（表 4-1）。. 48.

(50) 木星衛星編號. 1. 2. 3. 4. 木星衛星的週期 T. 1.77. 3.55. 7.03. 16.69. 軌道半徑觀測值 R. 5. 8. 13. 23. R 3/T 2. 39.90. 40.63. 44.45. 43.68. 表 4-1. 木星四顆衛星的週期、半徑之觀測數據，與各衛星的週期平方與軌道半徑立方的比. 值。（時間單位為天，半徑單位為木星半徑。）（改自牛頓，2005，p. 352）. 接著描述五顆土星衛星與六顆太陽行星的觀測數據，也具有相同現象。（表 4-2、4-3）。現象二現象二土星衛星伸向土星中心的半徑，所掠過的面積正比於運行時間；且它們的週期正比於到土星中心距離的 3/2 次方。（牛頓，2005，p. 353）土星衛星編號. 1. 2. 3. 4. 5. 土星衛星的週期 T. 1.89. 2.74. 4.52. 15.95. 79.33. 軌道半徑觀測值 R. 1.95. 2.50. 3.50. 8. 24. R 3/T 2. 2.08. 2.08. 2.10. 2.01. 2.20. 表 4-2. 土星五顆衛星的週期、半徑之觀測數據與各衛星的週期平方與軌道半徑立方的比. 值。（時間單位為天，半徑單位為土星半徑。）（改自牛頓，2005，p. 354）. 現象四現象四五顆行星以及地球環繞太陽（或太陽環繞地球）的週期，正比於它們到太陽平均距離的 3/2 次方。（牛頓，2005， p. 355）. 49.

(51) 六大行星. 水星. 金星. 地球. 火星. 木星. 土星. 週期 T（天）. 87.97. 224.62. 365.26. 686.98. 4332.51. 10759.28. 軌道半徑觀測值 R. 38806. 72400. 100000. 152350. 519650. 951000. R 3/T 2（ 10-9）. 7.55. 7.52. 7.50. 7.49. 7.48. 7.43. 表 4-3. 太陽六顆行星的週期、半徑之觀測數據與各行星的週期平方與軌道半徑立方的比. 值。（半徑單位以地球至太陽之平均距離為 100000）（改自牛頓，2005，pp. 355-356）. 而現象三、五、六則定性地描述行星是作繞日運動，而非繞地球運動，且月亮為地球之一個衛星，並滿足面積律。現象三現象三五顆行星，水星、金星、火星、木星和土星、在其各自的軌道上環繞太陽運轉。（牛頓，2005，p. 354）現象五現象五行星伸向地球的半徑，所掠過的面積不與時間成正比；但它們伸向太陽的半徑所掠過的面積正比於運行時間。（牛頓，2005，p. 356）現象六現象六月球伸向地球中心的半徑所掠過的面積，正比於運行時間。（牛頓，2005，p. 356）我們可將現象一、二、四、五及六交叉比較，木星衛星、土星衛星及月亮分別以木星、土星及地球為中心繞行，且個別符合正圓的週期律及面積律；行星繞行太陽的週期符合週期律，行星與太陽的連線符合面積律，但其與地球的連線不符合面積律，因此我們可以得到行星是以太陽為中心運行而非地球為中心運行；也就是說，宇宙中心在 50.

(52) 太陽而非地球。自哥白尼提出「地動說」，繼克卜勒整理第谷觀察的天文數據並提出三大行星律之後，確立了日心說的天體模型，牛頓運用了自身的數學長才有系統且嚴謹地指出日心說的真實性，奠定日心說無可動搖的地位。此外，利用上面六個基本現象，尤其是滿足週期律的現象一、二、四，以及第 1 卷的命題 4 推論 6，便有下列第 3 卷中有關距離平方反比力最重要的命題：命題 1. 定理 1. 使木星衛星連續偏離直線運動，停留在適當軌道上運動的力，指向木星的中心，反比於從這些衛星的處所到木星中心距離的平方。（牛頓，2005，p. 357）命題 2. 定理 2. 使行星連續偏離直線運動，停留在其適當軌道上運動的力，指向太陽，反比於這些行星到太陽中心距離的平方。（牛頓，2005，p. 357）這也是第 3 卷中導出宇宙體系內平方反比力的真正出處。第 3 卷探討的是萬有引力建立過程，必須把行星跟太陽，擴大成衛星跟行星，因此討論的對象不只是克卜勒規則論及的行星，還要探討衛星繞其各自中心所受的引力，若牛頓要把所有現象歸於同一原理，最清楚且無庸置疑的現象是面積律及週期律；但是克卜勒只觀測行星，得出行星的軌道是橢圓軌道，而衛星繞行星的軌道當時並沒有被驗證是橢圓軌道，因此牛頓認為克卜勒的橢圓律不夠普遍，他若要提出普遍化的萬有引力，勢必不能使用克卜勒的橢圓律，於是他在第 3 卷的六個天文現象中以圓周運動的週期律為依歸，進一步在第 3 卷的命題提出萬有引力的數學形式時也不使用橢圓律。 51.