數學觀的意義 數學觀的意義 數學觀的意義 數學觀的意義

圖

5-1

2003

圖

5-2

O

O’

G

（引自姚珩和黃秋瑞，

2003

然而，托勒密模型從漫長的時間檢驗中存留下來，且哥白尼模型 未得到任何觀察證實，比起托勒密模型也沒有更精確，兩者同樣能畫 出正確的天體運行圖。再者，相較於哥白尼模型，托勒密模型更能符 合人們的感覺，人們無法想像，若是地球在動，為何自己不會被拋到

題，哥白尼都無法解決，那麼他又如何相信「地動說模型」就是宇宙 的真正圖景呢？

十四世紀，當時的知識分子開始批評中世紀宗教統治的迂腐，認 為宗教對人性的限制違背自然，甚至認為中世紀的文化是一種黑暗、

倒退的文化，而古希臘、羅馬文化才是光明、進步的文化，因而開始 復興古典文化，稱為「文藝復興」。而古代和 16 世紀的觀察者發現，

在許多方面，自然似乎是受簡單性原則所支配，並引出一些諺語：

自然總是通過最短的路徑而運動；自然不會無目的地勞 作；然總是恰到好處；然以使用起來最方便的方式實施其 則，從不多費力氣。（伯特，2003，p. 25）

出生於這個時代的哥白尼，受到當時的氛圍影響，崇尚古典文化 對於自然真理的追求，而自然愛好簡單性，相對於托勒密的地心說模 型加入太多不必要、人為的大圓、小圓，自己的模型更為精緻，更符 合數學的簡單性、對稱性、和諧性、完美性，因此，哥白尼相信自己 的天體模型才是天體運行的背後真理。

《天體運行論》出版後不過半個世紀，一位具有天賦的青年，對 於天文學同樣地著迷，並且信奉哥白尼的學說，這位青年就是克卜 勒。克卜勒在 1596 年出版《宇宙的奧秘》（Mysterium

cosmographicum），這本書中記載著克卜勒早期對於天文學的基本假 定，以及他如何貫徹哥白尼的地動說，他認為宇宙由五個正多邊體及 六個正圓球殼組成（圖 5-3），每個正多邊形外接一個正圓，再外切下 一個正多邊形，而每一顆行星都在各個正圓軌道上運行（圖 5-4）。

圖

5-3

圖

5-4

克卜勒對天文學的興趣及其數學天賦引起了天文觀測學家第谷 的注意，第谷邀請克卜勒擔任他的助手，在第谷辭世後，克卜勒爭取 獲得第谷所累積大量精確的天文觀測資料，進而有機會揭示眾多數據 中的天文秘密。並且，從這些天文數據中，克卜勒發現自己年輕時所

的圖景與觀測的數據無法取得一致，克卜勒不得不拋棄哥白尼的正圓 軌道，修正理論以符合自然現象。

克卜勒在龐大的天文數據中，最早發現行星到太陽的距離會發生 變化，而什麼原因會引起這樣的變化呢？若是採用托勒密的均輪本輪 模型，可以給出明確的答案，所以克卜勒最初「試圖通過一個本輪解 釋這種變化，然而，本輪機制與他對物理實在的直覺相抵觸。」（韋 斯特福爾，2000，p. 9）

克卜勒從接收到的火星觀測數據開始他的工作，過程中，他曾試 過卵形軌道，但還是無法與天文數據完全相符，最後，他發現如果假 定軌道是橢圓形的並且用橢圓作近似軌道，那麼便可解釋行星到太陽 的距離會發生變化。克卜勒如此敘述：

43 章中所提之圓，錯誤在於值太大；45 章中所提之卵 形，錯誤在於值之不足，其中超出與不夠之量剛好相同。而 僅有橢圓可被置放在圓形與卵形之間，所以行星的路徑僅能 是一橢圓。（Kepler, 1992, p. 56）

克卜勒對於最終能得到橢圓軌道這樣的結論感到非常地驚喜，因 此其手稿上在橢圓律的圖中還畫上了女神像（圖 5-5），並且作了以下 評論：

正如一個人從睡夢中醒來，以驚奇的目光注視一個新的 光亮。（韋斯特福爾，2000，p. 9）

圖

5-5

橢圓律的提出，「使得偏心圓和本輪的全部複雜性已淹沒在橢圓 的簡單性之中，然而，接受橢圓簡單性的代價，便是拋棄正圓及其所 擁有的完美性、不易性和有序性的優美古老內涵。」（Kepler, 1952）

為了彌補這樣的缺憾，克卜勒便提出了另一條行星運動規則：

行星運轉所需時間，正比於它至太陽的距離，因各弧長 在與徑向垂直方向上之分量均同。（Stephenson, 1987, p. 163）

而面積律的主要價值是它揭開了天體秩序中其它的和諧，並且補 足了哥白尼體系的缺失：

它提出了新的一致性來取代圓周運動的一致性。（韋斯 特福爾，2000，p. 10）

面積律首次解決了行星速度的不規律性問題，而這個問 題是哥白尼在處理托勒密體系時的一個主攻點，可是他自己

經過了十年的刻苦計算工作，這兩條行星規則記載於克卜勒 1609 年出版《新天文學》內。再經過近十年的努力，1618 年出版《世界 的和諧》，發表第三條定律：

任意兩個行星的週期，與他們的平均軌道半徑有 3/2 的 比率關係。（Kepler, 1952）

克卜勒正確地看到哥白尼體系何以未能達到幾何簡單性理想，他 建立的天體運行規則，確立了日心說的地位，將哥白尼的天文學完善 化，完成了他們的共同理念。從克卜勒的天體模型中可以看到，他對 於幾何學的信仰及堅持，就如同其他天文學家一樣，克卜勒相信只有 在天文學中才能得到幾何學的真實：

只有天體的幾何學才是本質的東西；因此，凡是在幾何 學中成立的東西，在天文學必定也完全成立。（伯特，2003，

p. 30）

中世紀歐洲同樣也關心地表現象為什麼會發生的原因，只不過總 是將原因以目的論來解釋，並歸於宗教的玄想。伽利略是克卜勒的同 時代人，他一樣對數學產生濃厚的興趣，他認識到，那些關於事物原 因和結果的玄秘說法，並不能增進科學知識，絲毫不能給人們任何揭 示和控制自然界運動的力量。有鑑於此，他提出要以一種關於現象的

「定量描述」來取代那些玄想。（克萊因，2004，p. 185）

1590 年，伽利略出版了《論運動》，當中記載了他對於流體靜力 學的定量描述，他將阿基米德的流體力學與中世紀風行的衝力概念連 接起來，建構了一種利用流體靜力學方式描述衝力的方法，並通過這 種方法建構了一種精確的定量動力學以補充阿基米德的靜力學。並從 中確立了他科學工作的基調：

伽利略追求一種定量的運動科學的理想，並且正是在伽 利略提供的基礎上科學革命才建立了它最輝煌的成就，即它 的力學。（韋斯特福爾，2000，p. 15）

哥白尼的地動說把運動賦與地球，而伽利略信奉哥白尼的理念，

在晚期為了表明他的信仰，在 1632 年，他出版了《關於兩大世界體 系的對話》。伽利略對哥白尼理念的信仰刺激伽利略以數學觀點更嚴 格地研究日常經驗中出現的地球的某些小部分的運動，因而誕生地表 物體的運動學，這門科學的開端同樣被記錄在伽利略的《論運動》中，

而詳盡的結構則被發表在 1638 年出版的《兩門新科學的對話》

（Discourses and Mathematical Demonstrations Relating to Two New Sciences）中。

伽利略將世界上的東西做了兩種明確的區分，一種是絕對的、客 觀的、不變的和數學的，屬於神和人的知識的王國，這王國中的東西 具有的性質稱為第一性質；另一種是相對的、主觀的、起伏不定的和 感覺的，屬於意見和假象的王國，而這王國中的東西具有的則稱為第 二性質（伯特，2003，p. 63）。正如同哥白尼學說給予的啟示，伽利 略深知感覺到的對象並非真實的對象，因此，他竭力地追求背後真 理，而他的理念便忠實地呈現在他的運動學當中。伽利略的運動學，

其要旨就在於將運動從物體的本質中分離，運動只是物體所展現的狀 態，而靜止也不具特殊地位，不過是「一種無限度的慢」。如同他所 爭辯的：

需要考慮的是運動，就運動和運動的作用而言，運動在 某種程度上是相對於缺乏運動的事物來講的；並且在平等地 享有任何運動的事物之中，運動並不產生什麼影響，彷彿運 動並不存在一樣。因此，貨物隨同運載它的船離開起點，途

在原處，並沒有隨船移動；但是對裝載在船上的袋子、箱子 和包裹與船自身來說，這趟旅程不起任何作用，無法改變它 們之間的關備。的確如此，因為對所有這些東西來說運動是 相同的，並且它們全部平等地享有這種運動。從船上的貨物 來看，一個袋子在船艙中哪怕只是單獨被移動一英寸，就這 個袋子而言是運動，而所有貨物一起完成的 2000 英哩的行 程倒算不上是運動。（韋斯特福爾，2000，pp. 18-19）

伽利略提出「運動不需要原因，只有運動的變化需要原因」這種 想法，並且體認到，亞里斯多德從感官經驗出發來探討自然的方法是 錯誤的，必須從理想化的情況出發，以理性方法探討自然，而感官經 驗的實際情況只是理想化情況的一個不完美的體現：

對伽利略來說，真實世界是有著抽象數學關係的理想世 界。物質世界只是被仿制的理想世界的不完美的體現。要充 分地理解物質世界，我們必須在想象中從理想化的優越的視 角看待它。只有在理想的世界中，完美的圓球才能在完全光 滑平面上永遠滾動下去。而在物質世界裡，平面從來不是絕 對光滑的，滾動的球也不是絕對的圓，它最終會靜止。

（韋斯特福爾，2000，p. 21）

正因為伽利略體認到真實不能由感官決定，必須將實際世界的影 響消除而得到理想結果，他才能為等速度運動和等加速度運動提供真 實性、並用數學的術語描述這兩者：

正因為伽利略體認到真實不能由感官決定，必須將實際世界的影 響消除而得到理想結果，他才能為等速度運動和等加速度運動提供真 實性、並用數學的術語描述這兩者：